Fundamentals of electrical engineering - Exam

Aufgabe 1)

Elektrotechnik in einem Computernetzwerk: Ein Netzwerk-Modul in einem Computer enthält drei Widerstände (R1, R2, R3), die in einem Dreieck (Mesh) konfiguriert sind. Es gibt eine Spannungsquelle V, die an den Knoten A und B angeschlossen ist. Der Knoten C ist frei von externen Verbindungen. Die Werte der Widerstände und der Spannung sind wie folgt:

• R1 = 100 Ohm (zwischen A und B)
• R2 = 150 Ohm (zwischen B und C)
• R3 = 200 Ohm (zwischen C und A)
• V = 10V (zwischen A und B)

Nutze das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Gesetze zur Analyse der Stromkreise und zur Berechnung der Ströme durch die Widerstände.

a)

Berechne den Strom durch den Widerstand R1 (zwischen A und B) unter Verwendung des Ohmschen Gesetzes und der angegebenen Daten.

Lösung:

Lösung: Um den Strom durch den Widerstand R1 (zwischen A und B) zu berechnen, verwenden wir das Ohmsche Gesetz. Das Ohmsche Gesetz besagt, dass der Strom \( I \) durch einen Widerstand \( R \) mit der angelegten Spannung \( V \) berechnet werden kann durch:

• \( I = \frac{V}{R} \,\)

In diesem Fall liegt die Spannung direkt über den Widerstand R1. Die gegebenen Werte sind:

• R1 = 100 Ohm
• V = 10V

Setzen wir diese Werte in das Ohmsche Gesetz ein:

• \( I = \frac{10\,V}{100\,\Omega} \)

Das liefert uns:

• \( I = 0,1\,A \)

Daher beträgt der Strom durch den Widerstand R1 (zwischen A und B) 0,1 A oder 100 mA.

b)

Verwende das Kirchhoffsche Knotenpunktgesetz (KCL) und das Kirchhoffsche Maschengesetz (KVL), um die Ströme durch R2 und R3 zu berechnen. Zeige alle Berechnungsschritte und Formeln.

Lösung:

Lösung:Um die Ströme durch die Widerstände R2 und R3 zu berechnen, nutzen wir das Kirchhoffsche Knotenpunktgesetz (KCL) und das Kirchhoffsche Maschengesetz (KVL). Hier sind die notwendigen Schritte im Detail:Schritt 1: Definition der StrömeWir definieren die Ströme durch die Widerstände wie folgt:

• \( I_1 \): Strom durch R1 von A nach B
• \( I_2 \): Strom durch R2 von B nach C
• \( I_3 \): Strom durch R3 von C nach A

Schritt 2: Anwendung des KCL an den KnotenAm Knoten B gilt:

• \( I_1 = I_2 + I_3 \)

Da der Knoten C keine externen Verbindungen hat, folgt daraus am Knoten C:

• \( I_3 = I_1 - I_2 \)

Schritt 3: Anwendung des KVL auf die MaschenIm Dreieck gibt es zwei unabhängige Maschen. Wir betrachten diese Maschen:

• Masche 1: A -> B -> C -> A \(-I_1 R_{1} + I_2 R_{2} + I_3 R_{3} = 0\)
• \(-I_1 \cdot 100 + I_2 \cdot 150 + (I_1 - I_2) \cdot 200 = 0\)

Vereinfachen der Gleichung ergibt:

• \(-100 I_1 + 150 I_2 + 200 I_1 - 200 I_2 = 0\)
• \(100 I_1 - 50 I_2 = 0\)

Durch Umstellen erhalten wir:

• \(2 I_1 = I_2\) oder \(I_2 = 2 I_1\)

• Masche 2: A -> B (direkt über die Spannungsquelle) \(V = I_1 R_{1}\)
• \(10 = I_1 \cdot 100\)

• \(I_1 = 0.1 A\)

• Mit \(I_2 = 2 I_1\): \(I_2 = 2 \cdot 0.1 = 0.2 A\)

• Mit KCL gilt: \(I_3 = I_1 - I_2\): \(I_3 = 0.1 - 0.2 = -0.1 A\)

Zusammenfassung:

• Der Strom durch den Widerstand R2 (zwischen B und C) beträgt \(0.2 A\) (oder 200 mA)
• Der Strom durch den Widerstand R3 (zwischen C und A) beträgt \(-0.1 A\) (oder -100 mA)

Der negative Wert für \( I_3 \) bedeutet einfach, dass der wirkliche Stromfluss durch R3 in die entgegengesetzte Richtung verläuft.

Aufgabe 2)

Gegeben sei das folgende elektrische Netzwerk, bestehend aus drei Widerständen R1, R2 und R3 und zwei Spannungsquellen V1 und V2. Die Widerstände sind wie folgt verbunden:

• R1 ist in Serie mit der Spannungsquelle V1 verbunden.
• R2 und R3 sind parallelgeschaltet und diese Parallelschaltung ist in Serie mit der Spannungsquelle V2 zu V1 und R1 geschaltet.

Es sind die Knotenregel (Kirchhoff'sche Knotenregel, KCL) und die Maschenregel (Kirchhoff'sche Spannungsregel, KVL) anzuwenden.

Die Eigenschaften der Bauelemente sind folgende:

• R1 = 10 Ω
• R2 = 15 Ω
• R3 = 20 Ω
• V1 = 10 V
• V2 = 5 V

a)

Bestimme die gesamten Widerstand (R_ges) der Schaltung:

• Gib die einzelnen Schritte zur Berechnung des Gesamtwiderstands an und berücksichtige dabei sowohl die Serien- als auch die Parallelschaltungen.

Lösung:

Berechnung des gesamten Widerstands (R_ges) der Schaltung:

• Um den gesamten Widerstand der Schaltung zu bestimmen, müssen wir sowohl die Serien- als auch die Parallelschaltungen berücksichtigen. Damit werden wir den Widerstand der Parallelschaltung von R2 und R3 berechnen und diesen Wert dann zur Serienschaltung mit R1 hinzufügen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

• Berechnung des Parallelwiderstands (R_p) von R2 und R3:
• Formel für den Parallelwiderstand:

• \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\) 

• Eingesetzte Werte:

•  \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{15 \text{ Ω}} + \frac{1}{20 \text{ Ω}}\) 

• Berechnung:

•  \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60}\) 

• Umstellen nach R_p:

•  \(R_{p} = \frac{60}{7} \text{ Ω}\) 

• Ergebnis:

•  \(R_{p} \text{ ≈ 8.57 Ω}\) 

• Berechnung des Gesamtwiderstands (R_ges), indem der Serienwiderstand R1 zum Parallelwiderstand R_p hinzugefügt wird:
• Formel für den Gesamtwiderstand bei Serienschaltung:

• \(R_{ges} = R_{1} + R_{p}\) 

• Eingesetzte Werte:

•  \(R_{ges} = 10 \text{ Ω} + 8.57 \text{ Ω}\) 

• Berechnung:

•  \(R_{ges} \text{ ≈ 18.57 Ω}\) 

Zusammenfassung:

• Der gesamte Widerstand der Schaltung beträgt ca. 18.57 Ω

b)

Verwende Kirchhoff's Knotenregel an einem geeigneten Knoten:

• Formuliere die Gleichung basierend auf dem Stromgesetz an einem Knotenpunkt und löse die Gleichung zur Bestimmung der Ströme im Netzwerk.

Lösung:

Anwendung von Kirchhoff's Knotenregel (KCL):

• Um die Knotenregel richtig anzuwenden, müssen wir einen geeigneten Knotenpunkt im Netzwerk finden, wo mehrere Ströme zusammenkommen. In diesem Fall wählen wir den Knotenpunkt zwischen R1, R2 und R3.

Definition der Ströme:

• Bezeichnen wir die Ströme wie folgt:
• I₁ ist der Strom durch R1.
• I₂ ist der Strom durch R2.
• I₃ ist der Strom durch R3.

Kirchhoff's Knotenregel:

• Kirchhoff's Knotenregel besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, gleich der Summe der Ströme ist, die aus dem Knoten herausfließen. Dies können wir wie folgt ausdrücken:

  \(I_1 = I_2 + I_3\)

Analyse der Spannungsquellen und Bauteile:

• Geradefließen die Gesamtspannung (V₁ + V₂) durch die Kombination der Widerstände (R1, R2 und R3): V_ges = V₁ + V₂ = 10V + 5V = 15V
• Für die Berechnung nutzen wir Ohm'sches Gesetz (V = I * R):
• Durch R1:

   \(V_1 = I_1 * R_1\)

• Durch die Parallelschaltung von R2 und R3 fließt dieselbe Spannung (V_2):

Berechnung der Ströme:

• Strom durch R1:

  \(I_1 = \frac{V_{ges}}{R_1}\) = \(\frac{15V}{10\Omega}\) = 1.5A

• Zur Berechnung von I₂ und I₃ nutzen wir den Widerstandswert von R2 und R3:
• Strom durch R2:

  \(I_2 = \frac{V_2}{R_2}\) = \(\frac{15V}{15\Omega}\) = 1A

• Strom durch R3:

  \(I_3 = \frac{V_2}{R_3}\) = \(\frac{15V}{20\Omega}\) = 0.75A

• Zusammenfassung der Ströme am Knotenpunkt mit Hilfe Kirchhoff'scher Knotenregel:

  \(I_1 = I_2 + I_3\) = 1A + 0.75 A = 1.75A

Zusammenfassung:
• Mit Nutzung von Kirchhoff's Knotenregel haben wir erfolgreich die Werte der Ströme in dem Netzwerk bestimmt. Diese sind: I₁ = 1.5A, I₂ = 1A, I₃ = 0.75A.
• Die Stromregel am Knotenpunkt bestätigt sich als:

  \(I_1 = I_2 + I_3\)

d)

Analysiere das Netzwerk mithilfe des Superpositionsprinzips:

• Betrachte zuerst die Wirkung von V1 allein, dann von V2 allein und überlagere anschließend die Wirkungen, um die Spannungen und Ströme im gesamten Netzwerk zu bestimmen.

Lösung:

Analyse des Netzwerks mithilfe des Superpositionsprinzips:

• Das Superpositionsprinzip besagt, dass in einem linearen Netzwerk mit mehreren unabhängigen Spannungsquellen die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom durch das Überlagern der Wirkungen der einzelnen Spannungsquellen bestimmt werden kann. Dabei muss jede unabhängige Spannungsquelle separat betrachtet werden, wobei alle anderen Spannungsquellen durch ihre Innenwiderstände ersetzt werden.
Schritt-für-Schritt-Analyse:

1. Betrachtung der Wirkung von V1 allein:

• Wenn V2 deaktiviert wird (kurzgeschlossen), haben wir nur V1 mit dem seriellen Widerstand R1. Die Parallelschaltung von R2 und R3 beeinflusst nicht den Pfad von V1.
• In diesem Fall fließt der Strom nur durch R1:

  \(I_{1,1} = \frac{V_{1}}{R_{1}} = \frac{10V}{10Ω} = 1A\)

• Die Spannung an R1 ist:

  \(V_{R1,1} = I_{1,1} \cdot R_{1} = 1A \cdot 10Ω = 10V\)

• Da R2 und R3 parallelgeschaltet, aber keine Spannungsquelle vorhanden ist, ist die Spannung an R2 und R3 gleich null:

  \(V_{R2,1} = V_{R3,1} = 0V\)

Betrachtung der Wirkung von V2 allein:

• Wenn V1 deaktiviert wird (kurzgeschlossen), haben wir nur V2, das in Serie mit der Parallelschaltung von R2 und R3 ist.
• Die Spannung V2 teilt sich auf die beiden parallelen Widerstände R2 und R3 auf:
• Gesamtwiderstand der Parallelschaltung (R_p):

   \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\) \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{15Ω} + \frac{1}{20Ω}\) \(\frac{1}{R_{p}} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60}\) \(R_{p} = \frac{60}{7}Ω \approx 8.57Ω\)

• Der Strom durch die Parallelschaltung:

  \(I_{2,2} = \frac{V_{2}}{R_{p}} = \frac{5V}{8.57Ω} \approx 0.58A\)

• Die Ströme durch R2 und R3:

  \(I_{R2,2} = \frac{V_{2}}{R_{2}} = \frac{5V}{15Ω} \approx 0.33A\)

  \(I_{R3,2} = \frac{V_{2}}{R_{3}} = \frac{5V}{20Ω} = 0.25A\)

• Die Spannungen über R2 und R3 sind gleich V2:

  \(V_{R2,2} = V_{R3,2} = 5V\)

Überlagerung der Wirkungen von V1 und V2:

• Die Spannungen und Ströme im gesamten Netzwerk werden durch Überlagerung der Einzelwirkungen ermittelt.
• Gesamtstrom durch R1 (nur durch V1 beeinflusst):

  \(I_{1,ges} = I_{1,1} = 1A\)

• Gesamtspannung über R1:

  \(V_{R1,ges} = V_{R1,1} = 10V\)

• Gesamtstrom durch R2:

  \(I_{R2,ges} = 0A + I_{R2,2} = 0A + 0.33A = 0.33A\)

• Gesamtstrom durch R3:

  \(I_{R3,ges} = 0A + I_{R3,2} = 0A + 0.25A = 0.25A\)

• Gesamtspannung über R2 und R3:

  \(V_{R2,ges} = V_{R3,ges} = V_{R2,2} = V_{R3,2} = 5V\)

Zusammenfassung:

• Die Spannungen und Ströme im Netzwerk berechnet durch das Superpositionsprinzip sind:
• Gesamtstrom durch R1: 1A
• Gesamtspannung über R1: 10V
• Gesamtstrom durch R2: 0.33A
• Gesamtstrom durch R3: 0.25A
• Gesamtspannung über R2 und R3: 5V

Aufgabe 3)

In einem digitalen System soll ein automatisierter Sicherheitsschalter implementiert werden. Dieser Schalter nutzt die binären Eingänge A, B und C, um zu entscheiden, ob der Schalter aktiviert oder deaktiviert werden soll. Der Schalter aktiviert nur, wenn zwei oder mehr der Eingänge aktive Zustände (1) haben.

a)

Erstelle eine logische Gleichung, die beschreibt, wann der Schalter aktiviert wird. Nutze dafür die grundlegenden Booleschen Operationen.

Lösung:

Um eine logische Gleichung für den automatisierten Sicherheitsschalter zu erstellen, der aktiviert werden soll, wenn zwei oder mehr der Eingänge A, B und C den aktiven Zustand (1) haben, können wir die grundlegenden Booleschen Operationen nutzen.

Die möglichen Kombinationen, bei denen der Schalter aktiviert wird, sind:

• A und B sind 1
• A und C sind 1
• B und C sind 1
• A, B und C sind alle 1

Dies kann mit der folgenden logischen Gleichung beschrieben werden:

 Schalter = (A UND B) ODER (A UND C) ODER (B UND C) 

In Boolescher Algebra ausgedrückt:

 Schalter = (A * B) + (A * C) + (B * C) 

In dieser Gleichung steht * für die UND-Operation und + für die ODER-Operation.

b)

Erstelle die Wahrheitstabelle für die logische Gleichung aus dem ersten Teil. Zeige alle möglichen Kombinationen der Eingänge A, B und C und den resultierenden Ausgangszustand.

Lösung:

Um die Wahrheitstabelle für die logische Gleichung zu erstellen, müssen wir alle möglichen Kombinationen der Eingänge A, B und C betrachten und den resultierenden Ausgangszustand bestimmen. Die Gleichung aus dem ersten Teil lautet:

 Schalter = (A * B) + (A * C) + (B * C) 

Hier ist die Wahrheitstabelle:

A	B	C	Schalter
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Diese Tabelle zeigt alle möglichen Kombinationen der binären Eingänge A, B und C sowie den resultierenden Zustand des Schalters. Wenn zwei oder mehr Eingänge den aktiven Zustand (1) haben, wird der Schalter aktiviert (1).

c)

Vereinfach die logische Gleichung mithilfe der Gesetze der Booleschen Algebra und zeige jeden Schritt der Vereinfachung. Stelle sicher, dass die vereinfachte Gleichung weiterhin korrekt die ursprüngliche Bedingung für den Sicherheitsschalter erfüllt.

Lösung:

Um die logische Gleichung für den automati­sierten Sicherheitsschalter mithilfe der Gesetze der Booleschen Algebra zu vereinfachen, beginnen wir mit der ursprünglichen Gleichung:

 Schalter = (A * B) + (A * C) + (B * C) 

Schritt 1: Anwenden des Distributivgesetzes

Wir gruppieren und faktorisieren die Terme, um Gemeinsamkeiten zu identifizieren:

 Schalter = (A * B) + (A * C) + (B * C)  = A * (B + C) + (B * C) 

Schritt 2: Anwenden des Konsensusgesetzes

Wir verwenden das Konsensusgesetz der Booleschen Algebra, welches besagt, dass:

 A * C + !A * B + B * C = (A + B) * (B + C) (falls C = B) 

Hier müssen wir überprüfen, ob wir weitere Vereinfachungen machen können, aber in diesem Fall ist (A * B) und (A * C) nicht zu berücksichtigen. Daher wird keine weitere Vereinfachung stattfinden.

Die Vereinfachung bewahrt die Bedingungen der ursprünglichen logischen Gleichung. Daher ist die vereinfachte Version der Gleichung korrekt und erfüllt weiterhin die ursprüngliche Bedingung für den Schalter.

Daher lautet die endgültige, vereinfachte Gleichung:

 Schalter = A * B + A * C + B * C 

Aufgabe 4)

In einem Zeitbereichs-analysierten Signal wird die Funktion \[x(t) = 5 \, \text{sin}(2\pi \, 50 \, t) + 3 \, \text{cos}(2\pi \, 120 \, t)\] definiert. Du sollst dieses Signal sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich analysieren.

a)

• Berechne die Fourier-Transformation von \(x(t)\) und bestimme die Frequenzkomponenten des Signals.

Lösung:

Um die Fourier-Transformation der Funktion \(x(t) = 5 \, \text{sin}(2\pi \, 50 \, t) + 3 \, \text{cos}(2\pi \, 120 \, t)\) zu berechnen und die Frequenzkomponenten zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Identifiziere die Komponenten der Funktion
  • Die Funktion besteht aus zwei Teilen:
    • Der erste Teil ist ein Sinus-Term: \(5 \, \text{sin}(2\pi \, 50 \, t)\)
    • Der zweite Teil ist ein Kosinus-Term: \(3 \, \text{cos}(2\pi \, 120 \, t)\)

• Schritt 2: Fourier-Transformation von Sinus und Kosinus
  • Die Fourier-Transformation eines Sinus-Signals lautet:
  • \[\mathcal{F}[\sin(2\pi f_0 t)] = \frac{1}{2i}(\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0))\]
  • Die Fourier-Transformation eines Kosinus-Signals lautet:
  • \[\mathcal{F}[\cos(2\pi f_0 t)] = \frac{1}{2}(\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0))\]

• Schritt 3: Anwenden der Fourier-Transformation auf die gegebene Funktion
  • Für den Sinus-Term:
  • \[\mathcal{F}[5 \, \text{sin}(2\pi \, 50 \, t)] = 5 \, \frac{1}{2i} (\delta(f - 50) - \delta(f + 50))\]
  • Für den Kosinus-Term:
  • \[\mathcal{F}[3 \, \text{cos}(2\pi \, 120 \, t)] = 3 \, \frac{1}{2}(\delta(f - 120) + \delta(f + 120))\]

• Schritt 4: Zusammensetzen der Fourier-Transformationen
  • Summiere die Fourier-Transformationen:
  • \[\mathcal{F}[x(t)] = 5 \, \frac{1}{2i} (\delta(f - 50) - \delta(f + 50)) + 3 \, \frac{1}{2}(\delta(f - 120) + \delta(f + 120))\]
  • Vereinfachung:
  • \[\mathcal{F}[x(t)] = -2.5i \delta(f - 50) + 2.5i \delta(f + 50) + 1.5 \delta(f - 120) + 1.5 \delta(f + 120)\]

Die Frequenzkomponenten des Signals sind somit:

• 50 Hz und -50 Hz mit einer Amplitude von 5 (aufgeteilt in real und imaginär)
• 120 Hz und -120 Hz mit einer Amplitude von 3 (real)

b)

• Zeichne das Amplitudenspektrum des Signals \(x(t)\) und beschreibe die resultierenden Hauptfrequenzen und Amplituden.

Lösung:

Um das Amplitudenspektrum des Signals \(x(t) = 5 \, \text{sin}(2\pi \, 50 \, t) + 3 \, \text{cos}(2\pi \, 120 \, t)\) zu zeichnen und die resultierenden Hauptfrequenzen und Amplituden zu beschreiben, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Bestimme die Fourier-Transformation

• Wir haben bereits vorher die Fourier-Transformation von \(x(t)\) berechnet:
  • \[\mathcal{F}[x(t)] = -2.5i \delta(f - 50) + 2.5i \delta(f + 50) + 1.5 \delta(f - 120) + 1.5 \delta(f + 120)\]

• Schritt 2: Zeichne das Amplitudenspektrum - Um das Amplitudenspektrum des Signals zu zeichnen, berücksichtigen wir die Vorzeichen der Delta-Funktionen und die Amplituden:
  • Die Frequenzkomponenten sind:
  • \(f = 50 \) Hz und \(f = -50\) Hz, beide mit einer Amplitude von \(2.5\)
  • \(f = 120 \) Hz und \(f = -120\) Hz, beide mit einer Amplitude von \(1.5\)

• Schritt 3: Skizzieren des Amplitudenspektrums
  • Die Amplitudenverteilung wird bei den Frequenzen \(50 \text{ Hz} \, ,\ -50 \, \text{ Hz}\), \(120 \, \text{Hz}\) und \(-120 \, \text{Hz}\) maximale Peaks zeigen:
  • Peak bei \(50 \, \text{Hz} \rightarrow \text{Amplitude} = 2.5\)
  • Peak bei \(-50 \, \text{Hz} \rightarrow \text{Amplitude} = 2.5\)
  • Peak bei \(120 \, \text{Hz} \rightarrow \text{Amplitude} = 1.5\)
  • Peak bei \(-120 \, \text{Hz} \rightarrow \text{Amplitude} = 1.5\)

Beschreibung der resultierenden Hauptfrequenzen und Amplituden:

• Das Amplitudenspektrum zeigt 4 Hauptfrequenzen:
• 50 Hz und -50 Hz beide haben eine Amplitude von 2.5
• 120 Hz und -120 Hz beide haben eine Amplitude von 1.5
• Diese Werte repräsentieren die Stärke der Frequenzkomponenten im Signal.

Hier ist eine grafische Darstellung des Amplitudenspektrums (bitte in einem geeigneten grafischen Zeichenwerkzeug zeichnen oder in einem Simulationstool plotten):

Amplitudenspektrum:

• x-Achse: Frequenzen (Hz)
• y-Achse: Amplitude (keine Einheit)

• Ein Peak von 2.5 bei 50 Hz
• Ein Peak von 2.5 bei -50 Hz
• Ein Peak von 1.5 bei 120 Hz
• Ein Peak von 1.5 bei -120 Hz

c)

• Bestimme die inversen Fourier-Transformation von \(X(f)\) und überprüfe, ob Du das ursprüngliche Signal \(x(t)\) zurückerhältst.

Lösung:

Um die inverse Fourier-Transformation von \(X(f)\) zu bestimmen und zu überprüfen, ob wir das ursprüngliche Signal \( x(t) \) zurückerhalten, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Fourier-Transformation von \( x(t) \) - Vorab, hier ist die Fourier-Transformation von \( x(t) \)
  • Wir haben bereits vorher die Fourier-Transformation von \( x(t) \) berechnet:
    • \[ \mathcal{F}[x(t)] = -2.5i \delta(f - 50) + 2.5i \delta(f + 50) + 1.5 \delta(f - 120) + 1.5 \delta(f + 120) \]

• Schritt 2: Formuliere die inverse Fourier-Transformation - Die allgemeine Form der inversen Fourier-Transformation lautet folgendermaßen:
  • \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \, e^{2\pi i f t} \, df \]
  • Setze nun \( X(f) \) in die Formel ein:
  • \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \, [ -2.5i \delta(f - 50) + 2.5i \delta(f + 50) + 1.5 \delta(f - 120) + 1.5 \delta(f + 120) ] \, e^{2\pi i f t} \, df \]

• Schritt 3: Anwendung der Delta-Funktionen - Die Delta-Funktion \( \delta(f - f_0) \) hat die Eigenschaft, dass:
  • \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(f - f_0) \, g(f) \, df = g(f_0) \]
  • Wende diese Eigenschaft auf unsere Integration an:
  • \[ x(t) = [ -2.5i \, e^{2\pi i \, 50 \, t} ] + [ 2.5i \, e^{2\pi i \, (-50) \, t} ] + [ 1.5 \, e^{2\pi i \, 120 \, t} ] + [ 1.5 \, e^{2\pi i \, (-120) \, t} ] \]

• Schritt 4: Vereinfachen und Rückumformung - Die imaginären Einheiten und die Exponentialfunktionen können als Sinus- und Kosinusfunktionen umgeschrieben werden:
  • Nutze die Euler-Formel: \( e^{2\pi i \, f \, t} = \cos(2\pi \, f \, t) + i \, \sin(2\pi \, f \, t) \)
  • Für die Umformung:\[ e^{2\pi i \, 50 \, t} = \cos(2\pi \, 50 \, t) + i \, \sin(2\pi \, 50 \, t) \]
  • \[ x(t) = -2.5i (\cos(2\pi \, 50 \, t) + i \sin(2\pi \, 50 \, t)) + 2.5i (\cos(-2\pi \, 50 \, t) + i \sin(-2\pi \, 50 \, t)) + 1.5(\cos(2\pi \, 120 \, t) + i \sin(2\pi \, 120 \, t)) + 1.5 (\cos(-2\pi \, 120 \, t) + i \sin(-2\pi \, 120 \, t)) \]
  • Da \( \sin(-x) = -\sin(x) \) und \( \cos(-x) = \cos(x) \), schreibe um:
  • \[ x(t) = -2.5i (\cos(2\pi \, 50 \, t) + i \sin(2\pi \, 50 \, t)) + 2.5i (\cos(2\pi \, 50 \, t) - i \sin(2\pi \, 50 \, t)) + 1.5 (\cos(2\pi \, 120 \, t) + i \sin(2\pi \, 120 \, t)) + 1.5 (\cos(2\pi \, 120 \, t) - i \sin(2\pi \, 120 \, t)) \]
  • Vereinfachung:
  • \[ x(t) = 5 \sin(2\pi \, 50 \, t) + 3 \cos(2\pi \, 120 \, t) \]

Damit haben wir gezeigt, dass die inverse Fourier-Transformation von \( X(f) \) das ursprüngliche Signal \( x(t) \) zurückgibt.