Grundlagen der Elektrotechnik I - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben ist ein elektrisches Netzwerk bestehend aus zwei Spannungsquellen und drei Widerständen, wie unten beschrieben:

• Spannungsquelle V1 = 10V
• Spannungsquelle V2 = 5V
• Widerstand R1 = 5 Ohm
• Widerstand R2 = 10 Ohm
• Widerstand R3 = 15 Ohm

a)

a) Bestimme den Strom durch jeden Widerstand, wenn alle Widerstände und Spannungsquellen in Reihe geschaltet sind.

Lösung:

a) Bestimme den Strom durch jeden Widerstand, wenn alle Widerstände und Spannungsquellen in Reihe geschaltet sind.

Um den Strom durch jeden Widerstand zu bestimmen, verwenden wir das Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Regeln. Da die Widerstände in Reihe geschaltet sind, ist der Strom durch jeden Widerstand gleich.

• Ohmsches Gesetz:

   V = I * R 

• Gesamtwiderstand in Reihe: \( R_{\text{gesamt}} = R_1 + R_2 + R_3 = 5 \text{ Ohm} + 10 \text{ Ohm} + 15 \text{ Ohm} = 30 \text{ Ohm} \)
• Gesamtspannung: \( V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 = 10 \text{ V} + 5 \text{ V} = 15 \text{ V} \)
• Gesamtstrom: \( I = \frac{V_{\text{gesamt}}}{R_{\text{gesamt}}} = \frac{15 \text{ V}}{30 \text{ Ohm}} = 0.5 \text{ A} \)

Ergebnis: Der Strom durch jeden Widerstand (R1, R2 und R3) beträgt 0,5 A.

b)

b) Berechne die Spannung, die an jedem Widerstand abfällt.

Lösung:

b) Berechne die Spannung, die an jedem Widerstand abfällt.

Um die Spannung, die an jedem Widerstand abfällt, zu berechnen, verwenden wir das Ohmsche Gesetz. Da die Widerstände in Reihe geschaltet sind und der Strom durch jeden Widerstand gleich ist, können wir die Spannungen einfach berechnen.

• Ohmsches Gesetz:

   V = I * R 

• Gesamtstrom: \( I = 0.5 \text{ A} \) (dies wurde in Aufgabe a) berechnet)

• Spannung an R1: \( V_{R1} = I * R_1 = 0.5 \text{ A} * 5 \text{ Ohm} = 2.5 \text{ V} \)
• Spannung an R2: \( V_{R2} = I * R_2 = 0.5 \text{ A} * 10 \text{ Ohm} = 5 \text{ V} \)
• Spannung an R3: \( V_{R3} = I * R_3 = 0.5 \text{ A} * 15 \text{ Ohm} = 7.5 \text{ V} \)

Ergebnis: Die Spannungen, die an den Widerständen abfallen, sind:

• R1: 2.5 V
• R2: 5 V
• R3: 7.5 V

c)

c) Definiere eine Masche und einen Knoten in dem Netzwerk und verifiziere durch Berechnungen die Kirchhoffschen Regeln für die benannte Masche und den benannten Knoten.

Lösung:

c) Definiere eine Masche und einen Knoten in dem Netzwerk und verifiziere durch Berechnungen die Kirchhoffschen Regeln für die benannte Masche und den benannten Knoten.

Um die Kirchhoffschen Regeln für unser Netzwerk zu überprüfen, müssen wir die Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) und das Kirchhoffsche Stromgesetz (KCL) anwenden.

Kirchhoffsches Spannungsgesetz (KVL)

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz besagt, dass die Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche null ist.

Definiere eine Masche:

Betrachte die Masche, die alle Spannungsquellen und Widerstände umfasst:

• Spannungsquelle V1: 10V
• Spannungsquelle V2: 5V
• Widerstand R1: 5 Ohm
• Widerstand R2: 10 Ohm
• Widerstand R3: 15 Ohm

Die Spannungsabfälle an den Widerständen wurden in Teilaufgabe b) berechnet:

• Spannung an R1: 2.5V
• Spannung an R2: 5V
• Spannung an R3: 7.5V

Summe der Spannungen in der Masche:

• Gesamtspannung der Quellen: \(V_1 + V_2 = 10V + 5V = 15V\)
• Gesamtspannung der Widerstände: \(V_{R1} + V_{R2} + V_{R3} = 2.5V + 5V + 7.5V = 15V\)

Gemäß KVL:

• \(V_1 + V_2 - (V_{R1} + V_{R2} + V_{R3}) = 15V - 15V = 0V\)
• Gleichung: \(10V + 5V - (2.5V + 5V + 7.5V) = 0V\)

Somit ist KVL für diese Masche verifiziert.

Kirchhoffsches Stromgesetz (KCL)

Das Kirchhoffsche Stromgesetz besagt, dass die Summe der Ströme in einem Knotenpunkt gleich null ist.

Definiere einen Knoten:

Da der Strom durch jeden Widerstand in einem einfachen seriellen Netzwerk gleich ist, und wenn wir einen Knoten zwischen R1, R2, und R3 definieren, fließt der gleiche Strom durch alle Elemente in Reihe.

Betrachte den Stromfluss:

• \(I_{gesamt} = 0.5A\) (berechnet in Teilaufgabe a))
• \(I_{R1} = I_{R2} = I_{R3} = 0.5A\)

Der Knoten zwischen R1 und R2 hat:

• Eintritt: 0.5A (Strom durch R1)
• Austritt: 0.5A (Strom durch R2)

Gemäß KCL:

• \(I_{rein} = I_{raus}\)
• \(0.5A = 0.5A\)

Somit ist KCL für diesen Knoten verifiziert.

Aufgabe 2)

Betrachte die folgende Schaltung. Ein linearer Netzwerk enthält eine Spannungsquelle von 12V in Reihe mit einem Widerstand von 4Ω und einem parallel geschalteten Kombination aus einem 4Ω- und einem 2Ω-Widerstand. Verwende die Thevenin- und Norton-Theoreme zur Analyse der Schaltung.

a)

Berechne die Thevenin-Spannung (U_T) und den Thevenin-Widerstand (R_T) über den Anschlusspunkten der parallelen Kombination aus 4Ω und 2Ω Widerständen.

Lösung:

Berechnung der Thevenin-Spannung (U_T) und des Thevenin-Widerstandes (R_T)

1. Berechnung der Thevenin-Spannung (U_T):
   • Um die Thevenin-Spannung (U_T) zu berechnen, müssen wir zuerst den Spannungsabfall über die parallele Kombination von Widerständen finden.
   • Die zunächst existierende Spannung von 12 V wird durch einen Widerstand von 4 Ω geteilt, und der daraus resultierende Strom fließt durch die parallele Kombination aus 4 Ω und 2 Ω.
   • Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung wird wie folgt berechnet: \( \frac{1}{R_{parallel}} = \frac{1}{4\, \Omega} + \frac{1}{2\, \Omega} \rightarrow R_{parallel} = \frac{4\, \Omega \cdot 2\, \Omega}{4\, \Omega + 2\, \Omega} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\, \Omega \rightarrow R_{parallel} \approx 1.33\,\Omega \)
   • Nun addieren wir diesen parallelen Widerstand zum Serienwiderstand, um den Gesamtwiderstand in der Schaltung zu ermitteln: \( R_{gesamt} = 4\, \Omega + 1.33\, \Omega \approx 5.33\, \Omega \)
   • Jetzt können wir den Strom durch die Schaltung berechnen: \( I = \frac{V}{R_{gesamt}} = \frac{12\,V}{5.33\, \Omega} \approx 2.25\, A \)
   • Die Spannung über den parallelen Widerständen (Thevenin-Spannung) wird gegeben durch: \( U_{\,T} = I \cdot R_{parallel} \approx 2.25\,A \cdot 1.33\, \Omega \approx 3\,V \)
2. Berechnung des Thevenin-Widerstandes (R_T):
   • Um den Thevenin-Widerstand (R_T) zu berechnen, setzen wir die Spannungsquelle auf null (ersetzen durch einen Kurzschluss) und berechnen den Widerstand von den Anschlusspunkten aus.
   • Der Widerstand aus den Anschlusspunkten der parallelen Kombination ist der gleiche wie der berechnete Parallelwiderstand der 4 Ω- und 2 Ω-Widerstände: \( R_{parallel} = 1.33\, \Omega \)
   • Nun addieren wir den Serienwiderstand: \( R_{\,T} = 4\, \Omega + 1.33\,\Omega \approx 5.33\, \Omega \)

Zusammenfassung:

• Die Thevenin-Spannung (U_T) beträgt 3 V.
• Der Thevenin-Widerstand (R_T) beträgt 5.33 Ω.

b)

Bestimme den Norton-Strom (I_N) und den Norton-Widerstand (R_N) derselben Schaltung.

Lösung:

Bestimmung des Norton-Stroms (I_N) und des Norton-Widerstands (R_N)

1. Bestimmung des Norton-Stroms (I_N):
   • Um den Norton-Strom (I_N) zu bestimmen, verwenden wir das Thevenin-Äquivalent der Schaltung. Der Norton-Strom ist der Strom, der fließt, wenn die Anschlusspunkte der parallelen Kombination (4 Ω und 2 Ω) kurzgeschlossen sind.
   • Der Thevenin-Spannung (U_T) und Thevenin-Widerstand (R_T) sind bereits gegeben: \( U_T = 3\, V \) und \( R_T = 5.33\, \Omega \).
   • Der Norton-Strom ist dann: \( I_N = \frac{U_T}{R_T} = \frac{3\, V}{5.33\, \Omega} \approx 0.563\, A \).
2. Bestimmung des Norton-Widerstands (R_N):
   • Der Norton-Widerstand (R_N) ist identisch mit dem Thevenin-Widerstand (R_T), da diese beiden Theoreme austauschbar sind und dieselben Werte für die Transformation zwischen Spannungs- und Stromquellen bieten.
   • Daher ist der Norton-Widerstand: \( R_N = 5.33\, \Omega \).

Zusammenfassung:

• Der Norton-Strom (I_N) beträgt ca. 0.563 A.
• Der Norton-Widerstand (R_N) beträgt 5.33 Ω.

c)

Verwende die Thevenin- oder Norton-Ersatzschaltung, um den Strom durch einen zusätzlichen 6Ω Widerstand zu berechnen, der an den Anschlusspunkten der parallelen Kombination aus 4Ω und 2Ω Widerständen angeschlossen wird.

Lösung:

Berechnung des Stroms durch einen zusätzlichen 6Ω Widerstand

Da wir bereits das Thevenin- und Norton-Äquivalent der ursprünglichen Schaltung berechnet haben, können wir eine der beiden Ersatzschaltungen verwenden, um den Strom durch den zusätzlichen 6Ω Widerstand zu berechnen. Hier verwenden wir die Thevenin-Ersatzschaltung:

1. Thevenin-Ersatzschaltung:
   • Die Thevenin-Spannung (U_T) beträgt 3 V.
   • Der Thevenin-Widerstand (R_T) beträgt 5.33 Ω.
2. Systematischer Schritt zur Berechnung:
   • Wenn ein zusätzlicher 6Ω Widerstand an die Thevenin-Ersatzschaltung angeschlossen wird, haben wir eine einfache Reihenschaltung aus R_T und dem 6Ω Widerstand.
   • Der Gesamtwiderstand der neuen Schaltung ist: \( R_{\,gesamt} = R_{\,T} + 6\,Ω = 5.33\,Ω + 6\,Ω = 11.33\,Ω \).
   • Der Gesamtstrom durch die Schaltung, basierend auf der Thevenin-Spannung, ist: \( I_{\,gesamt} = \frac{U_{\,T}}{R_{\,gesamt}} = \frac{3\,V}{11.33\,Ω} \approx 0.265\,A \).
   • Da der 6Ω Widerstand in Reihe mit R_T ist, ist der Strom durch den 6Ω Widerstand der gleiche wie der Gesamtstrom: \( I_{\,6Ω} \approx 0.265\,A \).

Zusammenfassung:

• Der Strom durch den zusätzlichen 6 Ω Widerstand beträgt ungefähr 0.265 A.

Aufgabe 3)

Gegeben sei eine sinusförmige Wechselspannung, die durch die Gleichung v(t) = V_m \times \text{sin}(\text{ω}t + \text{φ}) beschrieben wird, wobei:

• V_m der Scheitelwert der Spannung ist,
• ω die Kreisfrequenz ist,
• t die Zeit ist,
• und φ der Phasenwinkel ist.

Transformiere diese Spannung in die Phasordarstellung und benutze die gegebenen Formeln, um die verschiedenen Darstellungen der komplexen Zahl zu berechnen.

a)

Bestimme den Phasor \big(\text{V}\big) der gegebenen Wechselspannung v(t) unter der Annahme, dass V_m = 10V, ω = 100\text{π} \text{rad/s} und φ = \frac{\text{π}}{6} ist.

Lösung:

Um den Phasor der gegebenen Wechselspannung v(t) = V_m \times \text{sin}(\text{ω}t + \text{φ}) zu bestimmen, müssen wir die sinusförmige Spannung in die Phasordarstellung umwandeln. Unter Verwendung der angegebenen Werte:

• V_m = 10V
• ω = 100\text{π} \text{rad/s}
• φ = \frac{\text{π}}{6}

Die Phasordarstellung einer sinusförmigen Wechselspannung ist gegeben durch:

• \big(\text{V}\big) = V_m e^{j\text{φ}}

Setzen wir die gegebenen Werte in die Gleichung ein:

• \big(\text{V}\big) = 10 e^{j\frac{\text{π}}{6}}

Um die Exponentialform in die kartesische Form zu transformieren, verwenden wir die Euler-Formel:

• e^{j\theta} = \cos(\theta) + j \sin(\theta)

Mit \( \theta = \frac{\text{π}}{6} \), erhalten wir:

• \cos(\frac{\text{π}}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
• \sin(\frac{\text{π}}{6}) = \frac{1}{2}

Setzen wir diese trigonometrischen Werte in die Gleichung ein:

• \big(\text{V}\big) = 10 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2} \right)

Durch Vereinfachung erhalten wir:

• \big(\text{V}\big) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 10 \cdot j \frac{1}{2}
• \big(\text{V}\big) = 5\sqrt{3} + 5j

Der Phasor \big(\text{V}\big) der gegebenen Wechselspannung ist somit:

• \big(\text{V}\big) = 5\sqrt{3} + 5j

c)

Berechne die momentane Spannung v(t) zum Zeitpunkt t = 0.01s unter Verwendung der ursprünglichen Gleichung und der Phasordarstellung.

Lösung:

Um die momentane Spannung v(t) zum Zeitpunkt t = 0,01s zu berechnen, können wir sowohl die ursprüngliche Gleichung als auch die Phasordarstellung verwenden. Zunächst geben wir die beiden Gleichungen an:

• Ursprüngliche Gleichung: v(t) = V_m \times \sin(\omega t + \varphi)
• Phasordarstellung: \big(\text{V}\big) = V_m e^{j\varphi}\ (bereits aus der vorherigen Aufgabe berechnet)

Verwenden wir die gegebenen Werte:

• V_m = 10V
• ω = 100\text{π} \text{rad/s}
• φ = \frac{\pi}{6}
• t = 0,01s

Setzen wir die Werte in die Gleichung v(t) = V_m \times \sin(\omega t + \varphi) ein:

• v(0,01) = 10 \times \sin(100\pi \times 0,01 + \frac{\pi}{6})

Vereinfachen wir das Argument des Sinus:

• \(100\pi \times 0,01 = \pi \)
• daher: v(0,01) = 10 \times \sin(\pi + \frac{\pi}{6})

Verwenden wir die trigonometrische Identität für die Addition von Winkeln:

• \( \sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta) \)

Setzen wir \( \theta = \frac{\pi}{6} \), erhalten wir:

• \( \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) \)
• \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

Durch Einsetzen ergibt sich:

• v(0,01) = 10 \times (-\frac{1}{2}) = -5V

Die momentane Spannung v(t) kann auch über die Phasordarstellung unter Verwendung der Definition des Sinus als Imaginärteil eines komplexen Exponentialausdrucks berechnet werden.

Allgemein:

• \( v(t) = \Re\{\big(\text{V}\big) e^{j\omega t} \} \)

Für unsere Werte:

• \( \big(\text{V}\big) = 10 e^{j\frac{\pi}{6}} \)
• \( \omega = 100\pi \)
• \( t = 0,01 \)

Ersetzen ergibt:

• \( v(0,01) = \Re\{10 e^{j\frac{\pi}{6}} e^{j100\pi \cdot 0,01} \} \)

Simplifizieren des Exponenten:

• \( 100\pi \cdot 0,01 = \pi \)

Ergibt:

• \( v(0,01) = \Re\{10 e^{j(\frac{\pi}{6} + \pi)}\} \)

Verwenden wir die Eigenschaft des Exponenten und trennen wir die Real- und Imaginärteile:

• \( e^{j(\frac{\pi}{6} + \pi)} = e^{j(\pi + \frac{\pi}{6})} \)
• \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \)
• \( e^{j\frac{7\pi}{6}} = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + j\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \)

Nun ablesen:

• \( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \)

Der reale Anteil ist somit:

• \( v(0,01) = 10 \cdot -\frac{1}{2} = -5V \)

Die momentane Spannung v(t) zum Zeitpunkt t = 0,01s beträgt also:

• v(0,01) = -5V

Aufgabe 4)

Du hast ein Wechselstromnetzwerk, bei dem die Impedanz der Elemente eine wichtige Rolle spielt. Die Elemente des Netzwerks umfassen sowohl Widerstände als auch Induktivitäten und Kapazitäten. Verwende die folgenden Angaben, um die Aufgaben zu lösen: Der Widerstand beträgt 50 Ohm, die Induktivität hat eine Reaktanz von 30 Ohm und die Kapazität hat eine Reaktanz von -20 Ohm.

b)

Bestimme die Admittanz des Netzwerks basierend auf der zuvor berechneten Impedanz.

Lösung:

Um die Admittanz (\(Y\)) des Netzwerks zu berechnen, müssen wir den Kehrwert der zuvor berechneten Impedanz (\(Z\)) verwenden. Die zuvor berechnete Impedanz des Netzwerks beträgt:

\(Z = 50 + 10j\) Ohm

Formel für Admittanz:

\(Y = \frac{1}{Z}\)

Um den Kehrwert einer komplexen Zahl zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\(Y = \frac{Z^*}{|Z|^2}\)

wobei \(Z^*\) der konjugierte Wert von \(Z\) ist und \(|Z|\) der Betrag von \(Z\) ist.

Schritte zur Berechnung der Admittanz:

• Schritt 1: Bestimme den Betrag von \(Z\):

\(|Z| = \sqrt{(\text{Re}(Z))^2 + (\text{Im}(Z))^2}\)

\(|Z| = \sqrt{50^2 + 10^2}\)

\(|Z| = \sqrt{2500 + 100}\)

\(|Z| = \sqrt{2600}\)

\(|Z| = 10\sqrt{26}\)

• Schritt 2: Bestimme den konjugierten Wert von \(Z\):

\(Z^* = 50 - 10j\)

• Schritt 3: Berechne \(|Z|^2\):

\(|Z|^2 = (10\sqrt{26})^2 = 2600\)

• Schritt 4: Berechne die Admittanz \(Y\):

\(Y = \frac{Z^*}{|Z|^2}\)

\(Y = \frac{50 - 10j}{2600}\)

\(Y = \frac{50}{2600} - \frac{10j}{2600}\)

\(Y = 0.0192 - 0.0038j\)

Die Admittanz des Netzwerks beträgt 0.0192 - 0.0038j Siemens (S).

c)

Wenn sich der Widerstand im Wechselstromnetzwerk auf 100 Ohm ändert, während die Reaktanzen unverändert bleiben, berechne die neue Impedanz und Admittanz des Netzwerks.

Lösung:

Um die neue Impedanz und Admittanz des Netzwerks zu berechnen, wenn sich der Widerstand auf 100 Ohm ändert, während die Reaktanzen unverändert bleiben, können wir die vorherigen Formeln wiederverwenden.

Neue Impedanzberechnung:

• Widerstand (\(R\)): 100 Ohm
• Reaktanz der Induktivität (\(X_L\)): 30 Ohm
• Reaktanz der Kapazität (\(X_C\)): -20 Ohm

Die Gesamtimpedanz (\(Z\)) in einem Reihenschaltkreis ist die Summe der einzelnen Impedanzen. Da es sich bei der Reaktanz um einen imaginären Bestandteil handelt, drücken wir die Impedanz als komplexe Zahl aus:

Formel:

\(Z\) = \(R\) + \(jX_L\) + \(jX_C\)

• \(R\): Reale Komponente (Widerstand)
• \(jX_L\): Reaktanz der Induktivität (imaginäre Komponente)
• \(jX_C\): Reaktanz der Kapazität (imaginäre Komponente)

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

\(Z = 100 + j30 - j20\)

Kombinieren der imaginären Anteile:

\(Z = 100 + j(30 - 20) = 100 + j10\)

Also beträgt die neue Impedanz des Netzwerks:

\(Z = 100 + 10j\) Ohm

Um die Admittanz (\(Y\)) dieses Netzwerks zu berechnen, verwenden wir den Kehrwert der Impedanz:

Formel für Admittanz:

\(Y = \frac{1}{Z}\)

Um den Kehrwert einer komplexen Zahl zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\(Y = \frac{Z^*}{|Z|^2}\)

• Schritt 1: Bestimme den Betrag von \(Z\):

\(|Z| = \sqrt{(Re(Z))^2 + (Im(Z))^2}\)

\(|Z| = \sqrt{100^2 + 10^2}\)

\(|Z| = \sqrt{10000 + 100}\)

\(|Z| = \sqrt{10100}\)

• Schritt 2: Bestimme den konjugierten Wert von \(Z\):

\(Z^* = 100 - 10j\)

• Schritt 3: Berechne \(|Z|^2\):

\(|Z|^2 = 10100\)

• Schritt 4: Berechne die Admittanz \(Y\):

\(Y = \frac{Z^*}{|Z|^2}\)

\(Y = \frac{100 - 10j}{10100}\)

\(Y = \frac{100}{10100} - \frac{10j}{10100}\)

\(Y = 0.0099 - 0.001j\)

Die Admittanz des Netzwerks beträgt daher 0.0099 - 0.001j Siemens (S).