Grundlagen der Elektrotechnik II - Cheatsheet

Analyse von Schaltungen mit komplexen Impedanzen

Definition:

Analyse von Schaltungen mit komplexen Impedanzen zur Berechnung von Spannung, Strom und Leistung durch Anwendung der komplexen Wechselstromrechnung.

Details:

• Impedanz: \( Z = R + jX \) (R: Widerstand, X: Reaktanz)
• Ohmsches Gesetz: \( V = IZ \)
• Leistungsberechnung: \[ P = VI^* \] (Komplexe Konjugation)
• Kirchhoffsche Gesetze weiterhin gültig
• Serien-/Parallelschaltung: Impedanzen addieren sich analog zu Widerständen

Verwendung von Phasordarstellungen

Definition:

Verwendung von Phasordarstellungen: Methode zur Vereinfachung der Analyse von Wechselstromschaltungen durch Darstellung von sinusförmigen Größen als komplexe Größen.

Details:

• Vektor im komplexen Zahlensystem
• Form: \( \tilde{Z} = Z \text{e}^{j\theta} \) oder \( \tilde{Z} = Z (\cos(\theta) + j\sin(\theta)) \)
• Ohmsches Gesetz in Phasordarstellung: \( \tilde{V} = \tilde{I} \tilde{Z} \)
• Einfachere Lösung für Differenzialgleichungen im Vergleich zur Zeitbereichsanalyse
• Verwendung zur Berechnung von Spannungen, Strömen und Impedanzen in Wechselstromnetzen

Resonanzphänomene in Wechselstromkreisen

Definition:

Bei Resonanzphänomenen in Wechselstromkreisen erreichen Spannung oder Stromstärke extrem hohe Werte, wenn die Frequenz des Wechselstroms den Eigenfrequenzen der Schwingkreise entspricht.

Details:

• Resonanzfrequenz: \( f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)
• Serienresonanz: Impedanz minimal, Strom maximal
• Parallelresonanz: Impedanz maximal, Strom minimal
• Impulsspannung und -strom maximal bei Resonanz
• Energiespeicherung in L und C, Umwandlung zwischen magnetischer und elektrischer Energie

Netzwerktheoreme (Superpositionsprinzip, Thevenin'sche Theorie)

Definition:

Netzwerktheoreme dienen zur Vereinfachung und Analyse elektrischer Netzwerke.

Details:

• Superpositionsprinzip: Jeder lineare Netzwerk kann in seine Einflüsse durch einzelne unabhängige Quellen zerlegt werden.
• Thevenin'sches Theorem: Jedes lineare Netzwerk kann durch eine Spannungsquelle mit einer Reihenwiderstand ersetzt werden.
• Spannungsquelle: \(U_{th} = U_{AB, offen}\)
• Innenwiderstand: \(R_{th} = R_{AB, kurzgeschlossen}\)

Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differentialgleichungen

Definition:

Laplace-Transformation wandelt Differentialgleichungen in Algebraische Gleichungen um, löst sie im Laplace-Raum und transformiert die Lösung zurück.

Details:

• Laplace-Transformation: \( \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)
• Inverse Laplace-Transformation: \( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
• Anwendung in Differentialgleichungen: Umwandlung von DGLs in algebraische Gleichungen durch Laplace-Transformation, Lösung im s-Bereich, Rücktransformation ins Zeitbereich.
• Eigenschaft: Linearität, Verschiebungssatz, Faltungssatz.
• Typische DGL-Form: \( a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = f(t) \)
• Lösungsschritte: DGL in den Laplace-Raum transformieren, algebraische Gleichung lösen, Rücktransformation in den Zeitbereich.

Grundlagen von Dreiphasensystemen (Stern- und Dreieckschaltungen)

Definition:

Grundlagen von Dreiphasensystemen beinhalten die Stern- und Dreieckschaltungen, die zur Verteilung elektrischer Energie genutzt werden.

Details:

• Sternschaltung (Y-Schaltung): Jeder Außenleiter ist mit einem gemeinsamen Bezugspunkt (Sternpunkt) verbunden. Spannung zwischen Außenleiter und Sternpunkt bezeichnet als Außenleiterspannung.
• Dreieckschaltung (Δ-Schaltung): Enden der Verbraucher in Dreieckform verschaltet, keine direkten Verbindungen zum Bezugspunkt.
• Beziehungen (Sternschaltung): \[ U_{LN} = U_{LL} / \sqrt{3} \]\[ I_{L} = I_{N} \]
• Beziehungen (Dreieckschaltung): \[ U_{LN} = U_{LL} \]\[ I_{L} = I_{N} / \sqrt{3} \]

Modelle von Übertragungsleitungen und Verlustmechanismen

Definition:

Modelle zur Beschreibung des Verhaltens von Übertragungsleitungen und der damit verbundenen Verlustmechanismen.

Details:

• RLGC-Modell: beschreibt die Leitung mit Widerstand (\textit{R}), Induktivität (\textit{L}), Kapazität (\textit{C}) und Leitwert (\textit{G}) pro Längeneinheit.
• \textit{R} und \textit{G} repräsentieren verlustbehaftete Elemente.
• Verlustmechanismen: Joulescher Verlust (Wärmeverluste in \textit{R}), dielektrische Verluste (\textit{G}).
• Wichtige Gleichungen: Leitungsgleichung, Dämpfungsfaktor (\beta), Phasenkonstante (\beta), und Ausbreitungskonstante (\textit{γ}).
• \textit{γ} = \textit{α} + j\textit{β} (mit \textit{α} - Dämpfungskoeffizient, \textit{β} - Phasenkonstante)
• \textit{Z} = \frac{\textit{V}}{\textit{I}} = \textit{Z}_0 (Wellenwiderstand) bei verlustlosen Leitungen (\textit{R} = \textit{G} = 0).