Dynamical Systems and Control - Cheatsheet

Grundlagen kontinuierlicher und diskreter dynamischer Systeme

Definition:

Kontinuierliche und diskrete dynamische Systeme beschreiben zeitabhängige Veränderungen in Systemen, wobei kontinuierliche Systeme über Differentialgleichungen und diskrete Systeme über Differenzengleichungen modelliert werden.

Details:

• Kontinuierliche Systeme: Zustandsänderungen werden durch Differentialgleichungen beschrieben.
• Diskrete Systeme: Zustandsänderungen werden durch Differenzengleichungen beschrieben.
• Zustandsraum: \(\textbf{x}(t)\) für kontinuierliche, \(\textbf{x}[k]\) für diskrete Systeme.
• Kontinuierlich: \[ \frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = f(\textbf{x}(t), t) \]
• Diskret: \[ \textbf{x}[k+1] = g(\textbf{x}[k], k) \]
• Stabilität, Eigenwerte und Eigenvektoren zur Analyse nutzen.

Stabilitätstheorie: Lyapunov-Methoden und -Funktionen

Definition:

Analyse der Stabilität dynamischer Systeme mithilfe von Lyapunov-Funktionen, ermöglicht Aussagen über das Verhalten eines Systems ohne explizite Lösung der Differentialgleichungen.

Details:

• Lyapunov-Funktion: skalare Funktion, die die Stabilität eines Gleichgewichtspunkts untersucht
• Eine Funktion V(x) muss folgende Eigenschaften haben: V(x) > 0 für x ≠ 0, V(0) = 0
• Ableitung \( \dot{V}(x) \): \( \dot{V}(x) < 0\) für asymptotische Stabilität, \( \dot{V}(x) \leq 0\) für Stabilität
• Direkte Methode von Lyapunov: Bestimmung der Stabilität ohne Systemsintegration
• Stabilität: Zustände bleiben in der Nähe des Gleichgewichtspunkts
• Asymptotische Stabilität: Zustände konvergieren zum Gleichgewichtspunkt
• Lokal vs. Global: Lokale Stabilität in einer Umgebung des Gleichgewichtspunkts, globale Stabilität für das gesamte Zustandsraum

Proportional-Integral-Derivative (PID)-Regelung

Definition:

PID-Regelung kombiniert proportionale, integrale und differentielle Anteile zur Steuerung dynamischer Systeme.

Details:

• Kontinuierliche Regelung: Summe aus drei Termen.
• Proportionalanteil (P-Regler): \[ u(t) = K_p e(t) \]
• Integralanteil (I-Regler): \[ u(t) = K_i \int e(t) dt \]
• Differentialanteil (D-Regler): \[ u(t) = K_d \frac{de(t)}{dt} \]
• Gesamtregelung: \[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt} \]

Phasenporträts und Trajektorien in nichtlinearen Systemen

Definition:

Phasenporträts visualisieren das Verhalten dynamischer Systeme, indem sie Zustände im Phasenraum (oft Position-Geschwindigkeit) darstellen.

Details:

• Trajektorien: Kurven, die den Zustandsverlauf im Phasenraum zeigen.
• Fixpunkte: Zustände, an denen das System im Gleichgewicht ist (\frac{dx}{dt} = 0, \frac{dy}{dt} = 0).
• Stabilität: Fixpunkte können stabil, instabil oder Sattelpunkt sein.
• Limitzyklen: Geschlossene Trajektorien, die periodisches Verhalten repräsentieren.
• Vektorfelder: Zeigen die Richtung und Geschwindigkeit der Zustandsänderung.

Zustandsrückführung und Zustandsbeobachtung

Definition:

Zustandsrückführung (State Feedback) und Zustandsbeobachtung (State Observation) sind Techniken, die in der Regelung von dynamischen Systemen verwendet werden, um die Systemdynamik zu beeinflussen und den Zustand des Systems zu schätzen.

Details:

• Zustandsrückführung: Verwendet eine Regelmatrix K, um die Eingangssignale basierend auf dem aktuellen Zustand zu bestimmen, \[ u = -Kx \]
• Zustandsbeobachtung: Schätzt den nicht direkt messbaren Zustand x des Systems mithilfe eines Beobachters (Observer), \[ \frac{d\tilde{x}}{dt} = A\tilde{x} + Bu + L(y - C\tilde{x}) \]
• Regelmatrix K und Beobachtermatrix L müssen so gewählt werden, dass das geregelte bzw. beobachtete System stabil ist
• Anwendung in Automation, Robotik, Signalverarbeitung

Das Routh-Hurwitz-Kriterium

Definition:

Routh-Hurwitz-Kriterium: Methode zur Stabilitätsanalyse linearer zeitinvarianter Systeme anhand der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Details:

• System stabil, wenn alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms negative Realteile haben.
• Strukturierte Matrix (Routh-Tableau) verwenden.
• Koeffizienten des Polynoms zur Erstellung der Matrix verwenden.
• Zeilenweise Vorzeichenprüfung zur Bestimmung der Stabilität.
• Instabilität, wenn ein Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte der Matrix auftritt.

Übergangsmatrix und Eigenwertanalyse

Definition:

Übergangsmatrix hilft bei der Untersuchung von diskreten dynamischen Systemen; Eigenwertanalyse bestimmt das Langzeitverhalten.

Details:

• Übergangsmatrix: \mathbf{A} \text{ beschreibt Zustandsübergänge}
• Eigenwerte \lambda_i \text{ aus } \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0
• Eigenvektoren \mathbf{v}_i \text{ aus } \mathbf{A}\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i
• Stabilität: \left|\lambda_i\right| < 1 \text{ für Stabilität}

Stabilität nichtlinearer Systeme

Definition:

Beurteilung, ob ein nichtlineares System nach einer Störung in seinen Gleichgewichtszustand zurückkehrt.

Details:

• Lyapunov-Methode: Fungiert als Werkzeug zur Stabilitätsuntersuchung, durch die Erstellung einer Lyapunov-Funktion V(x).
• Asymptotische Stabilität: Alle Lösungen nähern sich dem Gleichgewichtspunkt, wenn t \to \infty.
• Exponentielle Stabilität: Lösungen konvergieren exponentiell schnell zum Gleichgewichtspunkt.
• Instabilität: Lösungen bewegen sich weg vom Gleichgewichtspunkt.
• Linearisierungsansatz: Analyse des linearen Approximationssystems im Gleichgewichtspunkt und Untersuchung der Eigenwerte der Jacobimatrix.