Geometric Modeling - Cheatsheet

Lineare Algebra und ihre Anwendung in der Modellierung

Definition:

Verwendung von linearen mathematischen Strukturen zur Lösung geometrischer Probleme.

Details:

• Grundlagen: Vektorräume, Matrizen, Lineare Abbildungen
• Transformationen: Translation, Rotation, Skalierung
• Bilddarstellung: Homogene Koordinaten
• Szenen: Modell-, Welt- und Ansichtskoordinaten
• Lineare Gleichungssysteme: Lösen mittels Matrizen
• Eigenwerte und Eigenvektoren: Analyse linearer Transformationen
• Anwendungen: Computergrafik, Animation, Bildverarbeitung

Transformationen und Matrizenoperationen

Definition:

Details:

• Transformationen: Anwendung von geometrischen Operationen (z.B. Translation, Rotation, Skalierung) auf Punkte/Objekte.
• Translation: Verschiebung eines Punktes/Objekts im Raum, dargestellt durch Addition eines Verschiebungsvektors \( \mathbf{d} \).
• Rotation: Drehung um einen Punkt oder eine Achse, beschrieben durch Rotationmatrizen. Beispiel: 2D-Rotation um den Ursprung: \[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]
• Skalierung: Vergrößerung/Verkleinerung eines Punktes/Objekts mittels Skalierungsmatrizen. Beispiel: uniform in 2D: \[ S(s) = \begin{pmatrix} s & 0 \ 0 & s \end{pmatrix} \]
• Homogene Koordinaten verwenden für affine Transformationen: Darstellung durch 4x4-Matrizen.
• Matrixmultiplikation: Kombination von Transformationen durch aufeinanderfolgende Anwendung von Matrizen.
• Inverse Matrizen: Rückgängigmachen einer Transformation. Beispiel: für Translation \( T(- \mathbf{d}) \), für Rotation \( R(-\theta) \), für Skalierung \( S(\frac{1}{s}) \).
• Jacobian: verwendet zur Analyse der Veränderung unter Transformation.

Spline-Kurven und -Flächen

Definition:

Spline-Kurven und -Flächen werden im Geometric Modeling verwendet, um glatte und flexible Formen zu erstellen.

Details:

• Basisfunktion: B-Splines
• Parameterdarstellung: \mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,k}(u) \mathbf{P}_i
• Kontrollpunkte: \mathbf{P}_i
• Knotenvektor: definiert die Parameterbereiche
• Glättung: hohe Kontinuität C^k
• NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) : Erweiterung für gleichmäßige Skalierung
• Anwendungen: CAD, Animation, Grafik

NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines)

Definition:

NURBS (Nicht-uniforme rationale B-Splines) sind mathematische Darstellungen, die zum Erstellen und Darstellen von Kurven und Flächen in der Computergrafik verwendet werden.

Details:

• NURBS-Kurve: \[ C(u) = \sum_{i=0}^{n} \frac{N_{i,p}(u)w_i P_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)w_i} \]
• NURBS-Fläche: \[ S(u,v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} \frac{N_{i,p}(u) M_{j,q}(v) w_{i,j} P_{i,j}}{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) M_{j,q}(v) w_{i,j}} \]
• \( N_{i,p}(u) \): B-Spline-Basisfunktionen
• \( w_i \): Gewichte
• \( P_i \): Kontrollpunkte
• Erlaubt präzise Kontrolle über Form und Glattheit von Kurven/Flächen
• Nicht-uniform: Knotenvektor muss nicht gleichmäßig verteilt sein
• Rational: Verwendung von Gewichten erlaubt konische Abschnitte (z.B. Kreise)

Polygonale Netze und Tesselation

Definition:

Repräsentation von 3D-Objekten durch Polygone, häufig Dreiecke. Tesselation: Aufteilung von Flächen in kleinere, nicht überlappende Polygone.

Details:

• Polygonale Netze bestehen aus Scheitelpunkten (Vertices), Kanten (Edges) und Flächen (Faces).
• Verwendung für 3D-Modellierung, Computeranimation und Rendering.
• Tesselation sorgt für Detailtreue durch Unterteilung in kleinere Polygone.
• Dreiecksvermeschung bevorzugt wegen mathematischer Einfachheit und Stabilität.
• Tesselation-Berechnung durch Shader/Algorithmen: GPU-beschleunigt.
• Mathematische Definition: \(V = (v_1, v_2, ... , v_n)\), \(E = ((v_i, v_j), ...)\), \(F = (f_1, f_2, ..., f_m)\)

2D- und 3D-Modellierungstechniken

Definition:

Erstellung von geometrischen Objekten in zwei oder drei Dimensionen durch mathematische und algorithmische Methoden.

Details:

• 2D-Modellierung: Verwendung von Vektorgrafiken, Rastergrafiken, Kurven (z.B. Bézier-Kurven), Polygonen und Transformationen (Translation, Rotation, Skalierung).
• 3D-Modellierung: Verwendung von Polygonnetzen, Volumenmodellen, Spline-Modellen, NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) und Modellierungstechniken wie (CSG) Constructive Solid Geometry und Sweep.
• Transformationen in 2D und 3D durch Matrizen (Affine Transformationen).
• Rendering-Techniken wie Raytracing und Rasterisierung zur Visualisierung der Modelle.
• Animation durch Keyframe- und Skelett-Animationstechniken.
• Speicherung in Formaten wie STL, OBJ für 3D oder SVG, PNG für 2D.

Raytracing und Rasterisierung

Definition:

Raytracing generiert Bilder durch Verfolgen der Lichtstrahlen, Rasterisierung konvertiert Szenen in Pixel.

Details:

• Raytracing: verfolgt Lichtstrahlen von Auge zur Lichtquelle, berechnet reale Reflexionen, Brechungen, Schatten
• Formel für Ray: \(\mathbf{d} = \mathbf{o} + t \mathbf{u}\)
• Hoch realistisch, aber rechenintensiv
• Rasterisierung: wandelt 3D-Objekte in 2D-Pixel um, benutzt Vertex und Fragment Shader
• Schnellere Berechnungszeit, weniger realistische Effekte
• Bresenham Algorithmus für Linienrasterisierung
• Wird oft in Spielen verwendet

Global Illumination

Definition:

Globale Beleuchtung betrachtet direkte und indirekte Lichtstrahlen für realistische Szenendarstellung.

Details:

• Berücksichtigt Lichtreflexionen zwischen Oberflächen.
• Simuliert weiche Schatten, Farbübertragungen und diffuse Reflexionen.
• Ray Tracing und Radiosity häufige Methoden.
• Rendering Equation: \[ L_o(x, \theta_o, \theta_i) = L_e(x, \theta_o) + \textstyle \int_{H} f_r(x, \theta_o, \theta_i) L_i(x, \theta_i) (\theta_i \bullet n) d\theta_i \]