Dynamik starrer Körper - Cheatsheet

Erstes Newtonsches Gesetz: Trägheitsprinzip

Definition:

Ein Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung, solange keine Nettokraft auf ihn wirkt.

Details:

• Formel: \(\sum \vec{F} = 0 \rightarrow \text{Bewegungszustand bleibt unverändert}\).
• Beschreibung: Auch als Trägheitsprinzip bekannt.
• Wichtige Begriffe: Trägheit, Gleichgewicht, Kraftwirkung.
• Beispiel: Ein Ball rollt unablässig auf einer reibungslosen Oberfläche weiter.

Zweites Newtonsches Gesetz: Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung \ F = ma

Definition:

Zweites Newtonsches Gesetz: Zusammenhang zwischen der auf einen Körper ausgeübten Kraft und der daraus resultierenden Beschleunigung.

Details:

• Formel: \( F = ma \)
• F: Kraft in Newton (N)
• m: Masse des Körpers in Kilogramm (kg)
• a: Beschleunigung des Körpers in Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s^2)
• Kraft wirkt in Richtung der Beschleunigung.

Drehimpuls bei rotierenden starren Körpern und Präzessionsbewegungen

Definition:

Drehimpuls eines rotierenden starren Körpers, Änderung durch äußere Drehmomente; Präzession als resultierende Bewegung.

Details:

• Drehimpuls: \ \ \boldsymbol{L} = I \cdot \boldsymbol{\omega}
• Erhaltung des Drehimpulses: \( \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{M} \) (Drehmoment)
• Präzession: Resultierende Bewegung bei schief stehender Drehachse und konstantem Drehmoment
• Zielfunktion der Präzession: Änderung der Orientierung der Drehachse

Bewegungsgleichungen für den Schwerpunkt

Definition:

Bewegungsgleichungen für den Schwerpunkt eines starren Körpers beschreiben dessen Translation basierend auf Masse und Kräfte.

Details:

• Erste Bewegungsgleichung (Translation): \( \vec{F} = m \cdot \vec{a} \)
• Zweite Bewegungsgleichung (Drehmoment): \( \vec{M} = I \cdot \vec{\alpha} \)
• Schwerpunkt beschleunigt durch einwirkende Kräfte analog zum Massenpunkt.
• Gesamtkraft \( \vec{F} \) wirkt im Schwerpunkt.
• Newton'sche Gesetze anwendbar.
• Zusammenhang zwischen translatorischer und rotatorischer Bewegung beachten.

Einführung in Schwingungsmechanik und Typen von Schwingungen

Definition:

Grundlagen und Klassifikation von Schwingungen starrer Körper.

Details:

• Schwingungen: periodische Bewegungen um eine Gleichgewichtslage.
• Beispiele: mechanische, elektrische, optische Schwingungen.
• Mathematische Beschreibung: Differentialgleichungen der Form \( m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 \).
• Typen:
• Harmonisch: \( x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
• Gedämpft: \( x(t) = Ae^{-bt}\cos(\omega t + \phi) \)
• Erzwungen: \( x(t) = A\cos(\omega t) + \frac{F_0}{k - m\omega^2}\cos(\omega t - \delta) \)

Stabilitätsanalyse von starren Körpern

Definition:

Analyse der Stabilität von starren Körpern unter Einwirkung äußerer Kräfte und Momente mittels Gleichgewichtszustände und Untersuchung von kleinen Störungen.

Details:

• Gleichgewichtszustände: \( \text{statisch stabil, indifferent, instabil} \)
• Kriterien der Stabilität: \( \text{Lagrangesche Gleichung, Energie-Methode} \)
• Linearisierung zur vereinfachten Analyse um Gleichgewichtslage
• Eigenwerte und Eigenvektoren der Linearisierungsmatrix als Indikator der Stabilität
• Stabilität eines Gleichgewichtszustandes: \( \text{Reale Teile der Eigenwerte negativ (stabil), positiv (instabil)} \)

Verwendung von Software zur Simulation dynamischer Systeme

Definition:

Verwendung von Software zur Simulation dynamischer Systeme

Details:

• Ermöglicht die Analyse komplexer Bewegungen und Kräfte
• Typische Software: MATLAB, Simulink, ANSYS
• Verwendung numerischer Methoden zur Lösung von DGLs
• Wichtig für die Validierung theoretischer Modelle
• Ermöglicht Visualisierung von Systemverhalten
• Ermöglicht Durchführung von Sensitivitätsanalysen

Grundlagen des Euler-Verfahrens und Runge-Kutta-Methoden

Definition:

Numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) in der Dynamik starrer Körper.

Details:

• Euler-Verfahren: Einfaches explizites Verfahren, erstes Ordnung, Näherung durch Tangente.
• Formel: \[ y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \]
• Runge-Kutta-Methoden: Höhere Genauigkeit, explizit und implizit, gängig: RK4.
• RK4 Formel: \[ \begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n), \ k_2 &= hf(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}), \ k_3 &= hf(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}), \ k_4 &= hf(t_n + h, y_n + k_3), \ y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \ \end{aligned} \]