Geometrie - Cheatsheet

Vektorräume: Definition, Untervektorräume, Basis und Dimension

Definition:

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, deren Linearkombinationen den ganzen Vektorraum aufspannen. Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Details:

• Untervektorraum: Eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.
• Lineare Unabhängigkeit: Keine Vektorkombination führt zum Nullvektor (außer die triviale).
• Basis einer Menge: Basiert auf linearer Unabhängigkeit und Spannungsfähigkeit.
• Dimension: Anzahl der Vektoren in einer Basis, dargestellt als kardinale Zahl.
• Existenz und Eindeutigkeit der Basis: Jede Basis eines Vektorraums hat dieselbe Anzahl von Vektoren (Dimensionssatz).

Lineare Abbildungen: Kern, Bild und Rang

Definition:

Lineare Abbildungen sind Funktionen zwischen Vektorräumen, die sowohl die Addition als auch die Skalierung erhalten.

Details:

• Kern (N): Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Formal: \( \text{ker}(A) = \{ \textbf{v} \in V \ | \ A\textbf{v} = \textbf{0} \} \)
• Bild (B): Menge aller möglichen Werte der Abbildung, auch Spann genannt. Formal: \( \text{im}(A) = \{ A\textbf{v} \ | \ \textbf{v} \in V \} \)
• Rang (r): Dimension des Bildes der Abbildung, gibt die Anzahl der linear unabhängigen Spalten von A an.
• Zusammenhang: \( \text{dim}(V) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{im}(A)) \)

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren und ihre Anwendungen

Definition:

Eigenschaften und Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren in Geometrie

Details:

• Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \) erfüllen \[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
• Hauptanwendungen: Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse, Hauptachsentransformation
• Diagonalisierung: \[ A = PDP^{-1} \]
  • \( P \) ist die Matrix der Eigenvektoren
  • \( D \) ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte
• Types of Eigenvalues: reell, komplex
• \( det(A - \lambda I) = 0 \) als charakteristische Gleichung
• Orthogonale Diagonalisierung bei symmetrischen Matrizen
• Anwendung in Informatik: PCA (Principal Component Analysis), Graphenanalyse, Maschinelles Lernen

Diagonalisierung von Matrizen

Definition:

Prozess, eine Matrix in eine Diagonalmatrix zu transformieren, falls möglich.

Details:

• Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt, sodass: \[P^{-1}AP = D\]
• Eigenwerte von A sind die Diagonaleinträge von D.
• Eigenvektoren von A bilden die Spalten von P.
• A ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat.
• Voraussetzung: A muss quadratisch sein.

Abstände und Winkel zwischen Linien und Ebenen

Definition:

Berechnung der Abstände und Winkel zwischen Linien und Ebenen in der Geometrie.

Details:

• Abstand zwischen Punkt und Ebene: \(d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
• Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen: \(d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
• Abstand zwischen Linie und Punkt: \(d = \frac{\|\vec{PQ} \times \vec{s}\|}{\|\vec{s}\|}\)
• Winkel zwischen zwei Linien: \(\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\)
• Winkel zwischen Linie und Ebene: \(\sin \phi = \frac{\vec{s} \cdot \vec{n}}{\|\vec{s}\| \|\vec{n}\|}\)
• Winkel zwischen zwei Ebenen: \(\cos \phi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|}\)

Transformationen und ihre Matrixdarstellungen

Definition:

Transformationen überführen Punkte eines Raumes in andere Punkte desselben oder eines anderen Raumes. Ihre Matrixdarstellungen ermöglichen eine einfache und effiziente Berechnung dieser Überführungen.

Details:

• Lineare Transformationen: durch Matrizen dargestellt.
• Affine Transformationen: Kombination einer linearen Transformation mit einer Translation.
• Matrixmultiplikation: Berechnung der Bildpunkte \( \text{{Bildpunkt}} = \text{{Matrix}} \times \text{{Ursprungspunkt}} \).
• Häufige Transformationen: Skalierung, Rotation, Translation, Scherung.
• Homogene Koordinaten für affine Transformationen.

Kegelschnitte: Parabel, Ellipse und Hyperbel

Definition:

Kegelschnitte: Parabel, Ellipse und Hyperbel sind spezielle Kurven, die durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene entstehen.

Details:

• Parabel: Set von Punkten, die zu einem Brennpunkt und einer Leitlinie gleich weit entfernt sind.
• Ellipse: Set von Punkten, deren Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist.
• Hyperbel: Set von Punkten, deren Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist.
• Allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts: \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
• Parabel-spezifische Form: \[ y = ax^2 + bx + c \]
• Ellipse-spezifische Form (standard): \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
• Hyperbel-spezifische Form (standard): \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Polygone und Polyeder: Definitionen und Klassifikationen

Definition:

Polygone: n-Ecke; 2D-Objekte mit geraden Seiten. Polyeder: 3D-Objekte, aus Polygonen zusammengesetzt.

Details:

• Polygone: Konvex oder konkav
• Regelmäßige Polygone: Alle Seiten und Winkel sind gleich
• Polyeder: Platonisch (regelmäßig) oder archimedisch (halbregulär)
• Anzahl von Ecken (Egon = n), Kanten (Kgon), und Flächen (Fgon)
• Eulersche Polyederformel: V - E + F = 2deck