Dynamik starrer Körper - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben: Ein Block der Masse 2 kg liegt auf einer horizontalen, reibungslosen Oberfläche. Der Block ist mit einem Seil verbunden, das an einer Wand befestigt ist, sodass der Block in Ruhe bleibt. Es wird keine Spannung auf das Seil ausgeübt. Fragestellung: Nutze das erste Newtonsche Gesetz, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

a)

Beschreibe, warum der Block trotz der Tatsache, dass keine Spannung auf das Seil wirkt, in Ruhe bleibt. Berücksichtige dabei das Trägheitsprinzip und die Nettokraft, die auf den Block wirkt.

Lösung:

• Das Trägheitsprinzip: Gemäß dem ersten Newtonschen Gesetz, auch bekannt als Trägheitsgesetz, bleibt ein Körper in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig geradlinig weiter, wenn keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
• Kräfteanalyse: In diesem Szenario betrachten wir verschiedene Kräfte, die auf den Block wirken:
  • Gewichtskraft (\(F_g\)): Diese Kraft wirkt vertikal nach unten und wird durch die Formel \(F_g = m \times g\) berechnet. Also: \(F_g = 2 \text{ kg} \times 9,81 \text{ m/s}^2 = 19,62 \text{ N}\)
  • Normalkraft (\(F_N\)): Diese Kraft wirkt vertikal nach oben und gleicht die Gewichtskraft aus. Somit ist die Summe der vertikalen Kräfte Null:
  • Da die Oberfläche reibungslos ist, wirken keine horizontalen Reibungskräfte.
  • Das Seil übt keine Spannung aus, daher wird keine Zugkraft auf den Block ausgeübt.
• Resultierende Kraft (Nettokraft): Die Nettokraft ist die Vektorsumme aller auf den Block wirkenden Kräfte. In diesem Fall:
• Vertikal: Die Gewichtskraft (\(F_g\)) und die Normalkraft (\(F_N\)) heben sich gegenseitig auf:
• Horizontal: Es gibt keine wirkenden Kräfte, da weder Spannung im Seil noch Reibung vorhanden ist.
• Da die Nettokraft Null ist, gibt es keine unbalanced Kraft, die eine Änderung des Bewegungszustands (Beschleunigung) verursachen könnte.
• Schlussfolgerung: Aufgrund des Trägheitsprinzips (erstes Newtonsches Gesetz) und weil die Nettokraft auf den Block Null ist, bleibt der Block in Ruhe.

b)

Angenommen, der Block wird plötzlich durch eine konstante horizontale Kraft von 5 N nach rechts gezogen. Berechne die Beschleunigung des Blocks und beschreibe mit Hilfe des ersten Newtonschen Gesetzes, wie sich der Bewegungszustand des Blocks ändern wird.

Lösung:

• Das erste Newtonsche Gesetz: Dieses Gesetz besagt, dass ein Körper in seinem Bewegungszustand (Ruhe oder gleichförmige geradlinige Bewegung) verharrt, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
• Gegebene Kräfte: In diesem Szenario wird der Block nun durch eine konstante horizontale Kraft von 5 N nach rechts gezogen. Gegeben:
  • Masse des Blocks: \(m = 2 \text{ kg}\)
  • Horizontale Kraft: \(F = 5 \text{ N}\)
• Berechnung der Beschleunigung: Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (\(F = m \times a\)) wird die Beschleunigung (\(a\)) durch die resultierende Kraft und die Masse des Körpers bestimmt. Formel: \(a = \frac{F}{m}\) Einsetzen der Werte: \(a = \frac{5 \text{ N}}{2 \text{ kg}} = 2,5 \text{ m/s}^2\)
• Beschleunigung des Blocks: Die Beschleunigung des Blocks beträgt \(2,5 \text{ m/s}^2\) nach rechts.
• Änderung des Bewegungszustands: Da eine konstante Kraft auf den Block einwirkt, wird sein Bewegungszustand gemäß dem ersten Newtonschen Gesetz verändert. Der Block, der zuvor in Ruhe war, beginnt sich nach rechts zu bewegen und beschleunigt dabei mit einer Rate von \(2,5 \text{ m/s}^2\).
• Fazit: Das erste Newtonsche Gesetz wird durch die Einführung der externen Kraft modifiziert. Der Block wechselt von einem Zustand der Ruhe zu einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach rechts.

Aufgabe 2)

Betrachten wir einen Körper mit einer Masse von 5 kg, welcher sich unter dem Einfluss einer konstanten Kraft auf einer horizontalen Ebene bewegt. Die Reibungskraft sei dabei vernachlässigbar.

a)

Berechne die Beschleunigung des Körpers, wenn eine konstante Kraft von 20 N auf den Körper einwirkt. Verwende das zweite Newtonsche Gesetz.

Lösung:

Aufgabe: Berechne die Beschleunigung des Körpers, wenn eine konstante Kraft von 20 N auf den Körper einwirkt. Verwende das zweite Newtonsche Gesetz. Schritte zur Lösung:

• Das zweite Newtonsche Gesetz lautet: \[ F = m \cdot a \]
• Hierbei steht F für die einwirkende Kraft in Newton (N), m für die Masse in Kilogramm (kg) und a für die Beschleunigung in \[ \frac{m}{s^2} \]
• Forme die Gleichung nach der Beschleunigung a um: \[ a = \frac{F}{m} \]
• Setze die gegebenen Werte ein: \[ F = 20 \text{ N} \] \[ m = 5 \text{ kg} \]
• Berechne die Beschleunigung: \[ a = \frac{20 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 4 \text{ \frac{m}{s^2}} \]

Antwort: Die Beschleunigung des Körpers beträgt 4 \text{ \frac{m}{s^2}}.

b)

Angenommen, der Körper startet aus dem Stillstand, wie weit bewegt sich der Körper in 8 Sekunden unter der gegebenen konstanten Kraft? Verwende die zuvor berechnete Beschleunigung.

Lösung:

Aufgabe: Angenommen, der Körper startet aus dem Stillstand, wie weit bewegt sich der Körper in 8 Sekunden unter der gegebenen konstanten Kraft? Verwende die zuvor berechnete Beschleunigung. Schritte zur Lösung:

• Die zuvor berechnete Beschleunigung beträgt \( a = 4 \text{ \frac{m}{s^2}} \).
• Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, verwenden wir die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: \[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]
• Da der Körper aus dem Stillstand startet, ist die Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 = 0 \).
• Setzen wir die gegebenen Werte ein: \( t = 8 \text{ s} \) \( a = 4 \text{ \frac{m}{s^2}} \)
• Berechne die zurückgelegte Strecke: \[ s = 0 \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8^2 \] \[ s = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 64 \] \[ s = 2 \cdot 64 \] \[ s = 128 \text{ m} \]

Antwort: Der Körper bewegt sich in 8 Sekunden um 128 Meter.

c)

Betrachte einen zweiten Fall, in dem die Reibungskraft nicht mehr vernachlässigbar ist. Angenommen, die zusätzliche Reibungskraft beträgt 5 N. Berechne die neue Beschleunigung des Körpers unter Berücksichtigung der Reibungskraft.

Lösung:

Aufgabe: Berechne die neue Beschleunigung des Körpers unter Berücksichtigung einer zusätzlichen Reibungskraft von 5 N. Schritte zur Lösung:

• Die Gesamtkräfte, die auf den Körper wirken, setzen sich aus der konstanten antriebenden Kraft und der entgegengesetzten Reibungskraft zusammen. Die resultierende Kraft lässt sich berechnen als: \[ F_{res} = F - F_{R} \]
• Hierbei steht \( F \) für die antriebende Kraft und \( F_R \) für die Reibungskraft.
• Setze die gegebenen Werte ein: \[ F = 20 \text{ N} \] \[ F_R = 5 \text{ N} \] \[ F_{res} = 20 \text{ N} - 5 \text{ N} = 15 \text{ N} \]
• Nun verwende das zweite Newtonsche Gesetz, um die neue Beschleunigung zu bestimmen: \[ F_{res} = m \cdot a \]
• Forme die Gleichung nach der Beschleunigung \( a \) um: \[ a = \frac{F_{res}}{m} \]
• Setze die Werte ein: \[ F_{res} = 15 \text{ N} \] \[ m = 5 \text{ kg} \] \[ a = \frac{15 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 3 \text{ \frac{m}{s^2}} \]

Antwort: Die neue Beschleunigung des Körpers unter Berücksichtigung der Reibungskraft beträgt 3 \text{ \frac{m}{s^2}}.

Aufgabe 3)

Gegeben: Ein symmetrischer Kreisel, bestehend aus einer homogenen Scheibe mit Radius R und Masse m, rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega im Raum. Die Drehachse bildet einen festen Winkel \theta mit der vertikalen Achse. Die Scheibe ist mittig gelagert und kann präzedieren. Vernachlässige Reibung und Luftwiderstand.

• Drehimpuls: \boldsymbol{L} = I \boldsymbol{\omega}
• Erhaltung des Drehimpulses: \( \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{M} \) (Drehmoment)
• Präzession: Resultierende Bewegung bei schief stehender Drehachse und konstantem Drehmoment
• Zielfunktion der Präzession: Änderung der Orientierung der Drehachse

a)

Berechne den Drehimpuls L des Kreisels.Hinweis: Der Trägheitsmoment der Scheibe liegt um ihre Symmetrieachse bei \(\frac{1}{2}mR^2\). Beachte, dass du nur den Beitrag berücksichtigen solltest, der zur resultierenden Bewegung des Systems beiträgt.

Lösung:

Um den Drehimpuls L des symmetrischen Kreisels zu berechnen, können wir Schritt für Schritt folgendermaßen vorgehen:

• Gegeben: Eine homogene Scheibe mit Radius R, Masse m und konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\). Die Scheibe rotiert um eine Achse, die einen festen Winkel \theta mit der vertikalen Achse bildet.
• Trägheitsmoment: Der Trägheitsmoment I der Scheibe um ihre Symmetrieachse ist gegeben durch: \[ I = \frac{1}{2}mR^2 \]
• Drehimpuls: Der Drehimpuls L der Scheibe ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment I und der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\): \[ \boldsymbol{L} = I \boldsymbol{\omega} = \left( \frac{1}{2}mR^2 \right) \boldsymbol{\omega} \]

Da die Scheibe präzediert, ergibt sich der Drehimpulsvektor \(\boldsymbol{L}\) aus nur dem zur resultierenden Bewegung beitragenden Anteil. Der Drehimpulsvektor kann durch seine Komponenten in Bezug auf die Basisvektoren dargestellt werden:

• In der Richtung der Symmetrieachse: \[ L_{\text{Symmetrieachse}} = \left( \frac{1}{2}mR^2 \right) \omega \]

Somit ist der Drehimpuls L der Scheibe:

• \[ \boldsymbol{L} = \frac{1}{2}mR^2 \boldsymbol{\omega} \]

b)

Bestimme die Präzessionsfrequenz des Systems. Verwende die Definition für das äußere Drehmoment M und die Erhaltung des Drehimpulses.Hinweis: Das äußere Drehmoment wird aus der Gewichtskraft mg und dem Abstand zur Drehachse bestimmt.

Lösung:

Um die Präzessionsfrequenz des Systems zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor und verwenden die gegebenen Informationen:

• Gegeben: Ein symmetrischer Kreisel (homogene Scheibe) mit Radius R, Masse m, konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), und die Drehachse bildet einen festen Winkel \theta mit der vertikalen Achse. Vernachlässige Reibung und Luftwiderstand.
• Drehimpuls: \( \boldsymbol{L} = I \boldsymbol{\omega} \) Das Trägheitsmoment I der Scheibe um ihre Symmetrieachse ist: \[ I = \frac{1}{2}mR^2 \]
• Also, der Drehimpuls \( \boldsymbol{L} \) ist: \[ \boldsymbol{L} = \left( \frac{1}{2}mR^2 \right) \boldsymbol{\omega} \]

Die Präzession ist die resultierende Bewegung bei schief stehender Drehachse und einem konstanten Drehmoment. Die Präzessionsfrequenz \( \Omega \) wird durch das äußere Drehmoment und die Erhaltung des Drehimpulses bestimmt.

• Äußeres Drehmoment: Das äußere Drehmoment \( \boldsymbol{M} \) wird durch die Gewichtskraft mg und den Abstand zur Drehachse bestimmt. Das Drehmoment wirkt in Bezug auf die Aufhängung des Kreisels: \[ M = m g R \ \text{(wenn der Abstand zur Drehachse R ist)} \]
• Erhaltung des Drehimpulses: Nach dem Prinzip der Drehimpulserhaltung gilt: \[ \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{M} \]
• Für die Präzessionsfrequenz \( \Omega \) gilt: \[ M = L \Omega \ \Omega = \frac{M}{L} \]
• Durch Einsetzen der Werte erhalten wir: \[ \Omega = \frac{m g R}{\frac{1}{2}m R^2 \omega} \]
• Nach Vereinfachung ergibt sich: \[ \Omega = \frac{2 g}{R \omega} \]

Also ist die Präzessionsfrequenz \(\Omega\) des Systems:

• \[ \Omega = \frac{2 g}{R \omega} \]

Aufgabe 4)

Gegebene Situation: Ein homogener starrer Körper mit einer Masse von 12 kg bewegt sich auf einer horizontalen Fläche. Auf diesen Körper wirken zwei Kräfte:

• Eine Kraft \( \vec{F}_1 = [4 \, \text{N}, 0 \, \text{N}] \)
• Eine weitere Kraft \( \vec{F}_2 = [0 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \)

Der Körper zeigt zusätzlich eine Rotation um eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt verläuft. Dabei hat er ein Trägheitsmoment von 0,8 kg·m² und eine Winkelbeschleunigung von 2 rad/s². Hinweise: Berücksichtige die Grundlagen der Bewegungs- und Drehmomentgleichungen und nehme an, dass keine weiteren äußeren Kräfte (wie Reibung) auf den Körper wirken.

a)

Berechne die gesamte auf den Körper wirkende Kraft und ermittel daraus die Beschleunigung des Schwerpunkts des Körpers. Gib die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen wieder.

Lösung:

Berechne die gesamte auf den Körper wirkende Kraft und ermittle daraus die Beschleunigung des Schwerpunkts des Körpers.

Gegebene Situation: Ein homogener starrer Körper mit einer Masse von 12 kg bewegt sich auf einer horizontalen Fläche. Auf diesen Körper wirken zwei Kräfte:

• Eine Kraft \( \vec{F}_1 = [4 \, \text{N}, 0 \, \text{N}] \)
• Eine weitere Kraft \( \vec{F}_2 = [0 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \)

Der Körper zeigt zusätzlich eine Rotation um eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt verläuft. Dabei hat er ein Trägheitsmoment von 0,8 kg·m² und eine Winkelbeschleunigung von 2 rad/s².Hinweise: Berücksichtige die Grundlagen der Bewegungs- und Drehmomentgleichungen und nehme an, dass keine weiteren äußeren Kräfte (wie Reibung) auf den Körper wirken.

Schrittweise Lösung:

1. Bestimme die gesamte auf den Körper wirkende Kraft:Die resultierende Kraft \( \vec{F}_\text{total} \) ergibt sich als Vektorsumme der beiden gegebenen Kräfte:\[ \vec{F}_\text{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \]Also:\[ \vec{F}_\text{total} = [4 \, \text{N}, 0 \, \text{N}] + [0 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] = [4 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \]2. Berechne die Beschleunigung des Schwerpunkts des Körpers:Die Beschleunigung \( \vec{a} \) kann mittels des zweiten Newtonschen Gesetzes bestimmt werden:\[ \vec{F} = m \vec{a} \]Gegeben:

• Gesamtkraft \( \vec{F}_\text{total} = [4 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \)
• Masse \( m = 12 \, \text{kg} \)

Daher ist die Beschleunigung:\[ \vec{a} = \frac{\vec{F}_\text{total}}{m} = \frac{[4 \, \text{N}, 6 \, \text{N}]}{12 \, \text{kg}} = [\frac{1}{3} \, \text{m/s}^2, \frac{1}{2} \, \text{m/s}^2] \]3. Bewegungsgleichungen:Die Bewegungsgleichungen des Schwerpunkts des Körpers ergeben sich aus den Beschleunigungen in den jeweiligen Richtungen:

• In x-Richtung: \( a_x = \frac{1}{3} \, \text{m/s}^2 \)
• In y-Richtung: \( a_y = \frac{1}{2} \, \text{m/s}^2 \)

Die kinematischen Gleichungen für die Position sind:

• In x-Richtung: \( x(t) = x_0 + v_{x_0} t + \frac{1}{2} a_x t^2 \)
• In y-Richtung: \( y(t) = y_0 + v_{y_0} t + \frac{1}{2} a_y t^2 \)

Mit den gegebenen Anfangsbedingungen \( x_0, y_0, v_{x_0}, v_{y_0} \) für die Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit kann die gesamte Bewegung des Körpers bestimmt werden.

b)

Bestimme das durch die Kräfte verursachte Drehmoment um den Schwerpunkt des Körpers und berechne die daraus resultierende Winkelbeschleunigung. Überprüfe, ob die gegebene Winkelbeschleunigung konsistent mit den resultierenden Drehmomenten ist.

Lösung:

Bestimme das durch die Kräfte verursachte Drehmoment um den Schwerpunkt des Körpers und berechne die daraus resultierende Winkelbeschleunigung.

Gegebene Situation: Ein homogener starrer Körper mit einer Masse von 12 kg bewegt sich auf einer horizontalen Fläche. Auf diesen Körper wirken zwei Kräfte:

• Eine Kraft \( \vec{F}_1 = [4 \, \text{N}, 0 \, \text{N}] \)
• Eine weitere Kraft \( \vec{F}_2 = [0 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \)

Der Körper zeigt zusätzlich eine Rotation um eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt verläuft. Dabei hat er ein Trägheitsmoment von 0,8 kg·m² und eine Winkelbeschleunigung von 2 rad/s².Hinweise: Berücksichtige die Grundlagen der Bewegungs- und Drehmomentgleichungen und nehme an, dass keine weiteren äußeren Kräfte (wie Reibung) auf den Körper wirken.

Schrittweise Lösung:

1. Bestimme das durch die Kräfte verursachte Drehmoment:Das Drehmoment \( \vec{T} \) um den Schwerpunkt des Körpers ergibt sich aus dem Kreuzprodukt des Ortsvektors \( \vec{r} \) mit der Kraft \( \vec{F} \).Für die gegebene Situation gibt es zwei Kräfte, daher müssen wir die Drehmomente beider Kräfte summieren.

• Wir nehmen an, dass die Kräfte in der horizontalen Fläche wirken. Da keine expliziten Abstände gegeben sind, können wir annehmen, dass die Kräfte angreifen, wo sie maximale Wirkung haben, das heißt, der Angriffspunkt von \( \vec{F}_1 \) ist senkrecht in einer Richtung.

Beispielsweise nehmen wir an, dass \( \vec{F}_1 \) wirkt bei einem Abstand \( r_1 = r_x \) in y-Richtung von 1 Meter vom Schwerpunkt und \( \vec{F}_2 \) wirkt bei einem Abstand \( r_2 = r_y \) in x-Richtung von 1 Meter vom Schwerpunkt.Im kartesischen Koordinatensystem (mit z Achse vertikal nach oben) ergibt sich für das Drehmoment von \( \vec{F}_1 \):\[ \vec{T}_1 = \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 \]\\[ \vec{T}_1 = (0, 1, 0) \times (4, 0, 0) \]\[ \vec{T}_1 = (0, 0, -4) \, \text{Nm} \]Für das Drehmoment von \( \vec{F}_2 \):\[ \vec{T}_2 = \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 \]\[ \vec{T}_2 = (1, 0, 0) \times (0, 6, 0) \]\[ \vec{T}_2 = (0, 0, 6) \, \text{Nm} \]Das resultierende Drehmoment (Gesamtdrehmoment) ist:\[ \vec{T}_\text{total} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2 \]Also:\[ \vec{T}_\text{total} = (0, 0, -4) + (0, 0, 6) = (0, 0, 2) \, \text{Nm} \]2. Berechne die daraus resultierende Winkelbeschleunigung:Die Winkelbeschleunigung \( \alpha \) kann mit dem Trägheitsmoment \( I \) und dem Drehmoment \( T \) berechnet werden:\[ T = I \alpha \]Gegeben:

• Drehmoment \( T = 2 \, \text{Nm} \)
• Trägheitsmoment \( I = 0,8 \, \text{kg} \, \text{m}^2 \)

Daher ist die Winkelbeschleunigung:\[ \alpha = \frac{T}{I} = \frac{2 \, \text{Nm}}{0,8 \, \text{kg} \, \text{m}^2} = 2,5 \, \text{rad/s}^2 \]3. Überprüfe, ob die gegebene Winkelbeschleunigung konsistent mit den resultierenden Drehmomenten ist:Die gegebene Winkelbeschleunigung beträgt 2 rad/s². Die berechnete Winkelbeschleunigung beträgt 2,5 rad/s². Da diese Werte nicht übereinstimmen, ist die gegebene Winkelbeschleunigung nicht konsistent mit den berechneten Drehmomenten.Zusammenfassung:

• Das durch die Kräfte verursachte Drehmoment beträgt 2 Nm.
• Die daraus resultierende Winkelbeschleunigung beträgt 2,5 rad/s².
• Die gegebene Winkelbeschleunigung von 2 rad/s² ist nicht konsistent mit dem berechneten Drehmoment.

c)

Kombiniere die Ergebnisse aus den vorangegangenen Teilaufgaben und beschreibe die gesamte Bewegung des Körpers. Zeichne das resultierende Bewegungsdiagramm und das Drehmomenten-Diagramm für die ersten 2 Sekunden auf.

Lösung:

Kombiniere die Ergebnisse aus den vorangegangenen Teilaufgaben und beschreibe die gesamte Bewegung des Körpers

Gegebene Situation: Ein homogener starrer Körper mit einer Masse von 12 kg bewegt sich auf einer horizontalen Fläche. Auf diesen Körper wirken zwei Kräfte:

• Eine Kraft \( \vec{F}_1 = [4 \, \text{N}, 0 \, \text{N}] \)
• Eine weitere Kraft \( \vec{F}_2 = [0 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \)

Der Körper zeigt zusätzlich eine Rotation um eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt verläuft. Dabei hat er ein Trägheitsmoment von 0,8 kg·m² und eine Winkelbeschleunigung von 2 rad/s².Hinweise: Berücksichtige die Grundlagen der Bewegungs- und Drehmomentgleichungen und nehme an, dass keine weiteren äußeren Kräfte (wie Reibung) auf den Körper wirken.

1. Kombination der Ergebnisse aus den vorangegangenen Teilaufgaben:

TranslationDie gesamte Kraft \( \vec{F}_\text{total} \) wirkt auf den Schwerpunkt des Körpers:\[ \vec{F}_\text{total} = [4 \, \text{N}, 6 \, \text{N}] \]Die Beschleunigung des Schwerpunkts ist:\[ \vec{a} = \frac{\vec{F}_\text{total}}{m} = \frac{[4 \, \text{N}, 6 \, \text{N}]}{12 \, \text{kg}} = [\frac{1}{3} \, \text{m/s}^2, \frac{1}{2} \, \text{m/s}^2] \]RotationDas durch die Kräfte verursachte Drehmoment beträgt:\[ \vec{T}_\text{total} = 2 \, \text{Nm} \]Die daraus resultierende Winkelbeschleunigung beträgt:\[ \alpha = \frac{T}{I} = \frac{2 \, \text{Nm}}{0,8 \, \text{kg·m}^2} = 2,5 \, \text{rad/s}^2 \]

2. Resultierende Bewegungsgleichungen:

TranslationDie Bewegungsgleichungen des Schwerpunkts des Körpers lauten:

• In x-Richtung: \( x(t) = x_0 + v_{x_0} t + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)t^2 \)\[ x(t) = x_0 + v_{x_0} t + \frac{1}{6} t^2 \]
• In y-Richtung: \( y(t) = y_0 + v_{y_0} t + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)t^2 \)\[ y(t) = y_0 + v_{y_0} t + \frac{1}{4} t^2 \]

RotationRotationsbewegung um den Schwerpunkt:Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega(t) \) und der Winkel \( \theta(t) \) können unter Berücksichtigung der Winkelbeschleunigung berechnet werden:

• Winkelgeschwindigkeit: \( \omega(t) = \omega_0 + \alpha t \)\[ \omega(t) = \omega_0 + 2,5 t \]
• Winkel: \( \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \)\[ \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \left( 2,5 \right) t^2 \]\[ \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + 1,25 t^2 \]

3. Zeichne das resultierende Bewegungsdiagramm und das Drehmomenten-Diagramm für die ersten 2 Sekunden:

Annahmen für das Diagramm:

• Startpositionen und Startgeschwindigkeiten sind: \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), \( v_{x_0} = 0 \), \( v_{y_0} = 0 \).
• Startwinkel und Startwinkelgeschwindigkeit sind: \( \theta_0 = 0 \), \( \omega_0 = 0 \).

Bewegungsdiagramm für die Translation (x und y):Drehmomenten-Diagramm für die Rotation:

Zusammenfassung der Bewegung des Körpers:

• Der Körper bewegt sich in x-Richtung mit einer konstanten Beschleunigung von \( \frac{1}{3} \, \text{m/s}^2 \) und in y-Richtung mit einer konstanten Beschleunigung von \( \frac{1}{2} \, \text{m/s}^2 \).
• Der Körper rotiert um seinen Schwerpunkt mit einer Winkelbeschleunigung von \( 2,5 \, \text{rad/s}^2 \).