Einführung in die Regelungstechnik - Exam

Aufgabe 1)

Verwende das folgende Blockdiagramm für alle Teilaufgaben bei dieser Aufgabe. Das Diagramm repräsentiert ein Regelungssystem mit einer Übertragungsfunktion für das plant (G(s)), einem Regler (R(s)), und einer Rückkopplungsschleife mit Übertragungsfunktion H(s).

• Plant:
  • Übertragungsfunktion:

     G(s) = \frac{1}{s(Ts + 1)}   

• Regler:
  • Übertragungsfunktion:

     R(s) = K_p   

• Rückkopplungsschleife:
  • Übertragungsfunktion:

     H(s) = 1   

a)

Bestimme die offene Schleifenübertragungsfunktion G_vor(s) dieses Systems im Laplace-Bereich. Berechne die Gesamtoffene Übertragungsfunktion G_vor(s) und zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Bestimmung der offenen Schleifenübertragungsfunktion

In einem Regelungssystem mit einem Plant (G(s)), einem Regler (R(s)), und einer Rückkopplungsschleife mit Übertragungsfunktion H(s), berechnen wir die offene Schleifenübertragungsfunktion. Gegeben sind die Übertragungsfunktionen:

• Plant:
  • Übertragungsfunktion:

     G(s) = \frac{1}{s(Ts + 1)} 

• Regler:
  • Übertragungsfunktion:

     R(s) = K_p 

• Rückkopplung:
  • Übertragungsfunktion:

     H(s) = 1 

Die offene Schleifenübertragungsfunktion G_vor(s) ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktionen des Reglers R(s) und des Plants G(s):

Also:

 G_vor(s) = R(s) \times G(s) 

Einsetzen der gegebenen Übertragungsfunktionen:

 G_vor(s) = K_p \times \frac{1}{s(Ts + 1)} 

Wir multiplizieren K_p mit dem Bruch:

 G_vor(s) = \frac{K_p}{s(Ts + 1)} 

Die offene Schleifenübertragungsfunktion G_vor(s) im Laplace-Bereich ist somit:

 G_vor(s) = \frac{K_p}{s(Ts + 1)} 

Das ist die gesuchte Gesamtoffene Übertragungsfunktion unter Berücksichtigung der angegebenen Übertragungsfunktionen.

b)

Berechne die geschlossene Schleifenübertragungsfunktion G_{ges}(s) für das gesamte System unter Verwendung der Übertragungsfunktionen aus Teilaufgabe 1. Zeige auch hier alle Zwischenschritte.

Lösung:

Berechnung der geschlossenen Schleifenübertragungsfunktion

Um die geschlossene Schleifenübertragungsfunktion eines Regelungssystems zu berechnen, verwenden wir die offene Schleifenübertragungsfunktion und die Rückkopplungsübertragungsfunktion.

Gegebene Übertragungsfunktionen:

• Plant:
  • Übertragungsfunktion:

     G(s) = \frac{1}{s(Ts + 1)} 

• Regler:
  • Übertragungsfunktion:

     R(s) = K_p 

• Rückkopplung:
  • Übertragungsfunktion:

     H(s) = 1 

Schritt 1: Bestimmung der offenen Schleifenübertragungsfunktion

Die offene Schleifenübertragungsfunktion ergibt sich aus der Multiplikation der Übertragungsfunktionen des Reglers R(s) und des Plants G(s):

 G_{open}(s) = R(s) \times G(s) 

Einsetzen der gegebenen Übertragungsfunktionen:

 G_{open}(s) = K_p \times \frac{1}{s(Ts + 1)} 

Vereinfacht ergibt sich:

 G_{open}(s) = \frac{K_p}{s(Ts + 1)} 

Schritt 2: Berechnung der geschlossenen Schleifenübertragungsfunktion

Die geschlossene Schleifenübertragungsfunktion G_{ges}(s) kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

 G_{ges}(s) = \frac{G_{open}(s)}{1 + G_{open}(s)H(s)} 

Einsetzen von

 G_{open}(s) 

 H(s) 

 G_{ges}(s) = \frac{\frac{K_p}{s(Ts + 1)}}{1 + \frac{K_p}{s(Ts + 1)} \cdot 1} 

Vereinfachen der Gleichung:

Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem Nenner des Bruchteils:

 G_{ges}(s) = \frac{K_p}{s(Ts + 1) + K_p} 

Ergebnis

Die geschlossene Schleifenübertragungsfunktion G_{ges}(s) für das gesamte System ist somit:

 G_{ges}(s) = \frac{K_p}{s(Ts + 1) + K_p} 

Aufgabe 2)

PID-Regler zur Temperaturregelung in einem System

Stell Dir vor, Du hast ein System zur Temperaturregelung in einem Raum. Das Ziel ist es, die Temperatur konstant bei 25°C zu halten. Du sollst dazu einen PID-Regler einsetzen. Der PID-Regler kombiniert Proportional-, Integral- und Differentialanteile, um die Temperaturabweichung im Zeitverlauf zu minimieren. Die PID-Reglerformel lautet:

Regelungsgesetz:

• P-Anteil: \( K_p e(t) \)
• I-Anteil: \( K_i \int_0^t e(\tau) d\tau \)
• D-Anteil: \( K_d \frac{de(t)}{dt} \)

Gesamtausgang des Reglers (Stellgröße):

Hierbei ist \( e(t) \) die Abweichung der aktuellen Temperatur von der Zieltemperatur (25°C).

a)

1. Proportionaler Anteil

Angenommen, die aktuelle Temperatur des Raumes beträgt 22°C. Berechne den proportionalen Anteil \(u_P(t)\) des Reglers, wenn \( K_p = 3 \).

Hinweis: Der Fehler \( e(t) \) ist die Differenz zwischen der Zieltemperatur und der aktuellen Temperatur.

Lösung:

1. Proportionaler Anteil

Um den proportionalen Anteil \(u_P(t)\) des Reglers zu berechnen, müssen wir zunächst den Fehler \(e(t)\) bestimmen.

Der Fehler \(e(t)\) ist die Differenz zwischen der Zieltemperatur und der aktuellen Temperatur. Die Zieltemperatur beträgt 25°C und die aktuelle Temperatur beträgt 22°C.

• Zieltemperatur: 25°C
• Aktuelle Temperatur: 22°C

Der Fehler \(e(t)\) ist daher:

\[ e(t) = 25°C - 22°C = 3°C \]

Nun wenden wir den proportionalen Anteil des Regelungsgesetzes an:

\[ u_P(t) = K_p \cdot e(t) \]

• Proportionalitätskonstante \(K_p\): 3
• Fehler \(e(t)\): 3°C

Einsetzen der Werte:

\[ u_P(t) = 3 \cdot 3 = 9 \]

Der proportionale Anteil \(u_P(t)\) des Reglers beträgt daher 9.

b)

2. Integrierender Anteil

Die Temperaturabweichung \( e(t) \) der letzten 10 Sekunden beträgt konstant 2°C. Berechne den integrierenden Anteil \(u_I(t)\) des Reglers unter Verwendung von \( K_i = 1 \).

Hinweis: \( e(t) = 2 \space \degree C \) konstant für die Zeit \( t \in [0, 10] \).

Lösung:

2. Integrierender Anteil

Um den integrierenden Anteil \(u_I(t)\) des Reglers zu berechnen, verwenden wir die Integralformel des PID-Reglers:

\[ u_I(t) = K_i \int_0^t e(\tau) d\tau \]

Gegeben ist:

• Konstante Temperaturabweichung \(e(t) = 2 \degree C\) für die letzten 10 Sekunden (also für \(t \in [0, 10]\))
• Integrationskonstante \(K_i = 1\)

Da \(e(t)\) konstant ist, wird das Integral einfacher:

\[ u_I(t) = K_i \int_0^{10} 2 \, d\tau \]

Mit \(K_i = 1\):

\[ u_I(t) = 1 \int_0^{10} 2 \, d\tau \]

Das Integral von 2 über das Intervall von 0 bis 10 zu berechnen ergibt:

\[ \int_0^{10} 2 \, d\tau = 2 \tau \Big|_0^{10} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 20 \]

Somit ist der integrierende Anteil \(u_I(t)\):

\[ u_I(t) = 20 \]

Der integrierende Anteil \(u_I(t)\) des Reglers beträgt daher 20.

c)

3. Differenzierender Anteil

Gegeben sei ein abrupter Temperaturwechsel im Raum, bei dem die Temperatur mit einer Rate von 0,5°C pro Sekunde ansteigt. Bestimme den differenzierenden Anteil \(u_D(t)\) für \( K_d = 2 \).

Hinweis: Die Änderungsrate \( de(t)/dt \) ist konstant bei 0,5°C/s.

Lösung:

3. Differenzierender Anteil

Um den differenzierenden Anteil \(u_D(t)\) des Reglers zu berechnen, verwenden wir die Differentialformel des PID-Reglers:

\[ u_D(t) = K_d \frac{de(t)}{dt} \]

Gegeben ist:

• Änderungsrate der Temperatur \( \frac{de(t)}{dt} = 0.5 \degree C/s \)
• Differenzierkonstante \( K_d = 2 \)

Einsetzen der Werte:

\[ u_D(t) = 2 \cdot 0.5 \]

Rechnung:

\[ u_D(t) = 1 \]

Der differenzierende Anteil \(u_D(t)\) des Reglers beträgt daher 1.

d)

4. Gesamter Regelausgang

Angenommen, Du hast alle vorhergehenden Anteile bereits berechnet, wie lautet der gesamte Ausgang \(u(t)\) des PID-Reglers?

• \( u_P(t) \) aus Teil 1
• \( u_I(t) \) aus Teil 2
• \( u_D(t) \) aus Teil 3

Lösung:

4. Gesamter Regelausgang

Um den gesamten Ausgang \(u(t)\) des PID-Reglers zu berechnen, summieren wir die einzelnen Anteile, die wir in den vorhergehenden Teilen berechnet haben:

• Proportionaler Anteil \(u_P(t)\) aus Teil 1: 9
• Integrierender Anteil \(u_I(t)\) aus Teil 2: 20
• Differenzierender Anteil \(u_D(t)\) aus Teil 3: 1

Der gesamte Ausgang \(u(t)\) des PID-Reglers lässt sich nun durch Addition der einzelnen Anteile berechnen:

\[ u(t) = u_P(t) + u_I(t) + u_D(t) \]

Einsetzen der berechneten Werte:

\[ u(t) = 9 + 20 + 1 = 30 \]

Der gesamte Ausgang \(u(t)\) des PID-Reglers beträgt daher 30.

Aufgabe 3)

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System, dessen charakteristisches Polynom durch folgende Gleichung gegeben ist:

• P(s) = s^4 + 3s^3 + 2s^2 + 4s + 5
• Ermittle die Stabilität dieses Systems anhand des Routh-Hurwitz-Kriteriums.

a)

• Bestimme die erste und die zweite Zeile der Routh-Tabelle durch Ausfüllen der Koeffizienten.
• Erkläre die Schritte zur Berechnung der weiteren Zeilen der Routh-Tabelle. Fülle die Tabelle aus.

Lösung:

Um die Stabilität des Systems anhand des Routh-Hurwitz-Kriteriums zu ermitteln, müssen wir die Routh-Tabelle erstellen. Dies erfordert mehrere Schritte:

Schritt 1: Bestimmung der ersten und zweiten Zeile der Routh-Tabelle

Die Routh-Tabelle wird aus den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms gebildet:

P(s) = s^4 + 3s^3 + 2s^2 + 4s + 5

Die erste und zweite Zeile der Routh-Tabelle enthalten die Koeffizienten abwechselnd:

• Erste Zeile: 1, 2, 5
• Zweite Zeile: 3, 4, 0

  s^4 | 1 | 2 | 5  s^3 | 3 | 4 | 0

Schritt 2: Berechnung der weiteren Zeilen der Routh-Tabelle

Die weiteren Zeilen der Routh-Tabelle werden durch Anwendung des Determinantenverfahrens berechnet:Wir fokussieren uns auf die erste Spalte jeder neuen Zeile.

s²-Zeile:

Die Elemente berechnen sich aus der Determinante der Matrizen, die von den Koeffizienten der oberen Zeilen gebildet werden:

  s^4 | 1   | 2 | 5  s^3 | 3   | 4 | 0  s^2 | ((3*2 - 1*4)/3) | ((3*5 - 1*0)/3) | 0

Berechnung:

• Erstes Element der s²-Zeile: \( \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3} \)
• Zweites Element der s²-Zeile: \( \frac{15}{3} = 5 \)

  s^4 | 1 | 2 | 5  s^3 | 3 | 4 | 0  s^2 | \frac{2}{3} | 5 | 0

s¹-Zeile:

Analog werden die Elemente berechnet:

  s^4 | 1    | 2 | 5  s^3 | 3    | 4 | 0  s^2 | \frac{2}{3} | 5 | 0  s^1 | ((\frac{2}{3}*4 - 3*5)/\frac{2}{3}) | ((\frac{2}{3}*0 - 3*0)/\frac{2}{3})

Berechnung:

• Erstes Element der s¹-Zeile: \( \frac{ \frac{8}{3} - 15 }{ \frac{2}{3} } = \frac{ \frac{8}{3} - \frac{45}{3} }{ \frac{2}{3} } = \frac{ \frac{-37}{3} }{ \frac{2}{3} } = -\frac{37}{2} \)
• Zweites Element der s¹-Zeile: 0

  s^4 | 1 | 2   | 5  s^3 | 3 | 4   | 0  s^2 | \frac{2}{3} | 5 | 0  s^1 | -\frac{37}{2} | 0

s⁰-Zeile:

Das letzte Element bleibt der letzte Koeffizient der Charakteristik:

  s^4 | 1     | 2 | 5  s^3 | 3     | 4 | 0  s^2 | \frac{2}{3} | 5 | 0  s^1 | -\frac{37}{2} | 0  s^0 | 5

Schlussfolgerung zur Stabilität:

Das System ist stabil, wenn alle Einträge der ersten Spalte der Routh-Tabelle positive Vorzeichen haben. In diesem Fall enthält die Tabelle sowohl positive als auch negative Werte, was auf ein instabiles System hinweist.

b)

• Überprüfe die Stabilität des Systems, indem Du die Vorzeichen der Einträge in der ersten Spalte der Routh-Tabelle analysierst. Erläutere, ob und warum das System stabil ist.

Lösung:

Um die Stabilität des Systems anhand des Routh-Hurwitz-Kriteriums zu überprüfen, müssen wir die Vorzeichen der Einträge in der ersten Spalte der Routh-Tabelle analysieren. Die Routh-Tabelle für das gegebene charakteristische Polynom:

P(s) = s^4 + 3s^3 + 2s^2 + 4s + 5

wurde wie folgt erstellt:

  s^4 | 1         | 2 | 5  s^3 | 3         | 4 | 0  s^2 | \frac{2}{3}  | 5 | 0  s^1 | -\frac{37}{2} | 0 | 0  s^0 | 5

Analyse der Vorzeichen in der ersten Spalte:

• Erster Eintrag (s⁴): 1 (positiv)
• Zweiter Eintrag (s³): 3 (positiv)
• Dritter Eintrag (s²): \(\frac{2}{3}\) (positiv)
• Vierter Eintrag (s¹): -\(\frac{37}{2}\) (negativ)
• Fünfter Eintrag (s⁰): 5 (positiv)

Die Stabilität eines Systems gemäß dem Routh-Hurwitz-Kriterium setzt voraus, dass alle Einträge in der ersten Spalte der Routh-Tabelle positiv sind. In diesem Fall haben wir einen negativen Eintrag (-\(\frac{37}{2}\) in der s¹-Zeile), was darauf hinweist, dass das System instabil ist.

Schlussfolgerung zur Stabilität:

Das System ist instabil, da in der ersten Spalte der Routh-Tabelle ein negatives Vorzeichen vorhanden ist. Dies bedeutet, dass das lineare zeitinvariante System nicht alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms mit negativen Realteilen hat – eine Voraussetzung für Stabilität.

Aufgabe 4)

Gegeben sei die offene Übertragungsfunktion eines Regelkreises

• \(G(s)H(s) = \frac{4}{s(s+1)(s+2)}\)

b)

Bestimme die Anzahl der instabilen Pole des offenen Regelkreises \(P\) und zeige, wie sie im Nyquist-Diagramm berücksichtigt werden.

Lösung:

Bestimmen der Anzahl der instabilen Pole des offenen Regelkreises

Die gegebene offene Übertragungsfunktion ist:

• \(G(s)H(s) = \frac{4}{s(s+1)(s+2)}\)

1. Pole der Übertragungsfunktion bestimmen

Um die Pole von \(G(s)H(s)\) zu identifizieren, setzen wir die Nennerfunktion gleich Null und lösen nach \(s\) auf:

• \(s(s+1)(s+2) = 0\)
• \(s = 0\)
• \(s = -1\)
• \(s = -2\)

Die Pole sind also bei \(s = 0\), \(s = -1\), und \(s = -2\).

2. Bestimmen der Anzahl der instabilen Pole

Ein Pol ist instabil, wenn sein Realteil positiv ist. Betrachten wir die Pole des Systems:

• \(s = 0\) (auf der imaginären Achse, grenzwertig stabil)
• \(s = -1\) (stabil, da negative Realteil)
• \(s = -2\) (stabil, da negative Realteil)

Der Regelkreis hat also keinen instabilen Pol, da keiner der Pole einen positiven Realteil hat.

3. Berücksichtigung im Nyquist-Diagramm

Da es keine instabilen Pole gibt, müssen wir keine speziellen Maßnahmen im Nyquist-Diagramm ergreifen, um diese zu berücksichtigen. Das Nyquist-Diagramm wird damit nur die Stabilität des geschlossenen Regelkreises basierend auf der Nyquist-Kurve und dem Umlaufkriterium beurteilen:

• Nyquist-Kriterium: Die Anzahl der Umläufe der Nyquist-Kurve um den kritischen Punkt \(-1 + j0\) im Uhrzeigersinn minus die Anzahl der Umläufe gegen den Uhrzeigersinn bestimmt die Stabilität des geschlossenen Regelkreises.

Zusammenfassung

Für die Übertragungsfunktion \(G(s)H(s) = \frac{4}{s(s+1)(s+2)}\) gibt es keinen instabilen Pol. Daher müssen im Nyquist-Diagramm keine instabilen Pole berücksichtigt werden. Bei der Erstellung des Nyquist-Diagramms und der Anwendung des Nyquist-Kriteriums sollten wir sicherstellen, dass die Kurve den kritischen Punkt \(-1 + j0\) korrekt umschließt, um die Stabilität des geschlossenen Regelkreises zu bestimmen.

c)

Nutze das Umlaufkriterium, um die Anzahl der instabilen Pole \(Z\) des geschlossenen Regelkreises zu bestimmen. Argumentiere, ob der geschlossene Regelkreis stabil ist oder nicht. Gehe dabei auf den kritischen Punkt \(-1 + 0j\) und seine Umgebung ein.

Lösung:

Stabilitätsanalyse mittels Umlaufkriterium

Die gegebene offene Übertragungsfunktion ist:

• \(G(s)H(s) = \frac{4}{s(s+1)(s+2)}\)

Schritte zur Bestimmung der Stabilität des geschlossenen Regelkreises

1. Bestimmen der Pole der offenen Übertragungsfunktion

Die Pole der Übertragungsfunktion finden wir durch Lösen des Nenners:

• \(s(s+1)(s+2) = 0\)
• \(s = 0\)
• \(s = -1\)
• \(s = -2\)

Alle Pole haben negative oder null Realteile. Somit hat die offene Übertragungsfunktion keine instabilen Pole, also ist \(P = 0\).

2. Nyquist-Diagramm und kritischer Punkt

Um das Nyquist-Diagramm zu erstellen, berechnen wir den Frequenzgang der Übertragungsfunktion:

• Ersetzen von \(s\) durch \(j\omega\):\(G(j\omega)H(j\omega) = \frac{4}{j\omega (j\omega+1)(j\omega+2)}\)
• Evaluieren der Funktion für verschiedene Werte von \(\omega\) (von \(-\infty\) bis \(+\infty\)).

Ein kritischer Punkt für die Stabilitätsbetrachtung ist \(-1 + 0j\). Das Nyquist-Kriterium untersucht die Umlaufanzahl um diesen Punkt.

3. Bestimmung der Anzahl der Umläufe \(N\)

Die Nyquist-Kurve zeigt, wie oft die Frequenzgangkurve den kritischen Punkt \(-1 + 0j\) umkreist:

• Für große Werte von \(\omega\) (sowohl positive als auch negative) nähert sich die Kurve dem Ursprung \((0,0)\).
• Für kleine Werte von \(\omega\) (nahe null) bewegt sich die Kurve entlang der imaginären Achse. Die Nyquist-Kurve wird nicht um den Punkt \(-1 + 0j\) herumführen.

Weil die Nyquist-Kurve keine Umläufe um den kritischen Punkt \(-1 + 0j\) macht, ist \(N = 0\).

4. Bestimmung der Anzahl der instabilen Pole des geschlossenen Kreises \(Z\)

Das Umlaufkriterium gibt uns die Anzahl der instabilen Pole \(Z\) des geschlossenen Regelkreises durch die Formel:

• \(Z = N + P\)
• \(N = 0\) (Anzahl der Umläufe um den kritischen Punkt)
• \(P = 0\) (Anzahl der instabilen Pole der offenen Übertragungsfunktion)
• Daher: \(Z = 0 + 0 = 0\)

Stabilität des geschlossenen Regelkreises

Da \(Z = 0\) bedeutet, dass keine instabilen Pole im geschlossenen Regelkreis vorhanden sind, ist der geschlossene Regelkreis stabil.