Alle Lernmaterialien für deinen Kurs Funktionentheorie I

Dieser Abschnitt behandelt grundlegende Eigenschaften analytischer Funktionen, die in der komplexen Analysis von zentraler Bedeutung sind.

• Definition und Beispiele analytischer Funktionen
• Eigenschaften analytischer Funktionen wie Differenzierbarkeit und Holomorphie
• Potenzreihenentwicklung und Konvergenzradien
• Fundamentalsatz der Algebra
• Darstellungssätze wie der Satz von Liouville

Der Cauchysche Integralsatz ist ein zentraler Satz der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit den Integralen analytischer Funktionen.

• Formulierung und Beweis des Cauchyschen Integralsatzes
• Folgerungen wie der Cauchysche Integralformel
• Anwendungen in der Berechnung komplexer Integrale
• Prinzip des deformierbaren Konturintegrals
• Verallgemeinerungen und Spezialfälle

Residuen und Polstellen sind wesentliche Werkzeuge zur Berechnung von Integralen und zur Untersuchung analytischer Funktionen.

• Definition und Identifikation von Polstellen und Singularitäten
• Berechnung von Residuen und deren Anwendungen
• Residuensatz und seine Anwendungen
• Residuen als Werkzeuge zur Bestimmung komplizierter Integrale
• Darstellungen von meromorphen Funktionen

Dieser Bereich befasst sich mit den Eigenschaften und Anwendungen konformer Abbildungen in der komplexen Analysis.

• Definition und Beispiele konformer Abbildungen
• Eigenschaften wie Winkel- und Flächentreue
• Mobius-Transformationen und ihre Eigenschaften
• Anwendungen konformer Abbildungen in der Physik und Technik
• Riemannsche Abbildungssatz

Neben den Hauptthemen der Vorlesung werden auch verschiedene ergänzende Themen behandelt, die das Verständnis der komplexen Analysis vertiefen.

• Einführung in singuläre Integrale
• Betrachtung von Laurent-Reihen und ihre Anwendungen
• Zusammenhang zwischen analytischen Funktionen und harmonischen Funktionen
• Vertiefung in analytische Fortsetzung
• Beziehungen zu Fourier- und Laplacetransformationen