Funktionentheorie I - Cheatsheet

Definition und Beispiele analytischer Funktionen

Definition:

Analytische Funktionen oder holomorphe Funktionen sind in einem Gebiet G komplex differenzierbar.

Details:

• Eine Funktion f(z) ist analytisch, wenn sie in jedem Punkt von G komplex differenzierbar ist.
• Die komplexe Differenzierbarkeit impliziert die Existenz der Taylorreihe, d.h., f(z) kann in eine Potenzreihe expandiert werden.
• Beispiel: f(z) = z^2 + 2z + 1 ist analytisch.
• Beispiel: Die Exponentialfunktion \[ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \] ist analytisch.

Potenzreihenentwicklung und Konvergenzradien

Definition:

Entwicklung einer Funktion als Potenzreihe und Bestimmung des Radius, innerhalb dessen die Potenzreihe konvergiert.

Details:

• Potenzreihe: \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n
• Konvergenzradius R: Abstand vom Zentrum z_0, innerhalb dessen die Potenzreihe absolut konvergiert. Berechnung über Cauchy-Hadamard: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]
• Für |z - z_0| < R: Konvergenz
• Für |z - z_0| > R: Divergenz
• Randfall: Untersuchung notwendig

Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformel

Definition:

Cauchyscher Integralsatz: Integral einer holomorphen Funktion entlang einer geschlossenen, stückweise glatten Kurve im Inneren ist null. Cauchysche Integralformel: Zusammenhang zwischen Funktionswerten im Inneren einer Kurve und Integralwerten auf der Kurve.

Details:

• Cauchyscher Integralsatz: \ \ \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \] für holomorphe Funktion \(f\) und geschlossene Kurve \(\gamma\).
• Cauchysche Integralformel: \ \ \[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} \, dz \] für Punkt \(a\) im Inneren der Kurve \(\gamma\).
• Anwendungen: Ableitung darstellbar durch Integrale, Berechnung komplizierter Integrale durch bekannte Funktionswerte, analytische Fortsetzung.
• Voraussetzungen: \(f\) holomorph in offenem Gebiet um \(\gamma\), \(\gamma\) geschlossene, stückweise glatte Kurve.

Residuensatz und Berechnung von Residuen

Definition:

Residuensatz: Werkzeug zur Berechnung von geschlossenen Integralen über holomorphe Funktionen durch Residuen.

Details:

• Gegeben: Holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten
• Residuensatz: \[\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} f(z) \, dz = \sum \text{Res}(f, a_i)\]
• Berechnung der Residuen an Polstellen: \[\text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z-a)f(z)\] für einfache Pole
• Für höhere Pole: \[\text{Res}(f, a) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} ( (z-a)^n f(z) )\]
• Integrale berechnen durch Bestimmung der Residuen innerhalb des geschlossenen Weges

Riemannsche Abbildungssatz

Definition:

Riemannscher Abbildungssatz besagt, dass jede einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der komplexen Ebene, die nicht die gesamte Ebene ist, biholomorph äquivalent zur Einheitsscheibe ist.

Details:

• Offene und einfach zusammenhängende Teilmenge: ein Gebiet, welches keine Löcher aufweist und durch eine einzige zusammenhängende Fläche gebildet wird.
• Biholomorph: eine bijektive und holomorphe Funktion mit holomorpher Umkehrfunktion.
• Einheitsscheibe: die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag kleiner als 1, \( \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} \).
• Formel: Falls \Omega \subseteq \mathbb{C}\ simple und zusammenhängend ist und \Omega eq \mathbb{C} dann existiert eine holomorphe, bijektive Funktion \phi : \Omega \to \mathbb{D}.

Laurent-Reihen und ihre Anwendungen

Definition:

Laurent-Reihen sind eine spezielle Form der Darstellung komplexer Funktionen, ähnlich wie Taylor-Reihen, aber sie enthalten auch negative Potenzen der Variablen. Sie sind nützlich in der Untersuchung von Funktionen mit Singularitäten.

Details:

• Allgemeine Form: \[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \]
• Sind in Annuli (Ringbereiche) konvergente Reihen:
• Besitzen Periode T:
• Anwendung: Untersuchung und Klassifikation von Singularitäten (Polstellen, wesentliche Singularitäten)
• Residuen: Rückwicklung komplexe Integrale

Analytische Fortsetzung

Definition:

Verfahren zur Erweiterung des Definitionsbereichs einer analytischen Funktion über ihre ursprüngliche Definitionsmenge hinaus.

Details:

• Kann als Fortsetzung entlang eines Pfades verstanden werden.
• Funktion bleibt auf erweiterten Gebiet analytisch.
• Nutze Potenzreihen oder die Monodromie-Eigenschaft.
• Beispiel: Fortsetzung der Zeta-Funktion \(\text{Re}(s) > 1\) auf \(\text{Re}(s) \leq 1\).