Gewöhnliche Differentialgleichungen - Cheatsheet

Definition und Klassifizierung von Differentialgleichungen erster Ordnung

Definition:

Erste Ordnung: Gleichung der Form \( y' = f(t, y) \) mit Ableitung erster Ordnung.

Details:

• Explizit: \( y' = f(t, y) \)
• Implizit: \ F(t, y, y') = 0 \
• Lineare DGL: \ y' + p(t)y = q(t) \
• Separierbar: \ g(y)y' = h(t) \
• Zustände und Übergänge beschreiben Systemverhalten

Lösungstechniken: explizite und implizite Methoden

Definition:

Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen; unterscheidet zwischen expliziten und impliziten Methoden.

Details:

• Explizite Methoden: direkte Berechnung des nächsten Wertes aus vorherigen WertenBeispiel: Euler-VerfahrenFormel: \[ y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \]
• Implizite Methoden: erfordern das Lösen einer Gleichung bei jedem SchrittBeispiel: implizites Euler-VerfahrenFormel: \[ y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]

Trennung der Variablen: Theorie und Anwendung

Definition:

Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Separieren der Variablen und anschließendes Integrieren.

Details:

• Form: \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
• Umformung zu: \frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx
• Integration beider Seiten: \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx
• Lösung der Integrale ergibt die implizite Lösung: F(y) = G(x) + C
• Anwendung: Findet Lösungen für Differentialgleichungen, die trennbar sind.

Lösungsmethoden linearer Differentialgleichungen: Variation der Konstanten und unbestimmte Koeffizienten

Definition:

Lösung linearer Differenzialgleichungen mittels Variation der Konstanten und Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Details:

• Variation der Konstanten: Ansatz der Lösung der homogenen Gleichung und Modifikation der Konstante.
• Unbestimmte Koeffizienten: Ansatz spezieller Lösungsformen für die inhomogene Gleichung.
• Lineare Differentialgleichung: \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) \]
• Variation der Konstanten: \[ y_p = u(x) y_1(x) + v(x)y_2(x) \] (Lösungsansatz)
• Unbestimmte Koeffizienten: Ansatz für \[ g(x) = P_n(x) e^{\beta x} \] und Bestimmung der Parameter durch Einsetzen.
• Parameter in beiden Methoden durch Einsetzen in die DGL.

Eigenwerte und Eigenvektoren zur Lösung homogener und inhomogener Gleichungen

Definition:

Verwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren zur Analyse und Lösung linearer Differentialgleichungen.

Details:

• Homogene Gleichung: Allgemeine Lösung durch Bestimmen der Eigenwerte \( \lambda \) und Eigenvektoren \( \mathbf{v} \) des Systems \( A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \).
• Inhomogene Gleichung: Lösung \( \mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_h(t) + \mathbf{x}_p(t) \), wobei \( \mathbf{x}_h(t) \) die homogene und \( \mathbf{x}_p(t) \) die partikuläre Lösung ist.
• Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: \( \mathbf{x}_h(t) = \sum_{i} c_i \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t} \), wobei \( c_i \) Konstanten und \( \mathbf{v}_i \) Eigenvektoren sind.
• Ermittlung der partikulären Lösung je nach Art der Inhomogenität (z.B. Methode der undeterminierten Koeffizienten).

Fundamentalsatz über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Definition:

Lösung eines Anfangswertproblems existiert und ist eindeutig unter bestimmten Voraussetzungen.

Details:

• Zugehöriges Anfangswertproblem: \( y' = f(t, y) \) mit \( y(t_0) = y_0 \)
• Funktion \( f(t, y) \) ist stetig in einem Rechteck um \( (t_0, y_0) \)
• Lipschitz-Bedingung hinsichtlich \( y \) im selben Rechteck
• Existenz auf einem Intervall \( [t_0 - \tau, t_0 + \tau] \)

Mathematische Modellierung dynamischer Systeme

Definition:

Modellierung von Systemen, deren Zustand sich über die Zeit ändert, mithilfe von Differentialgleichungen.

Details:

• Grundform: \( \frac{d}{dt}x(t) = f(x(t), t) \)
• Lineare Systeme: \( \frac{d}{dt}x(t) = Ax(t) + Bu(t) \)
• Lösung dynamischer Systeme: Analytische Methoden oder numerische Approximationen
• Stabilität: Eigenwertanalyse der Systemmatrix
• Gleichgewichtspunkte: Lösung von \( f(x_e, t) = 0 \)
• Beispiele: Schwingungen, Wachstumsmodelle, Regelungssysteme

Anwendungen von Differentialgleichungen in der Informatik: Algorithmen, Bild- und Signalverarbeitung

Definition:

Nutzung von Differentialgleichungen zur Modellierung und Lösung komplexer Probleme in Informatik, speziell in Algorithmen, Bild- und Signalverarbeitung.

Details:

• Algorithmen: Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen.
• Bildverarbeitung: Diffusionsgleichungen für Rauschunterdrückung und Bildglättung.
• Signalverarbeitung: Fourier-Transformation in Verbindung mit Differentialgleichungen zur Filterung und Analyse von Signalen.
• Beispiel: Lösung von \( u'(t) = -au(t) + b \) in der Signalverarbeitung zur Modellierung von Systemantworten.