Funktionentheorie I - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die Funktion \(f(z) = z^3 + 3z^2 + 5z + 7\). Diese Funktion ist in dem Gebiet G gegeben und wir wissen, dass sie in diesem Gebiet analytisch ist.

a)

Zeige, dass die Funktion \(f(z)\) in G komplex differenzierbar ist. Berechne dazu die Ableitung \(f'(z)\) und zeige, dass diese existiert.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion f(z) = z³ + 3z² + 5z + 7 in einem Gebiet G komplex differenzierbar ist, müssen wir die Ableitung f'(z) berechnen und zeigen, dass diese existiert.

• Zuerst notieren wir die Funktion: f(z) = z³ + 3z² + 5z + 7.
• Die Ableitungsregel in der komplexen Analysis ist dieselbe wie in der reellen Analysis.

Berechne die Ableitung f'(z):

• Die Ableitung von z³ ist 3z².
• Die Ableitung von 3z² ist 6z.
• Die Ableitung von 5z ist 5.
• Die Ableitung von der konstanten 7 ist 0.

Setzen wir nun alle Ableitungen zusammen:

Die Ableitung von f(z) ist

• f'(z) = 3z² + 6z + 5.

Da f'(z) für alle komplexen Zahlen z definiert ist, existiert die Ableitung in dem Gebiet G und somit ist die Funktion f(z) in G komplex differenzierbar.

b)

Verwende die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion \(f(z)\), um die ersten drei Terme der Taylorreihe von \(f(z)\) um den Punkt \(z_0 = 0\) zu berechnen.

Lösung:

Um die ersten drei Terme der Taylorreihe der Funktion f(z) = z³ + 3z² + 5z + 7 um den Punkt z₀ = 0 zu berechnen, verwenden wir die Formel für die Taylorreihe einer Funktion f(z):

Die Taylorreihe einer Funktion f(z) um den Punkt z₀ ist gegeben durch:

\[f(z) = \frac{{f(z_0)}}{{0!}} + \frac{{f'(z_0)(z - z_0)}}{{1!}} + \frac{{f''(z_0)(z - z_0)^2}}{{2!}} + \text{{höhere Terme}}\]

Da wir die ersten drei Terme der Taylorreihe möchten, berechnen wir die ersten zwei Ableitungen und werten sie bei z_0 = 0 aus.

• Die Funktion an z₀ = 0: \[f(0) = ( 0)^3 + 3 \cdot (0)^2 + 5 \cdot (0) + 7 = 7\]
• Die erste Ableitung: \[f'(z) = 3z^2 + 6z + 5\] Auswertung bei z₀ = 0: \[f'(0) = 5\]
• Die zweite Ableitung: \[f''(z) = 6z + 6\] Auswertung bei z₀ = 0: \[f''(0) = 6\]

Nun setzen wir die Werte in die Taylorreihenformel ein:

    \[f(z) = \frac{{f(0)}}{{0!}} + \frac{{f'(0) \cdot z}}{{1!}} + \frac{{f''(0) \cdot z^2}}{{2!}}\]

Entsprechend führt das zu:

\[f(z) = 7 + 5z + 3z^2\]

Die ersten drei Terme der Taylorreihe um den Punkt z₀ = 0 sind also:

• 7
• 5z
• 3z²

c)

Zeige, dass die Exponentialfunktion \(e^z\) in dem Gebiet G, das den Punkt \(z_0 = 0\) enthält, analytisch ist, und erkläre, wie die Taylorreihe von \(e^z\) aussieht.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Exponentialfunktion e^z in dem Gebiet G, das den Punkt z₀ = 0 enthält, analytisch ist, müssen wir nachweisen, dass die Funktion in diesem Gebiet differenzierbar ist und ihre Ableitung kontinuierlich ist. Danach erklären wir die Taylorreihe von e^z.

• Analytische Eigenschaften der Exponentialfunktion: Die Exponentialfunktion e^z ist für alle komplexen Zahlen z definiert. Ihre Ableitung ist ebenfalls e^z, was zeigt, dass sie immer differenzierbar ist. Da diese Funktionen über das gesamte Gebiet G und insbesondere um den Punkt z₀ = 0 definiert und kontinuierlich sind, ist die Exponentialfunktion in G analytisch.
• Taylorreihe von e^z: Die Taylorreihe einer Funktion f(z) um einen Punkt z₀ ist gegeben durch: \[f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n\]
• Da f(z) = e^z und f⁽ⁿ⁾(z) = e^z für alle n ist, haben wir: \[f(0) = e^0 = 1\] \[f'(0) = e^0 = 1\] \[f''(0) = e^0 = 1\] und so weiter. Dies bedeutet, dass f⁽ⁿ⁾(0) = 1 für alle natürlichen Zahlen n ist.
• Die Taylorreihe von e^z um z₀ = 0 lautet somit: \[e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^n = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \ldots\]

Die Taylorreihe der Exponentialfunktion e^z um den Punkt z₀ = 0 ist also:

• 1
• z
• \frac{z^2}{2!}
• \frac{z^3}{3!}
• \ldots

Diese Reihe konvergiert für alle z und zeigt, dass die Exponentialfunktion e^z in dem Gebiet G, das den Punkt z₀ = 0 enthält, analytisch ist.

d)

Finde eine Funktion \(g(z)\), die nicht analytisch ist. Begründe Deine Wahl und zeige, warum diese Funktion in einem bestimmten Punkt in G nicht komplex differenzierbar ist.

Lösung:

Um eine Funktion g(z) zu finden, die nicht analytisch ist, wählen wir eine Funktion, die in einem Punkt in G nicht komplex differenzierbar ist.

Betrachten wir die Funktion g(z) = \overline{z}, wobei \overline{z} der konjugiert komplexe Wert von z ist. Lassen Sie uns überprüfen, ob diese Funktion in einem bestimmten Punkt differenzierbar ist.

• Definition der konjugiert komplexen Funktion: Die konjugiert komplexe Funktion eines komplexen Werts z = x + iy (wobei x und y reelle Zahlen sind) ist definiert als \overline{z} = x - iy.

Um zu zeigen, dass g(z) = \overline{z} in einem Punkt in G nicht analytisch ist, müssen wir die Bedingung der komplexen Differenzierbarkeit überprüfen. Eine Funktion g(z) ist in einem Punkt z differenzierbar, wenn der Grenzwert

    \[g'(z_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{g(z_0 + h) - g(z_0)}}{h}\] existiert und unabhängig vom Weg ist, auf dem h gegen 0 geht.

• Wähle z_0 = 0 und betrachte den Grenzwert: g'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\overline{h}}}{h}.
• Setze h = x, ein reeller Weg: \[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\overline{x}}}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{x} = 1\]
• Setze h = iy, ein imaginärer Weg: \[\lim_{{y \to 0}} \frac{{\overline{iy}}}{iy} = \lim_{{y \to 0}} \frac{{-iy}}{iy} = -1\]

Da der Grenzwert von g'(0) davon abhängt, wie wir den Punkt 0 erreichen (1 über den reellen Weg und -1 über den imaginären Weg), ist g(z) in z = 0 nicht differenzierbar. Da die Funktion g(z) = \overline{z} in diesem Punkt nicht komplex differenzierbar ist, ist sie auch nicht analytisch.

Zusammenfassung:

• Die Funktion g(z) = \overline{z} ist nicht analytisch.
• In dem Punkt z = 0 ist die Funktion g(z) nicht komplex differenzierbar, da der Grenzwert der Ableitung vom Weg abhängt, auf dem h gegen 0 geht.

Aufgabe 2)

• Potenzreihe: \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\)
• Konvergenzradius R: Abstand vom Zentrum \(z_0\), innerhalb dessen die Potenzreihe absolut konvergiert. Berechnung über Cauchy-Hadamard: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]
• Für \(|z - z_0| < R\): Konvergenz
• Für \(|z - z_0| > R\): Divergenz
• Randfall: Untersuchung notwendig

a)

Die Funktion \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) kann als Potenzreihe der Form \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \) entwickelt werden.

• Entwickle \( f(z) \) als Potenzreihe zentriert bei \( z_0 = 0 \).
• Bestimme die Koeffizienten \( a_n \).

Lösung:

Gegeben ist die Funktion \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \). Diese Funktion lässt sich als Potenzreihe der Form \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \) zentriert bei \( z_0 = 0 \) entwickeln. Gehen wir die Schritte der Reihe nach durch:

• Wir beginnen mit der geometrischen Reihe. Eine Funktion der Form \( \frac{1}{1 - x} \) kann als unendliche Reihe ausgedrückt werden:

• \[ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]

• Vergleichen wir dies mit unserer Funktion \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \), sehen wir, dass x = z. Daher können wir schreiben:

• \[ f(z) = \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \]

• Nun haben wir \( f(z) \) als Potenzreihe zentriert bei \( z_0 = 0 \) entwickelt:

• \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - 0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \]

• Durch den Vergleich der beiden Reihen können wir die Koeffizienten bestimmen:

• \[ a_n = 1 \text{ für alle } n \]

Zusammenfassend:

• \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \)

• als Potenzreihe zentriert bei \( z_0 = 0 \) lautet:

• \[ \sum_{n=0}^{\infty} z^n \]

• Die Koeffizienten \( a_n \) sind:

• \[ a_n = 1 \text{ für alle } n \]

b)

Berechne den Konvergenzradius \( R \) der Potenzreihe, die du in Teil a) entwickelt hast. Verwende dazu die Formel von Cauchy-Hadamard:

• \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]

Lösung:

Um den Konvergenzradius \( R \) der Potenzreihe, die wir im Teil a) entwickelt haben, zu berechnen, verwenden wir die Formel von Cauchy-Hadamard:

• Cauchy-Hadamard-Formel:

• \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]

Im Teil a) haben wir die Funktion \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) als Potenzreihe entwickelt und die Koeffizienten \( a_n = 1 \text{ für alle } n \) gefunden. Betrachten wir nun die Formel:

• \( a_n = 1 \text{ für alle } n \)

• \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{1} = 1 \text{ für alle } n \]

• Das Limes superior (\( \limsup \)) von 1 ist einfach 1:

• \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1 \]

• Setzen wir dies in die Cauchy-Hadamard-Formel ein:

• \[ \frac{1}{R} = 1 \]

• Daraus folgt:

• \[ R = 1 \]

Zusammenfassend:

• Der Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum_{n=0}^{\infty} z^n \), die \( \frac{1}{1 - z} \) darstellt, ist:

• \[ R = 1 \]

Aufgabe 3)

Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz sind zentrale Konzepte in der Funktionentheorie:

• Der Cauchysche Integralsatz besagt, dass das Integral einer holomorphen Funktion entlang einer geschlossenen, stückweise glatten Kurve im Inneren null ist. Konkret: \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \] für eine holomorphe Funktion \(f\) und eine geschlossene Kurve \(\gamma\).
• Die Cauchysche Integralformel stellt einen Zusammenhang zwischen den Werten einer Funktion im Inneren einer Kurve und den Integralen auf der Kurve her. Diese Formel lautet: \[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} \, dz \] für einen Punkt \(a\) im Inneren der Kurve \(\gamma\).
• Anwendungen: Darstellung von Ableitungen durch Integrale, Berechnung komplizierter Integrale durch bekannte Funktionswerte, analytische Fortsetzung.
• Voraussetzungen: Die Funktion \(f\) ist holomorph in einem offenen Gebiet um \(\gamma\), und \(\gamma\) ist eine geschlossene, stückweise glatte Kurve.

a)

Sei \(\gamma\) die Kurve definiert durch \(\gamma(t) = e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\). Betrachte die Funktion \(f(z) = \frac{1}{z - 1}\), die überall auf und innerhalb von \(\gamma\) holomorph ist. Berechne \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz \] und erkläre, warum das Ergebnis konsistent mit dem Cauchyschen Integralsatz ist.

Lösung:

Lösung:

Um das Integral \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz \] zu berechnen, schauen wir uns zuerst die gegebene Funktion und Kurve genauer an:

• Die Kurve: \(\gamma(t) = e^{it}\) für \(t \in [0, 2\pi]\).
• Die Funktion: \(f(z) = \frac{1}{z - 1}\), die holomorph ist (sie hat keine Pole) auf und innerhalb der Kurve \(\gamma\).

Der Cauchysche Integralsatz besagt, dass wenn eine Funktion \(f\) holomorph innerhalb und auf einer geschlossenen, stückweise glatten Kurve \(\gamma\) ist, dann:

\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \]

In unserem Fall erfüllt die Funktion \(f(z)\) diese Bedingung, da sie in dem Gebiet, das durch die Kurve \(\gamma\) eingeschlossen wird, holomorph ist. Demnach gilt:

\[ \int_{\gamma} \frac{1}{z - 1} \, dz = 0 \]

Somit ergibt das Integral:

\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \]

Das Ergebnis ist konsistent mit dem Cauchyschen Integralsatz, weil die Funktion \(f(z)\) holomorph in dem von \(\gamma\) eingeschlossenen Gebiet ist. Laut dem Cauchyschen Integralsatz ist das Integral einer holomorphen Funktion entlang einer geschlossenen Kurve null. In diesem Fall haben wir gezeigt, dass:

• \(f(z) = \frac{1}{z - 1}\) holomorph auf und innerhalb von \(\gamma\) ist.
• \(\gamma\) als geschlossene Kurve \(e^{it}\) für \(t \in [0, 2\pi]\) definiert ist.

Daher bestätigt das Ergebnis \(0\) den Cauchyschen Integralsatz korrekt.

b)

Bestimme den Wert der Funktion \(f(z) = z^2\) an der Stelle \(a = 1\) unter Verwendung der Cauchyschen Integralformel für die Kurve \(\gamma(t) = 2e^{it}, \ t \in [0, 2\pi]\). Berechne das Integral explizit.

Lösung:

Lösung:

Um den Wert der Funktion \(f(z) = z^2\) an der Stelle \(a = 1\) unter Verwendung der Cauchyschen Integralformel zu bestimmen, beachten wir die folgende Formel:

\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} \, dz \]

Hier sind die gegebenen Parameter:

• Funktion: \(f(z) = z^2\)
• Punkt: \(a = 1\)
• Kurve: \(\gamma(t) = 2e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\)

Setzen wir diese Daten in die Integralformel ein:

\[ f(1) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{z^2}{z-1} \, dz \]

Wir parametrisieren die Kurve:

\[ z = \gamma(t) = 2e^{it} \quad \text{für} \quad t \in [0, 2\pi] \]\[ dz = \frac{d}{dt}(2e^{it}) dt = 2ie^{it} dt \]

Substituiere diese Ausdrücke in das Integral:

\[ \int_{\gamma} \frac{z^2}{z-1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{(2e^{it})^2}{2e^{it} - 1} \, 2ie^{it} dt \]\[ = \int_{0}^{2\pi} \frac{4e^{2it}}{2e^{it} - 1} \, 2ie^{it} dt \]\[ = 8i \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{3it}}{2e^{it} - 1} \, dt \]

Wir stellen fest, dass das Integral von \(\frac{h(z)}{z-a}\), wobei \(h(z) = z^2\) und \(a = 1\), über eine geschlossene Kurve \(\gamma\) durch die Cauchysche Integralformel berechnet werden kann. Laut der Formel:

\[ \int_{\gamma} \frac{h(z)}{z-1} dz = 2\pi i h(1) \]

In unserem Fall ist:

\[ h(z) = z^2 \quad \text{und} \quad h(1) = 1^2 = 1 \]

Also ist:

\[ \int_{\gamma} \frac{z^2}{z-1} dz = 2 \pi i \cdot 1 = 2 \pi i \]

Setzen wir dieses Ergebnis zurück in die Cauchysche Integralformel:

\[ f(1) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{z^2}{z-1} dz = \frac{1}{2 \pi i} \cdot 2 \pi i \]\[ = 1 \]

Somit ergibt sich der Wert der Funktion \(f(z) = z^2\) an der Stelle \(a = 1\):

\[ f(1) = 1 \]

c)

Zeige, dass die erste Ableitung der Funktion \(f(z) = e^z\) an der Stelle \(z = 0\) unter Verwendung der Ableitungsdarstellung der Cauchyschen Integralformel berechnet werden kann. Nutze dazu die Kurve \(\gamma(t) = e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\) und erkläre die Schritte.

Lösung:

Lösung:

Um die erste Ableitung der Funktion \(f(z) = e^z\) an der Stelle \(z = 0\) unter Verwendung der Ableitungsdarstellung der Cauchyschen Integralformel zu berechnen, gehen wir durch die folgenden Schritte:

Die Ableitungsdarstellung der Cauchyschen Integralformel lautet:

Für eine Funktion \(f\), die holomorph im Gebiet um eine geschlossene Kurve \(\gamma\) ist, und für einen Punkt \(a\) im Inneren von \(\gamma\), gilt für die \(n\)-te Ableitung von \(f\) an \(a\):

\[ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \, dz \]

Wir konzentrieren uns auf die erste Ableitung, also \(n = 1\):

\[ f'(a) = \frac{1!}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - a)^2} \, dz \]

Setzen wir nun die gegebenen Parameter ein:

• Funktion: \(f(z) = e^z\)
• Punkt: \(a = 0\)
• Kurve: \(\gamma(t) = e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\)

Das ergibt:

\[ f'(0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{e^z}{z^2} \, dz \]

Wir parametrisieren die Kurve:

\[ z = \gamma(t) = e^{it}, \quad \text{für} \quad t \in [0, 2\pi] \]\[ dz = ie^{it} dt \]

Setzen wir dies in das Integral ein:

\[ \int_{\gamma} \frac{e^z}{z^2} dz = \int_0^{2\pi} \frac{e^{e^{it}}}{(e^{it})^2} ie^{it} dt \]\[ = i \int_0^{2\pi} \frac{e^{e^{it}}}{e^{2it}} e^{it} dt \]\[ = i \int_0^{2\pi} \frac{e^{e^{it}}}{e^{it}} dt \]\[ = i \int_0^{2\pi} e^{e^{it} - it} dt \]\[ = i \int_0^{2\pi} e^{e^{it} - it} dt \]\[ = i \int_0^{2\pi} e^{e^{it} - it} dt \]

Aber da wir wissen, dass die Exponentialfunktion über eine komplette Periode integriert wird, und da sie holomorph ist, ergibt das Integral:

\[ f'(0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{e^z}{z^2} dz = \frac{1}{2 \pi i} \cdot 2 \pi i = 1\]

Demnach ist die erste Ableitung der Funktion \(f(z) = e^z\) an der Stelle \(z = 0\):

\[ f'(0) = 1 \]

Aufgabe 4)

Residuensatz und Berechnung von ResiduenDie Anwendung des Residuensatzes ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung geschlossener Wegintegrale holomorpher Funktionen durch die Bestimmung von Residuen an den Singularitäten. Gegeben sei eine holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten. Der Residuensatz lautet:\[\frac{1}{2 \text{π} i} \text{∮}_{\text{γ}} f(z) \, dz = \text{∑ Res}(f, a_i)\]Für die Berechnung der Residuen an Polstellen gelten folgende Formeln:

• Für einfache Pole: \[\text{Res}(f, a) = \text{lim}_{z \rightarrow a} (z-a)f(z)\]
• Für höhere Pole (n-te Ordnung): \[\text{Res}(f, a) = \frac{1}{(n-1)!} \text{lim}_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} ( (z-a)^n f(z) )\]
• Um geschlossene Wegintegrale zu berechnen, bestimmt man die Residuen innerhalb des geschlossenen Weges.

a)

Gegeben sei die Funktion \[f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\]. Bestimme die Pole der Funktion und gib deren Ordnung an.

Lösung:

Pole der Funktion und deren OrdnungUm die Pole der Funktion f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)} zu bestimmen, betrachten wir die einzelnen Faktoren im Nenner. Ein Pol tritt genau dort auf, wo der Nenner null wird.

• Setzen wir z = 1 in den Nenner: (z-1)^2 = (1-1)^2 = 0 Der Faktor (z-1)^2 zeigt, dass bei z = 1 ein Pol zweiter Ordnung vorliegt.
• Setzen wir z = 2 in den Nenner: (z-2) = (2-2) = 0 Der Faktor (z-2) zeigt, dass bei z = 2 ein einfacher Pol vorliegt.

Zusammenfassung:

• Pol bei z = 1 mit Ordnung 2
• Pol bei z = 2 mit Ordnung 1

b)

Berechne das Residuum der Funktion \[f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\] an der Polstelle \(z=1\).

Lösung:

Berechnung des Residuums der Funktion \(f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\) an der Polstelle \(z=1\)

• Wie bereits bestimmt, liegt bei \(z = 1\) ein Pol zweiter Ordnung vor. Daher verwenden wir die Formel für höhere Pole (n-te Ordnung): \[\text{Res}(f, a) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} ((z-a)^n f(z))\]
• Für \(z = 1\) haben wir einen Pol zweiter Ordnung, also setzen wir \(n = 2\) und \(a = 1\) ein: \[\text{Res}(f, 1) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} ((z-1)^2 f(z))\]
• Vereinfachen wir den Ausdruck:\[f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\]
• Multiplizieren wir den Ausdruck mit \((z-1)^2\): \[(z-1)^2 f(z) = \frac{3z+2}{z-2}\]
• Da wir einen Pol zweiter Ordnung haben, müssen wir die erste Ableitung des Ausdrucks bilden und dann den Grenzwert betrachten: \[\frac{d}{dz} \left( \frac{3z+2}{z-2} \right)\]
• Verwenden wir die Quotientenregel:\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\], wobei \(u = 3z+2\) und \(v = z-2\): \[\frac{d}{dz} \left( \frac{3z+2}{z-2} \right) = \frac{(3)(z-2) - (3z+2)(1)}{(z-2)^2}\]

• Vereinfachen: \[\frac{3(z-2) - (3z+2)}{(z-2)^2} = \frac{3z - 6 - 3z - 2}{(z-2)^2} = \frac{-8}{(z-2)^2}\]

• Nun den Grenzwert für \(z \to 1\): \[\lim_{z \to 1} \frac{-8}{(z-2)^2} = \frac{-8}{(1-2)^2} = \frac{-8}{1} = -8\]

• Daher ist das Residuum der Funktion \(f(z)\) an der Polstelle \(z=1\):\[\boxed{-8}\]

c)

Berechne das Residuum der Funktion \[f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\] an der Polstelle \(z=2\).

Lösung:

Berechnung des Residuums der Funktion \(f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\) an der Polstelle \(z=2\)

• Der Pol bei \(z = 2\) ist ein einfacher Pol (erste Ordnung). Für einfache Pole nutzen wir die folgende Formel:

\[\text{Res}(f, a) = \lim_{z \rightarrow a} (z-a)f(z)\]

• Setzen wir \(a = 2\) ein:

\[\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \rightarrow 2} (z-2)f(z)\]

• Multiplizieren wir den Ausdruck:

\[f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\]

• Multiplizieren wir den Ausdruck mit \(z-2\):

\[\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \rightarrow 2} (z-2) \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)}\]

• Vereinfachen:

\[\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \rightarrow 2} \frac{3z+2}{(z-1)^2}\]

• Berechne den Grenzwert für \(z \to 2\):

\[\text{Res}(f, 2) = \frac{3(2) + 2}{(2-1)^2} = \frac{6 + 2}{1} = 8\]

• Daher ist das Residuum der Funktion \(f(z)\) an der Polstelle \(z=2\):

\[\boxed{8}\]

d)

Bestimme das geschlossene Wegintegral \(\text{∮}_{\text{γ}} f(z) \, dz\) entlang der Kurve \(\text{γ}\), die den Punkt \(z=1\) und \(z=2\) enthält, indem Du den Residuensatz anwendest.

Lösung:

Berechnung des geschlossenen Wegintegrals \( \oint_{\gamma} f(z) \ dz \) entlang der Kurve \( \gamma \), die die Punkte \( z=1 \) und \( z=2 \) enthält

• Gegeben ist die Funktion \( f(z) = \frac{3z+2}{(z-1)^2 (z-2)} \).

• Wir haben bereits die Residuen der Funktion \( f(z) \) an den Polstellen \( z=1 \) und \( z=2 \) bestimmt:
  • Residuum an \( z=1 \): \( \text{Res}(f, 1) = -1 \)
  • Residuum an \( z=2 \): \( \text{Res}(f, 2) = 8 \)

• Nach dem Residuensatz lautet das geschlossene Wegintegral:\[ \oint_{\gamma} f(z) \ dz = 2 \pi i \sum \text{Res}(f, a_i) \]
• In unserem Fall sind die Residuen an den Polstellen \( z=1 \) und \( z=2 \):\[ \sum \text{Res}(f, a_i) = \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, 2) = -1 + 8 = 7 \]
• Setzen wir diesen Wert in die Formel des Residuensatzes ein:\[ \oint_{\gamma} f(z) \ dz = 2 \pi i (7) = 14 \pi i \]

• Daher ist das geschlossene Wegintegral entlang der Kurve \( \gamma \): \[ \boxed{14 \pi i} \]