Funktionalanalysis - Exam

Aufgabe 2)

Betrachten wir den Satz von Banach-Steinhaus (auch bekannt als Uniformer Beschränktheitssatz), der besagt, dass für eine Familie linearer Operatoren von einem Banachraum in einen normierten Raum, die punktweise beschränkt ist, eine gleichmäßige Beschränktheit existiert.

Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum. Sei (T_i)_{i \in I} eine Familie linearer Operatoren von X nach Y. Wenn (T_i)_{i \in I} punktweise beschränkt ist, d.h. für jedes x \in X gibt es ein M_x > 0 mit \sup_{i \in I} \|T_i(x)\|_Y \leq M_x, dann gibt es ein M > 0, so dass \sup_{i \in I} \|T_i\| \leq M.

b)

(b) Gegeben sei ein konkreter Banachraum X = l^p für 1 \leq p \leq \infty und ein normierter Raum Y = l^q für 1 \leq q \leq \infty. Sei (T_i)_{i \in I} eine Familie linearer Operatoren von X nach Y, wobei jeder Operator T_i durch eine unendliche Matrix (a_{ij}) dargestellt wird. Zeige, dass (T_i)_{i \in I} punktweise beschränkt ist und bestimme eine Schranke M_x für ein gegebenes x \in l^p.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Familie der Linearoperatoren (T_i)_{i \in I}, die durch unendliche Matrizen (a_{ij}) dargestellt werden, von X = l^p nach Y = l^q punktweise beschränkt ist und eine Schranke M_x zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor:

• Definition der Räume:
  • Der Raum l^p besteht aus Folgen x = (x_j), für die gilt:\[ \|x\|_p = \left( \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p \right)^{1/p} < \infty, \] falls 1 \leq p < \infty, und\[ \|x\|_\infty = \sup_{j \in \mathbb{N}} |x_j| < \infty, \] falls p = \infty.
  • Der Raum l^q ist analog definiert mit der Norm:\[ \|y\|_q = \left( \sum_{i=1}^\infty |y_i|^q \right)^{1/q}, \] falls 1 \leq q < \infty, und\[ \|y\|_\infty = \sup_{i \in \mathbb{N}} |y_i|, \] falls q = \infty.
• Matrixdarstellung der Operatoren: Jeder Operator T_i ist durch eine unendliche Matrix (a_{ij}) gegeben, die auf ein Element x = (x_j) \in l^p wirkt und ein Element (y_i) \in l^q erzeugt mit:\[ (T_i x)_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j. \]
• Punktweise Beschränktheit prüfen: Für ein gegebenes x = (x_j) \in l^p müssen wir zeigen, dass\[ \sup_{i \in I} \|T_i(x)\|_Y \leq M_x \] für eine möglicherweise von x abhängige Konstante M_x.
• Fall 1: 1 \leq q < \infty: Wir betrachten die Norm von T_i(x) in l^q:\[ \|T_i(x)\|_q = \left( \sum_{i=1}^\infty \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^q \right)^{1/q}. \]Wende die Minkowski-Ungleichung an, um die Summen umzuschreiben:\[ \left( \sum_{i=1}^\infty \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^q \right)^{1/q} \leq \sum_{j=1}^\infty \left(\sum_{i=1}^\infty |a_{ij}|^q \right)^{1/q} |x_j|. \]Da \( \sum_{i=1}^\infty |a_{ij}|^q \) nur von \( a_{ij} \) abhängt, können wir schreiben:\[ M_x = \left( \sum_{j=1}^\infty \left( \sum_{i=1}^\infty |a_{ij}|^q \right)^{1/q} \right) \cdot \|x\|_p. \]
• Fall 2: q = \infty: Wir betrachten die unendliche Norm von T_i(x):\[ \|T_i(x)\|_\infty = \sup_{i \in \mathbb{N}} \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|. \]Verwende die absolute Summiertheit:\[ \|T_i(x)\|_\infty \leq \sum_{j=1}^\infty \sup_{i \in \mathbb{N}} |a_{ij}| |x_j|, \]wobei der Faktor nur von \( a_{ij} \), aber nicht von \( i \) abhängt. Wir können schreiben:\[ M_x = \left( \sum_{j=1}^\infty \sup_{i \in \mathbb{N}} |a_{ij}| \right) \cdot \|x\|_p. \]

Zusammengefasst ist die Familie der Operatoren (T_i)_{i \in I} punktweise beschränkt, und eine Schrankenfunktion M_x kann definiert werden als:

• Für 1 \leq q < \infty:\[ M_x = \left( \sum_{j=1}^\infty \left( \sum_{i=1}^\infty |a_{ij}|^q \right)^{1/q} \right) \cdot \|x\|_p. \]
• Für q = \infty:\[ M_x = \left( \sum_{j=1}^\infty \sup_{i \in \mathbb{N}} |a_{ij}| \right) \cdot \|x\|_p. \]

c)

(c) Sei X = C([0,1]) der Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit der Maximumsnorm. Betrachte die Familie linearer Funktionale (T_i)_{i \in I}, definiert durch T_i(f) = f(x_i) für x_i \in [0,1] und f \in C([0,1]). Zeige, dass diese Familie punktweise beschränkt ist und dass sie eine gleichmäßige Beschränktheit aufweist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Familie linearer Funktionale (T_i)_{i \in I}, definiert durch T_i(f) = f(x_i) für x_i \in [0,1] und f \in C([0,1]), punktweise beschränkt ist und eine gleichmäßige Beschränktheit aufweist, gehen wir wie folgt vor:

• Definition des Raumes: Der Raum X = C([0,1]) ist der Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit der Maximumsnorm.\[ \|f\| = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|. \]
• Definition der linearen Funktionale: Jedes lineare Funktional T_i ist definiert durch T_i(f) = f(x_i), wobei x_i \in [0,1]. Das bedeutet, T_i bewertet die Funktion f an der Stelle x_i.
• Punktweise Beschränktheit: Für jede Funktion f \in C([0,1]) müssen wir zeigen, dass \[ \sup_{i \in I} |T_i(f)| = \sup_{i \in I} |f(x_i)| \leq \|f\|. \]Da \|f\| = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|, gilt:\[ |f(x_i)| \leq \|f\| \textrm{ für alle } x_i \in [0,1]. \]Daraus folgt:\[ \sup_{i \in I} |f(x_i)| \leq \|f\|. \]Damit ist gezeigt, dass die Familie (T_i)_{i \in I} punktweise beschränkt ist, mit M_f = \|f\| für jedes f \in C([0,1]).
• Gleichmäßige Beschränktheit: Nun zeigen wir, dass die Familie (T_i)_{i \in I} gleichmäßig beschränkt ist, d.h., dass es eine Konstante M > 0 gibt, so dass\[ \sup_{i \in I} \|T_i\| \leq M. \]Für jedes T_i und f \in C([0,1]) gilt:\[ |T_i(f)| = |f(x_i)| \leq \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| = \|f\|. \]Das bedeutet:\[ |T_i(f)| \leq \|f\|, \]somit:\[ \|T_i\| = \sup_{\|f\| \leq 1} |T_i(f)| = \sup_{\|f\| \leq 1} |f(x_i)| \leq 1. \]Es folgt, dass die Norm jedes Funktionals T_i durch 1 beschränkt ist:\[ \|T_i\| \leq 1 \textrm{ für alle } i \in I. \]

Alles in allem haben wir gezeigt, dass die Familie (T_i)_{i \in I} gleichmäßig beschränkt ist, da\[ \sup_{i \in I} \|T_i\| \leq 1. \]Die Familie der Operatoren (T_i)_{i \in I} ist somit punktweise beschränkt und gleichmäßig beschränkt.

Aufgabe 3)

Gegeben sei der Hilbertraum \( H \) mit einem Orthonormalsystem \( \{e_i\}_{i \in I} \), das die folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Für alle \( i, j \in I, \) gilt: \( \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} \).
• Jeder Vektor \( v \) im Hilbertraum kann als \( v = \sum_{i \in I} a_i e_i \) geschrieben werden.
• Die Parsevalsche Gleichung lautet: \( \|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2 \) für \( v = \sum_{i \in I} a_i e_i \).

a)

Zeige, dass das Orthonormalsystem \( \{e_i\}_{i \in I} \) eine Orthonormalbasis ist:

• Beweise, dass jeder Vektor \( v \) im Hilbertraum \( H \) durch die Fourierreihe \( v = \sum_{i \in I} a_i e_i \) im Sinne der Norm konvergiert.

Lösung:

Um zu zeigen, dass das Orthonormalsystem \(\{e_i\}_{i \in I}\) eine Orthonormalbasis ist, müssen wir beweisen, dass jeder Vektor \(v\) im Hilbertraum \(H\) durch die Fourierreihe \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\) im Sinne der Norm konvergiert.

• Sei \(v\) ein beliebiger Vektor im Hilbertraum \(H\). Da \(\{e_i\}_{i \in I}\) ein Orthonormalsystem ist, kann jeder solcher Vektor als \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\) dargestellt werden, wobei \(a_i = \langle v, e_i \rangle\).
• Wir wissen, dass die Parsevalsche Gleichung gilt: \(\|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2\).
• Definiere die n-te partielle Summe als \(v_n = \sum_{i=1}^n a_i e_i\).
• Unser Ziel ist es zu zeigen, dass \(v_n\) im Sinne der Norm gegen \(v\) konvergiert, das heißt \(\lim_{n \to \infty} \|v - v_n\| = 0\).

Da \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\), können wir schreiben:

• \(v - v_n = \sum_{i=n+1}^{\infty} a_i e_i\).

Dann gilt laut Parsevalschem Satz:

• \(\|v - v_n\|^2 = \sum_{i=n+1}^{\infty} |a_i|^2\).

Da die Reihe \(\sum_{i \in I} |a_i|^2\) nach der Parsevalschen Gleichung konvergiert, impliziert dies, dass \(\sum_{i=n+1}^{\infty} |a_i|^2\) für \(n \to \infty\) gegen 0 konvergiert.

• Das bedeutet, dass für jedes \(\epsilon > 0\), es ein \(n_0\) gibt, so dass für alle \(n \geq n_0\) gilt: \(\|v - v_n\| < \epsilon\).
• Mit anderen Worten, \(v_n\) konvergiert im Sinne der Norm gegen \(v\).

Schlussfolgerung: Da jeder Vektor \(v\) im Hilbertraum \(H\) durch die Fourierreihe \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\) im Sinne der Norm konvergiert, ist das Orthonormalsystem \(\{e_i\}_{i \in I}\) eine Orthonormalbasis.

b)

Berechne die Fourier-Koeffizienten:

• Sei \( v \) ein Vektor im Hilbertraum \( H \) und \( \{e_i\}_{i \in I} \) das Orthonormalsystem. Bestimme die Fourier-Koeffizienten \( a_i \) in der Darstellung \( v = \sum_{i \in I} a_i e_i \. Nutze dabei die Eigenschaft der Orthogonalität.

Lösung:

Um die Fourier-Koeffizienten \(a_i\) für einen Vektor \(v\) im Hilbertraum \(H\) bezüglich des Orthonormalsystems \(\{e_i\}_{i \in I}\) zu berechnen, nutzen wir die Eigenschaft der Orthogonalität des Systems.

• Für alle \(i, j \in I\) gilt: \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\).
• Jeder Vektor \(v\) im Hilbertraum kann als \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\) geschrieben werden.

Um die Fourier-Koeffizienten \(a_i\) zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \(e_j\) und nutzen die Orthogonalität:

• \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\)
• Sei \(j\) ein festes Element aus \(I\), dann gilt:
• \(\langle v, e_j \rangle = \left\langle \sum_{i \in I} a_i e_i, e_j \right\rangle\)

Aufgrund der Linearität des inneren Produkts können wir die Gleichung umschreiben:

• \(\langle v, e_j \rangle = \sum_{i \in I} a_i \langle e_i, e_j \rangle\)

Da \(\{e_i\}_{i \in I}\) ein Orthonormalsystem ist, gilt \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\), wobei \(\delta_{ij}\) das Kronecker-Delta ist. Dieses ist 1, wenn \(i = j\), und 0, falls \(i e j\). Daher vereinfacht sich die Summe zu:

• \(\langle v, e_j \rangle = \sum_{i \in I} a_i \delta_{ij} = a_j\)

Das bedeutet, dass die Fourier-Koeffizienten \(a_i\) gegeben sind durch:

• \(a_i = \langle v, e_i \rangle\)

Schlussfolgerung: Um die Fourier-Koeffizienten \(a_i\) eines Vektors \(v\) im Hilbertraum \(H\) bezüglich eines Orthonormalsystems \(\{e_i\}_{i \in I}\) zu berechnen, benutzt man:

• \(a_i = \langle v, e_i \rangle\)

c)

Beweise die Parsevalsche Gleichung:

• Zeige, dass für alle Vektoren \( v \) im Hilbertraum \( H \) die Parsevalsche Gleichung \( \|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2 \) gilt, wobei \( v = \sum_{i \in I} a_i e_i \).

Lösung:

Um die Parsevalsche Gleichung zu beweisen, zeigen wir, dass für alle Vektoren \(v\) im Hilbertraum \(H\) die Gleichung \(\|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2\) gilt, wobei \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\).

Gegeben sei:

• \(\forall i, j \in I: \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\)
• Jeder Vektor \(v\) im Hilbertraum kann als \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\) geschrieben werden.
• Die Fourier-Koeffizienten sind durch \(a_i = \langle v, e_i \rangle\) gegeben.

Beginnen wir nun mit dem Beweis:

• Der Normquadrat des Vektors \(v\) ist definiert als:
• \(\|v\|^2 = \langle v, v \rangle\)

Setzen wir die Darstellung von \(v\) als Fourierreihe ein:

• \(v = \sum_{i \in I} a_i e_i\)

Dann gilt:

• \[\|v\|^2 = \left\langle \sum_{i \in I} a_i e_i, \sum_{j \in I} a_j e_j \right\rangle\]

Aufgrund der Linearität des inneren Produkts können wir dies umschreiben als:

• \[\|v\|^2 = \sum_{i \in I} \sum_{j \in I} a_i \overline{a_j} \langle e_i, e_j \rangle\]

Da \(\{e_i\}_{i \in I}\) ein Orthonormalsystem ist, gilt \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\). Daher vereinfacht sich der Ausdruck zu:

• \[\|v\|^2 = \sum_{i \in I} a_i \overline{a_i} \]

Da \(a_i\) die Fourier-Koeffizienten sind, gilt \(\overline{a_i} = a_i\) für reelle Koeffizienten. Für komplexe Koeffizienten nehmen wir den Betrag:

• \[ \|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2 \]

Damit haben wir bewiesen, dass die Parsevalsche Gleichung für alle Vektoren \(v\) im Hilbertraum \(H\) gilt:

• \[ \|v\|^2 = \sum_{i \in I} |a_i|^2 \]

Schlussfolgerung: Die Parsevalsche Gleichung besagt, dass die Summe der Quadrate der Fourier-Koeffizienten eines Vektors gleich dem Quadrat seiner Norm ist.

Aufgabe 4)

Sei H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot , \cdot \rangle \). Betrachte den Riesz-Darstellungssatz, der eine Bijektion zwischen jedem stetigen linearen Funktional \(f \in H^*\) und einem eindeutigen Vektor \(y \in H\) herstellt, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \(x \in H\) gilt.

a)

1. Gegeben sei der Hilbertraum\(H = \mathbb{R}^2\)

• a) Bestimme das zugehörige Funktional f und den zugeordneten Vektor y, wenn\(f(x_1, x_2) = 2x_1 + 3x_2\), bemerke, dass das Funktional in der Form f(x) = \langle x, y \rangle\) vorliegen sollte.
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt.

Lösung:

Sei H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot , \cdot \rangle \). Betrachte den Riesz-Darstellungssatz, der eine Bijektion zwischen jedem stetigen linearen Funktional \(f \in H^*\) und einem eindeutigen Vektor \(y \in H\) herstellt, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \(x \in H\) gilt.

Löse die folgenden Teilaufgaben:

1. Gegeben sei der Hilbertraum \(H = \mathbb{R}^2\)

• a) Bestimme das zugehörige Funktional \(f\) und den zugeordneten Vektor \(y\), wenn \(f(x_1, x_2) = 2x_1 + 3x_2\), bemerke, dass das Funktional in der Form \(f(x) = \langle x, y \rangle \) vorliegen sollte.
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt.

Antwort:

• a) Bestimme das zugehörige Funktional \(f\) und den zugeordneten Vektor \(y\):Gegeben ist das Funktional \(f\), definiert als \(f(x_1, x_2) = 2x_1 + 3x_2\).Das Funktional kann in der Form \(f(x) = \langle x, y \rangle \) geschrieben werden.Hierbei ist \(x = (x_1, x_2)\) und das innere Produkt in \(\mathbb{R}^2\) ist definiert als \(\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2\).Um das Funktional als inneres Produkt zu schreiben, identifizieren wir den Vektor \(y\) so, dass:\[f(x_1, x_2) = \langle (x_1, x_2), (y_1, y_2) \rangle = 2x_1 + 3x_2\]Dies bedeutet, dass \(y = (2, 3)\).
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt:Die Norm des Funktionals \(f\) ist gegeben durch:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |f(x)|\]Da \(f(x) = \langle x, y \rangle\), können wir schreiben:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |\langle x, y \rangle|\]Für den Vektor \(y = (2, 3)\) verwenden wir die Norm in \(\mathbb{R}^2\):\[\| y \| = \sqrt{y_1^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]Dann ist die Norm des Funktionals:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |\langle x, y \rangle| = \| y \| = \sqrt{13}\]Somit ist gezeigt, dass \(\| f \| = \| y \|\).

b)

2. Sei H = L^2([0, 1]) , der Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen auf dem Intervall [0, 1] mit dem inneren Produkt \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt\).

• a) Bestimme das zugehörige Funktional f und den zugeordneten Vektor y, wenn\( f(g) = \int_0^1 g(t) \, dt \).
• b) Zeige, dass für den zugeordneten Vektor \(y(t) = 1\) das Funktional F(g) = \int_0^1 g(t) \, dt\) korrekt in der Form f(x) = \langle x, y \rangle geschrieben wird.

Lösung:

Sei H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot , \cdot \rangle \). Betrachte den Riesz-Darstellungssatz, der eine Bijektion zwischen jedem stetigen linearen Funktional \(f \in H^*\) und einem eindeutigen Vektor \(y \in H\) herstellt, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \(x \in H\) gilt.

Löse die folgenden Teilaufgaben:

2. Sei H = L^2([0, 1]), der Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen auf dem Intervall [0, 1] mit dem inneren Produkt \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt\).

• a) Bestimme das zugehörige Funktional \(f\) und den zugeordneten Vektor \(y\), wenn \(f(g) = \int_0^1 g(t) \, dt\).
• b) Zeige, dass für den zugeordneten Vektor \(y(t) = 1\) das Funktional \(F(g) = \int_0^1 g(t) \, dt\) korrekt in der Form \(f(x) = \langle x, y \rangle\) geschrieben wird.

Antwort:

• a) Bestimme das zugehörige Funktional \(f\) und den zugeordneten Vektor \(y\):Gegeben ist das Funktional \(f\), definiert als:\[f(g) = \int_0^1 g(t) \, dt.\]Das innere Produkt in \(L^2([0, 1])\) ist definiert als:\[\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt.\]Um das Funktional als inneres Produkt zu schreiben, identifizieren wir den Vektor \(y\), so dass:\[f(g) = \int_0^1 g(t) \, dt = \int_0^1 g(t) y(t) \, dt.\]Dies bedeutet, dass \(y(t) = 1\) für alle \(t \in [0, 1]\).
• b) Zeige, dass für den zugeordneten Vektor \(y(t) = 1\) das Funktional \(F(g) = \int_0^1 g(t) \, dt\) korrekt in der Form \(f(x) = \langle x, y \rangle\) geschrieben wird:Wenn \(y(t) = 1\), dann haben wir:\[\langle g, y \rangle = \int_0^1 g(t) y(t) \, dt = \int_0^1 g(t) \, dt.\]Dies entspricht genau dem gegebenen Funktional:\[f(g) = \int_0^1 g(t) \, dt.\]Somit ist das Funktional \(f\) korrekt in der Form \(f(g) = \langle g, y \rangle\) geschrieben, wenn \(y(t) = 1\) ist.

c)

3. Sei H der Unendliche reihenspace

• a) Gegeben sei ein stetiges lineares Funktional f, das durch das Funktional \(f(x) = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n\). Finde den zugehörigen Vektor y in H.
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt.

Lösung:

Sei H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot , \cdot \rangle \). Betrachte den Riesz-Darstellungssatz, der eine Bijektion zwischen jedem stetigen linearen Funktional \(f \in H^*\) und einem eindeutigen Vektor \(y \in H\) herstellt, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \(x \in H\) gilt.

Löse die folgenden Teilaufgaben:

3. Sei H der unendliche Reihenspace:

• a) Gegeben sei ein stetiges lineares Funktional \(f\), das durch das Funktional \(f(x) = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n\) definiert ist. Finde den zugehörigen Vektor \(y\) in \(H\).
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt.

Antwort:

• a) Finde den zugehörigen Vektor \(y\) in \(H\):Gegeben ist das Funktional \(f\), definiert als:\[f(x) = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n.\]Das innere Produkt im unendlichen Reihenspace ist normalerweise definiert als:\[\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i.\]Um das Funktional als inneres Produkt zu schreiben, identifizieren wir den Vektor \(y\) so, dass:\[f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n.\]Dies bedeutet, dass \(y_i = 1\) für alle \(i = 1, 2, 3, \ldots, n\) und \(y_i = 0\) für alle \(i > n\). Also ist der zugeordnete Vektor \(y = (1, 1, 1, \ldots, 1, 0, 0, \ldots)\).
• b) Zeige, dass \(\| f \| = \| y \| \) gilt:Die Norm des Funktionals \(f\) ist gegeben durch:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |f(x)|.\]Da \(f(x) = \langle x, y \rangle\), können wir schreiben:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |\langle x, y \rangle|.\]Die Norm des Vektors \(y\) ist:\[\| y \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} 1^2} = \sqrt{n}.\]Das Funktional \(f\) liefert im schlimmsten Fall die Summe der ersten \(n\) Terme des Vektors \(x\). Wenn alle \(x_i = \frac{1}{\sqrt{n}}\) sind (damit \(\| x \| = 1\)), dann ist\[f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}.\]Somit ist:\[\| f \| = \sqrt{n} = \| y \|.\]

d)

4. Betrachte ein allgemeines stetiges lineares Funktional f auf einem Hilbertraum H.

• a) Formuliere und beweise die Dualitätseigenschaft zwischen dem Hilbertraum H und seinem Dualraum H* basierend auf dem Riesz-Darstellungssatz.
• b) Erkläre anhand eines Beispiels, wie diese Dualitätseigenschaft bei der Untersuchung von linearen Funktionalen angewendet wird.

Lösung:

Sei H ein Hilbertraum mit dem inneren Produkt \(\langle \cdot , \cdot \rangle \). Betrachte den Riesz-Darstellungssatz, der eine Bijektion zwischen jedem stetigen linearen Funktional \(f \in H^*\) und einem eindeutigen Vektor \(y \in H\) herstellt, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle \(x \in H\) gilt.

Löse die folgenden Teilaufgaben:

4. Betrachte ein allgemeines stetiges lineares Funktional \(f\) auf einem Hilbertraum \(H\).

• a) Formuliere und beweise die Dualitätseigenschaft zwischen dem Hilbertraum \(H\) und seinem Dualraum \(H*\) basierend auf dem Riesz-Darstellungssatz.
• b) Erkläre anhand eines Beispiels, wie diese Dualitätseigenschaft bei der Untersuchung von linearen Funktionalen angewendet wird.

Antwort:

• a) Formuliere und beweise die Dualitätseigenschaft zwischen dem Hilbertraum \(H\) und seinem Dualraum \(H^*\) basierend auf dem Riesz-Darstellungssatz:Der Riesz-Darstellungssatz besagt, dass für jeden Hilbertraum \(H\) und jedes stetige lineare Funktional \(f\) auf \(H\) ein eindeutiger Vektor \(y \in H\) existiert, so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle\) für alle \(x \in H\).Formulierung der Dualitätseigenschaft:Es existiert eine bijektive lineare Abbildung, die jedem \(f \in H^*\) einen eindeutigen Vektor \(y \in H\) zuordnet, wobei \(f(x) = \langle x, y \rangle\). Das bedeutet, dass der Dualraum \(H^*\) isometrisch isomorph zum Hilbertraum \(H\) ist.Beweis:Sei \(f \in H^*\) ein stetiges lineares Funktional auf \(H\). Nach dem Riesz-Darstellungssatz existiert ein eindeutiger Vektor \(y \in H\), so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle\) für alle \(x \in H\).Um zu zeigen, dass die Abbildung isometrisch ist, überprüfen wir die Normen:\[\| f \| = \sup_{\| x \| = 1} |f(x)| = \sup_{\| x \| = 1} |\langle x, y \rangle| = \| y \|.\]Damit erhalten wir eine isometrische Isomorphie zwischen \(H^*\) und \(H\).
• b) Erkläre anhand eines Beispiels, wie diese Dualitätseigenschaft bei der Untersuchung von linearen Funktionalen angewendet wird:Beispiel:Betrachten wir den Hilbertraum \(H = \mathbb{R}^3\) mit dem inneren Produkt \(\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3\).Sei \(f\) ein stetiges lineares Funktional auf \(\mathbb{R}^3\), gegeben durch \(f(x_1, x_2, x_3) = 4x_1 + 5x_2 + 6x_3\).Nach dem Riesz-Darstellungssatz existiert ein eindeutiger Vektor \(y = (y_1, y_2, y_3) \in \mathbb{R}^3\), so dass \(f(x) = \langle x, y \rangle\).Um den Vektor \(y\) zu finden, setzen wir:\[f(x) = 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = \langle (x_1, x_2, x_3), (4, 5, 6) \rangle.\]Also ist \(y = (4, 5, 6)\).Die Norm des Funktionals \(f\) ist:\[\| f \| = \| y \| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77}.\]Durch diese Dualitätseigenschaft können wir das Funktional \(f\) durch den zugehörigen Vektor \(y\) untersuchen und verstehen.