Einführung in die Regelungstechnik - Cheatsheet

Übertragungsfunktionen und Blockdiagramme

Definition:

Übertragungsfunktionen beschreiben das Verhalten dynamischer Systeme im Frequenzbereich. Blockdiagramme visualisieren die Struktur von Regelungssystemen durch grafische Darstellung von Übertragungsfunktionen und deren Verknüpfungen.

Details:

• Übertragungsfunktion: Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-transformierten Eingangsgröße: \[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]
• Pol- und Nullstellen bestimmen das dynamische Verhalten
• Blockdiagramme bestehen aus Blöcken, die Übertragungsfunktionen repräsentieren
• Serienschaltung: Gesamtübertragungsfunktion \[ G_{ges}(s) = G_1(s) \, G_2(s) \, \text{...} \, G_n(s) \]
• Parallelschaltung: \[ G_{ges}(s) = G_1(s) + G_2(s) + \text{...} + G_n(s) \]
• Rückkopplungsschleife: \[ G_{ges}(s) = \frac{G_{vor}(s)}{1 + G_{vor}(s) \, G_{rück}(s)} \]
• Reduktion von Blockdiagrammen erleichtert Analyse und Design von Regelungssystemen

PID-Regler (Proportional-, Integral- und Differentialregelung)

Definition:

PID-Regler: Kombination aus Proportional-, Integral- und Differenzsteuerungselementen zur Regelung von Systemen; P: Verhältnis Fehler zu Ausgang, I: Kumulierung der Fehler über die Zeit, D: Vorhersage zukünftiger Fehler basierend auf Änderungsrate.

Details:

• P-Anteil: \( K_p e(t) \)
• I-Anteil: \( K_i \int_0^t e(\tau) d\tau \)
• D-Anteil: \( K_d \frac{de(t)}{dt} \)
• Regelungsgesetz: \[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]
• Nutzen: reduzierte Regelabweichung, verbesserte Reaktionszeit, Stabilität

Routh-Hurwitz-Kriterium

Definition:

Verfahren zur Beurteilung der Stabilität eines linearen zeitinvarianten Systems anhand der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Details:

• Für ein Polynom: \(a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \, ... \, + a_1 s + a_0 = 0\)
• Erfordert, dass alle Koeffizienten \(a_i\) bekannt sind.
• Erstelle die Routh-Tabelle:
• Erste und zweite Zeile mit den Koeffizienten befüllen.
• Weitere Zeilen durch rekursive Berechnung bestimmen.
• Stabilitätskriterium: Keine Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte der Routh-Tabelle.

Nyquist-Kriterium

Definition:

Das Nyquist-Kriterium ist ein Verfahren zur Stabilitätsanalyse von Regelkreisen im Frequenzbereich.

Details:

• Eingang: Offene Übertragungsfunktion \(G(s)H(s)\)
• Nyquist-Diagramm: Polarbezogene Darstellung der Frequenzantwort
• Umlaufkriterium: \(N = P - Z\)
• Offener Reglerkreis: Anzahl der instabilen Pole (P) bekannt
• Geschlossener Reglerkreis: Anzahl der instabilen Pole (Z) durch Umlaufkriterium
• Kritische Punkte: -1 + 0j
• Regelkreis stabil, wenn kein Umkreisen des kritischen Punktes (N = 0)

Bode-Diagramme

Definition:

Diagramm zur Darstellung der Frequenzantwort eines linearen zeitinvarianten Systems.

Details:

• Logarithmische Darstellung von Amplitude und Phase
• Amplitude in dB: \[ 20 \log_{10} |G(j\omega)| \]
• Phase in Grad: \[ \arg(G(j\omega)) \]
• X-Achse ist die Frequenz auf logarithmischer Skala
• Y-Achse: Separat für Amplitude und Phase
• Wichtig für Stabilitätsanalyse und Reglerentwurf

Zustandsmodelle und Differentialgleichungen

Definition:

Beschreiben das Verhalten dynamischer Systeme mittels Zustandsgrößen und deren Änderungsraten.

Details:

• Zustandsmodelle: Dynamische Systeme repräsentiert durch Zustandsgrößen (Vektor \( \textbf{x} \)).
• Differentialgleichungen (DGL): Beschreiben die Änderungsrate der Zustandsgrößen.
• Zustandsraumdarstellung: \[ \dot{\textbf{x}} = \textbf{A}\textbf{x} + \textbf{B}\textbf{u} \] \[ \textbf{y} = \textbf{C}\textbf{x} + \textbf{D}\textbf{u} \]
• Stabilität: Eigenwerte der Systemmatrix \( \textbf{A} \).
• Eigenwerte (\( \lambda \)): Lösungswerte der charakteristischen Gleichung \[ \det(\textbf{A} - \lambda \textbf{I}) = 0 \]

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Konzepte aus der linearen Algebra, die in der Regelungstechnik zur Systemanalyse verwendet werden.

Details:

• Eigenwert: Ein Skalar \(\lambda\), für den gilt \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).
• Eigenvektor: Ein Vektor \(\mathbf{v}\), der nicht der Nullvektor ist und die Gleichung \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) erfüllt.
• Bestimmung: Lösen der Gleichung \det(A - \lambda I) = 0\ für \(\lambda\) und Einsetzen in \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).
• Anwendung: Stabilitätsanalyse, Zustandsraummodelle, Systemdynamik.