Gewöhnliche Differentialgleichungen - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben: Ein chemisches Reaktionssystem wird durch die folgende Differentialgleichung erster Ordnung modelliert: y'(t) + cy(t) = k, wobei c und k positive Konstanten sind. Es beschreibt die Konzentration y(t) eines Reaktanten im Laufe der Zeit t.

a)

A) Zeige, dass es sich bei der gegebenen Gleichung um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung handelt. Löse die Gleichung explizit für y(t) unter der Annahme, dass die Anfangsbedingung y(0) = y_0 gilt.

Lösung:

• Gegeben: Ein chemisches Reaktionssystem wird durch die folgende Differentialgleichung erster Ordnung modelliert:y'(t) + cy(t) = k, wobei c und k positive Konstanten sind. Es beschreibt die Konzentration y(t) eines Reaktanten im Laufe der Zeit t.
• Zu zeigen:A) Zeige, dass es sich bei der gegebenen Gleichung um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung handelt. Löse die Gleichung explizit für y(t) unter der Annahme, dass die Anfangsbedingung y(0) = y_0 gilt.

• Zu zeigen, dass die gegebene Gleichung linear ist:
• Eine Differentialgleichung der Form y'(t) + p(t)y(t) = g(t) wird als lineare Differentialgleichung erster Ordnung betrachtet. Hier ist p(t) eine Funktion von t und g(t) eine Funktion von t.
• In unserer gegebenen Gleichung y'(t) + cy(t) = k ist p(t) = c (eine Konstante) und g(t) = k (ebenfalls eine Konstante). Da p(t) und g(t) keine Funktionen von t sind, sondern Konstanten, ist die gegebene Gleichung linear.
• Explizite Lösung der Gleichung für y(t):
• Um die Differentialgleichung zu lösen, verwenden wir die Methode des Integrationsfaktors. Der Integrationsfaktor \mu(t) wird durch

  \mu(t) = e^{\int c dt}

gegeben.
• In unserem Fall ist c eine Konstante. Daher ist der Integrationsfaktor:

  \mu(t) = e^{ct}

  e^{ct} y'(t) + e^{ct} c y(t) = k e^{ct}

  \frac{d}{dt} (e^{ct} y(t)) = k e^{ct}

  \int \frac{d}{dt} (e^{ct} y(t)) dt = \int k e^{ct} dt

  e^{ct} y(t) = \int k e^{ct} dt

  e^{ct} y(t) = \frac{k}{c} e^{ct} + C

  y(t) = \frac{k}{c} + C e^{-ct}

  y(0) = \frac{k}{c} + C e^{0} \rightarrow y_0 = \frac{k}{c} + C

  C = y_0 - \frac{k}{c}

  y(t) = \frac{k}{c} + \left(y_0 - \frac{k}{c}\right)e^{-ct}

  y(t) = \frac{k}{c} + \left(y_0 - \frac{k}{c}\right) e^{-ct}

b)

B) Nehme an, dass die Reaktionsrate durch die Differentialgleichung y'(t) = -cy(t) + k gegeben ist. Bestimme die Lösung y(t) für den Fall, dass die Reaktantenkonzentration nach einer ständigen externen Zuführung eines der Reaktanten bei t = 0 weiter sinkt. Betrachte dabei auch das langfristige Verhalten von y(t), wenn t gegen unendlich geht.

Lösung:

• Gegeben: Ein chemisches Reaktionssystem wird durch die folgende Differentialgleichung erster Ordnung modelliert:y'(t) = -cy(t) + k, wobei c und k positive Konstanten sind. Es beschreibt die Reaktionsrate eines Reaktanten im Laufe der Zeit t.
• Zu zeigen:B) Bestimme die Lösung y(t) für den Fall, dass die Reaktantenkonzentration nach einer ständigen externen Zuführung eines der Reaktanten bei t = 0 weiter sinkt. Betrachte dabei auch das langfristige Verhalten von y(t), wenn t gegen unendlich geht.

• Die gegebene Differentialgleichung lautet:y'(t) = -cy(t) + k
• Das ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Um sie zu lösen, verwenden wir wieder den Integrationsfaktor.Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist y'(t) + p(t)y(t) = g(t). Unsere Gleichung kann umgeformt werden zu:y'(t) + cy(t) = k
• Der Integrationsfaktor \mu(t) ist:

  \mu(t) = e^{\int c\, dt} = e^{ct}

  e^{ct} y'(t) + ce^{ct} y(t) = k e^{ct}

  \frac{d}{dt} (e^{ct} y(t)) = k e^{ct}

  \int \frac{d}{dt} (e^{ct} y(t)) dt = \int k e^{ct} dt

  e^{ct} y(t) = \int k e^{ct} dt = \frac{k}{c} e^{ct} + C

  y(t) = \frac{k}{c} + C e^{-ct}

  y(0) = \frac{k}{c} + C \rightarrow y_0 = \frac{k}{c} + C \rightarrow C = y_0 - \frac{k}{c}

  y(t) = \frac{k}{c} + \left(y_0 - \frac{k}{c}\right)e^{-ct}

Wenn t gegen unendlich geht, dann geht e^{-ct} gegen 0, da c eine positive Konstante ist. Damit ergibt sich:\lim_{t \to \infty} y(t) = \frac{k}{c}

Aufgabe 2)

Du sollst ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem (GDGLS) der Form \[ \frac{dy}{dt} = f(t, y) \] mit der Anfangsbedingung \[ y(0) = y_0 \] mithilfe von expliziten und impliziten Methoden lösen. Verwende das Euler-Verfahren und das implizite Euler-Verfahren zur numerischen Lösung. Die Differentialgleichung lautet: \[ \frac{dy}{dt} = -2t y \] mit der Anfangsbedingung \[ y(0) = 1 \]

a)

Verwende das Euler-Verfahren, um die Werte von \[ y_n \] für \[ n = 1, 2, 3 \] zu berechnen mit einem Zeitschritt von \[ h = 0.1 \]. Zeige jeden Berechnungsschritt und erkläre das Verfahren kurz.

Lösung:

Um das Euler-Verfahren zur Lösung des gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems (GDGLS) anzuwenden, gehen wir wie folgt vor:

• Gegebene Gleichung: \[ \frac{dy}{dt} = -2t y \]
• Anfangsbedingung: \[ y(0) = 1 \]
• Zeitschritt: \[ h = 0.1 \]

Das Euler-Verfahren ist eine explizite Methode zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen und wird wie folgt berechnet:

Allgemeine Formel des Euler-Verfahrens:

Für unsere Differentialgleichung \[ \frac{dy}{dt} = -2t y \] ist \[ f(t, y) = -2t y \].

Nun berechnen wir \[ y_1 \], \[ y_2 \], und \[ y_3 \] Schritt für Schritt:

1. Ausgangspunkt: \[ y_0 = 1 \], \[ t_0 = 0 \]
2. Berechnung von \[ y_1 \]:
   • \[ t_1 = t_0 + h = 0 + 0.1 = 0.1 \]
   • \[ y_1 = y_0 + h \bullet f(t_0, y_0) \]
   • \[ y_1 = 1 + 0.1 \bullet (-2 \bullet 0 \bullet 1) \]
   • \[ y_1 = 1 + 0.1 \bullet 0 = 1 \]
3. Berechnung von \[ y_2 \]:
   • \[ t_2 = t_1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2 \]
   • \[ y_2 = y_1 + h \bullet f(t_1, y_1) \]
   • \[ y_2 = 1 + 0.1 \bullet (-2 \bullet 0.1 \bullet 1) \]
   • \[ y_2 = 1 + 0.1 \bullet (-0.2) \]
   • \[ y_2 = 1 - 0.02 = 0.98 \]
4. Berechnung von \[ y_3 \]:
   • \[ t_3 = t_2 + h = 0.2 + 0.1 = 0.3 \]
   • \[ y_3 = y_2 + h \bullet f(t_2, y_2) \]
   • \[ y_3 = 0.98 + 0.1 \bullet (-2 \bullet 0.2 \bullet 0.98) \]
   • \[ y_3 = 0.98 + 0.1 \bullet (-0.392) \]
   • \[ y_3 = 0.98 - 0.0392 = 0.9408 \]

Die berechneten Werte sind also:

• \[ y_1 = 1 \]
• \[ y_2 = 0.98 \]
• \[ y_3 = 0.9408 \]

b)

Verwende das implizite Euler-Verfahren, um die Werte von \[ y_n \] für \[ n = 1, 2, 3 \] zu berechnen mit einem Zeitschritt von \[ h = 0.1 \]. Erkläre, wie Du die notwendigen Gleichungen bei jedem Schritt löst.

Lösung:

Das implizite Euler-Verfahren ist eine Methode zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen, die im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren einen implizierten Schritt erfordert. Das bedeutet, dass die Methode die Berechnung des nächsten Wertes von y von der zukünftigen unbekannten Funktion abhängen lässt.

• Gegebene Gleichung: \( \frac{dy}{dt} = -2t y \)
• Anfangsbedingung: \( y(0) = 1 \)
• Zeitschritt: \( h = 0.1 \)

Die allgemeine Form des impliziten Euler-Verfahrens lautet:

\[ y_{n+1} = y_n + h \bullet f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]

Für unsere Differenzialgleichung \( \frac{dy}{dt} = -2t y \) ist \( f(t, y) = -2ty \).

Da der Ausdruck implizit ist, müssen wir jeweils die Gleichung nach \( y_{n+1} \) auflösen. Beachten wir, dass:

\[ y_{n+1} = y_n + h \bullet (-2 t_{n+1} y_{n+1}) \]

Lösen wir dies nach \( y_{n+1} \) auf:

\[ y_{n+1} (1 + 2h t_{n+1}) = y_n \]

\[ y_{n+1} = \frac{y_n}{1 + 2h t_{n+1}} \]

Nun setzen wir die gegebenen Bedingungen und den Zeitschritt \( h \) ein, um \( y_1 \), \( y_2 \), und \( y_3 \) zu berechnen:

1. Ausgangspunkt: \( y_0 = 1 \), \( t_0 = 0 \)
2. Berechnung von \( y_1 \):
   • \( t_1 = t_0 + h = 0 + 0.1 = 0.1 \)
   • \( y_1 = \frac{y_0}{1 + 2h t_1} \)
   • \( y_1 = \frac{1}{1 + 2 \cdot 0.1 \cdot 0.1} \)
   • \( y_1 = \frac{1}{1 + 0.02} \)
   • \( y_1 = \frac{1}{1.02} \approx 0.9804 \)
3. Berechnung von \( y_2 \):
   • \( t_2 = t_1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2 \)
   • \( y_2 = \frac{y_1}{1 + 2h t_2} \)
   • \( y_2 = \frac{0.9804}{1 + 2 \cdot 0.1 \cdot 0.2} \)
   • \( y_2 = \frac{0.9804}{1 + 0.04} \)
   • \( y_2 = \frac{0.9804}{1.04} \approx 0.9427 \)
4. Berechnung von \( y_3 \):
   • \( t_3 = t_2 + h = 0.2 + 0.1 = 0.3 \)
   • \( y_3 = \frac{y_2}{1 + 2h t_3} \)
   • \( y_3 = \frac{0.9427}{1 + 2 \cdot 0.1 \cdot 0.3} \)
   • \( y_3 = \frac{0.9427}{1 + 0.06} \)
   • \( y_3 = \frac{0.9427}{1.06} \approx 0.8893 \)

Die berechneten Werte sind also:

• \( y_1 \approx 0.9804 \)
• \( y_2 \approx 0.9427 \)
• \( y_3 \approx 0.8893 \)

c)

Vergleiche die Ergebnisse der beiden Verfahren nach 3 Schritten mit dem exakten Wert der Lösung der Differentialgleichung. Die exakte Lösung der Differentialgleichung lautet: \[ y(t) = e^{-t^2} \]. Berechne den exakten Wert bei \[ t = 0.1, 0.2, 0.3 \].

Lösung:

Um die Genauigkeit der beiden numerischen Verfahren zu vergleichen, berechnen wir zunächst die exakten Werte der Lösung der Differentialgleichung an den entsprechenden Zeitpunkten.

• Gegebene exakte Lösung der Differentialgleichung: \( y(t) = e^{-t^2} \)
• Anfangsbedingung: \( y(0) = 1 \)
• Zeitschritt: \( h = 0.1 \)

Berechnen wir die exakten Werte bei \( t = 0.1, 0.2, 0.3 \):

• \( t = 0.1 \):
  • \( y(0.1) = e^{-(0.1^2)} \)
  • \( y(0.1) = e^{-0.01} \)
  • \( y(0.1) \approx 0.9900 \)
• \( t = 0.2 \):
  • \( y(0.2) = e^{-(0.2^2)} \)
  • \( y(0.2) = e^{-0.04} \)
  • \( y(0.2) \approx 0.9608 \)
• \( t = 0.3 \):
  • \( y(0.3) = e^{-(0.3^2)} \)
  • \( y(0.3) = e^{-0.09} \)
  • \( y(0.3) \approx 0.9139 \)

Nun vergleichen wir diese exakten Werte mit den Ergebnissen aus dem expliziten und dem impliziten Euler-Verfahren:

Explizites Euler-Verfahren:

• \( y_1 = 1 \)
• \( y_2 = 0.98 \)
• \( y_3 = 0.9408 \)

Implizites Euler-Verfahren:

• \( y_1 \approx 0.9804 \)
• \( y_2 \approx 0.9427 \)
• \( y_3 \approx 0.8893 \)

Exakte Lösung:

• \( y(0.1) \approx 0.9900 \)
• \( y(0.2) \approx 0.9608 \)
• \( y(0.3) \approx 0.9139 \)

Zusammenfassung:

• Beim expliziten Euler-Verfahren ist der Fehler nach 3 Schritten:
• \( \left| y_3 - y(0.3) \right| \approx \left| 0.9408 - 0.9139 \right| = 0.0269 \)
• Beim impliziten Euler-Verfahren ist der Fehler nach 3 Schritten:
• \( \left| y_3 - y(0.3) \right| \approx \left| 0.8893 - 0.9139 \right| = 0.0246 \)

Es kann daher beobachtet werden, dass das implizite Euler-Verfahren geringfügig genauer ist als das explizite Euler-Verfahren bei der numerischen Lösung dieses speziellen Differentialgleichungssystems.

d)

Diskutiere die Stabilität und Konvergenz der beiden Methoden bei der Lösung dieser Differentialgleichung. Welche Methode scheint bei größeren Zeitschritten stabiler zu sein und warum?

Lösung:

Die Stabilität und Konvergenz von numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen sind wichtige Aspekte, die die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse beeinflussen. Lassen wir uns die beiden verwendeten Methoden, das explizite und das implizite Euler-Verfahren, im Hinblick auf diese Aspekte diskutieren.

• Stabilität:

  Stabilität bezieht sich darauf, wie sich Fehler in numerischen Berechnungen über viele Zeitschritte hinweg verhalten. Eine Methode ist stabil, wenn Fehler nicht exponentiell anwachsen, sondern im besten Fall abklingen oder zumindest begrenzt bleiben.

• Explizites Euler-Verfahren:

  Das explizite Euler-Verfahren ist nur bedingt stabil. Seine Stabilität hängt stark von der Größe des Zeitschritts \( h \) ab. Bei zu großen Zeitschritten kann die Methode instabil werden und die Fehler können exponentiell wachsen. Für steife Differentialgleichungen – also Gleichungen, bei denen verschiedene Komponenten sehr unterschiedliche Zeitskalen haben – ist das explizite Euler-Verfahren oft ungeeignet, da es nur für sehr kleine Zeitschritte stabil ist.

• Implizites Euler-Verfahren:

  Das implizite Euler-Verfahren ist im Allgemeinen stabiler als das explizite Euler-Verfahren. Es ist besonders bei steifen Gleichungen von Vorteil, da es auch bei größeren Zeitschritten stabil bleibt. Dies liegt daran, dass das implizite Verfahren bei jedem Schritt eine Gleichung löst, die zukünftige (also meist stabilere) Information enthält.

• Konvergenz:

  Konvergenz bezieht sich darauf, wie genau eine numerische Methode die exakte Lösung annähert, wenn der Zeitschritt \( h \) gegen Null geht. Beide Methoden – das explizite und das implizite Euler-Verfahren – haben eine Konvergenzordnung von 1, was bedeutet, dass der Fehler proportional zum Zeitschritt \( h \) ist.

• Explizites Euler-Verfahren:

  Während das explizite Euler-Verfahren für kleine Zeitschritte sehr genau sein kann, nimmt die Genauigkeit schnell ab, wenn der Zeitschritt vergrößert wird.

• Implizites Euler-Verfahren:

  Das implizite Euler-Verfahren kann auch mit größeren Zeitschritten relativ genau bleiben, da es bei der Berechnung des nächsten Punktes immer zukünftige Information berücksichtigt.

Fazit:

Bei der Lösung der gegebenen Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = -2t y \) mit der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \) und größeren Zeitschritten scheint das implizite Euler-Verfahren stabiler zu sein. Das liegt daran, dass die implizite Methode besser mit steifen Gleichungen und größeren Zeitschritten umgehen kann, da sie zukünftige Werte in ihre Berechnungen einbezieht und somit stabilisierende Effekte hat. Das explizite Verfahren könnte bei zu großen Zeitschritten instabil werden und signifikante Fehler verursachen.

Aufgabe 3)

Trennung der Variablen: Theorie und AnwendungMethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Separieren der Variablen und anschließendes Integrieren.

• Form: \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
• Umformung zu: \(\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx\)
• Integration beider Seiten: \(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx\)
• Lösung der Integrale ergibt die implizite Lösung: \(F(y) = G(x) + C\)
• Anwendung: Findet Lösungen für Differentialgleichungen, die trennbar sind.

a)

• Gegeben sei die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\). Trenne die Variablen und integriere beide Seiten, um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen.

Lösung:

Trennung der Variablen: Theorie und Anwendung

Die Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Separieren der Variablen und anschließendes Integrieren:

• Form: \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
• Umformung zu: \(\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx\)
• Integration beider Seiten: \(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx\)
• Lösung der Integrale ergibt die implizite Lösung: \(F(y) = G(x) + C\)
• Anwendung: Findet Lösungen für Differentialgleichungen, die trennbar sind.

Übung: Bestimme die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\) durch Trennung der Variablen und Integration.

• Schritt 1: Variablentrennung: Wir formen die Gleichung so um, dass alle Terme mit \(x\) auf der einen und alle Terme mit \(y\) auf der anderen Seite stehen.
• \(\frac{dy}{dx} = 2x(y^2 + 1)\)
• \(\frac{1}{y^2 + 1} dy = 2x dx\)
• Schritt 2: Integration: Wir integrieren beide Seiten getrennt.
• \( \int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \int 2x dx \)
• Das Integral auf der linken Seite ist der Arkustangens: \( \int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \tan^{-1}(y) + C_1 \)
• Das Integral auf der rechten Seite ist: \( \int 2x dx = x^2 + C_2 \)
• Wir kombinieren die Konstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) zu einer einzigen Konstante \( C \): \( \tan^{-1}(y) = x^2 + C \)

Ergebnis: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist:

\( \tan^{-1}(y) = x^2 + C \)

b)

• Finde die Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\), wenn die Anfangsbedingung \(y(0) = 1\) gegeben ist. Zeige alle Schritte zur Lösung.

Lösung:

Trennung der Variablen: Theorie und Anwendung

Hierbei handelt es sich um eine Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Separieren der Variablen und anschließendes Integrieren.

• Form: \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
• Umformung zu: \(\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx\)
• Integration beider Seiten: \(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx\)
• Lösung der Integrale ergibt die implizite Lösung: \(F(y) = G(x) + C\)
• Anwendung: Findet Lösungen für Differentialgleichungen, die trennbar sind.

Aufgabe: Finde die Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\), wenn die Anfangsbedingung \(y(0) = 1\) gegeben ist. Zeige alle Schritte zur Lösung.

• Schritt 1: Variablentrennung: Wir formen die Gleichung so um, dass alle Terme mit \(x\) auf der einen und alle Terme mit \(y\) auf der anderen Seite stehen.
• \(\frac{dy}{dx} = 2x(y^2 + 1)\)
• \(\frac{1}{y^2 + 1} dy = 2x dx\)
• Schritt 2: Integration: Wir integrieren beide Seiten getrennt.
• \( \int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \int 2x dx \)
• Das Integral auf der linken Seite ist der Arkustangens: \( \int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \tan^{-1}(y) + C_1 \)
• Das Integral auf der rechten Seite ist: \( \int 2x dx = x^2 + C_2 \)
• Wir kombinieren die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) zu einer einzigen Konstante \(C\): \( \tan^{-1}(y) = x^2 + C \)
• Schritt 3: Anfangsbedingung anwenden: Wir verwenden die gegebene Anfangsbedingung \(y(0) = 1\), um die Konstante \(C\) zu bestimmen.
• Wenn \(x = 0\), dann \(y = 1\).
• Wir setzen diese Werte in die allgemeine Lösung ein: \( \tan^{-1}(1) = 0^2 + C \)
• Das ergibt: \( \frac{\pi}{4} = C \)
• Schritt 4: Endgültige Lösung bestimmen: Wir setzen \(C\) in die allgemeine Lösung ein:

Die spezielle Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung ist:

\( \tan^{-1}(y) = x^2 + \frac{\pi}{4} \)

Um die Lösung explizit für \(y\) darzustellen, können wir invertieren:

\( y = \tan(x^2 + \frac{\pi}{4}) \)

c)

• Untersuche, ob die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\) Lösungen hat, die senkrecht zu den Lösungen der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x)(y^2+1)}\) stehen. Begründe Deine Antwort ausführlich und mathematisch korrekt.

Lösung:

Trennung der Variablen: Theorie und Anwendung

Die Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Separieren der Variablen und anschließendes Integrieren:

• Form: \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
• Umformung zu: \(\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx\)
• Integration beider Seiten: \(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx\)
• Lösung der Integrale ergibt die implizite Lösung: \(F(y) = G(x) + C\)
• Anwendung: Findet Lösungen für Differentialgleichungen, die trennbar sind.

Aufgabe: Untersuche, ob die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\) Lösungen hat, die senkrecht zu den Lösungen der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x)(y^2+1)}\) stehen. Begründe Deine Antwort ausführlich und mathematisch korrekt.

• Schritt 1: Verstehen der Senkrecht-Bedingung: Zwei Kurven sind senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist. Das bedeutet, dass wenn \(\frac{dy_1}{dx}\) und \(\frac{dy_2}{dx}\) die Steigungen zweier Lösungen sind, dann muss gelten: \(\frac{dy_1}{dx} \cdot \frac{dy_2}{dx} = -1\).
• Schritt 2: Steigungen der beiden Differentialgleichungen:
• Für die erste Differentialgleichung gilt: \(\frac{dy_1}{dx} = 2x(y_1^2 + 1)\)
• Für die zweite Differentialgleichung gilt: \(\frac{dy_2}{dx} = -\frac{1}{2x(y_2^2 + 1)}\)
• Schritt 3: Bedingung für Senkrecht-Bedingung prüfen: Wir multiplizieren die Steigungen der beiden Differentialgleichungen: \(\left(2x(y_1^2 + 1)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2x(y_2^2 + 1)}\right)\)
• Das ergibt: \(\left(2x(y_1^2 + 1)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2x(y_2^2 + 1)}\right) = -\frac{y_1^2 + 1}{y_2^2 + 1}\)
• Damit die Kurven senkrecht zueinander stehen, muss gelten: \(-\frac{y_1^2 + 1}{y_2^2 + 1} = -1\)
• Das bedeutet, dass: \(y_1^2 + 1 = y_2^2 + 1\)
• Dies impliziert, dass: \(y_1 = y_2\)
• Schlussfolgerung: Da \(y_1 = y_2\) bedeutet, dass beide Differentialgleichungen die gleichen Lösungen haben, gibt es keine Lösungen, die senkrecht zueinander sind. Ohne weitere Restriktionen oder Transformationen sind die Lösungen der beiden Differentialgleichungen nicht senkrecht zueinander, da sie dieselben Kurven beschreiben.

Die Antwort ist: Die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (2x)(y^2+1)\) hat keine Lösungen, die senkrecht zu den Lösungen der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x)(y^2+1)}\) stehen, da beide Differentialgleichungen identische Lösungen haben, wenn \(y_1 = y_2\) erfüllt ist.

Aufgabe 4)

Lösung linearer Differenzialgleichungen mittels Variation der Konstanten und Methode der unbestimmten Koeffizienten Betrachte die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

• Variation der Konstanten: Ansatz der Lösung der homogenen Gleichung und Modifikation der Konstante.
• Unbestimmte Koeffizienten: Ansatz spezieller Lösungsformen für die inhomogene Gleichung.
• Lineare Differentialgleichung:

  y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

• Variation der Konstanten:

  y_p = u(x) y_1(x) + v(x)y_2(x)

  (Lösungsansatz)
• Unbestimmte Koeffizienten: Ansatz für

  g(x) = P_n(x) e^{\beta x}

  und Bestimmung der Parameter durch Einsetzen.
• Parameter in beiden Methoden durch Einsetzen in die DGL.