Einführung in die Darstellungstheorie - Exam

Aufgabe 1)

Darstellungstheorie einer Gruppe: Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum. Eine Darstellung von G ist ein Homomorphismus \(\rho: G \rightarrow GL(V)\). Eine lineare Darstellung von G ist ein Homomorphismus \(\rho: G \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\). Betrachte die folgenden Beispiele:

• Beispiel 1: triviale Darstellung \(\rho(g)=I\)
• Beispiel 2: reguläre Darstellung \(\rho(g)(f)(h)=f(g^{-1}h)\)

a)

Zeige, dass die triviale Darstellung \(\rho(g)=I\) ein Homomorphismus ist.

Lösung:

Lösung:Um zu zeigen, dass die triviale Darstellung \(\rho(g)=I\) ein Homomorphismus ist, müssen wir zwei Bedingungen überprüfen:

• \( \rho: G \rightarrow GL(V) \) ist eine Abbildung.
• \( \rho \) ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h., \( \rho(gh) = \rho(g) \rho(h) \) für alle \( g, h \) in \( G \).

Triviale Darstellung:Die triviale Darstellung ist definiert als \( \rho(g) = I \) für jedes Element \( g \) in \( G \), wobei \( I \) die Identitätsmatrix ist.

• \( \rho: G \rightarrow GL(V) \): Hierbei wird jedem Element \( g \) aus \( G \) die Identitätsmatrix \( I \) zugeordnet. Da die Identitätsmatrix immer invertierbar ist, liegt sie in \( GL(V) \).
• \( \rho(gh) = \rho(g)\rho(h) \) für alle \( g, h \) in \( G \):
  • Für \( \rho(gh) = I \), da die triviale Darstellung jedem Element \( gh \) aus \( G \) die Identitätsmatrix \( I \) zuordnet.
  • \( \rho(g) \rho(h) = I \cdot I = I \), da \( \rho(g) = I \) und \( \rho(h) = I \).
  Da beide Seiten der Gleichung \( \rho(gh) = \rho(g) \rho(h) \) gleich der Identitätsmatrix \( I \) sind, ist die Homomorphismus-Eigenschaft erfüllt.

Fazit:Die triviale Darstellung \( \rho(g) = I \) ist ein Homomorphismus, da sie die Bedingungen einer Abbildung in \( GL(V) \) erfüllt und die Homomorphismus-Bedingung \( \rho(gh) = \rho(g) \rho(h) \) für alle \( g, h \) in \( G \) gilt.

b)

Berechne in der regulären Darstellung \(\rho(g)(f)(h)=f(g^{-1}h)\) für die Gruppe \(G=\{e, g\}\), wobei \(e\) das neutrale Element und \(g\) ein Gruppenelement ist, den Ausdruck \(\rho(g)(f)(e)\), wenn \(f(h)=h\).

Lösung:

Lösung:Um den Ausdruck \(\rho(g)(f)(e)\) in der regulären Darstellung zu berechnen, wenn \(G = \{e, g\}\), wobei \(e\) das neutrale Element und \(g\) ein Gruppenelement ist, und \(f(h) = h\), gehen wir wie folgt vor:

• Gegebene reguläre Darstellung: \(\rho(g)(f)(h) = f(g^{-1}h)\)
• Gegebene Gruppe: \(G = \{e, g\}\)
• Neutralität des neutralen Elements: \(e\) ist das neutrale Element, also gilt für jedes Gruppenelement \(x\), dass \(e x = x e = x\).
• Gegebene funktionale Abbildung: \(f(h) = h\), das bedeutet, dass \(f\) eine Identitätsfunktion ist, die jedes Element \(h\) auf sich selbst abbildet.
• Berechnung von \(\rho(g)(f)(e): Setzen wir alle gegebenen Informationen in die Formel ein: \[ \rho(g)(f)(e) = f(g^{-1} e) \] Da \(e\) das neutrale Element ist, gilt: \[ g^{-1} e = g^{-1} \] Also: \[ \rho(g)(f)(e) = f(g^{-1}) \] Da \(f(h) = h \) (die Funktion gibt einfach das Argument zurück), erhalten wir: \[ f(g^{-1}) = g^{-1} \]

Schlussfolgerung:Der Ausdruck \(\rho(g)(f)(e)\) in der regulären Darstellung ergibt \(g^{-1}\), wenn \(f(h) = h\) für die Gruppe \(G = \{e, g\}\), wobei \(e\) das neutrale Element und \(g\) ein Gruppenelement ist.

c)

Beweise, dass \(\rho: G \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\) für \(G=\mathbb{Z}_2\) eine lineare Darstellung ist, wenn \(G\) als \(\{1, -1\}\) definiert ist und \(\rho(1) = I\) und \(\rho(-1) = -I\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.

Lösung:

Lösung:Um zu beweisen, dass \(\rho: G \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\) für \(G = \mathbb{Z}_2\) eine lineare Darstellung ist, wenn \(G\) als \(\{1, -1\}\) definiert ist und \(\rho(1) = I\) und \(\rho(-1) = -I\) (wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist), müssen wir zeigen, dass \(\rho\) ein Gruppenhomomorphismus ist.Schritte:

• Definierte Gruppe: \(G = \mathbb{Z}_2\) mit Elementen \(\{1, -1\}\).
• Definition von \(\rho\): Die Zuordnung lautet:
  • \(\rho(1) = I\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.
  • \(\rho(-1) = -I\), wobei \(-I\) die negative Einheitsmatrix ist.

Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft:Wir müssen zeigen, dass \(\rho(g h) = \rho(g) \rho(h)\) für alle \(g, h \in \mathbb{Z}_2\) gilt.Berechnungen:

• Für \(g = 1\) und \(h = 1\):
  • \(1 \cdot 1 = 1\)
  • \(\rho(1 \cdot 1) = \rho(1) = I\)
  • \(\rho(1) \rho(1) = I \cdot I = I\)
  • Damit gilt \(\rho(1 \cdot 1) = \rho(1) \rho(1)\).
• Für \(g = 1\) und \(h = -1\):
  • \(1 \cdot -1 = -1\)
  • \(\rho(1 \cdot -1) = \rho(-1) = -I\)
  • \(\rho(1) \rho(-1) = I \cdot (-I) = -I\)
  • Damit gilt \(\rho(1 \cdot -1) = \rho(1) \rho(-1)\).
• Für \(g = -1\) und \(h = 1\):
  • \(-1 \cdot 1 = -1\)
  • \(\rho(-1 \cdot 1) = \rho(-1) = -I\)
  • \(\rho(-1) \rho(1) = (-I) \cdot I = -I\)
  • Damit gilt \(\rho(-1 \cdot 1) = \rho(-1) \rho(1)\).
• Für \(g = -1\) und \(h = -1\):
  • \(-1 \cdot -1 = 1\)
  • \(\rho(-1 \cdot -1) = \rho(1) = I\)
  • \(\rho(-1) \rho(-1) = (-I) \cdot (-I) = I\)
  • Damit gilt \(\rho(-1 \cdot -1) = \rho(-1) \rho(-1)\).

Schlussfolgerung:Wir haben gezeigt, dass \(\rho(g h) = \rho(g) \rho(h)\) für alle \(g, h \in \mathbb{Z}_2\) gilt. Daher ist \(\rho: G \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\) eine lineare Darstellung von \(\mathbb{Z}_2\).

Aufgabe 3)

Gegeben sei eine Darstellung ρ: G → GL(V) einer Gruppe G auf einem Vektorraum V über dem Körper ℂ. V hat die Dimension n. ρ ist eine lineare Transformation solcherart, dass für alle g ∈ G die Abbildung ρ(g) ∈ GL(V) ein invertierbarer Endomorphismus von V ist. Im Folgenden nutzen wir, dass Schur's Lemma besagt, dass jede lineare Abbildung, die zwischen irreduziblen Darstellungen vermittelt, entweder Null oder ein Isomorphismus ist. Weiterhin sei V eine direkte Summe irreduzibler Unterräume, also V = V_1 ⊕ V_2 ⊕ ... ⊕ V_k.

a)

1. Zeige, dass jede lineare Abbildung f: V → V, die die Darstellung ϱ respektiert, das heißt, dass f(ϱ(g)v) = ϱ(g)f(v) für alle g ∈ G und alle v ∈ V gilt, blockdiagonal ist, mit Blöcken ϱ_1, ϱ_2, ..., ϱ_k, wobei ϱ_i für die Darstellung auf dem Unterraum V_i steht.

Lösung:

Um zu zeigen, dass jede lineare Abbildung f: V → V, die die Darstellung ρ respektiert, blockdiagonal ist, folge diesen Schritten:

• Erinnere Dich, dass V = V_1 ⊕ V_2 ⊕ ... ⊕ V_k eine direkte Summe irreduzibler Unterräume ist.
• Da f(ρ(g)v) = ρ(g)f(v) für alle g ∈ G und alle v ∈ V gilt, respektiert f die Darstellung ρ.
• Betrachte nun die Einschränkung von f auf jeden irreduziblen Unterraum V_i. Diese Einschränkung bezeichnen wir als f_i: V_i → V_i.
• Nach Schur's Lemma ist jede lineare Abbildung, die zwischen irreduziblen Darstellungen vermittelt, entweder Null oder ein Isomorphismus.
• Da V die direkte Summe irreduzibler Unterräume ist, lässt sich f in einer Basis, die dieser Zerlegung entspricht, in eine Blockdiagonalmatrix schreiben, wobei jeder Block f_i auf dem entsprechenden Unterraum V_i darstellt.
• Diese Blöcke ρ_i entsprechen den Darstellungen auf den Unterräumen V_i.

Formal ausgedrückt, bedeutet dies, dass jede lineare Abbildung f, die ρ respektiert, in der Form f = diag(f_1, f_2, ..., f_k) geschrieben werden kann, wobei jede f_i die Darstellung auf dem Unterraum V_i respektiert.

Aufgabe 4)

Betrachte die Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe und deren Darstellung.

Sei G eine endliche Gruppe und K ein Körper. Die Gruppenalgebra K[G] ist ein Vektorraum über K mit Basis G, und hat die Verknüpfung

• \[ \left( \sum a_g g \right) \left( \sum b_h h \right) = \sum a_g b_h (gh) \]

Eine Darstellung ist ein Homomorphismus \( \rho: G \rightarrow GL(V) \) für einen Vektorraum V, der auf die Gruppenalgebra K[G] erweitert wird durch K-Linearität.

Betrachte zwei Beispiele: Die Gruppenalgebra K[S_n], der symmetrischen Gruppe, und K[C_n], der zyklischen Gruppe.

b)

Teilaufgabe 2:

Zeige an einem Beispiel, wie man eine Darstellung der zyklischen Gruppe C_n auf die Gruppenalgebra K[C_n] erweitert:

• Wähle eine natürliche Darstellung deines Vektorraums V.
• Beschreibe, wie ein Element von C_n auf einer Basis von V wirkt.
• Erweitere diese Wirkung zu einer Abbildung auf der Gruppenalgebra K[C_n].

Lösung:

Teilaufgabe 2 Lösung:

Wir zeigen anhand der zyklischen Gruppe C_n, wie man eine Darstellung auf die Gruppenalgebra K[C_n] erweitert.

Vorbereitung: Sei C_n die zyklische Gruppe der Ordnung n, d.h. C_n = {e, g, g^2, ..., g^{n-1}}, wobei e das Einselement ist und g^n = e.

1. Wähle eine natürliche Darstellung deines Vektorraums V:

• Wähle als Vektorraum V den Raum \(K^n\) über dem Körper \(K\) mit der Basis \( (e_1, e_2, ..., e_n)\).
• Eine natürliche Darstellung der Gruppe C_n auf V ist:
• \( \rho: C_n \rightarrow GL(n, K) \), wobei \( GL(n, K) \) die Gruppe der invertierbaren \( n \times n \) Matrizen über \( K \) ist.
• Definiere \( \rho \) so, dass g (ein Erzeuger von C_n) als eine zyklische Verschiebung der Basisvektoren wirkt.Das heißt, \( \rho(g) \text{ handelt auf } V \) wie folgt:

 \( \rho(g) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1 \ 1 & 0 & ... & 0 & 0 \ 0 & 1 & ... & 0 & 0 \ ... & ... & ... & ... & ... \ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Das ist die Permutationsmatrix, die die Basisvektoren zyklisch verschiebt:

• \( \rho(g)e_i = e_{i+1} \) für \( i = 1, ..., n-1 \)
• und \( \rho(g)e_n = e_1 \)

2. Beschreibe, wie ein Element von C_n auf einer Basis von V wirkt:

• Die Wirkung eines allgemeinen Elements von C_n auf einer Basis von V kann durch die Potenzen von g beschrieben werden:
• \( \rho(g^k)e_i = e_{i+k \text{ mod } n} \).
• Das bedeutet, dass \( \rho(g^k) \) auf e_i wirkt, indem es e_i um k Plätze zyklisch verschiebt.

3. Erweitere diese Wirkung zu einer Abbildung auf der Gruppenalgebra K[C_n]:

• Die Gruppenalgebra K[C_n] besteht aus Linearkombinationen der Elemente von \( C_n \):

•  \( \sum a_i g^i \), \text{ wobei } a_i \text{ Skalare in } K \text{ sind.} 

• Wir erweitern \( \rho \) zu einer Abbildung \( \rho: K[C_n] \rightarrow End(V) \), wobei \( End(V) \) den Raum der linearen Abbildungen von \( V \) nach \( V \) bezeichnet.
• Für \( x = \sum a_i g^i \in K[C_n] \) definieren wir:
• \( \rho(x) = \sum a_i \rho(g^i) \).
• Dann wirkt \( \rho(x) \) auf einen Basisvektor \( e_j \) von \( V \) wie folgt:
• \( \rho \left( \sum a_i g^i \right) e_j = \sum a_i \rho(g^i)e_j = \sum a_i e_{i+j \text{ mod } n} \).

Damit haben wir gezeigt, wie man eine Darstellung der zyklischen Gruppe C_n auf die Gruppenalgebra K[C_n] erweitert.

c)

Teilaufgabe 3:

Betrachte die symmetrische Gruppe S_3. Konstruiere eine konkrete Darstellung \( \rho: S_3 \rightarrow GL(V) \) und prüfe, ob sie treu ist:

• Wähle eine Darstellung deines Vektorraums V, z.B. durch Permutationsmatrizen.
• Berechne explizit die Darstellungsmatrizen für einige Elemente von S_3.
• Entscheide, ob die Abbildung injektiv ist, d.h. ob sie treu ist.

Lösung:

Teilaufgabe 3 Lösung:

Wir betrachten die symmetrische Gruppe S_3 und konstruieren eine konkrete Darstellung \( \rho: S_3 \rightarrow GL(V) \) und prüfen, ob sie treu ist.

1. Wähle eine Darstellung deines Vektorraums V, z.B. durch Permutationsmatrizen:

• Sei \( V = K^3 \) der Vektorraum über dem Körper \( K \) mit der Basis \( (e_1, e_2, e_3) \).
• Eine Darstellung der Gruppe S_3 kann durch Permutationsmatrizen erfolgen. Jede Permutation der Elemente \( \{1, 2, 3\} \) kann als Permutationsmatrix dargestellt werden.

2. Berechne explizit die Darstellungsmatrizen für einige Elemente von S_3:

Die Elemente der Gruppe S_3 sind die folgenden sechs Permutationen:

• \(e = (1)\)
• \(\sigma = (12)\)
• \(\tau = (13)\)
• \(\rho = (23)\)
• \(\sigma \tau = (123)\)
• \(\tau \sigma = (132)\)

Die Darstellungsmatrizen sind dann:

• Für \(e = (1)\):

\[ \rho(e) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Für \(\sigma = (12)\):

\[ \rho(\sigma) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Für \(\tau = (13)\):

\[ \rho(\tau) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Für \(\rho = (23)\):

\[ \rho(\rho) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Für \(\sigma \tau = (123)\):

\[ \rho(\sigma \tau) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Für \(\tau \sigma = (132)\):

\[ \rho(\tau \sigma) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

3. Entscheide, ob die Abbildung injektiv ist, d.h. ob sie treu ist:

• Um zu prüfen, ob \(\rho\) injektiv ist, müssen wir zeigen, dass der Kernel von \(\rho\) nur das neutrale Element enthält.
• Die Permutationsmatrizen sind alle verschieden und haben die Determinanten \(\pm 1\), daher sind sie alle invertierbar und enthalten keine nicht-trivialen Elemente, die in der Identitätsmatrix \(\rho(e)\) abgebildet werden.
• Also ist \(\rho\) injektiv und daher eine treue Darstellung von S_3.

d)

Teilaufgabe 4:

Für eine gegebene Darstellung \( \rho: G \rightarrow GL(V) \), erkläre, wie man die Gruppenalgebra K[G] in Matrizenform darstellen kann:

• Zeige, wie die Verknüpfung in K[G] durch Matrizenmultiplikation darstellbar ist.
• Illustriere dies anhand eines spezifischen Beispiels, wie z.B. der Darstellung einer kleinen endlichen Gruppe S_3.

Lösung:

Teilaufgabe 4 Lösung:

Wir erklären, wie man die Gruppenalgebra K[G] in Matrizenform darstellen kann für eine gegebene Darstellung \( \rho: G \rightarrow GL(V) \).

1. Darstellung der Verknüpfung in K[G] durch Matrizenmultiplikation:

• Sei \(G\) eine endliche Gruppe mit Elementen \(g_1, g_2, ..., g_n\).
• Die Gruppenalgebra K[G] besteht aus Linearkombinationen der Elemente von \(G\):

\( \sum_{i} a_{g_i} g_i \), wobei \( a_{g_i} \in K \).

Eine gegebene Darstellung \(\rho: G \rightarrow GL(V)\) bildet jedes Element von \(G\) auf eine Matrix in \(GL(V)\) ab.

• Um zu zeigen, wie die Verknüpfung in \(K[G]\) durch Matrizenmultiplikation darstellbar ist, betrachten wir zwei Elemente \( x = \sum_{i} a_{g_i} g_i \) und \( y = \sum_{j} b_{g_j} g_j \) in \(K[G]\), und betrachten deren Produkt:
• \( xy = \left( \sum_{i} a_{g_i} g_i \right) \left( \sum_{j} b_{g_j} g_j \right)\)

Durch die Darstellung \(\rho\) wird jedes \(g_i\) auf eine Matrix \( \rho(g_i) \) abgebildet:

\( \rho(x) = \sum_i a_{g_i} \rho(g_i) \)

\( \rho(y) = \sum_j b_{g_j} \rho(g_j)\)

Das Produkt \( \rho(x) \rho(y) \) ergibt dann die Matrixdarstellung des Produkts \(xy\) in \(K[G]\):

\( \rho(xy) = \rho \left( \left( \sum_{i} a_{g_i} g_i \right) \left( \sum_{j} b_{g_j} g_j \right) \right) = \sum_{i, j} a_{g_i} b_{g_j} \rho(g_i g_j)) \)

2. Illustration anhand eines Beispiels: Darstellung der symmetrischen Gruppe S_3:

• Hier verwenden wir die schon definierte Darstellung von S_3 mittels Permutationsmatrizen:
• Seien die Elemente von S_3:
• \(e = (1)\)
• \(\sigma = (12)\)
• \(\tau = (13)\)
• \(\rho = (23)\)
• \(\sigma \tau = (123)\)
• \(\tau \sigma = (132)\)

Die Darstellungsmatrizen sind:

• \( \rho(e) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• \( \rho(\sigma) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• \( \rho(\tau) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
• \( \rho(\rho) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
• \( \rho(\sigma \tau) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
• \( \rho(\tau \sigma) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
• Betrachte zwei Elemente in K[S_3]:
• \( x = a_e e + a_\sigma \sigma + a_\tau \tau + a_\rho \rho + a_{\sigma \tau} (123) + a_{\tau \sigma} (132) \)
• \( y = b_e e + b_\sigma \sigma + b_\tau \tau + b_\rho \rho + b_{\sigma \tau} (123) + b_{\tau \sigma} (132) \)
• Dann ist:
• \( \rho(x) = a_e \rho(e) + a_\sigma \rho(\sigma) + a_\tau \rho(\tau) + a_\rho \rho(\rho) + a_{\sigma \tau} \rho(123) + a_{\tau \sigma} \rho(132) \)
• \( \rho(y) = b_e \rho(e) + b_\sigma \rho(\sigma) + b_\tau \rho(\tau) + b_\rho \rho(\rho) + b_{\sigma \tau} \rho(123) + b_{\tau \sigma} \rho(132) \)
• Das Produkt \( \rho(x) \rho(y) \) gibt dann die Matrixdarstellung des Produkts \(xy\) in K[S_3]:
• \( \rho(xy) = \sum_{i, j} a_{g_i} b_{g_j} \rho(g_i g_j) \)

Damit ist gezeigt, wie man die Gruppenalgebra K[G] in Matrizenform über eine gegebene Darstellung \(\rho\) darstellen kann.