Einführung in die Darstellungstheorie - Cheatsheet

Definitionen und Beispiele von Darstellungen

Definition:

Darstellung einer Gruppe: Homomorphismus von Gruppe in Allg, lineare Gruppe oder Vektorraum

Details:

• Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum.
• Eine Darstellung von G ist ein Homomorphismus \( \rho: G \rightarrow GL(V) \).
• Eine lineare Darstellung von G ist ein Homomorphismus \( \rho: G \rightarrow GL_n(\mathbb{C}) \)
• Beispiel 1: triviale Darstellung \( \rho(g)=I \)
• Beispiel 2: reguläre Darstellung \( \rho(g)(f)(h)=f(g^{-1}h) \)

Homomorphismen und Isomorphismen von Darstellungen

Definition:

Homomorphismen sind abbildertreue Abbildungen zwischen zwei Gruppen, die die Gruppenoperationen respektieren. Isomorphismen sind bijektive Homomorphismen, die beide Strukturen identisch erhalten.

Details:

• Ein Homomorphismus zwischen zwei Darstellungen \(\phi : G \to GL(V)\) und \(\psi : G \to GL(W)\) ist eine Abbildung \(T : V \to W\) mit \(T(\phi(g)v) = \psi(g)T(v)\) für alle \(g \in G\) und \(v \in V\).
• Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
• Isomorphe Darstellungen haben die gleiche Struktur und sind im Wesentlichen equivalent.

Irreduzible Darstellungen und vollständige Reduzibilität

Definition:

Unzerlegbare und eindeutig darstellbare Vektorräume unter Gruppenoperationen.

Details:

• \textbf{Irreduzible Darstellung}: Darstellung \textit{V} ist irreduzibel, wenn sie keinen nicht-trivialen invarianten Unterraum besitzt.
• \textbf{Komplette Reduzibilität}: Jede Darstellung kann in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegt werden.
• \textbf{Schur's Lemma}: In irreduziblen Darstellungen sind endomorphe Abbildungen zentrisch.
• Wichtig bei der Analyse symmetrischer Gruppen und Lie-Algebren.

Gruppenalgebra und deren Darstellungen

Definition:

Gruppenalgebra ist die Algebra über einem Körper, die aus den formalen Linearkombinationen der Elemente einer Gruppe besteht.

Details:

• Definition: Sei \( G \) eine Gruppe und \( K \) ein Körper. Die Gruppenalgebra \( K[G] \) ist der Vektorraum über \( K \) mit Basis \( G \), versehen mit der Verknüpfung \( \textstyle (\sum a_g g) (\sum b_h h) = \sum a_g b_h (gh) \).
• Darstellung: Homomorphismus \( \rho: G \rightarrow GL(V) \) (Vektorraum \( V \)), erweitert auf die Gruppenalgebra \( K[G] \) durch \( K \)-Linearität.
• Beispiele endlicher Gruppen: \( K[S_n] \) (Symmetrische Gruppe), \( K[C_n] \) (Zyklische Gruppe)

Charaktere: Definition, Berechnung und orthogonale Eigenschaften

Definition:

Charakter einer Darstellung ist die Spur der Darstellungs-Matrizen.

Details:

• Für eine Darstellung \(\rho\) einer Gruppe \(G\) ist der Charakter \(\chi_\rho(g) = Tr(\rho(g))\).
• Der Charakter ist konstant auf Konjugationsklassen: \(\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)\).
• Orthogonale Eigenschaft: \[\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_\rho(g) \chi_\theta(g) = \delta_{\rho,\theta}\]

Kategorien und Funktoren in der Darstellungstheorie

Definition:

Kategorien und Funktoren sind zentrale Konzepte in der Darstellungstheorie, um algebraische Strukturen und deren Beziehungen formal zu beschreiben.

Details:

• Kategorie: Besteht aus Objekten und Morphismen (Pfeilen) zwischen den Objekten, die spezifischen Kompositionsregeln genügen.
• Funktor: Eine Abbildung zwischen Kategorien, die Objekte und Morphismen einer Kategorie auf Objekte und Morphismen einer anderen Kategorie abbildet, wobei die strukturellen Eigenschaften erhalten bleiben.
• Ein Funktor F von Kategorie C nach D:
  • Ordnerelementweise Zuordnung von Objekten: Für jedes Objekt X in C gibt es ein Objekt F(X) in D.
  • Zuordnung von Morphismen: Für jeden Morphismus f: X → Y in C gibt es einen Morphismus F(f): F(X) → F(Y) in D.
• Kategorien und Funktoren helfen, Darstellungen von Algebren durch die formale Struktur algebraischer Objekte zu systematisieren.

Universelle Eigenschaften und das Yoneda-Lemma

Definition:

Universelle Eigenschaften sind Werkzeuge, um mathematische Objekte eindeutig bis auf Isomorphie zu charakterisieren. Das Yoneda-Lemma verknüpft Hom-Funktoren mit natürlichen Transformationen.

Details:

• Universelle Eigenschaft: Existenz eines einzigartigen morphismus, der eine Eigenschaft bewahrt.
• Yoneda-Lemma: Für einen Funktor \(F: C \rightarrow \text{{Set}}\) und ein Objekt \(A\) in \(C\), natürlicher Isomorphismus \( \text{{nat}}(h^A, F) \rightarrow F(A)\).
• Hom-Funktor \(h^A(B) = \text{{Hom}}(A, B)\).
• Existenz eines natürlichen Isomorphismus \( \text{{Hom}}(A, -) \rightarrow F\) impliziert Darstellung durch \(A\).

Anwendungen der Darstellungstheorie in der Informatik (z.B. Graphen, Algorithmen)

Definition:

Verwendung von Darstellungstheorie, um Graphen und Algorithmen in der Informatik effizient zu analysieren und zu berechnen.

Details:

• Graphen: Gruppieren von Symmetrieeigenschaften der Graphen zur effizienteren Analyse.
• Algorithmen: Verbesserung von Algorithmen durch Verwendung symmetrischer Eigenschaften für schnellere Berechnungen.
• Matrixdarstellungen: Anwendung auf Matrizen zur Transformation von Datenstrukturen.
• Komplexität: Reduktion der rechnerischen Komplexität durch Nutzen symmetrischer Eigenschaften.
• Speichereffizienz: Spart Speicherplatz durch komprimierte Repräsentation symmetrischer Daten.