Semiparametric methods in econometrics and applications - Exam

Aufgabe 1)

• Semiparametrische Modelle kombinieren parametrische und nichtparametrische Ansätze. Sie ermöglichen es, flexible Modelle zu erstellen, die nicht vollständig von einer spezifischen Verteilungsform abhängen.
• Parametrischer Teil: Schätzungen basieren auf einem festen Satz von Parametern.
• Nichtparametrischer Teil: Verwendet flexiblere funktionale Formen, z.B. Splines oder Kerndichteschätzungen.
• Beispielmodell: \[ Y_i = f(X_i) + Z_i^T \beta + \epsilon_i\] Hierbei ist f(X_i) eine nichtparametrisch geschätzte Funktion, \( Z_i^T \beta\) der parametrische Teil.
• Vorteil: Bessere Modellierung komplizierter Zusammenhänge ohne starke Annahmen über die Form der Verteilung.

a)

Erläutere die Hauptunterschiede zwischen parametrischen Modellen und semiparametrischen Modellen anhand des gegebenen semiparametrischen Modells.

Lösung:

Um die Hauptunterschiede zwischen parametrischen und semiparametrischen Modellen zu verstehen, betrachten wir das gegebene semiparametrische Modell:

• Semiparametrisches Modell: Semiparametrische Modelle kombinieren sowohl parametrische als auch nichtparametrische Ansätze. Sie bestehen somit aus einem parametrischen Teil und einem nichtparametrischen Teil. Das gegebene Beispielmodell ist:

  Y_i = f(X_i) + Z_i^T \beta + \epsilon_i

  Hierbei ist f(X_i) eine nichtparametrisch geschätzte Funktion, die flexibel und frei von spezifischen Verteilungsannahmen ist. Der Term Z_i^T \beta stellt den parametrischen Teil dar, wobei \beta ein fester Satz von Parametern ist.
• Parametrisches Modell: Parametrische Modelle basieren auf festen Sätzen von Parametern und setzen voraus, dass die Daten einer bestimmten Verteilung folgen. Beispielsweise könnte ein einfaches lineares Modell wie folgt aussehen:

  Y_i = X_i \beta + \epsilon_i

  In diesem Fall beschreibt die lineare Funktion X_i \beta (mit fester Parametermenge \beta) die Beziehung zwischen den unabhängigen Variablen (X) und der abhängigen Variable (Y).

• Hauptunterschiede:
• Flexibilität: Parametrische Modelle sind auf spezifische Verteilungsformen angewiesen und daher weniger flexibel. Semiparametrische Modelle hingegen bieten durch ihren nichtparametrischen Teil mehr Flexibilität und können komplizierte Datenstrukturen besser abbilden.
• Verteilungsannahmen: Parametrische Modelle beruhen auf der Annahme, dass die Daten einer bestimmten Verteilung folgen. Diese Annahme kann die Genauigkeit des Modells beeinträchtigen, wenn sie nicht zutrifft. Semiparametrische Modelle lockern diese Annahmen durch die Integration eines nichtparametrischen Teils.
• Komplexität der Zusammenhänge: Parametrische Modelle sind oft nicht in der Lage, komplexe Zusammenhänge in den Daten zu erfassen. Semiparametrische Modelle erlauben eine bessere Modellierung dieser Zusammenhänge.
• Schätzmethoden: In parametrischen Modellen erfolgt die Schätzung durch Anpassung der Parameter an die Verteilung der Daten. In semiparametrischen Modellen erfolgt die Schätzung sowohl durch Anpassung der Parameter als auch durch Schätzung der nichtparametrischen Funktion.

Zusammenfassend kombinieren semiparametrische Modelle die Strenge und Einfachheit der parametrischen Ansätze mit der Flexibilität und Anpassungsfähigkeit der nichtparametrischen Ansätze. Dadurch eignen sie sich besser zur Erfassung komplexer Datenstrukturen und Zusammenhänge, besonders wenn keine starken Annahmen über die Verteilungsform der Daten getroffen werden können.

b)

Zeige mathematisch, wie der nichtparametrische Teil des Modells \( f(X_i) \) durch Splines geschätzt werden kann. Verwende hierzu B-Splines und skizziere die dazugehörenden Schritte.

Lösung:

Um den nichtparametrischen Teil des Modells f(X_i) durch Splines zu schätzen, verwenden wir B-Splines. Hier sind die Schritte, um mathematisch zu zeigen, wie dies durchgeführt wird:

• Schritt 1: Definition von B-Splines B-Splines sind eine Familie von stückweise definierten polynomialen Funktionen, die auf einem Intervall definiert sind und als Basis für den Raum der Splines dienen. Angenommen, wir haben K B-Splines-Basisfunktionen, notiert als \(B_1(x), B_2(x), ..., B_K(x)\).
• Schritt 2: Darstellung der Funktion f(X_i) Die Funktion f(X_i) kann als Linearkombination dieser Basisfunktionen dargestellt werden. Daher schreiben wir:

  f(X_i) = \sum_{k=1}^{K} \theta_k B_k(X_i)

  wobei \(\Theta = (\theta_1, \theta_2, ..., \theta_K)\) die Koeffizienten sind, die geschätzt werden müssen.
• Schritt 3: Konstruktion der Designmatrix Um die Koeffizienten \(\Theta\) zu schätzen, konstruieren wir eine Designmatrix \(B\), deren Einträge aus den Basisfunktionen der B-Splines bestehen. Für die Beobachtungen \(X = (X_1, X_2, ..., X_n)\) sieht die Designmatrix wie folgt aus:

  B = \begin{bmatrix} B_1(X_1) & B_2(X_1) & ... & B_K(X_1)\ B_1(X_2) & B_2(X_2) & ... & B_K(X_2)\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ B_1(X_n) & B_2(X_n) & ... & B_K(X_n)\end{bmatrix}

• Schritt 4: Schätzung der Koeffizienten \(\Theta\) Die Koeffizienten \(\Theta\) können durch die Lösung des folgenden linearen Regressionsproblems geschätzt werden:

  \hat{\Theta} = (B^T B)^{-1} B^T Y

  wobei \(Y\) der Vektor der Zielvariablen \(Y_i\) ist.
• Schritt 5: Berechnung der geschätzten Funktion Mit den geschätzten Koeffizienten \(\hat{\Theta}\) erhalten wir die geschätzte nichtparametrische Funktion:

  \hat{f}(X_i) = \sum_{k=1}^{K} \hat{\theta}_k B_k(X_i)

Zusammenfassend wird der nichtparametrische Teil f(X_i) des Modells durch eine Linearkombination von B-Splines-Basisfunktionen geschätzt, deren Koeffizienten mittels linearer Regression bestimmt werden.

c)

Diskutiere die potenziellen Vorteile der Verwendung semiparametrischer Modelle gegenüber vollständig parametrischen Modellen, insbesondere in Hinblick auf die Flexibilität der Modellierung.

Lösung:

Semiparametrische Modelle kombinieren die Vorteile von parametrischen und nichtparametrischen Ansätzen und bieten damit eine größere Flexibilität in der Modellierung. Hier sind einige potenzielle Vorteile semiparametrischer Modelle gegenüber vollständig parametrischen Modellen:

• Flexiblere Modellierung: Semiparametrische Modelle erlauben eine flexiblere Darstellung der Datenstruktur, da sie sowohl parametrische als auch nichtparametrische Komponenten enthalten. Der nichtparametrische Teil, wie z.B. Splines oder Kerndichteschätzungen, kann komplizierte Beziehungen zwischen den Variablen erfassen, die mit einem rein parametrischen Modell schwierig zu modellieren wären.
• Keine strengen Verteilungsannahmen: Während parametrische Modelle oft auf der Annahme basieren, dass die Daten einer bestimmten Verteilung folgen (z.B. Normalverteilung), lockern semiparametrische Modelle diese Annahme. Der nichtparametrische Teil des Modells erfordert keine spezifischen Verteilungsannahmen, was zu robusteren und genaueren Modellen führen kann, insbesondere bei nicht normal verteilten Daten.
• Erfassen nichtlinearer Beziehungen: Parametrische Modelle, wie z.B. lineare Regressionen, setzen oft lineare Beziehungen zwischen den Variablen voraus. Semiparametrische Modelle hingegen können durch den nichtparametrischen Anteil, der Funktionen wie Splines beinhaltet, auch nichtlineare Beziehungen erfassen.
• Reduzierte Modellverzerrung: Durch die Kombination von parametrischen und nichtparametrischen Ansätzen können semiparametrische Modelle die Verzerrung reduzieren, die durch die falsche Spezifikation eines rein parametrischen Modells entstehen könnte. Dies führt zu einer besseren Anpassung und Genauigkeit des Modells.
• Vielseitigkeit: Semiparametrische Modelle sind sehr vielseitig und können auf verschiedene Arten von Daten und Anwendungsfällen angepasst werden. Sie bieten die Möglichkeit, mit einer breiten Palette von Datenkomplexitäten und Strukturen umzugehen, was sie besonders nützlich in der angewandten Statistik und maschinellem Lernen macht.

Zusammenfassend bieten semiparametrische Modelle eine größere Flexibilität und Genauigkeit bei der Modellierung komplexer Datenstrukturen, da sie sowohl die Strenge der parametrischen Modelle als auch die Flexibilität der nichtparametrischen Modelle nutzen.

d)

Nutze das Beispielmodell \( Y_i = f(X_i) + Z_i^T \beta + \epsilon_i \), um zu erklären, wie man den parametrischen Teil \( Z_i^T \beta \) schätzt. Welche Methoden kann man hierfür verwenden und welche Schritte sind dabei zu beachten?

Lösung:

Um den parametrischen Teil \(Z_i^T \beta\) im semiparametrischen Modell \(Y_i = f(X_i) + Z_i^T \beta + \epsilon_i\) zu schätzen, können wir verschiedene Verfahren der parametrischen Schätzung verwenden. Ein typisches Verfahren ist die lineare Regression. Hier sind die Schritte und Methoden, die dabei zu beachten sind:

• Schritt 1: Konstruktion der Designmatrix für den parametrischen Teil: Erstelle die Designmatrix Z für den parametrischen Teil, in welcher jede Zeile den Vektor \(Z_i^T\), die kovariaten für Beobachtung \(i\), enthält. Beispielsweise, wenn es p kovariaten gibt, ist die Designmatrix:

  Z = \begin{bmatrix} Z_{1,1} & Z_{1,2} & ... & Z_{1,p} \ Z_{2,1} & Z_{2,2} & ... & Z_{2,p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ Z_{n,1} & Z_{n,2} & ... & Z_{n,p} \end{bmatrix}

• Schritt 2: Entfernen des Effekts des nichtparametrischen Teils: Schätze zunächst den nichtparametrischen Teil \(f(X_i)\) mithilfe von Methoden wie B-Splines, wie zuvor beschrieben. Diese Schätzung wird dann vom beobachteten Wert \(Y_i\) subtrahiert, um die Residuen \(R_i\) zu berechnen:

  R_i = Y_i - \hat{f}(X_i)

  Hierbei ist \(\hat{f}(X_i)\) die geschätzte nichtparametrische Funktion.
• Schritt 3: Schätzung der Koeffizienten \(\beta\) mittels linearer Regression: Nachdem wir die Residuen haben, verwenden wir diese, um das Modell für den parametrischen Teil zu schätzen:

  R_i = Z_i^T \beta + \epsilon_i.

  Dies kann mittels gewöhnlicher kleinster Quadrate (OLS) erfolgen:

  \hat{\beta} = (Z^T Z)^{-1} Z^T R

  wobei \(R\) der Vektor der Residuen \(R_i\) ist.
• Schritt 4: Verifikation und Modellanpassung: Überprüfe die Güte der Anpassung mittels Standards wie \(R^2\), F-Test, und analysiere Residuen auf Homoskedastizität und Normalverteilung. Gegebenenfalls können auch Kreuzvalidierungstechniken verwendet werden, um Überanpassung (Overfitting) zu vermeiden.
• Andere Methoden zur Schätzung:
  • Maximum-Likelihood-Verfahren: Wenn Annahmen über die Verteilung der Fehler \(\epsilon_i\) gemacht werden können, beispielsweise Normalverteilung, kann das Maximum-Likelihood-Verfahren zur Schätzung von \(\beta\) verwendet werden.
  • Ridge Regression oder Lasso: Bei multikollinearen Daten oder wenn eine Bestrafung der Koeffizienten erwünscht ist, können regularisierte Regressionsmethoden wie Ridge Regression oder Lasso verwendet werden.

Zusammengefasst besteht die Schätzung des parametrischen Teils darin, zunächst den nichtparametrischen Teil zu berücksichtigen und dessen Effekt zu entfernen, um dann mithilfe geeigneter parametrischer Methoden die Koeffizienten zu schätzen.

Aufgabe 2)

Eine Untersuchung soll die Einkommensungleichheit in einer Region unter Verwendung semiparametrischer Methoden analysieren. Dich interessiert insbesondere der Einfluss von Ausbildung und Berufserfahrung auf das Einkommen. Dafür entscheidest Du Dich für die Anwendung eines Generalized Additive Models (GAM), um die nichlinearen Beziehungen modellieren zu können. Die verfügbaren Daten sind in einem Datensatz namens income_data gespeichert, der die Variablen income, education und experience beinhaltet. Du möchtest die Ergebnisse mit einem einfachen linearen Modell vergleichen. Implementiere und interpretiere die Modelle und deren Ergebnisse.

a)

(a) Implementiere ein einfaches lineares Modell, das das Einkommen (\texttt{income}) als Funktion der Ausbildung (\texttt{education}) und Berufserfahrung (\texttt{experience}) darstellt. Schätze das Modell in der Programmiersprache \texttt{R} und gib die geschätzten Koeffizienten sowie deren Standardfehler an. Teste, ob Ausbildung und Berufserfahrung signifikante Einflussfaktoren sind.

library(stats)# Lade den Datensatzincome_data <- read.csv('path_to/your_data.csv')# Einfaches lineares Modell schätzenlinear_model <- lm(income ~ education + experience, data=income_data)# Ergebnisse anzeigensummary(linear_model)

Lösung:

(a) Um ein einfaches lineares Modell zu implementieren, das das Einkommen als Funktion der Ausbildung und Berufserfahrung darstellt, kannst Du den folgenden R-Code verwenden:

library(stats)# Lade den Datensatzincome_data <- read.csv('path_to/your_data.csv')# Einfaches lineares Modell schätzenlinear_model <- lm(income ~ education + experience, data=income_data)# Ergebnisse anzeigensummary(linear_model)

Dieser Code führt diese Schritte aus:

• library(stats): Lädt die benötigte Bibliothek für statistische Funktionen.
• income_data <- read.csv('path_to/your_data.csv'): Lädt den Datensatz, der die Variablen income, education und experience enthält.
• linear_model <- lm(income ~ education + experience, data=income_data): Schätzt ein lineares Modell, bei dem das Einkommen als abhängige Variable und die Ausbildung sowie Berufserfahrung als unabhängige Variablen verwendet werden.
• summary(linear_model): Gibt eine Zusammenfassung des Modells aus, einschließlich der geschätzten Koeffizienten und deren Standardfehler.

Das Ergebnis der Zusammenfassung des Modells enthält:

• Die geschätzten Koeffizienten (Schätzer für den Einfluss von Ausbildung und Berufserfahrung auf das Einkommen).
• Die Standardfehler dieser Koeffizienten.
• t-Werte und p-Werte, die anzeigen, ob die Koeffizienten signifikant von null verschieden sind (d.h. ob Ausbildung und Berufserfahrung signifikante Einflussfaktoren auf das Einkommen sind).

b)

(b) Implementiere ein Generalized Additive Model (GAM) für denselben Datensatz, wobei das Einkommen (\texttt{income}) als nichlineare Funktion der Ausbildung (\texttt{education}) und Berufserfahrung (\texttt{experience}) modelliert wird. Schätze das Modell in \texttt{R} und stelle die geschätzten Funktionen visuell dar. Vergleiche die Anpassungsgüte (R² oder deviance) des GAM mit dem einfachen linearen Modell.

library(mgcv)# GAM schätzengam_model <- gam(income ~ s(education) + s(experience), data=income_data)# Ergebnisse anzeigensummary(gam_model)# Geschätzte Funktionen visualisierenplot(gam_model)

Lösung:

(b) Um ein Generalized Additive Model (GAM) zu implementieren, das das Einkommen als nichlineare Funktion der Ausbildung und Berufserfahrung darstellt, kannst Du den folgenden R-Code verwenden:

library(mgcv)# Lade den Datensatzincome_data <- read.csv('path_to/your_data.csv')# GAM schätzengam_model <- gam(income ~ s(education) + s(experience), data=income_data)# Ergebnisse anzeigensummary(gam_model)# Geschätzte Funktionen visualisierenplot(gam_model)

Dieser Code führt diese Schritte aus:

• library(mgcv): Lädt die Bibliothek für die Schätzung von Generalized Additive Models.
• income_data <- read.csv('path_to/your_data.csv'): Lädt den Datensatz, der die Variablen income, education und experience enthält.
• gam_model <- gam(income ~ s(education) + s(experience), data=income_data): Schätzt ein GAM, wobei das Einkommen als abhängige Variable und die Ausbildung sowie Berufserfahrung als geglättete Terme (Spline) verwendet werden.
• summary(gam_model): Gibt eine Zusammenfassung des GAM aus, einschließlich der geschätzten Glättungsparameter und Signifikanzen.
• plot(gam_model): Stellt die geschätzten Funktionen visuell dar, damit Du die nichtlinearen Zusammenhänge zwischen den Variablen und dem Einkommen erkennen kannst.

Zusätzlich zur Implementierung und Visualisierung des GAM solltest Du die Anpassungsgüte (z.B. R² oder deviance) des GAM mit dem einfachen linearen Modell vergleichen. Du kannst dies durch die folgende Schritte erreichen:

# Anpassungsgüte des linearen Modells (R²)r_squared_linear <- summary(linear_model)$r.squaredcat('R² des linearen Modells: ', r_squared_linear, '')# Anpassungsgüte des GAM (deviance erklärt)deviance_explained_gam <- summary(gam_model)$dev.explainedcat('Deviance erklärt durch das GAM: ', deviance_explained_gam, '')

Dieser zusätzliche Code gibt die R² des linearen Modells und die erklärte deviance des GAM aus, damit Du die Modelle vergleichen kannst:

• r_squared_linear <- summary(linear_model)$r.squared: Extrahiert das R² des linearen Modells.
• deviance_explained_gam <- summary(gam_model)$dev.explained: Extrahiert die erklärte deviance des GAM.
• cat('R² des linearen Modells: ', r_squared_linear, ''): Gibt das R² des linearen Modells aus.
• cat('Deviance erklärt durch das GAM: ', deviance_explained_gam, ''): Gibt die erklärte deviance des GAM aus.

Aufgabe 3)

Du hast Daten eines regionalen Arbeitsmarktes mit Informationen über die Arbeitslosigkeit, das Bildungsniveau und andere ökonomische Variablen. Du möchtest die Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau analysieren, wobei Du vermutest, dass die Beziehung nichtlinear ist. Dazu möchtest Du semiparametrische Methoden verwenden, um die Flexibilität nichtparametrischer Modelle mit der Interpretierbarkeit parametrischer Ansätze zu kombinieren. Verwende Softwaretools wie R oder Stata zur Implementierung und Analyse der semiparametrischen Methoden.

a)

(a) Verwende die R-Pakete 'mgcv' oder 'np', um ein Generalized Additive Model (GAM) oder eine semiparametrische Regression zu implementieren. Schätze die Beziehung zwischen der Arbeitslosenquote (abhängige Variable) und dem Bildungsniveau (unabhängige Variable). Stelle sicher, dass Du folgendes ausführst:

• Beschreibe den Theoriehintergrund zur Wahl eines GAM oder einer semiparametrischen Regression für diese Art von Daten.
• Implementiere das Modell in R und stelle den Code sowie die Interpretation der wichtigsten Ergebnisse zur Verfügung.
• Diskutiere die Vorteile der semiparametrischen Methode im Vergleich zu herkömmlichen parametrischen Methoden.

Hier ist ein Beispielcode zur Implementierung eines GAMs in R:

Rlibrary(mgcv)# Annehmen, dass die Daten in einem DataFrame namens 'data' gespeichert sindmodel <- gam(Arbeitslosigkeit ~ s(Bildungsniveau), data = data)summary(model)plot(model)

• Im Code wird ein GAM-Modell geschätzt, wobei 'Arbeitslosigkeit' die abhängige Variable und 'Bildungsniveau' die unabhängige Variable ist, die nichtlinear modelliert wird.

Lösung:

Um die Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau zu analysieren, bietet sich die Verwendung von Generalized Additive Models (GAM) oder semiparametrischen Regressionen an. Diese Methoden kombinieren die Flexibilität nichtparametrischer Modelle mit der Interpretierbarkeit parametrischer Ansätze.

• Theoriehintergrund:Ein GAM ermöglicht die Modellierung komplexer, nichtlinearer Beziehungen zwischen der abhängigen und unabhängigen Variablen, indem es Glättungsfunktionen (Splines) verwendet. Semiparametrische Regressionen hingegen kombinieren parametrische und nichtparametrische Komponenten.

Ein GAM ist besonders geeignet für diese Analyse, da:

• Die Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau möglicherweise nichtlinear ist und mit einem GAM flexibel modelliert werden kann.
• Die Glättungsparameter basierend auf den Daten optimiert werden, was zu einer besseren Anpassung führt.

Hier ist der R-Code zur Implementierung eines GAMs unter Verwendung des 'mgcv'-Pakets:

Rlibrary(mgcv)# Annehmen, dass die Daten in einem DataFrame namens 'data' gespeichert sindmodel <- gam(Arbeitslosigkeit ~ s(Bildungsniveau), data = data)# Zusammenfassung des Modellssummary(model)# Visuelle Darstellung des Modellsplot(model)

Interpretation der Ergebnisse:

• Die Zusammenfassung des Modells liefert Informationen über die Güte der Anpassung und die Signifikanz der Glättungsterms.
• Der Plot zeigt die geschätzte nichtlineare Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau.

Vorteile der semiparametrischen Methode:

• Flexibilität: GAMs können komplexe, nichtlineare Beziehungen besser erfassen als lineare Modelle.
• Interpretierbarkeit: Durch die Kombination parametrischer und nichtparametrischer Komponenten können wichtige Beziehungen und Trends leicht interpretiert werden.
• Datengetrieben: Glättungsparameter werden automatisch optimiert, was zu einer besseren Anpassung führt.

b)

(b) Verwende die Stata-Befehle 'fracpoly' oder 'npregress', um eine semiparametrische Regressionsanalyse durchzuführen. Estimiere das Modell zur Beziehung zwischen Arbeitslosenquote und Bildungsniveau. Führe folgendes aus:

• Erkläre, warum die Wahl einer semiparametrischen Methode sinnvoll ist und welche Annahmen reduziert werden.
• Implementiere das Modell in Stata und liefere den Code sowie eine Interpretation der Hauptresultate.
• Vergiss nicht, die modellierten nichtlinearen Effekte grafisch zu präsentieren und zu diskutieren.

Hier ist ein Beispielcode zur Implementierung einer fractional polynomial Regression in Stata:

Stata* Annehmen, dass die Daten im Data-Set 'employment_data' geladen sindfracpoly regress Arbeitslosigkeit Bildungsniveau, degree(2)* Alternativ kann npregress verwendet werdennpregress kernel Arbeitslosigkeit Bildungsniveau

• Im Code wird eine Fraktionale Polynomialregression bzw. eine kernel-basierte nichtparametrische Regression durchgeführt, wobei 'Arbeitslosigkeit' die abhängige Variable und 'Bildungsniveau' die unabhängige Variable ist.

Lösung:

Um die Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau zu analysieren, bietet sich die Nutzung semiparametrischer Methoden wie 'fracpoly' oder 'npregress' in Stata an. Diese Methoden kombinieren die Flexibilität nichtparametrischer Modelle mit der Verständlichkeit parametrischer Ansätze.

• Warum eine semiparametrische Methode wählen:Semiparametrische Methoden sind sinnvoll, da sie weniger restriktive Annahmen über die Funktionalität zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen machen. Während parametrische Modelle oft lineare oder vorbestimmte nichtlineare Beziehungen voraussetzen, ermöglichen semiparametrische Methoden flexible Anpassungen und können komplexe, nichtlineare Zusammenhänge abbilden. Dies ist besonders wichtig, wenn die genaue Form der Beziehung unbekannt ist.

Hier ist der Stata-Code zur Implementierung einer fraktionalen Polynomialregression und einer kernel-basierten nichtparametrischen Regression:

Stata* Annehmen, dass die Daten im Data-Set 'employment_data' geladen sind* Fraktionale Polynomialregressionfracpoly regress Arbeitslosigkeit Bildungsniveau, degree(2)* Kernel-basierte nichtparametrische Regressionnpregress kernel Arbeitslosigkeit Bildungsniveau

Interpretation der Ergebnisse:

• Verwende den Befehl fracplot, um die Ergebnisse der fraktionalen Polynomialregression zu visualisieren. Dies zeigt, wie gut die nichtlineare Anpassung den Daten entspricht.
• Für npregress kernel, nutze margins und marginsplot für die Visualisierung und Interpretation der Effekte.

Grafische Darstellung und Diskussion der nichtlinearen Effekte:

• Durch fracplot und marginsplot erhältst Du Einblicke in die Form der Beziehung zwischen Arbeitslosigkeit und Bildungsniveau. Insbesondere kannst Du sehen, ob und wie sich die Arbeitslosenquote mit verschiedenen Bildungsniveaus ändert.
• Diskutiere die grafischen Darstellungen im Kontext ökonomischer Theorien und ob die beobachteten Muster erwartet wurden oder neue Hypothesen aufwerfen.

Aufgabe 4)

Betrachte eine ökonometrische Analyse, bei der der Einfluss von Bildung (gemessen in Jahren) auf das Einkommen (gemessen in Euro) untersucht wird. Du hast ein einfaches lineares Regressionsmodell verwendet: Einkommen = β0 + β1 * Bildung + ε. Bei der Schätzung dieses Modells erhältst Du die folgenden Resultate: β0 = 15000, β1 = 2000, t-Statistik für β1 = 5, p-Wert für β1 = 0.0001, R² = 0.4, angepasstes R² = 0.38. Im Folgenden wirst Du gebeten, verschiedene Aspekte dieser Analyse zu interpretieren und zu bewerten.

a)

Beurteile die Signifikanz der Schätzung von β1.

• Berechne den kritischen Wert für die t-Statistik bei einem Signifikanzniveau von 5% unter der Annahme einer Normalverteilung (Verwendung der t-Tabelle ist möglich).
• Vergleiche diesen Wert mit der gegebenen t-Statistik von 5 und interpretiere, ob die Schätzung von β1 signifikant ist.
• Welche Aussage trifft der p-Wert über die Signifikanz aus?

Lösung:

Beurteilung der Signifikanz der Schätzung von β1:

• Kritischer Wert für die t-Statistik: Bei einem Signifikanzniveau von 5% (0.05) und unter der Annahme einer Normalverteilung können wir die t-Tabelle nutzen, um den kritischen Wert zu finden. Typischerweise ist der kritische Wert für eine zweiseitige Test mit einem Signifikanzniveau von 5% ungefähr 1.96 für eine große Stichprobe (da die t-Verteilung sich der Normalverteilung annähert). Für eine genauere Bestimmung könnte man die t-Tabelle für kleinere Stichproben verwenden, da uns jedoch keine Stichprobengröße gegeben ist, nehmen wir den kritischen Wert von 1.96 an.
• Vergleich der gegebenen t-Statistik von 5: Die gegebene t-Statistik für β1 beträgt 5. Dieser Wert ist deutlich größer als der kritische Wert von 1.96. Da 5 > 1.96, können wir schlussfolgern, dass die Schätzung von β1 signifikant ist.
• Bedeutung des p-Werts: Der p-Wert für β1 beträgt 0.0001, was weit unter dem Signifikanzniveau von 0.05 liegt. Ein kleiner p-Wert (in diesem Fall 0.0001) zeigt an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der beobachtete Effekt durch Zufall entstanden ist, sehr gering ist. Daher können wir die Nullhypothese, dass β1 = 0, ablehnen. Dies bekräftigt die Signifikanz der Schätzung. Demnach ist die Schätzung von β1 statistisch signifikant, und es gibt starke Hinweise darauf, dass Bildung einen Einfluss auf das Einkommen hat.

b)

Beurteile die Stärke und Richtung der Beziehung zwischen Bildung und Einkommen.

• Wie interpretierst Du das Vorzeichen und den Betrag von β1?
• Was bedeutet eine Steigung von 2000 im Kontext der ökonomischen Interpretation?

Lösung:

Beurteilung der Stärke und Richtung der Beziehung zwischen Bildung und Einkommen:

• Interpretation des Vorzeichens und Betrags von β1: Das Vorzeichen von β1 ist positiv (+2000), was darauf hinweist, dass es eine positive Beziehung zwischen Bildung und Einkommen gibt. Dies bedeutet, dass mit jedem zusätzlichen Jahr an Bildung das Einkommen tendenziell steigt. Der Betrag von β1 beträgt 2000, was quantifiziert, wie sich das Einkommen ändert, wenn die Bildung um ein Jahr zunimmt.
• Ökonomische Interpretation der Steigung von 2000: Eine Steigung von 2000 bedeutet, dass jedes zusätzliche Jahr an Bildung das jährliche Einkommen im Durchschnitt um 2000 Euro erhöht. Diese Interpretation impliziert, dass Investitionen in Bildung aus ökonomischer Sicht vorteilhaft sind, da sie zu einem höheren Einkommen führen. Dies ergibt sich aus der linearen Regression, die angibt, dass Bildung eine direkte und positive Auswirkung auf das Einkommen hat.

c)

Bewerte die Güte des Modells mithilfe von R² und angepasstem R².

• Wie würdest Du die erklärungsfähige Varianz von 40% durch dieses Modell kommentieren? Ist dies gut oder schlecht und warum?
• Wie unterscheidet sich das Anpassungsmaß R² vom angepassten R², und was signalisiert Dir dieser Unterschied in Bezug auf das Modell?

Lösung:

Bewertung der Güte des Modells mithilfe von R² und angepasstem R²:

• Erklärungsfähige Varianz von 40% kommentieren: Ein R²-Wert von 0.4 bedeutet, dass 40% der Varianz des Einkommens durch das Modell (Bildung) erklärt werden. Ob dies als gut oder schlecht angesehen wird, hängt vom Kontext und den spezifischen Anforderungen der Analyse ab. In Bereichen wie der Sozialwissenschaft ist ein R² von 40% oft als solide angesehen, da es zeigt, dass ein erheblicher, aber nicht vollständiger Teil der Varianz erklärt wird. Allerdings zeigt es auch, dass 60% der Varianz durch andere Faktoren erklärt werden, die im Modell fehlen.
• Unterschied zwischen R² und angepasstem R²: Das einfache R² gibt den Anteil der Varianz an, der durch das Modell erklärt wird, und neigt dazu, mit zusätzlicher Anzahl von Variablen zu steigen, selbst wenn diese Variablen das Modell nicht sinnvoll verbessern. Das angepasste R² korrigiert dieses Problem, indem es die Anzahl der Prädiktoren (Unabhängigen Variablen) berücksichtigt und dementsprechend den Wert anpasst. In Deinem Modell beträgt das angepasste R² 0.38, was geringfügig niedriger ist als das R² von 0.4. Dies signalisiert, dass das Modell wenig, aber signifikant durch den Einsatz der einbezogenen Variablen erklärt wird und keine zusätzlichen Variablen unnötigerweise enthalten sind.

d)

Interpretation der Koeffizienten und Robustheit der Ergebnisse.

• Was sagt Dir der Vektor β bezüglich der Elastizität zwischen den Variablen Bildung und Einkommen? Berechne explizit die Elastizität.
• Erkläre den Unterschied zwischen marginalen Effekten und Elastizitäten im Rahmen dieser Analyse.
• Nenne mögliche externe Einflüsse oder Verzerrungen, die die Robustheit der Schätzungen beeinträchtigen könnten.

Lösung:

Interpretation der Koeffizienten und Robustheit der Ergebnisse:

• Elastizität zwischen den Variablen Bildung und Einkommen: Der Vektor β enthält den Koeffizienten \(\beta_1 = 2000\), der den marginalen Effekt von Bildung auf das Einkommen repräsentiert. Die Elastizität misst die prozentuale Änderung der abhängigen Variablen (Einkommen) in Reaktion auf eine prozentuale Änderung der unabhängigen Variablen (Bildung). Sie wird berechnet durch:

   \(\text{Elastizität} = \frac{\beta_1 \cdot Bildung}{Einkommen}\) 

  Bei der Berechnung verwenden wir die geschätzten Durchschnittswerte für Bildung und Einkommen. Nehmen wir an, dass der Durchschnitt der Bildung 10 Jahre und das Durchschnittseinkommen 35000 Euro betrugen:

   \(\text{Elastizität} = \frac{2000 \cdot 10}{35000} = \frac{20000}{35000} \approx 0.5714\) 

  Dies bedeutet, dass eine Erhöhung der Bildung um 1% das Einkommen um ungefähr 0.57% erhöhen würde.
• Unterschied zwischen marginalen Effekten und Elastizitäten: Marginale Effekte (wie β1) messen die absolute Änderung der abhängigen Variablen (Einkommen) in Reaktion auf eine Einheit Änderung der unabhängigen Variablen (Bildung). In Deinem Modell bedeutet β1 = 2000, dass ein zusätzliches Jahr Bildung das Einkommen um 2000 Euro erhöht. Elastizitäten hingegen messen die relative prozentuale Änderung der abhängigen Variablen in Reaktion auf eine prozentuale Änderung der unabhängigen Variablen, was oft hilfreich ist, wenn die Variablen unterschiedliche Einheiten haben oder wenn proportionaler Einfluss untersucht wird.
• Mögliche externe Einflüsse oder Verzerrungen:
  • Omitted Variable Bias: Es könnten wichtige Variablen fehlen, die sowohl Bildung als auch Einkommen beeinflussen (z. B. Berufserfahrung, regionale Unterschiede, sozioökonomischer Hintergrund).
  • Messfehler: Ungenauigkeiten in der Messung von Bildung oder Einkommen könnten zu verzerrten Schätzungen führen.
  • Endogenität: Wenn Bildung und Einkommen durch eine dritte Variable (z.B. Intelligenz oder Arbeitsmotivation) beeinflusst werden, die nicht im Modell enthalten ist, könnte dies zu verzerrten Ergebnissen führen.
  • Selektionseffekte: Wenn nur bestimmte Gruppen (z. B. gut qualifizierte Arbeitskräfte) in der Stichprobe vertreten sind, könnte dies die Ergebnisse verzerren.