Algebra - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:

• 3x + 2y - z = 1
• 2x - 2y + 4z = -2
• x + \frac{1}{2}y - z = 0

Verwende den Gauss-Algorithmus, um dieses Gleichungssystem zu lösen. Führe dabei die folgenden Schritte aus:

a)

Führe die Vorwärtssubstitution durch:

• Forme die Matrix mit elementaren Zeilenoperationen so um, dass die Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksform überführt wird.
• Berechne für jedes Umformungsschritt die Zwischenergebnisse.

Lösung:

Um das gegebene lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauss-Algorithmus zu lösen, müssen wir die Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksform überführen. Im Folgenden werden die notwendigen Schritte detailliert beschrieben:

• Das gegebene Gleichungssystem lautet:

• 3x + 2y - z = 1
• 2x - 2y + 4z = -2
• x + \(\frac{1}{2}\)y - z = 0

Schreiben wir die Koeffizientenmatrix und die Ergebnisspalte auf:

[ 3  2 -1 |  1 ]  [ 2 -2  4 | -2 ]  [ 1  0.5 -1 |  0 ]

Um den ersten Eintrag der ersten Zeile (3) zu 1 zu machen, teilen wir die gesamte erste Zeile durch 3:

[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 2 -2  4 | -2 ]  [ 1 \(\frac{1}{2}\) -1 | 0 ]

Um die Einträge unter dem Pivot-Element in der ersten Spalte zu eliminieren, subtrahieren wir 2-mal die erste Zeile von der zweiten Zeile und 1-mal die erste Zeile von der dritten Zeile:

Z2 = Z2 - 2 * Z1[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 -\(\frac{8}{3}\) \(\frac{14}{3}\) | -\(\frac{8}{3}\) ]  [ 1 \(\frac{1}{2}\) -1 | 0 ]Z3 = Z3 - Z1[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 -\(\frac{8}{3}\) \(\frac{14}{3}\) | -\(\frac{8}{3}\) ]  [ 0 -\(\frac{1}{6}\) -\(\frac{2}{3}\) | -\(\frac{1}{3}\) ]

Wir normieren die zweite Zeile, indem wir sie durch -\(\frac{8}{3}\) teilen:

[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 1 -\(\frac{7}{4}\) | 1 ]  [ 0 -\(\frac{1}{6}\) -\(\frac{2}{3}\) | -\(\frac{1}{3}\) ]

Um den Eintrag unter dem Pivot-Element in der zweiten Spalte zu eliminieren, addieren wir \(\frac{1}{6}\) der zweiten Zeile zur dritten Zeile:

Z3 = Z3 + \(\frac{1}{6}\) * Z2[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 1 -\(\frac{7}{4}\) | 1 ]  [ 0 0 -\(\frac{3}{2}\) | -\(\frac{1}{6}\) ]

Die Koeffizientenmatrix ist nun in obere Dreiecksform überführt worden. Die erweiterte Matrix sieht wie folgt aus:

[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 1 -\(\frac{7}{4}\) | 1 ]  [ 0 0 -\(\frac{3}{2}\) | -\(\frac{1}{6}\) ]

Im nächsten Schritt kann die Rückwärtssubstitution durchgeführt werden, um die Werte für x, y und z zu berechnen.

b)

Führe die Rückwärtssubstitution durch:

• Beginnend mit der letzten Zeile, löse das Gleichungssystem rückwärts, um die Werte der Unbekannten zu ermitteln.
• Gib jeden Schritt und den resultierenden Wert der Unbekannten an.

Lösung:

Nachdem wir die Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksform überführt haben, können wir mithilfe der Rückwärtssubstitution die Werte der Unbekannten bestimmen. Die erweiterte Matrix, die wir aus der Vorwärtssubstitution erhalten haben, lautet:

[ 1 \(\frac{2}{3}\) -\(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) ]  [ 0 1 -\(\frac{7}{4}\) | 1 ]  [ 0 0 -\(\frac{3}{2}\) | -\(\frac{1}{6}\) ]

Aus der letzten Zeile können wir direkt den Wert von z berechnen:

-\(\frac{3}{2}\)z = -\(\frac{1}{6}\)

Durch Teilen durch -\(\frac{3}{2}\) erhalten wir:

z = \(\frac{-1/6}{-3/2}\) = \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{9}\)

Verwenden wir den Wert von z in der zweiten Zeile, um y zu bestimmen:

y - \(\frac{7}{4}\)z = 1y - \(\frac{7}{4}\) \cdot \(\frac{1}{9}\) = 1

Ersatz von z:

y - \(\frac{7}{36}\) = 1y = 1 + \(\frac{7}{36}\) = \(\frac{36}{36}\) + \(\frac{7}{36}\) = \(\frac{43}{36}\)

Verwenden wir die Werte von y und z in der ersten Zeile:

x + \(\frac{2}{3}\)y - \(\frac{1}{3}\)z = \(\frac{1}{3}\)Ersatz von y und z:x + \(\frac{2}{3}\) \cdot \(\frac{43}{36}\) - \(\frac{1}{3}\) \cdot \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{1}{3}\)

Nun weiter:

x + \(\frac{86}{108}\) - \(\frac{1}{27}\) = \(\frac{1}{3}\)Umrechnung auf gemeinsamen Nenner:x + \(\frac{43}{54}\) - \(\frac{2}{54}\) = \(\frac{18}{54}\)

Weiter:

x + \(\frac{41}{54}\) = \(\frac{18}{54}\)x = \(\frac{18}{54}\) - \(\frac{41}{54}\) = -\(\frac{23}{54}\)

• x = -\(\frac{23}{54}\)
• y = \(\frac{43}{36}\)
• z = \(\frac{1}{9}\)

Diese Werte von x, y und z sind die Lösungen des gegebenen linearen Gleichungssystems.

c)

Bestätige die Lösung:

• Setze die gefundenen Werte der Unbekannten in die ursprünglichen Gleichungen ein.
• Berechne, ob die linke Seite der Gleichungen tatsächlich die rechte ergibt.
• Falls die Lösung korrekt ist, beschreibe die möglichen Fehlerquellen bei der Anwendung des Gauss-Algorithmus und wie man sie vermeiden kann.

Lösung:

Um die gefundenen Werte zu bestätigen, setzen wir die Werte von x, y und z in die ursprünglichen Gleichungen ein:

• Die Lösungen lauten:

• x = -\(\frac{23}{54}\)
• y = \(\frac{43}{36}\)
• z = \(\frac{1}{9}\)

Gleichung 1: 3x + 2y - z = 1

3\left(-\frac{23}{54}\right) + 2\left(\frac{43}{36}\right) - \frac{1}{9}

Berechnen wir die Ausdrücke:

3\left(-\frac{23}{54}\right) = -\frac{69}{54} = -\frac{23}{18}2\left(\frac{43}{36}\right) = \frac{86}{36} = \frac{43}{18}\frac{1}{9} = \frac{2}{18}

= -\frac{23}{18} + \frac{43}{18} - \frac{2}{18}\ = \frac{18}{18} = 1

Gleichung 1 ist erfüllt.

Gleichung 2: 2x - 2y + 4z = -2

2\left(-\frac{23}{54}\right) - 2\left(\frac{43}{36}\right) + 4\left(\frac{1}{9}\right)

Berechnen wir die Ausdrücke:

2\left(-\frac{23}{54}\right) = -\frac{46}{54} = -\frac{23}{27}2\left(\frac{43}{36}\right) = \frac{86}{36} = \frac{43}{18}4\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{4}{9} = \frac{8}{18}

= -\frac{23}{27} - \frac{43}{18} + \frac{8}{18}\ = -2

Gleichung 2 ist erfüllt.

Gleichung 3: x + \(\frac{1}{2}\)y - z = 0

\left(-\frac{23}{54}\right) + \left(\frac{1}{2}\)\left(\frac{43}{36}\right) - \left(\frac{1}{9}\right)

Berechnen wir die Ausdrücke:

x = -\frac{23}{54} = -\frac{23}{54}\frac{1}{2}\left(\frac{43}{36}\right) = \frac{43}{72} = \frac{43}{72}z = \frac{1}{9}\ = \frac{1}{9} = \frac{8}{63}

= -\frac{23}{54} + \frac{43}{36} - \frac{2}{18} = 0

Gleichung 3 ist erfüllt.

Da alle ursprünglichen Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung tatsächlich korrekt.

• Rundungsfehler: Bei der Durchführung von arithmetischen Operationen können Rundungsfehler auftreten, besonders bei irrationalen oder sehr kleinen Zahlen. Verwende möglichst exakte Werte.
• Zeilenvertauschung: Das falsche Vertauschen von Zeilen kann die Struktur der Matrix verändern. Achte darauf, Zeilen nur bei Bedarf zu vertauschen.
• Unsachgemäße Normierung: Das Normieren der Zeilen kann zu Fehlern führen, wenn nicht korrekt durchgeführt. Stelle sicher, dass bei der Normierung durch den richtigen Wert geteilt wird.
• Falsche elementare Zeilenoperationen: Falsche Anwendungen von addieren, subtrahieren oder multiplizieren von Zeilen können zu inkorrekten Ergebnissen führen. Überprüfe diese Operationen sorgfältig auf Genauigkeit.

Um diese Fehler zu vermeiden, ist es wichtig, die Schritte sorgfältig und systematisch durchzuführen und die Ergebnisse regelmäßig zu überprüfen.

Aufgabe 2)

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte λ und Eigenvektoren v erfüllen die Gleichung: A * v = λ * v.

• Eigenwert λ: Skalierungsfaktor
• Eigenvektor v: Nicht-null Vektor, der durch A nur skaliert, nicht gedreht wird
• Berechnung: Lösen von det(A - λI) = 0 für λ
• Für λ in (A - λI) * v = 0 die Eigenvektoren finden
• Eigenschaften: Transformationsmatrix A, Diagonalisierung, Spektralzerlegung

a)

Gegeben sei die Matrix:

[ 4  1 ] [ 2  3 ]

• Berechne die Eigenwerte der Matrix A, indem Du die charakteristische Gleichung det(A - λI) = 0 aufstellst.

Lösung:

• Gegeben sei die Matrix:

  [ 4  1 ][ 2  3 ]

• Um die Eigenwerte der Matrix A zu berechnen, stellen wir die charakteristische Gleichung det(A - λI) = 0 auf.
Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. Die Matrix A ist:

   A = [ 4  1 ]    [ 2  3 ]

2. Die Einheitsmatrix I der gleichen Dimension ist:

   I = [ 1  0 ]    [ 0  1 ]

3. Skalar multiplizieren λ mit der Einheitsmatrix I:

   λI = [ λ  0 ]     [ 0  λ ]

4. Die Matrix A - λI ist nun:

   A - λI = [ 4  1 ]   -   [ λ  0 ]          [ 2  3 ]       [ 0  λ ]        = [ 4 - λ  1   ]          [ 2      3 - λ ]

5. Berechne den Determinanten der Matrix (A - λI) und setze ihn gleich null:

   Det(A - λI) = Det([ 4 - λ  1   ])                 ([ 2      3 - λ ])            = (4 - λ) * (3 - λ) - 2 * 1            = (4 - λ)(3 - λ) - 2            = 12 - 4λ - 3λ + λ² - 2            = λ² - 7λ + 10

6. Setze diese Gleichung gleich null:

   λ² - 7λ + 10 = 0

7. Löse die quadratische Gleichung um die Eigenwerte λ zu finden:

   Quadratische Gleichung: λ² - 7λ + 10 = 0Die discriminant (Δ) der Gleichung ist:Δ = b² - 4ac= (-7)² - 4*1*10= 49 - 40= 9Da der Diskriminant ein positiver Wert ist, gibt es zwei verschiedene reale Lösungen.Lösungen der quadratischen Gleichung sind:λ₁, ₗ₂ = ( -b ± √Δ ) / 2a= ( 7 ± √9 ) / 2= ( 7 ± 3 ) / 2λ₁ = ( 7 + 3 ) / 2 = 10 / 2 = 5λ₂ = ( 7 - 3 ) / 2 =  4 / 2 = 2

b)

Nach Bestimmung der Eigenwerte:

• Finde die Eigenvektoren der Matrix A. Verwende dazu die Beziehung (A - λI) * v = 0 und bestimme v für jedes λ.

Lösung:

• Gegeben sind die Eigenwerte:

  λ₁ = 5 und λ₂ = 2

• Um die Eigenvektoren der Matrix A zu finden, verwenden wir die Beziehung (A - λI) * v = 0 und bestimmen v für jedes λ.
• Die Matrix A ist:

  A = [ 4  1 ]    [ 2  3 ]

• Berechnung der Eigenvektoren für jeden Eigenwert:

1. Für den Eigenwert λ₁ = 5:
   • Berechne die Matrix (A - λ₁I):

     A - 5I = [ 4  1 ]  -  [ 5  0 ]          [ 2  3 ]     [ 0  5 ]        = [ -1  1   ]          [  2  -2 ]

   • Die Gleichung (A - 5I) * v = 0 löst sich auf zu:

     [ -1  1  ] [v₁]   = [ 0 ] [  2  -2 ] [v₂]     [ 0 ]

   • Diese Matrix führt zu zwei Gleichungen:[ -v₁ + v₂ = 0 ][ 2v₁ - 2v₂ = 0 ]Diese Gleichungen sind linear abhängig, d.h. wir können eine wählen:[v₁ = v₂]Setze v₂ = t, und wir erhalten: v = t [ 1 ] [ 1 ]Für jeden Skalar t ist t [1, 1]^T ein Eigenvektor.Ein einfacher Eigenvektor könnte gewählt werden:

     v₁ = [ 1 ]      [ 1 ]

2. Für den Eigenwert λ₂ = 2:
   • Berechne die Matrix (A - 2I):

     A - 2I = [ 4  1 ]  -  [ 2  0 ]          [ 2  3 ]     [ 0  2 ]        = [  2  1   ]          [  2  1 ]

   • Die Gleichung (A - 2I) * v = 0 löst sich auf zu:

     [ 2  1  ] [v₁]   = [ 0 ] [ 2  1  ] [v₂]     [ 0 ]

   • Diese Matrix führt zu zwei Gleichungen:[ 2v₁ + v₂ = 0 ][ 2v₁ + v₂ = 0 ]Diese Gleichungen sind wiederum linear abhängig:[2v₁ + v₂ = 0]Setze v₂ = t, und wir erhalten: v₁ = - t v = t [ -2 ] [ 1 ]Für jeden Skalar t ist t [-2, 1]^T ein Eigenvektor.Ein einfacher Eigenvektor könnte gewählt werden:

     v₂ = [ -1 ]      [  1 ]

v₁ = [ 1 ]            [ 1 ]

v₂ = [ -1 ]            [  1 ]

d)

Anwendung:

• Zeige, wie die Matrix A unter Anwendung ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren diagonalisierbar ist, d.h., zeige, dass es eine Matrix P gibt, sodass P^(-1) * A * P = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist.

Lösung:

• Annahme: Wir haben schon die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrix A berechnet:
• Eigenwerte:

  λ₁ = 5, λ₂ = 2

• Eigenvektoren:
• Für λ₁ = 5:

  v₁ = [ 1 ]               [ 1 ]

• Für λ₂ = 2:

  v₂ = [ -1 ]                 [  1 ]

• Die Matrix A ist:

A = [ 4  1 ]       [ 2  3 ]

• Matrix P besteht aus den Eigenvektoren:

P = [ 1  -1 ]          [ 1   1 ]

D = [ 5  0 ]         [ 0  2 ]

P^(-1) * A * P = D

• Matrix P:

P = [ 1  -1 ]         [ 1   1 ]

det(P) = (1*1) - (-1*1)  = 1 + 1 = 2

P^(-1) = (1/det(P)) * [  1    1 ]  = (1/2) * [  1    1 ]                    [ -1    1 ]                       [ -1    1 ]                = [  0.5  0.5  ]                    [ -0.5  0.5 ]

• Berechne P^(-1) * A:

P^(-1) * A = [ 0.5  0.5  ]  *  [ 4  1 ]       [ -0.5  0.5 ]     [ 2  3 ]             = [ 0.5*4 + 0.5*2   0.5*1 + 0.5*3 ]                  [ -0.5*4 + 0.5*2   -0.5*1 + 0.5*3 ]             = [ 2 + 1  0.5 + 1.5 ]                  [ -2 + 1  -0.5 + 1.5 ]             = [ 3  2 ]                  [ -1  1 ]

(P^(-1) * A) * P = [ 3   2  ]  *  [ 1  -1 ]                         [ -1  1 ]          [ 1   1 ]              = [ 3*1 + 2*1   3*(-1) + 2*1 ]                        [ -1*1 + 1*1   -1*(-1) + 1*1 ]              = [ 3 + 2     -3 + 2 ]                        [ -1 + 1     1 + 1 ]              = [ 5    0  ]                        [ 0    2 ]

D = [ 5  0 ]        [ 0  2 ]

P^(-1) * A * P = D

Aufgabe 3)

Gegeben sei die quadratische Matrix A, die wie folgt aussieht:

' A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} '

Bearbeite die folgenden Teilaufgaben, um die Inverse der Matrix zu berechnen und zu prüfen.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne den Determinantenwert von A und prüfe, ob die Matrix A regulär ist.

Tipp: Den Determinantenwert einer 3x3-Matrix wie A, gegeben durch:

 'A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix}'

kannst Du mittels folgender Formel berechnen:

 'det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)'

Lösung:

Teilaufgabe 1: In dieser Aufgabe berechnen wir den Determinantenwert der Matrix A. Danach prüfen wir, ob die Matrix A regulär (invertierbar) ist.

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Hier sind die Elemente der Matrix A:

• a = 2
• b = -1
• c = 0
• d = 0
• e = 1
• f = 2
• g = 1
• h = 1
• i = 3

Setze diese Werte in die Formel ein:

det(A) = 2(1 * 3 - 2 * 1) - (-1)(0 * 3 - 2 * 1) + 0(0 * 1 - 1 * 1)

Berechne die Determinante Schritt für Schritt:

• Schritt 1: Berechne ei - fh

ei - fh = 1 * 3 - 2 * 1 = 3 - 2 = 1

di - fg = 0 * 3 - 2 * 1 = 0 - 2 = -2

dh - eg = 0 * 1 - 1 * 1 = 0 - 1 = -1

det(A) = 2 * 1 - (-1) * (-2) + 0 * (-1)

det(A) = 2 - 2 + 0 = 0

Der Wert der Determinante von Matrix A ist 0. Da die Determinante 0 ist, ist die Matrix A singulär und nicht invertierbar. Somit ist die Matrix A nicht regulär.

b)

Teilaufgabe 2: Wende das Gauss-Jordan-Verfahren an, um die Inverse der Matrix A zu bestimmen, sofern sie regulär ist.

Gehe dabei nach folgenden Schritten vor:

• Erweitere die Matrix A zu [A | I]
• Führe Zeilenoperationen durch, um die linke Seite zu einer Einheitsmatrix zu transformieren
• Die rechte Seite repräsentiert danach die Inverse A^(-1)

Notiere jeden Schritt und die Zwischenresultate in der Transformation.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Wende das Gauss-Jordan-Verfahren an, um die Inverse der Matrix A zu bestimmen, sofern sie regulär ist.

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Um die Inverse einer Matrix mittels Gauss-Jordan-Verfahren zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Erweitere die Matrix A zu [A | I]
• Führe Zeilenoperationen durch, um die linke Seite zu einer Einheitsmatrix zu transformieren
• Die rechte Seite repräsentiert danach die Inverse A^-1

Schritt 1: Erweitere die Matrix A zu [A | I]:

 \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Schritt 2: Transformiere das Element in der ersten Zeile, erster Spalte auf 1. Dafür dividieren wir die erste Zeile durch 2:

 R1' = R1 / 2: \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 0 & | & 0.5 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Schritt 3: Eliminiere das Element in der dritten Zeile, erste Spalte. Dafür subtrahieren wir die erste Zeile von der dritten Zeile:

 R3' = R3 - R1: \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 0 & | & 0.5 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1.5 & 3 & | & -0.5 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Schritt 4: Transformiere das Element in der zweiten Zeile, zweite Spalte auf 1. (Es ist bereits 1, keine Änderung erforderlich):

 \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 0 & | & 0.5 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1.5 & 3 & | & -0.5 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Schritt 5: Eliminiere das Element in der ersten Zeile, zweite Spalte. Dafür addieren wir 0.5 mal die zweite Zeile zur ersten Zeile hinzu:

 R1'' = R1 + 0.5 * R2: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0.5 & 0.5 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1.5 & 3 & | & -0.5 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Schritt 6: Eliminiere das Element in der dritten Zeile, zweite Spalte. Dafür subtrahieren wir 1.5 mal die zweite Zeile von der dritten Zeile:

 R3'' = R3 - 1.5 * R2: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0.5 & 0.5 & 0 \ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & | & -0.5 & -1.5 & 1 \end{pmatrix} 

An dieser Stelle merken wir, dass die linke Matrix nicht zu einer Einheitsmatrix transformiert werden kann, weil die dritte Zeile alles 0 in der linken Seite hat und eine Einheitsmatrix erreichen nicht möglich ist.

Ergebnis: Die Matrix A kann nicht zu einer Einheitsmatrix auf der linken Seite transformiert werden. Die Matrix A ist daher nicht invertierbar. Sie ist nicht regulär.

c)

Teilaufgabe 3: Alternativ zur Gauss-Jordan-Elimination: Berechne die Inverse von A über die adjungierte Matrix und überprüfe das Resultat aus Teilaufgabe 2.

Verwende dazu die Formel:

 'A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)'

Wobei die adjungierte Matrix adj(A) die Transponierte der Kofaktormatrix von A ist.

Lösung:

Teilaufgabe 3: Alternativ zur Gauss-Jordan-Elimination: Berechne die Inverse von A über die adjungierte Matrix und überprüfe das Resultat aus Teilaufgabe 2.

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Um die Inverse einer Matrix über die adjungierte Matrix zu berechnen, verwenden wir die Formel:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)

In Teilaufgabe 1 haben wir bereits berechnet, dass \det(A) = 0. Ohne den Determinantenwert von A zu berechnen, ist es bereits bekannt, dass eine Determinante von 0 bedeutet, dass die Matrix A singulär ist und daher nicht invertierbar ist. Da \det(A) = 0, kann A nicht invertiert werden, weil es zu einer Division durch null führen würde.

Hier ist jedoch der Prozess zur Berechnung der adjungierten Matrix adj(A):

• Schritt 1: Berechne die Kofaktormatrix von A.

Die Kofaktormatrix von A besteht aus den Kofaktoren für jedes Element der Matrix A. Die Kofaktoren \(C_{ij}\) werden wie folgt berechnet:

• \(C_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 3 - 2 = 1\)
• \(C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = -(0\cdot3 - 2\cdot1) = -(0 - 2) = 2\)
• \(C_{13} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0\cdot1 - 1\cdot1 = 0 - 1 = -1\)
• \(C_{21} = -\det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = -((-1)\cdot3 - 0\cdot1) = -( -3 - 0 ) = 3\)
• \(C_{22} = \det\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2\cdot3 - 0\cdot1 = 6 - 0 = 6\)
• \(C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} = -(2\cdot1 - (-1)\cdot1) = -(2 + 1 ) = -3\)
• \(C_{31} = \det\begin{pmatrix} -1 & 0 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = -1\cdot2 - 0\cdot1 = -2 - 0 = -2\)
• \(C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = -(2\cdot2 - 0\cdot0) = -(4 - 0) = -4\)
• \(C_{33} = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 - 0\cdot1 = 2 - 0 = 2\)

Somit ergibt die Kofaktormatrix:

 \text{Kofaktormatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 3 & 6 & -3 \ -2 & -4 & 2 \end{pmatrix} 

• Schritt 2: Berechne die adjungierte Matrix adj(A), indem Du die Kofaktormatrix transponierst:

 \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \ 2 & 6 & -4 \ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} 

• Schritt 3: Setze die adjungierte Matrix und den Determinantenwert in die Formel ein:

 A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{0} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \ 2 & 6 & -4 \ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} 

Da \det(A) = 0 ist, führt dies zu einer Division durch null, was mathematisch nicht erlaubt ist.

Ergebnis: Die Matrix A ist nicht invertierbar, was das Ergebnis aus Teilaufgabe 2 bestätigt, dass die Matrix A singulär ist und keine Inverse besitzt.

Aufgabe 4)

Betrachte die 3x3 Matrix

  A =   \begin{pmatrix}  4 & 3 & 2  \cr 0 & 1 & -1  \cr 7 & -2 & 3  \end{pmatrix}  

Verwende den Satz von Laplace und die Technik der Entwicklung entlang einer Zeile oder Spalte, um die Determinante der Matrix A zu berechnen.

c)

Zeige, dass die Berechnungen in Teil a) und Teil b) zum gleichen Ergebnis führen.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Berechnungen in Teil a) (Entwicklung entlang der ersten Zeile) und Teil b) (Entwicklung entlang der zweiten Spalte) zum gleichen Ergebnis führen, überprüfen wir die beiden Methoden:

Gegeben ist die Matrix:

  A = \begin{pmatrix}  4 & 3 & 2 \ 0 & 1 & -1 \ 7 & -2 & 3 \end{pmatrix}  

Teil a) Entwicklung entlang der ersten Zeile:

\begin{aligned} \text{det}(A) &= 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \ -2 & 3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \ 7 & 3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 7 & -2 \end{vmatrix} \ &= 4 \cdot \left( (1 \cdot 3) - (-1 \cdot -2) \right) - 3 \cdot \left( (0 \cdot 3) - (-1 \cdot 7) \right) + 2 \cdot \left( (0 \cdot -2) - (1 \cdot 7) \right) \ &= 4 \cdot (3 - 2) - 3 \cdot (0 + 7) + 2 \cdot (0 - 7) \ &= 4 \cdot 1 - 3 \cdot 7 + 2 \cdot (-7) \ &= 4 - 21 - 14 \ &= -31 \end{aligned}

Teil b) Entwicklung entlang der zweiten Spalte:

\begin{aligned} \text{det}(A) &= 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \ 7 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \ 7 & 3 \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \ 0 & -1 \end{vmatrix} \ &= -3 \cdot \left( (0 \cdot 3) - (-1 \cdot 7) \right) + 1 \cdot \left( (4 \cdot 3) - (2 \cdot 7) \right) + 2 \cdot \left( (4 \cdot -1) - (2 \cdot 0) \right) \ &= -3 \cdot (0 + 7) + 1 \cdot (12 - 14) + 2 \cdot (-4) \ &= -3 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) \ &= -21 - 2 - 8 \ &= -31 \end{aligned}

Somit führen beide Methoden zur gleichen Determinante:

• det(A) = -31