Dynamical Systems and Control - Exam

Aufgabe 1)

Betrachten wir ein dynamisches System, das durch die Differentialgleichung \( \frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = A\textbf{x}(t) \) für kontinuierliche Systeme und die Differenzengleichung \( \textbf{x}[k+1] = A\textbf{x}[k] \) für diskrete Systeme beschrieben wird. Sei \( A \) eine 2x2-Matrix mit den Elementen \( a, b, c, d \). Analysiere dieses dynamische System unter verschiedenen Aspekten.

a)

(a) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \( A \). Zeige alle Schritte Deiner Berechnungen. Erkläre, wie diese Eigenwerte und Eigenvektoren das Verhalten des Systems beeinflussen.

Lösung:

Um die Eigenwerte und Eigenvektoren der 2x2-Matrix \(A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\) zu bestimmen, folgen wir diesen Schritten:

• Berechne die charakteristische Gleichung der Matrix.
• Bestimme die Eigenwerte.
• Berechne die zugehörigen Eigenvektoren.

Schritt 1: Charakteristische Gleichung

Die charakteristische Gleichung einer Matrix \(A\) wird durch das Eigenwertproblem \(\det(A - \lambda I) = 0\) gegeben, wobei \(\lambda\) die Eigenwerte sind und \(I\) die Einheitsmatrix ist.

Für unsere Matrix \(A\) wird dies:

 \(A - \lambda I = \begin{pmatrix} a - \lambda & b \ c & d - \lambda \end{pmatrix}\) \(\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} a - \lambda & b \ c & d - \lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda) - bc\) \( = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc)\) 

Die charakteristische Gleichung ist also:

\( \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0 \)

Schritt 2: Eigenwerte berechnen

Die Eigenwerte \(\lambda\) sind die Lösungen der obigen quadratischen Gleichung. Diese können mit der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) gefunden werden:

 \(\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}\) 

Diese beiden Lösungen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) sind die Eigenwerte der Matrix \(A\).

Schritt 3: Eigenvektoren berechnen

Nachdem wir die Eigenwerte haben, können wir die zugehörigen Eigenvektoren \(\textbf{x}\) finden, indem wir die Gleichung \((A - \lambda I)\textbf{x} = 0\) lösen. Dies bedeutet:

 \(\begin{pmatrix} a - \lambda & b \ c & d - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\) 

Für jeden Eigenwert \(\lambda\) setzen wir ihn in die Matrix ein und lösen das lineare Gleichungssystem für \(x_1\) und \(x_2\). Dies gibt uns die Richtungen der Eigenvektoren.

• Für \(\lambda_1\) lösen wir:

 \( \begin{pmatrix} a - \lambda_1 & b \ c & d - \lambda_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\) 

 \( \begin{pmatrix} a - \lambda_2 & b \ c & d - \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\) 

Die resultierenden Vektoren sind die Eigenvektoren, die zu \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gehören.

Verhalten des Systems

Die Eigenwerte und Eigenvektoren beeinflussen das Verhalten des Systems wie folgt:

• Kontinuierliches System: Die Lösungen der Differentialgleichung enthalten Terme der Form \(e^{\lambda t}\). Wenn die Eigenwerte negative Realteile haben, geht das System gegen Null; wenn sie positive Realteile haben, wächst das System exponentiell.
• Diskretes System: Die Lösungen der Differenzengleichung beinhalten Terme der Form \(\lambda^k\). Wenn der Betrag der Eigenwerte kleiner als 1 ist, konvergiert das System; wenn größer als 1, diver giert das System.

b)

(b) Betrachte das kontinuierliche System und löse die Differentialgleichung für die Anfangsbedingung \( \textbf{x}(0) = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \). Stelle die Lösung \( \textbf{x}(t) \) explizit dar.

Lösung:

Um die Differentialgleichung \ \( \frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = A\textbf{x}(t) \) für das kontinuierliche System mit der Anfangsbedingung \ \( \textbf{x}(0) = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) zu lösen, folgen wir diesen Schritten:

• Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \ \( A \).
• Verwende diese zur Lösung des Systems.

Schritt 1: Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \ \(A\) bestimmen

Berechne wie zuvor die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \ \(A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \).

Die Eigenwerte \ \( \lambda \) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung:

 \ \( \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0 \) 

Die zugehörigen Eigenvektoren \ \( \textbf{v} \) sind die Lösungen der Gleichungen:

 \ \( (A - \lambda I)\textbf{v} = 0 \) 

Sagen wir, die Eigenwerte sind \ \( \lambda_1 \) und \ \( \lambda_2 \) und die zugehörigen normierten Eigenvektoren sind \ \( \textbf{v}_1 \) und \ \( \textbf{v}_2 \).

Schritt 2: Lösung des Systems

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine Linearkombination der Lösungen, die auf den Eigenvektoren basieren:

 \ \( \textbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \textbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \textbf{v}_2 \) 

Die Konstanten \ \( c_1 \) und \ \( c_2 \) werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Setze \ \( \textbf{x}(0) = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) ein:

 \ \( \textbf{x}(0) = c_1 \textbf{v}_1 + c_2 \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) 

Wir lösen dieses Linearsystem von Gleichungen für \ \( c_1 \) und \ \( c_2 \).

Sagen wir, \ \( \textbf{v}_1 = \begin{pmatrix} v_{11} \ v_{12} \end{pmatrix} \) und \ \( \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} v_{21} \ v_{22} \end{pmatrix} \). Dann haben wir:

 \ \( c_1 v_{11} + c_2 v_{21} = x_0 \ c_1 v_{12} + c_2 v_{22} = y_0 \) 

Dies lösen wir für \ \( c_1 \) und \ \( c_2 \).

Nun setzen wir \ \( c_1 \) und \ \( c_2 \) in die allgemeine Lösung ein:

 \ \( \textbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \textbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \textbf{v}_2 \) 

Somit haben wir die explizite Darstellung der Lösung \ \( \textbf{x}(t) \).

c)

(c) Betrachte das diskrete System und löse die Differenzengleichung für die Anfangsbedingung \( \textbf{x}[0] = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \). Stelle die Lösung \( \textbf{x}[k] \) explizit dar.

Lösung:

Um die Differenzengleichung für das diskrete System mit der Anfangsbedingung \( \textbf{x}[0] = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) zu lösen, folgen wir diesen Schritten:

• Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \( A \).
• Verwende diese zur Lösung des Systems.

Schritt 1: Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \( A \) bestimmen

Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \( A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \).

Die Eigenwerte \( \lambda \) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung:

 \( \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0 \) 

Die zugehörigen Eigenvektoren \( \textbf{v} \) sind die Lösungen der Gleichungen:

 \( (A - \lambda I)\textbf{v} = 0 \) 

Sagen wir, die Eigenwerte sind \( \lambda_1 \) und \( \lambda_2 \) und die zugehörigen normierten Eigenvektoren sind \( \textbf{v}_1 \) und \( \textbf{v}_2 \).

Schritt 2: Lösung des Systems

Die allgemeine Lösung der Differenzengleichung ist eine Linearkombination der Lösungen, die auf den Eigenvektoren basieren:

 \( \textbf{x}[k] = c_1 \lambda_1^k \textbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \textbf{v}_2 \) 

Die Konstanten \( c_1 \) und \( c_2 \) werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Setze \( \textbf{x}[0] = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) ein:

 \( \textbf{x}[0] = c_1 \textbf{v}_1 + c_2 \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \end{pmatrix} \) 

Wir lösen dieses Linearsystem von Gleichungen für \( c_1 \) und \( c_2 \).

Sagen wir, \( \textbf{v}_1 = \begin{pmatrix} v_{11} \ v_{12} \end{pmatrix} \) und \( \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} v_{21} \ v_{22} \end{pmatrix} \). Dann haben wir:

 \( c_1 v_{11} + c_2 v_{21} = x_0 \ c_1 v_{12} + c_2 v_{22} = y_0 \) 

Dies lösen wir für \( c_1 \) und \( c_2 \).

Nun setzen wir \( c_1 \) und \( c_2 \) in die allgemeine Lösung ein:

 \( \textbf{x}[k] = c_1 \lambda_1^k \textbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \textbf{v}_2 \) 

Somit haben wir die explizite Darstellung der Lösung \( \textbf{x}[k] \).

d)

(d) Untersuche die Stabilität des diskreten Systems durch Untersuchung der Eigenwerte. Formuliere die Bedingung, die die Eigenwerte erfüllen müssen, damit das System stabil ist.

Lösung:

Um die Stabilität des diskreten Systems zu untersuchen, betrachten wir die Eigenwerte der Matrix \(A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\). Die Stabilität eines diskreten Systems wird durch die Eigenwerte der Systemmatrix bestimmt.

Stabilitätskriterium für ein diskretes System

Das diskrete System ist stabil, wenn alle Eigenwerte \( \lambda \) der Matrix \(A\) innerhalb des Einheitskreises in der komplexen Ebene liegen. Das bedeutet, dass der Betrag der Eigenwerte strikt kleiner als 1 sein muss:

 \(|\lambda| < 1\) 

Um diese Bedingung zu formulieren, berechnen wir die Eigenwerte der Matrix \(A\):

Die Eigenwerte \( \lambda \) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung:

 \( \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0 \) 

Seien \( \lambda_1 \) und \( \lambda_2 \) die Eigenwerte. Damit das System stabil ist, müssen beide Bedingungen \(|\lambda_1| < 1\) und \(|\lambda_2| < 1\) erfüllt sein.

Stabilitätsbedingung herzuleiten

Wir leiten nun die Bedingungen aus, die aus dieser Anforderung resultieren:

 1. \(|\lambda_1| < 1\) 2. \(|\lambda_2| < 1\) 

Diese Bedingungen führen auf die Notwendigkeit, dass die Spur (Summe der Eigenwerte) und das Determinant (Produkt der Eigenwerte) bestimmte Bedingungen erfüllen müssen:

• Die Spur \( \text{Spur}(A) = a + d \) muss innerhalb des Intervalls \((-2, 2)\) liegen:

 \(|a + d| < 2\) 

 \(-1 < ad - bc < 1\) 

Zusätzlich kann man die Diskriminantenbedingung verwenden, um sicherzustellen, dass die Eigenwerte insgesamt geeignet sind. Die Diskriminante \(\Delta\) der charakteristischen Gleichung schreibe man:

 \( \Delta = (a + d)^2 - 4(ad - bc) \) 

 \( \Delta < 4 \) 

Durch die Zusammenstellung dieser Bedingungen erhalten wir die expliziten Stabilitätsbedingungen für das diskrete System.

Aufgabe 2)

Gegeben: Ein dynamisches System beschrieben durch die Differentialgleichung\[ \dot{x} = f(x),\]wobei \(x(t)\) der Zustandsvektor des Systems ist. Du sollst die Stabilität des Gleichgewichtspunkts des Systems untersuchen.

b)

(b) Angenommen, das System wird durch die Gleichungen beschrieben:\[ \dot{x_1} = -x_1 + x_2, \quad \dot{x_2} = -x_2.\]Untersuche die Stabilität des Gleichgewichtspunkts unter Einsatz der Lyapunov-Funktion \(V(x)\). Berechne dazu \( \dot{V}(x) \) explizit und überprüfe die Stabilitätsbedingungen.

Lösung:

Gegeben: Ein dynamisches System beschrieben durch die Differentialgleichung \(\dot{x} = f(x)\), wobei \(x(t)\) der Zustandsvektor des Systems ist. Du sollst die Stabilität des Gleichgewichtspunkts des Systems untersuchen.

Wir hatten zuvor für die Lyapunov-Funktion \(V(x)\) die Bedingungen gezeigt und die allgemeine Form der Zeitableitung \(\dot{V}(x)\) abgeleitet. Nun wenden wir dies auf ein konkretes System an.

(b) Angenommen, das System wird durch die Gleichungen beschrieben:

Untersuchen die Stabilität des Gleichgewichtspunkts unter Einsatz der Lyapunov-Funktion \(V(x)\). Berechne dazu \(\dot{V}(x)\) explizit und überprüfe die Stabilitätsbedingungen.

Lyapunov-Funktion:

Berechnung der Zeitableitung \(\dot{V}(x)\):

• Erinnerung: Die Zeitableitung \(\dot{V}(x)\) ist gegeben durch:
\[ \dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \cdot \dot{x}. \]
• Als erstes berechnen wir die Ableitung von \(V(x)\):
\[ \frac{\partial V}{\partial x} = \begin{bmatrix} 2x_1 & 2x_2 \end{bmatrix}. \]
• Nun setzen wir die Gleichungen des Systems ein:
\[ \dot{x} = \begin{bmatrix} -x_1 + x_2 \ -x_2 \end{bmatrix}. \]
• Das ergibt:
\[ \dot{V}(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 & 2x_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -x_1 + x_2 \ -x_2 \end{bmatrix}. \]
• Durch das Skalarprodukt ergibt sich:
\[ \dot{V}(x) = 2x_1(-x_1 + x_2) + 2x_2(-x_2). \]
• Vereinfachen wir den Ausdruck:
\[ \dot{V}(x) = -2x_1^2 + 2x_1x_2 - 2x_2^2. \]
• Neu ordnen ergibt:
\[ \dot{V}(x) = -2x_1^2 - 2x_2^2 + 2x_1x_2. \]
• Beachte, dass die Terme \(-2x_1^2\) und \(-2x_2^2\) immer negativ oder null sind, und der gemischte Term \(2x_1x_2\) kann entweder positiv oder negativ sein.
• Um sicherzustellen, dass \(\dot{V}(x)\) negativ definit ist, wäre es ideal, den letzten Term zu eliminieren oder zu kontrollieren.

Überprüfung der Stabilitätsbedingungen:

• Die Funktion \(V(x)\) ist wie zuvor gezeigt positiv definit.
• Die Zeitableitung \(\dot{V}(x)\) sollte negativ definit sein, um die Stabilität des Gleichgewichtspunkts sicherzustellen.

Zusammenfassend:

Die Lyapunov-Funktion zeigt, dass der Gleichgewichtspunkt stabil ist, da die Terme \(-2x_1^2\) und \(-2x_2^2\) dominieren und die Funktion \(V(x)\) immer positiv ist. Der gemischte Term beeinflusst die Stabilität nicht stark genug, um das System instabil zu machen. Daher ist das System asymptotisch stabil im Gleichgewichtspunkt \(x = 0\).

c)

(c) Diskutiere die lokale und globale Stabilität des Gleichgewichtspunkts auf Basis der zuvor berechneten Ergebnisse. Gehe dabei insbesondere auf die Unterschied zwischen lokaler und globaler Stabilität ein und erkläre, in welchem Sinne das System stabil ist.

Lösung:

Gegeben: Ein dynamisches System beschrieben durch die Differentialgleichung \( \dot{x} = f(x) \), wobei \( x(t) \) der Zustandsvektor des Systems ist. Du sollst die Stabilität des Gleichgewichtspunkts des Systems untersuchen.

(c) Diskutiere die lokale und globale Stabilität des Gleichgewichtspunkts auf Basis der zuvor berechneten Ergebnisse. Gehe dabei insbesondere auf die Unterschiede zwischen lokaler und globaler Stabilität ein und erkläre, in welchem Sinne das System stabil ist.

• Lokale Stabilität:
• Die lokale Stabilität eines Gleichgewichtspunkts bezieht sich auf das Verhalten des Systems in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes. Dies bedeutet, dass wenn der anfängliche Zustand des Systems in der Nähe des Gleichgewichtspunkts liegt, das System dazu neigt, zu diesem Punkt zurückzukehren und dort zu bleiben.
• In der Aufgabenstellung haben wir gezeigt, dass die Lyapunov-Funktion \( V(x) = x_1^2 + x_2^2 \) in der Nähe des Gleichgewichtspunkts \( x = 0 \) eine Zeitableitung \( \dot{V}(x) \) aufweist, die negativ ist. Dies zeigt, dass das System stabil ist, und das Verhalten des Systems in der Nähe des Gleichgewichtspunkts zeigt, dass kleinere Störungen das System zurück zum Gleichgewichtspunkt bringen.
• Somit ist der Gleichgewichtspunkt lokal stabil.
• Globale Stabilität:
• Die globale Stabilität eines Gleichgewichtspunkts bedeutet, dass unabhängig vom anfänglichen Zustand des Systems das System immer dazu tendiert, zum Gleichgewichtspunkt zurückzukehren.
• In unserem Fall bedeutet das, dass unabhängig davon, wie weit der anfängliche Zustand \( x \) vom Gleichgewichtspunkt entfernt ist, die Lyapunov-Funktion \( V(x) = x_1^2 + x_2^2 \) zeigt, dass das System letztendlich zum Gleichgewichtspunkt \( x = 0 \) zurückkehrt.
• Wir haben gesehen, dass \( V(x) \) für alle \( x \) positiv definit ist und \( \dot{V}(x) = -2x_1^2 - 2x_2^2 + 2x_1 x_2 \) negativ semi-definit ist. Da die positiven Terme \( -2x_1^2 \) und \( -2x_2^2 \) die negativen Auswirkungen des gemischten Terms dominieren, zeigt das, dass der Gleichgewichtspunkt global stabil ist.

Unterschied zwischen lokaler und globaler Stabilität:

• Lokale Stabilität: Dies bezieht sich darauf, dass das System beim Gleichgewichtspunkt stabil ist, wenn die Anfangswerte des Zustandsvektors nahe dem Gleichgewichtspunkt liegen. Die Stabilität ist also auf eine unmittelbare Umgebung des Gleichgewichtspunkts beschränkt.
• Globale Stabilität: Dies bezieht sich darauf, dass das System beim Gleichgewichtspunkt stabil ist, unabhängig davon, wie weit entfernt die Anfangswerte des Zustandsvektors vom Gleichgewichtspunkt sind. Dies bedeutet, dass der Gleichgewichtspunkt für alle möglichen Anfangswerte stabil ist.

Im Kontext unseres Systems haben wir gezeigt, dass der Gleichgewichtspunkt sowohl lokal als auch global stabil ist. Dies ist gezeigt durch die positiven definiten Eigenschaften der Lyapunov-Funktion und die dominierenden negativen Terme in der Zeitableitung dieser Funktion.

Aufgabe 3)

Betrachte ein dynamisches System, das durch die PID-Regelung beschrieben wird. Die Regelabweichung in Abhängigkeit der Zeit ist gegeben durch die Funktion \[ e(t) = 5 \sin(t) - 3\cos(t) \] Die Regelparameter sind \(K_p = 2\), \(K_i = 1\) und \(K_d = 0.5\). Analysiere das System und berechne die Regelgröße \(u(t)\) im Verlauf der Zeit.

a)

• Leite den proportionale Anteil (P-Anteil) des PID-Reglers für die gegebene Regelabweichung \(e(t)\) her. Berechne den Ausdruck für \(u_P(t)\).
• Hinweis: Der P-Anteil ist gegeben durch \(u_P(t) = K_p e(t)\).

Lösung:

Um den proportionalen Anteil (P-Anteil) des PID-Reglers zu berechnen, verwenden wir die gegebene Regelabweichung e(t) und die Proportionalitätskonstante K_p. Der Proportionalregelanteil ist durch die Formel \(u_P(t) = K_p e(t)\) gegeben.

• Ersetze die gegebene Funktion \(e(t) = 5 \sin(t) - 3 \cos(t)\) in die Formel ein.

• \( u_P(t) = K_p e(t) \)

• Mit \( K_p = 2 \):

• \( u_P(t) = 2 \left(5 \sin(t) - 3 \cos(t)\right) \)

• Fasse die Terme zusammen:

• \( u_P(t) = 10 \sin(t) - 6 \cos(t) \)

Daher ist der proportionale Anteil \( u_P(t) \) der Regelgröße:

• \( u_P(t) = 10 \sin(t) - 6 \cos(t) \)

b)

• Bestimme den Integralanteil (I-Anteil) des PID-Reglers. Berechne den Ausdruck für \(u_I(t)\) unter Berücksichtigung der gegebenen Regelabweichung \(e(t)\).
• Hinweis: Der I-Anteil ist gegeben durch \(u_I(t) = K_i \int e(t) dt\).

Lösung:

Um den Integralanteil (I-Anteil) des PID-Reglers zu berechnen, verwenden wir die gegebene Regelabweichung e(t) und die Integrationskonstante K_i. Der Integralregelanteil ist durch die Formel \(u_I(t) = K_i \int e(t)\, dt\) gegeben.

• Ersetze die gegebene Funktion \(e(t) = 5 \sin(t) - 3 \cos(t)\) in die Formel ein.

• \( u_I(t) = K_i \int (5 \sin(t) - 3 \cos(t))\, dt \)
• Die Integration von \(5 \sin(t)\) ergibt \(-5 \cos(t)\).
• Die Integration von \(-3 \cos(t)\) ergibt \(-3 \sin(t)\).

• Also:

• \( \int (5 \sin(t) - 3 \cos(t))\, dt = -5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C \)

• Setze \(K_i = 1\) in die Formel ein:

• \( u_I(t) = 1 (-5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C) \)

• Vereinfachung:

• \( u_I(t) = -5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C \)

Der Integralanteil \( u_I(t) \) der Regelgröße mit Berücksichtigung der Konstante \(C\), die bei der Integration auftritt, ist:

• \( u_I(t) = -5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C \)

c)

• Ermittle den Differentialanteil (D-Anteil) des PID-Reglers für die gegebene Regelabweichung \(e(t)\). Berechne den Ausdruck für \(u_D(t)\).
• Hinweis: Der D-Anteil ist gegeben durch \(u_D(t) = K_d \frac{de(t)}{dt}\).

Lösung:

Um den Differentialanteil (D-Anteil) des PID-Reglers zu berechnen, verwenden wir die gegebene Regelabweichung e(t) und die Differenzierkonstante K_d. Der Differentialregelanteil ist durch die Formel \(u_D(t) = K_d \frac{de(t)}{dt}\) gegeben.

• Ersetze die gegebene Funktion \(e(t) = 5 \sin(t) - 3 \cos(t)\) in die Formel ein.

• \( u_D(t) = K_d \frac{d}{dt} (5 \sin(t) - 3 \cos(t)) \)

• Die Ableitung von \(5 \sin(t)\) ergibt \(5 \cos(t)\).

• Die Ableitung von \(-3 \cos(t)\) ergibt \(3 \sin(t)\).

• Also:

• \( \frac{d}{dt} (5 \sin(t) - 3 \cos(t)) = 5 \cos(t) + 3 \sin(t) \)

• Setze \(K_d = 0.5\) in die Formel ein:

• \( u_D(t) = 0.5 (5 \cos(t) + 3 \sin(t)) \)

• Vereinfachung:

• \( u_D(t) = 2.5 \cos(t) + 1.5 \sin(t) \)

Der Differentialanteil \( u_D(t) \) der Regelgröße ist:

• \( u_D(t) = 2.5 \cos(t) + 1.5 \sin(t) \)

d)

• Setze die berechneten Anteile (P, I und D) zusammen, um das vollständige Ausgangssignal des PID-Reglers \(u(t)\) zu bestimmen. Berücksichtige, dass \(u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt}\).

Lösung:

Um das vollständige Ausgangssignal des PID-Reglers \(u(t)\) zu bestimmen, kombinieren wir die zuvor berechneten Anteile. Die Formel ist:

• \(u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t)\, dt + K_d \frac{de(t)}{dt}\)

• Berechne den P-Anteil:

• \( u_P(t) = 10 \sin(t) - 6 \cos(t) \)

• Berechne den I-Anteil:

• \( u_I(t) = -5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C \)

• Berechne den D-Anteil:

• \( u_D(t) = 2.5 \cos(t) + 1.5 \sin(t) \)

• Kombiniere die Anteile:

• \( u(t) = u_P(t) + u_I(t) + u_D(t) \)

• Setze die berechneten Werte ein:

• \( u(t) = (10 \sin(t) - 6 \cos(t)) + (-5 \cos(t) - 3 \sin(t) + C) + (2.5 \cos(t) + 1.5 \sin(t)) \)

• Vereinfachung:

• Sammle die \( \sin(t)\)-Terme:

• \( 10 \sin(t) - 3 \sin(t) + 1.5 \sin(t) = 8.5 \sin(t) \)

• Sammle die \( \cos(t)\)-Terme:

• \( -6 \cos(t) - 5 \cos(t) + 2.5 \cos(t) = -8.5 \cos(t) \)

• Berücksichtige die Konstante C:

• \( u(t) = 8.5 \sin(t) - 8.5 \cos(t) + C \)

Die vollständige Regelgröße \(u(t)\) im Verlauf der Zeit ist daher:

• \( u(t) = 8.5 \sin(t) - 8.5 \cos(t) + C \)