Funktionalanalysis - Cheatsheet

Definition und Eigenschaften von Banachräumen

Definition:

Vollständiger normierter Vektorraum, jeder Cauchy-Folge konvergiert im Raum.

Details:

• Sei \(V, \| \cdot \|\) ein normierter Vektorraum.
• Wenn jede Cauchy-Folge in \(V\) konvergiert, ist \(V\) ein Banachraum.
• Beispiel: \(\mathbb{R}^n\) mit der euklidischen Norm.
• Wichtige Eigenschaften: Vollständigkeit, Kontraktionsabbildungssatz.

Der Satz von Banach-Steinhaus

Definition:

Satz von Banach-Steinhaus / Uniformer Beschränktheitssatz über punktweise beschränkte Mengen linearer Operatoren in normierten Räumen.

Details:

• Sei \( X \ ) ein Banachraum und \( Y \ ) ein normierter Raum.
• Für eine Familie linearer Operatoren \(( T_i )_{i \in I}\) von \( X \ ) nach \( Y \ ) gilt: Wenn \(( T_i )_{i \in I}\) punktweise beschränkt ist, d.h. für jedes \( x \in X \ ) gibt es ein \( M_x > 0 \ ) mit \( \sup_{i \in I} \|T_i(x)\|_Y \leq M_x \), dann gibt es ein \( M > 0 \ ), so dass \( \sup_{i \in I} \|T_i\| \leq M \).
• Stichworte: Gleichmäßige Beschränktheit, Normierter Operator, Punkweise beschränkt.

Orthonormalsysteme und Orthonormalbasen in Hilberträumen

Definition:

Orthonormalsysteme ist eine Menge von Vektoren in einem Hilbertraum, die paarweise orthogonal und normiert sind. Eine Orthonormalbasis ist ein Orthonormalsystem, das zusätzlich den gesamten Raum aufspannt.

Details:

• Ein Vektorsystem \(\{e_i\}_{i \in I}\) ist orthonormal, wenn \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\).
• Jeder Vektor \(v\) im Hilbertraum kann als \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i \) geschrieben werden (Fourier-Reihe).
• Parsevalsche Gleichung: \(\|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2\) für \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i \).

Riesz-Darstellungssatz

Definition:

Riesz-Darstellungssatz: Stellt eine Bijektion zwischen einem Hilbertraum und seinem Dualraum her, indem er jedem stetigen linearen Funktional einen eindeutigen Vektor zuordnet.

Details:

• Für jeden stetigen linearen Funktional \( f \in H^* \) existiert ein eindeutiger Vektor \( y \in H \), so dass \( f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \( x \in H \) gilt.
• \( H \) ist dabei ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \( \langle \cdot , \cdot \rangle \).
• \( \| f \| = \| y \| \) für den zugeordneten Vektor \( y \).
• Nützlich zur Untersuchung von linearen Funktionalen und ihrer Darstellung.

Spektraleigenschaften linearer Operatoren

Definition:

Spektraleigenschaften linearer Operatoren untersuchen das Verhalten und die Eigenschaften des Spektrums eines Operators auf einem Banach- oder Hilbertraum.

Details:

• Spektrum eines Operators $T$ auf einem Banachraum $X$ definiert als die Menge der $\lambda \in\ \mathbb{C}$, für die $T - \lambda I$ nicht invertierbar ist.
• Unterteilung des Spektrums:
  • Punkt-Spektrum ($\sigma_p(T)$): Menge der Eigenwerte.
  • Kontinuierliches Spektrum ($\sigma_c(T)$): $\lambda$ nicht Eigenwert, $T - \lambda I$ nicht invertierbar, aber dichtes Bild.
  • Restspektrum ($\sigma_r(T)$): $\lambda$ nicht Eigenwert, $T - \lambda I$ nicht invertierbar, Bild nicht dicht.
• Resolvente eines Operators $T$: $R(\lambda, T) = (T - \lambda I)^{-1}$ für $\lambda$ nicht im Spektrum.
• Spektralradius $r(T)$: $\sup\{ |\lambda| : \lambda \in\ \sigma(T) \}$

Fouriertransformation in L^2(R)

Definition:

Fouriertransformation in \( L^2(\mathbb{R}) \) ist eine lineare Transformation, die Funktionen aus dem Raum quadratintegrabler Funktionen auf \(\mathbb{R}\) in ihren Frequenzraum darstellt.

Details:

• Definiert für \( f \in L^2(\mathbb{R}) \):
• Transformation: \( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \)
• Invers: \( f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi \)
• Parseval-Theorem: \( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \)
• Plancherel-Theorem: \( ||f||_{L^2(\mathbb{R})} = ||\hat{f}||_{L^2(\mathbb{R})} \)

Schwache Ableitungen in Sobolev-Räumen

Definition:

Schwache Ableitungen erweitern das Konzept traditioneller Ableitungen auf Funktionen, die möglicherweise keine klassischen Ableitungen besitzen. Wesentlich in der Definition der Sobolev-Räume.

Details:

• Eine Funktion \( u \in L^1_{\text{loc}}(\Omega) \) hat die schwache Ableitung \( v \), falls für alle \( \varphi \in C_c^{\infty}(\Omega) \) gilt: \[ \int_\Omega u D^\alpha \varphi \; \mathrm{d}x = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega v \varphi \; \mathrm{d}x \]
• Sobolev-Raum \( W^{k,p}(\Omega) \): Menge der Funktionen in \( L^p(\Omega) \) mit schwachen Ableitungen bis zur Ordnung \( k \), die ebenfalls in \( L^p(\Omega) \) liegen.

Einbettungssätze und Kompaktheit in Sobolev-Räumen

Definition:

Einbettungssätze und Kompaktheit in Sobolev-Räumen beschreiben, wie Sobolev-Räume in andere Funktionsräume eingebettet werden können und unter welchen Bedingungen diese Einbettungen kompakt sind.

Details:

• Sobolev-Räume: \( W^{k,p}(\text{Ω}) \)
• Klassische Einbettung: \( W^{k,p}(\text{Ω}) \rightarrow L^{q}(\text{Ω}) \) (für bestimmte \( q \) und Dimension \( n \))
• Kompakte Einbettung: \( W^{k,p}(\text{Ω}) \rightarrow\rightarrow L^{q}(\text{Ω}) \)
• Sobolev-Einbettungssatz: \( p < q < \frac{np}{n-kp} \) für kompakte Einbettung
• Rellich-Kondrachov-Satz: Kompakte Einbettung von \( W^{1,p}(\text{Ω}) \rightarrow L^{q}(\text{Ω}) \) für \( 1 \leq p < q < \frac{np}{n-p} \)