Globale Navigationssatellitensysteme - Exam

Aufgabe 1)

Definition und Historie von GNSSGNSS (Globales Navigationssatellitensystem) bezeichnet satellitenbasierte Systeme zur Positionsbestimmung und Navigation. Kernkomponenten: Satelliten, Bodenkontrollstationen, Nutzerempfänger.

• Erster GNSS: Transit (USA, 1960er Jahre)
• Wichtigste GNSS: GPS (USA), GLONASS (Russland), Galileo (EU), BeiDou (China)
• GPS: Start 1978, voll funktionsfähig 1995
• GLONASS: Start 1982, voll funktionsfähig 1996 (Modernisierung seitdem)
• Galileo: Start 2011, voll funktionsfähig ab ca. 2020
• BeiDou: Start 2000, global voll funktionsfähig 2020
• GNSS-Funktionsweise: Zeitmessung zwischen Satellitensignalen und Empfänger

b)

Vergleiche die historischen Entwicklungen der vier wichtigsten GNSS (GPS, GLONASS, Galileo, BeiDou). Beschreibe die wesentlichen Phasen ihrer Entwicklung und analysiere die Unterschiede bezüglich der Inbetriebnahme und der vollen Funktionsfähigkeit.

Lösung:

Vergleich der historischen Entwicklungen der vier wichtigsten GNSS (GPS, GLONASS, Galileo, BeiDou)Die vier wichtigsten globalen Navigationssatellitensysteme (GNSS) sind GPS (USA), GLONASS (Russland), Galileo (EU) und BeiDou (China). Jedes dieser Systeme hat seine eigene Entwicklungs- und Inbetriebnahmegeschichte. Nachfolgend werden die wesentlichen Phasen ihrer Entwicklung beschrieben und die Unterschiede bezüglich der Inbetriebnahme und vollen Funktionsfähigkeit analysiert.

• GPS (USA)
  • Start: 1978
  • Volle Funktionsfähigkeit: 1995
  • Wesentliche Phasen:
    • 1978: Start der ersten GPS-Satelliten (Block I).
    • 1989: Einführung der zweiten Generation (Block II).
    • 1993: Start der dritten Generation (Block IIA).
    • 1995: GPS wurde voll funktionsfähig mit einer Konstellation von 24 Satelliten.
    • 2005: Einführung modernerer Satelliten (Block IIR-M).
• GLONASS (Russland)
  • Start: 1982
  • Volle Funktionsfähigkeit: 1996
  • Wesentliche Phasen:
    • 1982: Start der ersten GLONASS-Satelliten.
    • 1991: Erste Konstellation mit 12 Satelliten.
    • 1995: Konstellation wurde auf 24 Satelliten erweitert.
    • 1996: GLONASS wurde voll funktionsfähig.
    • Seit 2001: Kontinuierliche Modernisierung und Ergänzung der Satelliten.
    • 2011: GLONASS-M wurde eingeführt für bessere Genauigkeit.
    • 2013: Start der dritten Generation (GLONASS-K).
• Galileo (EU)
  • Start: 2011
  • Volle Funktionsfähigkeit: Ab ca. 2020
  • Wesentliche Phasen:
    • 2003: Projekteinleitung und Aufbau der Infrastruktur.
    • 2011: Start der ersten Galileo-Satelliten.
    • 2016: Erste betriebsfähige Dienste verfügbar (Initial Services).
    • 2018: Galileo hat eine Konstellation von 22 aktiven Satelliten.
    • 2020: Galileo wurde voll funktionsfähig mit 24 Satelliten.
• BeiDou (China)
  • Start: 2000
  • Volle Funktionsfähigkeit: Global ab 2020
  • Wesentliche Phasen:
    • 2000: Start von BeiDou-1, ein regionales System.
    • 2007: Beginn von BeiDou-2 Entwicklung für globale Abdeckung.
    • 2012: BeiDou-2 wurde für den asiatisch-pazifischen Raum voll funktionsfähig.
    • 2015: Beginn von BeiDou-3, einer umfassenden Modernisierung.
    • 2020: BeiDou-3 wurde mit globaler Abdeckung voll funktionsfähig.

Vergleich der Systeme:

• Inbetriebnahme: GPS startete am frühesten (1978), gefolgt von GLONASS (1982). BeiDou begann 2000 und Galileo zuletzt 2011.
• Volle Funktionsfähigkeit: GPS erreichte diese 1995, GLONASS 1996, BeiDou und Galileo ungefähr gleichzeitig um 2020.
• Modernisierungszyklen: Alle Systeme unterliegen kontinuierlichen Modernisierungen. GPS und GLONASS haben mehrere Generationen von Satelliten entwickelt, während BeiDou und Galileo neuere Technologien einsetzen und ebenfalls kontinuierlich ausgebaut werden.
• Regionale vs. Globale Abdeckung: BeiDou begann als regionales System und wurde später global, während GPS, GLONASS und Galileo primär auf globale Abdeckung ausgelegt sind.

c)

Berechne die Position eines Empfängers, der Signale von drei verschiedenen GNSS-Satelliten erhält. Gegeben seien die Zeitdifferenzen zwischen den empfangenen Signalen: \( \text{Satellit A: } t_A = 0.073 \, \text{ms} \), \( \text{Satellit B: } t_B = 0.091 \, \text{ms} \) und \( \text{Satellit C: } t_C = 0.065 \, \text{ms} \). Verwende die Geschwindigkeit des Lichts \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \), um die Abstände zu den Satelliten zu berechnen und die Position des Empfängers zu bestimmen.

Lösung:

Berechnung der Position eines Empfängers anhand von Signalen aus drei GNSS-SatellitenUm die Position des Empfängers zu bestimmen, müssen wir die Entfernungen zu den drei Satelliten berechnen und danach die exakte Position mittels Triangulation bestimmen.Gegebene Daten:

• Satellit A: Zeitdifferenz (\( t_A \)) = 0.073 ms
• Satellit B: Zeitdifferenz (\( t_B \)) = 0.091 ms
• Satellit C: Zeitdifferenz (\( t_C \)) = 0.065 ms
• Geschwindigkeit des Lichts (\( c \)) = \( 3 \times 10^8 \) m/s

Schritt 1: Berechnung der Entfernungen

• Die Entfernung wird mit der Formel

  d = c \times t

  berechnet. Für die Zeit in Millisekunden (ms) müssen wir die Zeit in Sekunden (s) umrechnen.
• \( t_A = 0.073 \text{ ms} = 0.073 \times 10^{-3} \text{ s} \)
• \( t_B = 0.091 \text{ ms} = 0.091 \times 10^{-3} \text{ s} \)
• \( t_C = 0.065 \text{ ms} = 0.065 \times 10^{-3} \text{ s} \)

Schritt 2: Berechnung der Entfernungen:

• \( d_A = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \times 0.073 \times 10^{-3} \text{ s} \)
• \( = 3 \times 10^8 \times 0.073 \times 10^{-3} \)
• \( = 3 \times 0.073 \times 10^5 \)
• \( d_A = 2.19 \times 10^4 \text{ m} \)
• \( d_B = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \times 0.091 \times 10^{-3} \text{ s} \)
• \( = 3 \times 0.091 \times 10^5 \)
• \( d_B = 2.73 \times 10^4 \text{ m} \)
• \( d_C = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \times 0.065 \times 10^{-3} \text{ s} \)
• \( = 3 \times 0.065 \times 10^5 \)
• \( d_C = 1.95 \times 10^4 \text{ m} \)

Schritt 3: Bestimmung der Position mit TriangulationDie genaue Position des Empfängers wird durch die Triangulation der drei berechneten Entfernungen zu den jeweiligen Satelliten bestimmt. Jeder Satellit definiert eine Kugel mit einem Radius der berechneten Entfernung, und der Empfänger befindet sich am Schnittpunkt dieser Kugeln.Für eine exakte Berechnung der Position müssen die genauen Positionen der Satelliten und komplexe mathematische Methoden wie die Lösung eines Systems von Kugelgleichungen verwendet werden, was außerhalb des Rahmens dieser Aufgabe liegt. In der Praxis nutzt ein GNSS-Empfänger integrierte Algorithmen, die diese Berechnungen durchführen.Zusammengefasst: Basierend auf den berechneten Entfernungen (\( d_A \), \( d_B \) und \( d_C \)) zu den Satelliten könnte die Position des Empfängers durch die Schnittpunkte dieser Kugeln bestimmt werden.

Aufgabe 2)

Signalstruktur der GNSS-SatellitenGNSS-Satelliten senden Signale aus, die für die Positionierung und Navigation genutzt werden. Diese Signale haben bestimmte Merkmale und Strukturen:

• Trägerfrequenzen: L1 (1575,42 MHz), L2 (1227,60 MHz), L5 (1176,45 MHz).
• Signalarten: C/A-Code, P(Y)-Code, M-Code, L2C, L5.
• Modulationsarten: BPSK (Binary Phase Shift Keying), QPSK (Quadrature Phase Shift Keying).
• Übertragung von Pseudorandom Noise (PRN) Codes zur Satellitenidentifikation und zur Berechnung von Laufzeiten.
• Demodulierung: Ableitung der Frequenz und Phase für präzise Entfernungsbestimmung.
• Dateninhalte: Almanachdaten, Ephemerisdaten, Uhrkorrekturen.
• Signalbandbreite: Abhängig vom genutzten Signal (z.B. 2 MHz für C/A-Code auf L1).

a)

1. Berechnung der PseudorangesErkläre den Prozess zur Berechnung der Pseudoranges, indem du die PRN-Codes und die gemessenen Laufzeiten nutzt. Gehe dabei auf die Rolle der Trägerfrequenzen L1, L2 und L5 ein und erkläre, wie diese unterschiedlichen Frequenzen zur Genauigkeitsverbesserung beitragen.

Lösung:

1. Berechnung der PseudorangesDie Berechnung der Pseudoranges ist für die GNSS-Navigation entscheidend, da sie die Distanz zwischen einem GNSS-Satelliten und einem GNSS-Empfänger bestimmt. Diese Berechnung basiert auf PRN-Codes (Pseudorandom Noise Codes) und den gemessenen Laufzeiten der auf verschiedenen Trägerfrequenzen ausgesendeten Signale. Der Prozess umfasst mehrere Schritte:

• Erzeugung und Aussendung des PRN-Codes durch den Satelliten: GNSS-Satelliten senden einzigartige PRN-Codes aus, die mit bestimmten Trägerfrequenzen moduliert werden. Die wichtigen Trägerfrequenzen sind:
  • L1 (1575,42 MHz): Übertragung von C/A-Code und P(Y)-Code
  • L2 (1227,60 MHz): Übertragung von P(Y)-Code und L2C
  • L5 (1176,45 MHz): Übertragung von L5-Signalen
• Empfang und Synchronisation: Der GNSS-Empfänger empfängt das ausgesendete Signal und identifiziert den PRN-Code. Der Empfänger synchronisiert sich mit dem PRN-Code, um den exakten Sendezeitpunkt zu ermitteln.
• Messung der Laufzeit: Die Zeit, die das Signal benötigt, um vom Satelliten zum Empfänger zu gelangen, wird gemessen. Diese Laufzeit berücksichtigt auch Verzögerungen, die durch die Atmosphäre (ionosphärisch und troposphärisch) verursacht werden können.
• Berechnung der Pseudorange: Die Pseudorange (\textrm{PR}) wird durch Multiplikation der gemessenen Laufzeit (\tau) mit der Lichtgeschwindigkeit (c) bestimmt:\(\textrm{PR} = c \times \tau\)
• Rolle der Trägerfrequenzen: Die Nutzung verschiedener Trägerfrequenzen hilft bei der Verbesserung der Messgenauigkeit:
  • L1-Frequenz: Basis für die Übertragung des C/A-Codes und P(Y)-Codes für grundlegende Positionsbestimmmung.
  • L2-Frequenz: Wird für P(Y)-Code-Übertragungen verwendet und ergänzt L1, um durch duale Frequenzmessungen ionosphärische Fehler zu korrigieren.
  • L5-Frequenz: Hochpräzise Signale für sicherheitskritische Anwendungen, erlaubt zusammen mit L1 und L2 eine ionosphärisch korrigierte Positionsbestimmung.
• Kombination der Frequenzen: Durch die gleichzeitige Verwendung von Signalen auf mehreren Frequenzen (z.B. L1 und L2) können ionosphärische Störungen minimiert werden, was die Messgenauigkeit der Pseudoranges erheblich verbessert.
• Demodulierung und Datenverarbeitung: Nach dem Empfang werden die Signale demoduliert, um wichtige Informationen wie Almanachdaten, Ephemerisdaten und Uhrkorrekturen zu extrahieren. Diese Daten sind für die präzise Berechnung der Pseudoranges und die genaue Positionsbestimmung unerlässlich.

Zusammenfassend wird die Berechnung der Pseudoranges durch die Verwendung und Synchronisation der PRN-Codes, die Messung der Signal-Laufzeiten und die Nutzung verschiedener Trägerfrequenzen durchgeführt. Dies ermöglicht eine genaue Bestimmung der Distanz zwischen Satellit und Empfänger und bildet die Grundlage für die GNSS-Navigation.

b)

2. ModulationstechnikenBeschreibe die Modulationstechniken BPSK und QPSK, die bei der Signalübertragung von GNSS-Satelliten verwendet werden. Gehe dabei auf die Unterschiede zwischen diesen Techniken und ihre jeweiligen Vor- und Nachteile ein.

Lösung:

2. ModulationstechnikenBei der Signalübertragung von GNSS-Satelliten kommen verschiedene Modulationstechniken zum Einsatz. Zwei wichtige Techniken sind BPSK (Binary Phase Shift Keying) und QPSK (Quadrature Phase Shift Keying). Hier sind die Unterschiede zwischen diesen Techniken sowie ihre Vor- und Nachteile:

• BPSK (Binary Phase Shift Keying):
  • Beschreibung: BPSK ist eine digitale Modulationstechnik, bei der die Phase des Trägersignals in zwei unterschiedlichen Zuständen vorliegen kann – entweder 0 Grad oder 180 Grad. Jede dieser Phasenzustände repräsentiert ein Bit des digitalen Signals (entweder 0 oder 1).
  • Vorteile:
    • Einfachheit: BPSK ist leicht zu implementieren und zu verstehen.
    • Robustheit: BPSK ist weniger empfindlich gegenüber Rauschstörungen und bietet gute Leistung bei niedrigen Signal-Rausch-Verhältnissen (SNR).
  • Nachteile:
    • Geringe Datenrate: Da nur ein Bit pro Symbol übertragen wird, ist die Datenrate bei BPSK relativ niedrig.
• QPSK (Quadrature Phase Shift Keying):
  • Beschreibung: QPSK ist eine digitale Modulationstechnik, bei der die Phase des Trägersignals in vier verschiedenen Zuständen vorliegen kann – 0 Grad, 90 Grad, 180 Grad und 270 Grad. Jede dieser Phasenzustände repräsentiert zwei Bits des digitalen Signals.
  • Vorteile:
    • Höhere Datenrate: Da zwei Bits pro Symbol übertragen werden, kann QPSK die doppelte Datenrate im Vergleich zu BPSK erreichen.
    • Effizienz: QPSK nutzt die Bandbreite effizienter, da mehr Informationen pro Zeiteinheit übertragen werden.
  • Nachteile:
    • Komplexität: Die Implementierung von QPSK ist komplexer als BPSK, insbesondere bei der Empfängerdemodulation.
    • Anfälliger für Fehler: QPSK ist anfälliger für Fehler durch Phasenrauschen und andere Störungen im Vergleich zu BPSK.

Zusammenfassung:

• BPSK:
  • Ein-Bit-per-Symbol-Modulation
  • Einfach zu implementieren und robust gegenüber Rauschen
  • Geringere Datenrate
• QPSK:
  • Zwei-Bit-per-Symbol-Modulation
  • Höhere Datenrate und effizientere Bandbreitennutzung
  • Komplexer und anfälliger für Störungen

Bei der GNSS-Signalübertragung werden BPSK und QPSK je nach Anforderungen und spezifischen Anwendungen eingesetzt. Beide Techniken haben ihre Vorzüge, welche in verschiedenen GNSS-Signalen und Frequenzen genutzt werden, um eine möglichst genaue und zuverlässige Positionsbestimmung zu gewährleisten.

c)

3. BandbreitenberechnungBerechne die Signalbandbreite für ein GNSS-Signal, das durch BPSK moduliert wird. Nutze dafür die Information, dass der C/A-Code auf der L1 Frequenz von 1575,42 MHz eine Bandbreite von 2 MHz aufweist.

Lösung:

3. BandbreitenberechnungDie Signalbandbreite eines GNSS-Signals, das durch BPSK (Binary Phase Shift Keying) moduliert wird, hängt von verschiedenen Faktoren ab. Zur Berechnung der Bandbreite können wir die Information verwenden, dass der C/A-Code auf der L1-Frequenz von 1575,42 MHz eine Bandbreite von 2 MHz aufweist. Lass uns den Prozess und die zugrunde liegende Theorie erklären und die Berechnung durchführen:

• Modulationstechnik: Bei BPSK wird das Trägersignal zwischen zwei Phasen hin- und hergeschaltet, wobei die resultierende Bandbreite eng mit der Bitrate des Codes verknüpft ist.
• Bitrate des C/A-Codes: Der C/A-Code (Coarse Acquisition Code) hat eine Bitrate von 1,023 Megabits pro Sekunde (Mbps).
• Berechnung der Bandbreite: Bei BPSK entspricht die Bandbreite ungefähr der doppelten Bitrate des Codes. Die theoretische Bandbreite (\(B\)) kann berechnet werden als:\(B_{BPSK} = 2 \times \textrm{Bitrate}\)Für den C/A-Code mit einer Bitrate von 1,023 Mbps ergibt sich die Bandbreite:\(B_{BPSK} = 2 \times 1,023 \textrm{MHz} = 2,046 \textrm{MHz}\)
• Praktische Anwendung: In der Praxis wird die empfohlene Bandbreite oft leicht angepasst, um Interferenzen und andere technische Aspekte zu berücksichtigen. Deshalb wird der C/A-Code auf der L1-Frequenz mit einer Bandbreite von 2 MHz spezifiziert.

Zusammenfassend wird die reale Bandbreite eines BPSK-modulierten GNSS-Signals durch die Bitrate des Codes bestimmt und beträgt im Fall des C/A-Codes, mit einer Bitrate von 1,023 Mbps, theoretisch etwa 2,046 MHz. Praktisch wird hierbei eine Bandbreite von 2 MHz angegeben.

d)

4. Inhaltsanalyse der ausgesendeten DatenAnalysiere die verschiedenen Arten von Daten, die durch GNSS-Signale übertragen werden, wie Almanachdaten, Ephemerisdaten und Uhrkorrekturen. Erkläre, welche Bedeutung diese Daten für die Bestimmung der Position eines Empfängers haben und wie sie zur Entfernungsbestimmung beitragen.

Lösung:

4. Inhaltsanalyse der ausgesendeten DatenGNSS-Satelliten senden nicht nur Positionssignale aus, sondern auch wichtige Daten, die für die genaue Bestimmung der Position eines Empfängers unerlässlich sind. Hier ist eine Analyse der verschiedenen Datentypen, die durch GNSS-Signale übertragen werden, sowie deren Bedeutung:

• Almanachdaten:
  • Beschreibung: Almanachdaten enthalten grobe Informationen über die Bahndaten aller GNSS-Satelliten im System. Diese Daten werden regelmäßig gesendet und umfassen Informationen wie Satellitenbahnen, Statusdaten und grobe Uhrkorrekturen.
  • Bedeutung: Almanachdaten helfen dem GNSS-Empfänger, die Position und das Layout des gesamten Satellitensystems zu verstehen. Sie ermöglichen es dem Empfänger, schnell eine erste Schätzung der eigenen Position zu machen und die verfügbaren Satelliten zu identifizieren.
• Ephemerisdaten:
  • Beschreibung: Ephemerisdaten sind sehr präzise Bahndaten für den einzelnen Satelliten. Sie werden häufiger aktualisiert als die Almanachdaten und enthalten genaue Informationen über die Position, Bewegungen und Geschwindigkeit des Satelliten.
  • Bedeutung: Ephemerisdaten sind entscheidend für die präzise Berechnung der aktuellen Position des Satelliten. Dies ist notwendig, um die genaue Entfernung zwischen dem Satelliten und dem Empfänger zu bestimmen, was wiederum für die Positionsberechnung des Empfängers unerlässlich ist.
• Uhrkorrekturen:
  • Beschreibung: Diese Daten enthalten Korrekturen für die Fehler der Satellitenuhren. GNSS-Satelliten verwenden hochpräzise Atomuhren, aber selbst diese enthalten kleine Fehler, die korrigiert werden müssen.
  • Bedeutung: Uhrkorrekturen sind essentiell, um die sehr genauen Zeitmessungen, die für die Positionsbestimmung notwendig sind, zu gewährleisten. Da jede Zeitverzögerung direkt die Berechnung der Entfernung zum Satelliten beeinflusst, sind diese Korrekturen sehr wichtig.

Bedeutung für die Positionierung:

• Alle diese Datenarten tragen zur Bestimmung der Entfernungen bei, die der Empfänger zu den verschiedenen Satelliten misst. Diese Entfernungen, oder Pseudoranges, werden dann genutzt, um die Position des Empfängers mittels Triangulation zu berechnen.
• Almanachdaten geben dem Empfänger eine grobe Vorstellung darüber, welche Satelliten am Himmel verfügbar sind.
• Ephemerisdaten erlauben es dem Empfänger, die exakte Position jedes empfangenen Satelliten zu berechnen.
• Uhrkorrekturen sorgen dafür, dass die Zeitmessungen präzise sind, was kritisch ist, da die Entfernung zum Satelliten auf der Grundlage der Laufzeit des Signals berechnet wird.

Zusammenfassend sind Almanachdaten, Ephemerisdaten und Uhrkorrekturen essentielle Bestandteile der vom GNSS-Satelliten ausgesendeten Daten. Sie ermöglichen es dem Empfänger, die exakte Position zu bestimmen, indem sie die genauen Positionen und Entfernungen der Satelliten sowie Korrekturen für Zeitfehler bereitstellen.

Aufgabe 3)

Keplersche Gesetze in der Orbitalmechanik von GNSSDie orbitale Bewegung von GNSS-Satelliten basiert auf den Keplerschen Gesetzen, welche die Vorhersage der Satellitenposition ermöglichen.

• 1. Gesetz: Satelliten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Erde in einem der Brennpunkte liegt.
• 2. Gesetz: Die Verbindungslinie zwischen Erde und Satellit überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
• 3. Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit \(T\) eines Satelliten ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse \(a\) seiner Bahn: \[ T^2 \, \text{proportional zu} \, a^3 \]
• Keplerbahnen sind die Basis für Orbitberechnungen und Satellitenverfolgung.

b)

Teilaufgabe 2: Berechne die Umlaufzeit eines GNSS-Satelliten (in Stunden), dessen große Halbachse 26560 Kilometer beträgt. Gehe davon aus, dass der Satellit nur von der Gravitationskraft der Erde beeinflusst wird. Verwende die dritte Keplersche Gesetzformel und den Gravitationsparameter der Erde \(µ = 398600 \, km^3/s^2\). Zeige deinen Rechenweg detailliert.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Berechne die Umlaufzeit eines GNSS-Satelliten (in Stunden), dessen große Halbachse 26560 Kilometer beträgt. Gehe davon aus, dass der Satellit nur von der Gravitationskraft der Erde beeinflusst wird. Verwende die dritte Keplersche Gesetzformel und den Gravitationsparameter der Erde \( \mu = 398600 \, km^3/s^2 \). Zeige deinen Rechenweg detailliert.Lösung:Um die Umlaufzeit eines Satelliten zu berechnen, nutzen wir das dritte Keplersche Gesetz, welches besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit \( T \) proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse \( a \) ist. Dies kann wie folgt ausgedrückt werden: \[ T^2 = \frac{ 4\pi^2 a^3 }{ \mu } \] Hierbei ist:

• \( T \) die Umlaufzeit
• \(a\) die große Halbachse der elliptischen Bahn, in diesem Fall 26560 km
• \( \mu \) der Standardgravitationsparameter der Erde, welcher \( \mu = 398600 \, km^3/s^2 \) beträgt

Nun setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein und lösen nach \( T \) auf: \[ T^2 = \frac{ 4\pi^2 (26560 \, km)^3 }{ 398600 \, km^3/s^2 } \] \[ T^2 = \frac{ 4 \cdot 3.14159^2 \cdot (26560)^3 }{ 398600 } \] \[ T^2 = \frac{ 4 \cdot 9.8696 \cdot 1.8747 \times 10^{12} \, km^3 }{ 398600 \, km^3/s^2 } \] \[ T^2 = \frac{ 74.3737 \cdot 1.8747 \times 10^{12} \, km^3 }{ 398600 \, km^3/s^2 } \] \[ T^2 = 3.4935 \times 10^{13} \, s^2 \] Nun ziehen wir die Quadratwurzel, um \( T \) zu erhalten: \[ T = \sqrt{ 3.4935 \times 10^{13} \, s^2 } \] \[ T \approx 5.91 \times 10^{6} \, s \] Um die Umlaufzeit in Stunden auszudrücken, teilen wir diesen Wert durch die Anzahl der Sekunden pro Stunde (3600 s/h): \[ T = \frac{ 5.91 \times 10^{6} \, s }{ 3600 \, s/h } \] \[ T \approx 1642.89 \, h \] Die Umlaufzeit eines GNSS-Satelliten mit einer großen Halbachse von 26560 km beträgt somit ungefähr 1642,89 Stunden.

c)

Teilaufgabe 3: Ein GNSS-Satellit bewegt sich auf einer elliptischen Bahn mit einer großen Halbachse von 26600 km und einer kleinen Halbachse von 24000 km. Berechne die lineare Exzentrizität der elliptischen Bahn. Zeige alle deine Berechnungen.

Lösung:

Teilaufgabe 3: Ein GNSS-Satellit bewegt sich auf einer elliptischen Bahn mit einer großen Halbachse von 26600 km und einer kleinen Halbachse von 24000 km. Berechne die lineare Exzentrizität der elliptischen Bahn. Zeige alle deine Berechnungen.Lösung:Die lineare Exzentrizität \(c\) einer Ellipse kann anhand der großen Halbachse \(a\) und der kleinen Halbachse \(b\) berechnet werden. Die lineare Exzentrizität wird durch die folgende Formel beschrieben:\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \]Hierbei ist:

• \(a = 26600 \, km\) die große Halbachse
• \(b = 24000 \, km\) die kleine Halbachse

Nun setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein und berechnen die lineare Exzentrizität \(c\):\[ c = \sqrt{(26600 \, km)^2 - (24000 \, km)^2} \]\[ c = \sqrt{26600^2 - 24000^2} \, km\]\[ c = \sqrt{707560000 - 576000000} \, km\]\[ c = \sqrt{131560000} \, km\]\[ c \approx 11470 \, km\]Die lineare Exzentrizität der elliptischen Bahn des GNSS-Satelliten beträgt somit ungefähr 11470 Kilometer.

d)

Teilaufgabe 4: Ein anderer GNSS-Satellit auf seiner elliptischen Bahn überstreicht in 1 Stunde eine Fläche von 1000 km². Laut dem zweiten Keplerschen Gesetz, wie groß ist die überstrichene Fläche in 4 Stunden? Begründe deine Antwort mit dem Gesetz und entsprechenden Berechnungen.

Lösung:

Teilaufgabe 4: Ein anderer GNSS-Satellit auf seiner elliptischen Bahn überstreicht in 1 Stunde eine Fläche von 1000 km². Laut dem zweiten Keplerschen Gesetz, wie groß ist die überstrichene Fläche in 4 Stunden? Begründe deine Antwort mit dem Gesetz und entsprechenden Berechnungen.Lösung:Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass die Verbindungslinie zwischen einem Planeten (in diesem Fall einem GNSS-Satelliten) und der Sonne (in diesem Fall der Erde) in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Das bedeutet, dass die überstrichene Fläche pro Zeiteinheit konstant ist.

• Das bedeutet konkret: Wenn in 1 Stunde eine Fläche von 1000 km² überstrichen wird, dann wird in einer Zeit von 4 Stunden die vierfache Fläche überstrichen.

Berechnung:In 1 Stunde wird eine Fläche von 1000 km² überstrichen.In 4 Stunden wird die Fläche sein:\[ 4 \times 1000 \, km^2 = 4000 \, km^2 \]Da die Flächenrate konstant ist, können wir diese direkte Multiplikation anwenden.Demnach ist die überstrichene Fläche in 4 Stunden\[ 4000 \, km^2 \].Dieses Ergebnis folgt direkt aus dem zweiten Keplerschen Gesetz, indem es sicherstellt, dass die Fläche, die in einer bestimmten Zeit überstrichen wird, proportional zur verstrichenen Zeit ist.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du bist verantwortlich für den Aufbau eines hochpräzisen Positionierungssystems für ein landwirtschaftliches Projekt, das sowohl DGNSS als auch RTK verwendet, um Traktoren exakt zu navigieren. Du hast eine Basisstation eingerichtet und mehrere Rover-Empfänger im Einsatz. Die genauen Positionen sind entscheidend, um Überlappungen und Lücken beim Anbau von Pflanzen zu vermeiden. Die Basisstation befindet sich auf einer bekannten Position mit den Koordinaten \((x_b, y_b, z_b)\) und sendet kontinuierlich Korrektursignale an die Rover-Empfänger.

a)

Durch die Nutzung der Basisstation soll die Position des Rovers (\(x_r, y_r, z_r\)) mit dem DGNSS-Verfahren bestimmt werden. Erläutere, wie das Korrektursignal berechnet wird und wie dieses zur Positionsermittlung des Rovers verwendet wird. Gehe dabei auf die Formel für das Korrektursignal ein und erläutere diese.

Lösung:

Bestimmung der Rover-Position mittels DGNSS

Um die Position des Rovers \((x_r, y_r, z_r)\) mittels des Differential Global Navigation Satellite System (DGNSS)-Verfahrens zu bestimmen, wird eine Korrektur durch die Basisstation vorgenommen. Dieses Verfahren verbessert die Genauigkeit der Positionsbestimmung, indem es die Satellitensignale der Basisstation mit denen des Rovers vergleicht und dadurch Fehler bei der Signalübertragung minimiert.

Berechnung des Korrektursignals

Die Basisstation befindet sich an einer bekannten Position mit den Koordinaten \((x_b, y_b, z_b)\). Diese bekannte Position dient als Referenzpunkt. Die Basisstation empfängt ebenfalls Signale von GNSS-Satelliten und berechnet daraus die beobachtete Position \( \hat{x}_b, \hat{y}_b, \hat{z}_b \).

Der Unterschied zwischen der bekannten Position \((x_b, y_b, z_b)\) und der beobachteten Position \( \hat{x}_b, \hat{y}_b, \hat{z}_b \) stellt den Korrekturwert dar, der wie folgt berechnet werden kann:

\[ \Delta x_b = x_b - \hat{x}_b \]\[ \Delta y_b = y_b - \hat{y}_b \]\[ \Delta z_b = z_b - \hat{z}_b \]

Diese Korrekturwerte (\( \Delta x_b, \Delta y_b, \Delta z_b \)) werden kontinuierlich berechnet und an den Rover-Empfänger gesendet.

Verwendung des Korrektursignals zur Positionsbestimmung des Rovers

Der Rover-Empfänger empfängt ebenfalls Signale von denselben GNSS-Satelliten und berechnet eine vorläufige Position \( \hat{x}_r, \hat{y}_r, \hat{z}_r \). Um die genaue Position des Rovers \((x_r, y_r, z_r)\) zu bestimmen, wendet der Rover die Korrektursignale der Basisstation an.

Die genaue Position des Rovers wird berechnet durch:

\[ x_r = \hat{x}_r + \Delta x_b \]\[ y_r = \hat{y}_r + \Delta y_b \]\[ z_r = \hat{z}_r + \Delta z_b \]

Diese Formeln zeigen, dass die korrigierte Position des Rovers die Summe der vorläufigen Position und der Korrekturwerte der Basisstation ist.

Zusammenfassung

• Die Basisstation berechnet kontinuierlich die Korrekturwerte basierend auf der Differenz zwischen der bekannten und der beobachteten Position.
• Diese Korrekturwerte werden an den Rover gesendet.
• Der Rover wendet die Korrekturwerte an, um seine genaue Position zu bestimmen.

Durch diesen Prozess kann eine hohe Genauigkeit der Positionsbestimmung erreicht werden, was entscheidend ist, um Überlappungen und Lücken beim Anbau von Pflanzen zu vermeiden.

b)

Erkläre, wie sich die Verwendung von RTK im Vergleich zu DGNSS auf die Genauigkeit der Positionierung der Traktoren auswirkt. Verwende dabei die Informationen zu den Phasenmessungen des Trägersignals und die praktische Anwendung in Deinem Projekt. Warum ist RTK in diesem Kontext vorteilhafter?

Lösung:

Vergleich von RTK und DGNSS hinsichtlich der Positionierungsgenauigkeit

In einem landwirtschaftlichen Projekt, das hochpräzise Positionierungssysteme für die Navigation von Traktoren erfordert, spielen sowohl DGNSS als auch RTK (Real-Time Kinematic) eine wichtige Rolle. Beide Methoden verbessern die Genauigkeit der Positionsbestimmung, jedoch gibt es wesentliche Unterschiede in ihrer Leistungsfähigkeit.

DGNSS (Differentielle GNSS)

DGNSS basiert auf der Korrektur von GNSS-Signalen durch eine ortsfeste Basisstation. Diese Station kennt ihre Position genau und berechnet die Differenzen zu den beobachteten GNSS-Signalen, um Korrektursignale an die Rover-Empfänger zu senden.

• DGNSS verwendet Pseudorandom-Codes zur Positionsbestimmung.
• Die erreichte Genauigkeit liegt typischerweise im Bereich von 1-3 Metern.
• Es korrigiert Fehler, die durch Atmosphäre, Mehrwegeffekte und Satellitenuhrfehler entstehen.

RTK (Real-Time Kinematic)

RTK geht einen Schritt weiter, indem es nicht nur die Pseudorandom-Codes, sondern auch die Phasenmessungen des Trägersignals nutzt. Dies führt zu einer wesentlich höheren Genauigkeit.

• RTK verwendet phasenbasierte Messungen des Trägersignals, was deutlich präziser ist als Codemessungen.
• Die erreichte Genauigkeit liegt typischerweise im Zentimeterbereich (1-2 cm).
• RTK korrigiert Fehler auf Basis von Phasenunterschieden zwischen den Satellitensignalen, die an der Basisstation und an den Rover-Empfängern ankommen.

Phasenmessungen des Trägersignals

RTK nutzt die Trägersignale der GNSS-Satelliten, die im Vergleich zum Pseudorandom-Code eine sehr viel kürzere Wellenlänge haben. Dadurch kann RTK die Position zentimetergenau berechnen.

Die phasenbasierte Messung bedeutet, dass RTK die Phase des empfangenen Trägersignals an der Basisstation und am Rover-Empfänger vergleicht. Durch die Analyse der Phasenunterschiede kann RTK sehr präzise die Position des Rovers bestimmen.

Vorteile von RTK im landwirtschaftlichen Kontext

In landwirtschaftlichen Anwendungen, wo die Vermeidung von Überlappungen und Lücken beim Pflanzenanbau entscheidend ist, bietet RTK klare Vorteile:

• Höhere Genauigkeit: Die Zentimetergenauigkeit von RTK stellt sicher, dass die Traktoren exakt den vorgesehenen Pfaden folgen, was besonders bei automatisierten Systemen wichtig ist.
• Effizienz: Präzisere Positionierung minimiert den Einsatz von Saatgut und Dünger, da Wiederholungen und Überschneidungen vermieden werden.
• Langfristige Kostenreduktion: Trotz höherer Anfangsinvestitionen in RTK-Systeme können die Kosten durch höhere Erträge und effizienteren Ressourceneinsatz gesenkt werden.

Zusammengefasst bietet RTK durch seine phasenbasierten Messungen des Trägersignals eine weitaus höhere Genauigkeit und ist daher besonders vorteilhaft für landwirtschaftliche Projekte, in denen präzise Navigation der Traktoren unverzichtbar ist.

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Angenommen, die Referenzstation hat eine Position von \((0,0,0)\) und ein Rover ermittelt initial eine Position von \((2, 3, 5)\) mittels DGNSS, wobei ein Korrektursignal von \((0.5, 0.3, 0.2)\) addiert wird. Berechne die korrigierte Position des Rovers. Erkläre, warum diese Korrekturen notwendig sind und wie sie die Positionsgenauigkeit verbessern. Zusätzlich, gerne mathematisch untermauern, warum RTK gegenüber DGNSS in der Regel höhere Genauigkeit bietet.

Lösung:

Korrigierte Position des Rovers mit DGNSS

Angenommen, die Referenzstation hat eine Position von \(0,0,0\) und ein Rover ermittelt initial eine Position von \(2, 3, 5\) mittels DGNSS. Das Korrektursignal von \(0.5, 0.3, 0.2\) wird addiert, um die exakte Position des Rovers zu bestimmen.

Berechnung der korrigierten Position

Die vorläufige Position des Rovers ist \( \hat{x}_r, \hat{y}_r, \hat{z}_r = (2, 3, 5) \).

Das Korrektursignal der Basisstation ist \(\Delta x_b, \Delta y_b, \Delta z_b = (0.5, 0.3, 0.2) \).

Die exakte Position des Rovers \((x_r, y_r, z_r)\) wird durch Hinzufügen des Korrektursignals zur vorläufigen Position berechnet:

• \( x_r = \hat{x}_r + \Delta x_b = 2 + 0.5 = 2.5 \)
• \( y_r = \hat{y}_r + \Delta y_b = 3 + 0.3 = 3.3 \)
• \( z_r = \hat{z}_r + \Delta z_b = 5 + 0.2 = 5.2 \)

Die korrigierte Position des Rovers ist also \( (2.5, 3.3, 5.2) \).

Warum sind diese Korrekturen notwendig?

Die GNSS-Signale, die der Rover empfängt, sind anfällig für verschiedene Fehlerquellen:

• Atmosphärische Bedingungen: Troposphäre und Ionosphäre beeinflussen die Signallaufzeit.
• Mehrwegeffekte: Reflektionen von Signalen an Gebäuden oder natürlichen Hindernissen verursachen Verzögerungen.
• Satellitenuhrfehler: Ungenauigkeiten in den Zeitmessungen der Satelliten beeinflussen die Positionsbestimmung.

Die Basisstation, die ihre genaue Position kennt, kann diese Fehler quantifizieren und entsprechende Korrekturen berechnen. Diese werden an den Rover übertragen, der diese Korrekturen anwendet, um eine genauere Position zu bestimmen.

Mathematische Herleitung der höheren Genauigkeit von RTK

RTK (Real-Time Kinematic) erreicht eine höhere Genauigkeit als DGNSS, da es Phasenmessungen des Trägersignals statt der Pseudorandom-Codes verwendet.

Die Wellenlänge des Trägersignals ist wesentlich kürzer als die des Pseudorandom-Codes. Zum Beispiel liegt die Wellenlänge des L1-Trägersignals von GPS bei etwa 19 cm, während die Wellenlänge der Pseudorandom-Codes bei etwa 300 m liegt. Durch die kürzere Wellenlänge kann RTK das Signal mit einer höheren Auflösung messen.

RTK berechnet die Differenz in der Phase des Trägersignals an der Basisstation und am Rover. Diese Phasendifferenz kann verwendet werden, um die Position des Rovers mit hoher Genauigkeit zu bestimmen. Diese Berechnung lässt sich wie folgt ausdrücken:

Die Phasenmessung des Trägersignals für den Rover ist:

\[ \phi_r = \frac {2 \pi \cdot d_r} {\lambda} \]

Die Phasenmessung des Trägersignals für die Basisstation ist:

\[ \phi_b = \frac {2 \pi \cdot d_b} {\lambda} \]

Hierbei ist \(d_r\) die Distanz vom Rover zum Satelliten, \(d_b\) die Distanz von der Basisstation zum Satelliten und \(\lambda\) die Wellenlänge des Trägersignals.

Die relative Phase (Phasendifferenz) wird berechnet durch:

\[ \triangle \phi = \phi_r - \phi_b \]

Mit dieser Phasendifferenz und unter Berücksichtigung der bekannten Position der Basisstation kann die genaue Position des Rovers sehr präzise bestimmt werden, was typischerweise zu einer Genauigkeit im Zentimeterbereich führt.

Deshalb bietet RTK gegenüber DGNSS eine deutlich höhere Genauigkeit und ist somit vorteilhafter für präzisionsgetriebene Anwendungen wie die landwirtschaftliche Navigation.