Grundlagen der Messtechnik - Exam

Aufgabe 1)

Messdatenerfassung und -verarbeitung

Erfassen und Verarbeiten von Messdaten mittels Sensoren und Algorithmen.

• Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen
• Signalkonditionierung: Filtern, Verstärken
• Analog-Digital-Wandlung (ADC): Transformation von analogen Signalen in digitale
• Digitale Signalverarbeitung (DSP): Filtering, Feature Extraction
• Datenanalyse: statistische und algorithmische Methoden zur Interpretation
• Speicherung und Darstellung der Messergebnisse

a)

1. Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen: Beschreibe die Funktionsweise von zwei verschiedenen Sensortypen, die zur Erfassung von Temperatur und Druck verwendet werden. Erkläre jeweils, wie die erfassten analogen Signale bereitgestellt werden.

Lösung:

Messdatenerfassung und -verarbeitung

Erfassen und Verarbeiten von Messdaten mittels Sensoren und Algorithmen.

• Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen
• Signalkonditionierung: Filtern, Verstärken
• Analog-Digital-Wandlung (ADC): Transformation von analogen Signalen in digitale
• Digitale Signalverarbeitung (DSP): Filtering, Feature Extraction
• Datenanalyse: statistische und algorithmische Methoden zur Interpretation
• Speicherung und Darstellung der Messergebnisse

Unteraufgabe:

1. Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen: Beschreibe die Funktionsweise von zwei verschiedenen Sensortypen, die zur Erfassung von Temperatur und Druck verwendet werden. Erkläre jeweils, wie die erfassten analogen Signale bereitgestellt werden.

Antwort:

• Temperatursensor: Thermoelement
  • Funktionsweise: Ein Thermoelement besteht aus zwei verschiedenen Metalldrähten, die an einem Ende miteinander verbunden sind (Messstelle). Wenn diese Messstelle einer Temperaturänderung ausgesetzt wird, entsteht aufgrund des thermoelektrischen Effekts eine Spannung (Seebeck-Effekt), die proportional zur Temperaturdifferenz zwischen der Messstelle und dem freien Ende der Drähte ist.
  • Bereitstellung der analogen Signale: Das erzeugte Spannungssignal wird direkt als analoges Signal ausgegeben. Diese analoge Spannung kann dann weiter verarbeitet und in digitale Signale umgewandelt werden.
• Drucksensor: Dehnmessstreifen
  • Funktionsweise: Ein Dehnmessstreifen ist ein Sensor, der auf eine Oberfläche geklebt oder eingebettet wird und sich bei mechanischer Dehnung oder Kompression ändern kann. Änderungen im Druck führen zu einer mechanischen Verformung des Dehnmessstreifens, was eine Veränderung seines elektrischen Widerstands zur Folge hat.
  • Bereitstellung der analogen Signale: Die Veränderung des Widerstands kann mittels einer Wheatstone-Brücke in ein Spannungssignal umgewandelt werden. Dieses analoge Spannungssignal wird dann weiter verarbeitet, zum Beispiel verstärkt, und kann anschließend in digitale Signale umgewandelt werden.

b)

2. Signalkonditionierung: Für ein Rauschunterdrückungssystem wählst Du einen Tiefpassfilter, um das Signal zu glätten. Gib die Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters 1. Ordnung an und berechne die Ausgangsspannung, wenn die Eingangsspannung durch die Formel \(V_{in}(t) = 2 \sin(2\pi\ t) + 0.5 \sin(20\pi\ t)\) gegeben ist.

Lösung:

Messdatenerfassung und -verarbeitung

Erfassen und Verarbeiten von Messdaten mittels Sensoren und Algorithmen.

• Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen
• Signalkonditionierung: Filtern, Verstärken
• Analog-Digital-Wandlung (ADC): Transformation von analogen Signalen in digitale
• Digitale Signalverarbeitung (DSP): Filtering, Feature Extraction
• Datenanalyse: statistische und algorithmische Methoden zur Interpretation
• Speicherung und Darstellung der Messergebnisse

2. Signalkonditionierung: Für ein Rauschunterdrückungssystem wählst Du einen Tiefpassfilter, um das Signal zu glätten. Gib die Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters 1. Ordnung an und berechne die Ausgangsspannung, wenn die Eingangsspannung durch die Formel \(V_{in}(t) = 2 \sin(2\pi t) + 0.5 \sin(20\pi t)\) gegeben ist.

Antwort:

• Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters 1. Ordnung: Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung lässt niedrige Frequenzen passieren und dämpft hohe Frequenzen. Die Übertragungsfunktion \(H(s)\) im Laplace-Bereich lautet:

\[ H(s) = \frac{1}{1 + sRC} \]

• R: Widerstand
• C: Kapazität
• Berechnung der Ausgangsspannung:
• Gegebene Eingangsspannung:

\[ V_{in}(t) = 2 \sin(2\pi t) + 0.5 \sin(20\pi t) \]

• Analyse der Frequenzkomponenten:
• Die Frequenzkomponente \(2\pi\) (1 Hz)
• Die Frequenzkomponente \(20\pi\) (10 Hz)
• Übertragung dieser Frequenzen durch den Tiefpassfilter:
• Der Tiefpassfilter lässt die 1-Hz-Komponente nahezu ungedämpft passieren, dämpft aber die 10-Hz-Komponente stark.
• Ausgangsspannung:
• Die tiefere Frequenz von 1 Hz wird kaum beeinflusst.
• Die höhere Frequenz von 10 Hz wird stark gedämpft.

Angenommen, die Grenzfrequenz des Filters liegt zwischen diesen beiden Frequenzen, kann die Ausgangsspannung angenähert werden durch:

\[ V_{out}(t) \approx 2 \sin(2\pi t) \]

Die 10-Hz-Komponente wird vernachlässigt, da sie stark gedämpft ist.

c)

3. Analog-Digital-Wandlung (ADC): Ein Messsystem verwendet einen ADC mit einer Auflösung von 12 Bit und einem Spannungsbereich von 0 bis 5 V. Bestimme die kleinste unterscheidbare Spannungsänderung (Least Significant Bit, LSB). Wenn eine analoge Eingangsspannung von 3.25 V anliegt, was ist der digitale Code, den der ADC ausgibt?

Lösung:

Messdatenerfassung und -verarbeitung

Erfassen und Verarbeiten von Messdaten mittels Sensoren und Algorithmen.

• Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen
• Signalkonditionierung: Filtern, Verstärken
• Analog-Digital-Wandlung (ADC): Transformation von analogen Signalen in digitale
• Digitale Signalverarbeitung (DSP): Filtering, Feature Extraction
• Datenanalyse: statistische und algorithmische Methoden zur Interpretation
• Speicherung und Darstellung der Messergebnisse

3. Analog-Digital-Wandlung (ADC): Ein Messsystem verwendet einen ADC mit einer Auflösung von 12 Bit und einem Spannungsbereich von 0 bis 5 V. Bestimme die kleinste unterscheidbare Spannungsänderung (Least Significant Bit, LSB). Wenn eine analoge Eingangsspannung von 3.25 V anliegt, was ist der digitale Code, den der ADC ausgibt?

Antwort:

• Bestimmung der kleinsten unterscheidbaren Spannungsänderung (Least Significant Bit, LSB):

  Ein 12-Bit-ADC hat 2¹² = 4096 mögliche Werte. Der Spannungsbereich beträgt 0 bis 5 V.

  Die kleinste unterscheidbare Spannungsänderung (LSB) wird berechnet als:

  \[LSB = \frac{V_{ref}}{2^{n}} = \frac{5 V}{4096} \approx 0.00122 V\]

• Berechnen des digitalen Codes für eine analoge Eingangsspannung von 3,25 V:

  Der digitale Code wird berechnet als:

  \[Digitaler Code = \frac{V_{in}}{LSB} = \frac{3.25 V}{0.00122 V} \approx 2663\]

  Da der digitale Code ganzzahlig sein muss, wird er auf 2663 gerundet.

d)

4. Datenanalyse und -darstellung: Ein Messdatensatz wurde aufgenommen und enthält 1000 Abtastwerte, die eine Frequenz von 1 kHz zeigen. Entwickle ein Python-Skript, das die Daten grafisch darstellt und ein einfaches gleitendes Mittel über 10 Datenpunkte berechnet. Kommentiere Deinen Code ausführlich und diskutiere die Bedeutung des gleitenden Mittels im Kontext der Datenanalyse.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Angenommene Messdatendata = np.random.normal(0, 1, 1000)# Berechnung des gleitenden Mittelsrolling_mean = np.convolve(data, np.ones(10)/10, mode='valid')# Darstellung der Originaldaten und des geglätteten Signalsplt.plot(data, label='Original Data')plt.plot(np.arange(10-1, len(data)), rolling_mean, label='Rolling Mean', color='red')plt.xlabel('Sample Index')plt.ylabel('Value')plt.title('Data Visualization with Rolling Mean')plt.legend()plt.show()

Lösung:

Messdatenerfassung und -verarbeitung

Erfassen und Verarbeiten von Messdaten mittels Sensoren und Algorithmen.

• Sensoren zur Erfassung physikalischer Größen
• Signalkonditionierung: Filtern, Verstärken
• Analog-Digital-Wandlung (ADC): Transformation von analogen Signalen in digitale
• Digitale Signalverarbeitung (DSP): Filtering, Feature Extraction
• Datenanalyse: statistische und algorithmische Methoden zur Interpretation
• Speicherung und Darstellung der Messergebnisse

4. Datenanalyse und -darstellung: Ein Messdatensatz wurde aufgenommen und enthält 1000 Abtastwerte, die eine Frequenz von 1 kHz zeigen. Entwickle ein Python-Skript, das die Daten grafisch darstellt und ein einfaches gleitendes Mittel über 10 Datenpunkte berechnet. Kommentiere Deinen Code ausführlich und diskutiere die Bedeutung des gleitenden Mittels im Kontext der Datenanalyse.

Antwort:

Hier ist ein Python-Skript, das die beschriebenen Aufgaben erfüllt:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Angenommene Messdaten: Generierung von Zufallsdaten für Demonstrationszweckedata = np.random.normal(0, 1, 1000)# Berechnung des gleitenden Mittels über 10 Datenpunkte# np.ones(10)/10 erzeugt ein Gewichtungsfenster der Länge 10, wo jeder Punkt gleich gewichtet wird# np.convolve berechnet die Faltung der Daten mit dem Fenster, um das gleitende Mittel zu erhaltenrolling_mean = np.convolve(data, np.ones(10)/10, mode='valid')# Darstellung der Originaldaten und des geglätteten Signalsplt.plot(data, label='Original Data')# Die x-Achse für das geglättete Signal wird angepasst, damit beide Kurven korrekt ausgerichtet sindplt.plot(np.arange(10-1, len(data)), rolling_mean, label='Rolling Mean', color='red')# Beschriftung der Achsen und Titel der Grafikplt.xlabel('Sample Index')plt.ylabel('Value')plt.title('Data Visualization with Rolling Mean')# Anzeige der Legendeplt.legend()# Darstellung der Grafikplt.show()

Erklärung:

• Code-Kommentare: Jeder Schritt im Skript ist ausführlich kommentiert, um die jeweilige Funktion zu erklären.
• Bedeutung des gleitenden Mittels: Das gleitende Mittel ist ein einfacher, aber effektiver Filter zur Glättung eines Signals, indem es kurzzeitige Schwankungen reduziert und die langfristigen Trends hervorhebt. Dies ist besonders nützlich, um Rauschen aus Messdaten zu entfernen und ein klareres Bild der zugrunde liegenden Signale zu erhalten.

Aufgabe 2)

Bei einem Experiment in der Messtechnik misst du den elektrischen Widerstand eines Drahts. Du verwendest dazu ein Ohmmeter, das eine bestimmte Messunsicherheit aufweist. Das Ohmmeter zeigt einen Widerstand von 50 Ohm an, mit einer Messunsicherheit von ±0,5 Ohm. Um die Temperaturabhängigkeit des Widerstands zu untersuchen, misst du außerdem die Temperatur des Drahts. Ein Thermometer zeigt 25 °C an mit einer Messunsicherheit von ±0,2 °C.

a)

Erkläre den Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Fehlern in diesem Experiment. Welche Art von Fehlern könnten beim Messen des Widerstands und der Temperatur auftreten?

Lösung:

Unterschied zwischen systematischen und zufälligen Fehlern

Systematische Fehler: Diese Fehler treten auf, wenn das Messgerät eine konstante Abweichung vom wahren Wert hat. Das bedeutet, dass jede Messung durch denselben Betrag verfälscht ist. Ursachen können eine fehlerhafte Kalibrierung des Messgeräts oder konstante Umwelteinflüsse sein, die die Messung beeinflussen.

• Beispiel in diesem Experiment: Wenn das Ohmmeter immer um 0,5 Ohm zu viel oder zu wenig zeigt, handelt es sich um einen systematischen Fehler.

Zufällige Fehler: Diese Fehler variieren zufällig von Messung zu Messung. Sie entstehen durch unvorhersehbare und unkontrollierbare Einflüsse wie Schwankungen in der Umgebungstemperatur oder Messrauschen. Die zufälligen Fehler können durch wiederholte Messungen und statistische Auswertung reduziert werden.

• Beispiel in diesem Experiment: Wenn die angezeigte Temperatur bei wiederholten Messungen um ±0,2 °C variiert, ist dies ein zufälliger Fehler.

Mögliche Fehler beim Messen des Widerstands und der Temperatur

• Messen des Widerstands:- Systematische Fehler: Ein nicht kalibriertes Ohmmeter, das konsistent falsche Werte anzeigt.- Zufällige Fehler: Fluktuationen in der Anzeige des Ohmmeters aufgrund von elektrischen Störungen oder Schwankungen in der Kontaktqualität.
• Messen der Temperatur:- Systematische Fehler: Ein Thermometer, das aufgrund einer falschen Kalibrierung konstant einen zu hohen oder zu niedrigen Wert anzeigt.- Zufällige Fehler: Schwankungen in der angezeigten Temperatur aufgrund von Änderungen in der Umgebung oder Rauschen in der Elektronik des Thermometers.

b)

Berechne die kombinierte Unsicherheit für den Widerstand, wenn der gemessene Wert des Widerstands 50 Ohm und die Messunsicherheit des Ohmmeters ±0,5 Ohm beträgt.

Lösung:

Kombinierte Unsicherheit für den Widerstand berechnen

Gegeben sind:

• Gemessener Widerstand: 50 Ohm
• Messunsicherheit des Ohmmeters: ±0,5 Ohm

Berechnung der kombinierten Unsicherheit

In diesem Fall haben wir nur eine Unsicherheitsquelle, welche die direkte Messunsicherheit des Ohmmeters ist. Daher entspricht die kombinierte Unsicherheit einfach der angegebenen Messunsicherheit.

• Gemessener Wert des Widerstands: 50 Ohm
• Kombinierte Unsicherheit: ±0,5 Ohm

Schlussfolgerung

Der Widerstand kann im Bereich von 49,5 Ohm bis 50,5 Ohm liegen. Das bedeutet, die kombinierte Unsicherheit für den gemessenen Widerstand von 50 Ohm beträgt ±0,5 Ohm.

d)

Diskutiere, wie sich die Messergebnisse ändern würden, wenn das Ohmmeter eine systematische Abweichung von +1 Ohm hätte. Wie würdest du dies erkennen und kompensieren?

Lösung:

Auswirkungen einer systematischen Abweichung des Ohmmeters und deren Kompensation

Gegeben sind:

• Messwert des Widerstands: 50 Ohm
• Messunsicherheit des Ohmmeters: ±0,5 Ohm
• Systematische Abweichung des Ohmmeters: +1 Ohm

Auswirkungen der systematischen Abweichung

Eine systematische Abweichung bedeutet, dass alle Messungen des Widerstands konstant um denselben Betrag verfälscht sind. In diesem Fall zeigt das Ohmmeter immer einen um 1 Ohm höheren Wert an.

• Ohne systematische Abweichung zeigt das Ohmmeter: 50 Ohm
• Mit systematischer Abweichung von +1 Ohm zeigt das Ohmmeter: 50 Ohm + 1 Ohm = 51 Ohm

Der tatsächliche Wert des Widerstands beträgt also 49 Ohm (50 Ohm - 1 Ohm).

Erkennung der systematischen Abweichung

• Kalibrierung: Durch regelmäßige Kalibrierung des Ohmmeters mit einem Standardwiderstand bekannten Werts kann die Abweichung erkannt werden.
• Vergleich: Vergleich der Messwerte mit einem zweiten, zuverlässigen Ohmmeter, um die Abweichung festzustellen.

Kompensation der systematischen Abweichung

Sobald eine systematische Abweichung erkannt wurde, kann sie durch folgende Maßnahmen kompensiert werden:

• Manuelle Korrektur: Von jedem gemessenen Wert wird die Abweichung (in diesem Fall 1 Ohm) subtrahiert.
• Kalibrierung des Geräts: Das Ohmmeter wird gemäß dem bekannten Standard justiert, um die systematische Abweichung zu eliminieren.

Beispiel für manuelle Korrektur:

• Gemessener Wert: 51 Ohm
• Systematische Abweichung: +1 Ohm
• Tatsächlicher korrigierter Wert: 51 Ohm - 1 Ohm = 50 Ohm

Durch diese Maßnahmen kann sichergestellt werden, dass die Messergebnisse korrekt und zuverlässig sind.

Aufgabe 3)

Du arbeitest in einem Labor, in dem die Genauigkeit von Messgeräten von höchster Bedeutung ist. Du hast ein Thermometer, das kalibriert und justiert werden muss, um genaue Messungen zu gewährleisten. Ein Referenzthermometer liegt bei 25°C, während dein Thermometer 24,5°C anzeigt.

a)

Berechne die Abweichung Deines Messgerätes zum Referenzwert. Verwende dazu die gegebene Formel \( \ D = M - R \ ), wobei D die Abweichung, M der Messwert und R der Referenzwert ist. Was ist die Abweichung?

Lösung:

Hier sind die Schritte zur Berechnung der Abweichung:

• Der Messwert deines Thermometers (\textbf{M}) beträgt 24,5°C.
• Der Referenzwert (\textbf{R}) beträgt 25°C.
• Die Formel zur Berechnung der Abweichung lautet: \( D = M - R \)
• Setze nun die gegebenen Werte in die Formel ein: \( D = 24,5 \, ^\circ C - 25 \, ^\circ C \)
• Führe die Berechnung durch: \( D = -0,5 \, ^\circ C \)

Die Abweichung deines Messgerätes beträgt somit -0,5°C.

b)

Erläutere in Deinen eigenen Worten, was der Unterschied zwischen Kalibrierung und Justierung ist. Warum sind beide Schritte wichtig für die Genauigkeit und Zuverlässigkeit eines Messgeräts?

Lösung:

Hier ist eine Erläuterung der Begriffe Kalibrierung und Justierung sowie ihre Bedeutung für die Genauigkeit und Zuverlässigkeit eines Messgeräts:

• Kalibrierung: Bei der Kalibrierung wird die Messgenauigkeit eines Geräts überprüft, indem dessen Messwerte mit einem bekannten und genauen Referenzwert verglichen werden. Es wird quantitativ ermittelt, wie sehr die gemessenen Werte vom Referenzwert abweichen. Eine Kalibrierung führt nicht zwangsläufig zu einer Anpassung oder Veränderung des Messgeräts. Sie zeigt lediglich die Abweichungen auf, die möglicherweise durch systematische Fehler verursacht werden.
• Justierung: Die Justierung hingegen beinhaltet das Einstellen oder Korrigieren des Messgeräts, um Messabweichungen zu minimieren oder zu beseitigen. Dies erfolgt in der Regel nach der Kalibrierung, wenn festgestellt wird, dass das Gerät nicht richtig misst. Bei der Justierung werden entsprechende Anpassungen vorgenommen, sodass anschließend die Messwerte möglichst genau mit den Referenzwerten übereinstimmen.
• Bedeutung für die Genauigkeit und Zuverlässigkeit:
  • Die Kalibrierung ist wichtig, um sicherzustellen, dass ein Messgerät korrekte und präzise Messungen liefert. Durch regelmäßige Kalibrierungen können Abweichungen frühzeitig erkannt und dokumentiert werden. Dies ist entscheidend für die Qualitätssicherung und die Einhaltung von Normen und Standards.
  • Die Justierung ist entscheidend, um festgestellte Abweichungen zu korrigieren und die Messgenauigkeit des Geräts wiederherzustellen. Ohne Justierung könnten systematische Fehler zu falschen Messungen führen, was die Zuverlässigkeit der Messergebnisse stark beeinträchtigen würde. Korrekt justierte Geräte tragen somit zur Verlässlichkeit und Reproduzierbarkeit von Messergebnissen bei.

c)

Diskutiere, warum regelmäßige Prüfungen und Justierungen der Messgeräte in einem Labor von entscheidender Bedeutung sind. Wie wirken sich diese Prüfungen auf Qualitätsstandards und auf die Ergebnisse Deines Labors aus?

Lösung:

Hier ist eine Diskussion darüber, warum regelmäßige Prüfungen und Justierungen der Messgeräte in einem Labor entscheidend sind:

• Aufrechterhaltung der Messgenauigkeit: Regelmäßige Prüfungen und Justierungen gewährleisten, dass die Messgeräte stets präzise und genaue Messungen liefern. Temperatur, Feuchtigkeit, staubige Umgebung und andere externe Faktoren können die Funktionsweise der Geräte beeinträchtigen. Durch regelmäßige Kalibrierungen und Justierungen können diese Effekte minimiert werden.
• Einhalten von Qualitätsstandards: In vielen Branchen sind spezifische Qualitätsstandards und Normen festgelegt. Diese geben vor, wie genau die Messungen sein müssen. Regelmäßige Überprüfungen und Justierungen der Messgeräte helfen sicherzustellen, dass die Messergebnisse den geforderten Standards entsprechen, wodurch das Vertrauen in die Laborprozesse und -methoden gestärkt wird.
• Vermeidung von Fehlern: Ungenauigkeiten in den Messungen können zu fehlerhaften Ergebnissen führen, was wiederum falsche Schlussfolgerungen und Entscheidungen zur Folge haben kann. Dies kann besonders kritisch sein, wenn es um Gesundheit, Sicherheit oder Produktionsqualität geht. Regelmäßige Prüfungen und Justierungen minimieren das Risiko solcher Fehler.
• Kosteneffizienz: Während regelmäßige Prüfungen und Justierungen mit Kosten verbunden sind, können sie langfristig zur Kosteneffizienz beitragen, indem sie größere und kostspieligere Probleme verhindern. Dies reduziert beispielsweise die Notwendigkeit für wiederholte Experimente oder Produktionsausfälle aufgrund ungenauer Messungen.
• Vertrauen in die Ergebnisse: Regelmäßige Prüfungen und Justierungen erhöhen das Vertrauen in die Zuverlässigkeit der Messergebnisse. Dies ist besonders wichtig für Kunden und Partner, die sich auf die Genauigkeit der von Deinem Labor bereitgestellten Daten verlassen.
• Nutzung moderner Technologien: Regelmäßige Überprüfungen sind auch eine Gelegenheit, um sicherzustellen, dass die Geräte mit aktuellen Technologien und Standards kompatibel sind. Dies kann helfen, die Effizienz und Genauigkeit der Messungen weiter zu verbessern.

Fazit: Durch regelmäßige Prüfungen und Justierungen der Messgeräte wird die Genauigkeit, Zuverlässigkeit und Qualität der Ergebnisse sichergestellt. Dies trägt zur Einhaltung von Qualitätsstandards bei, vermeidet Fehler, spart langfristig Kosten und stärkt das Vertrauen in die Laborergebnisse.

d)

Angenommen, nach der Justierung zeigt Dein Thermometer nun 25°C bei einem Referenzwert von 25°C an. Welche Schlüsse kannst Du daraus ziehen? Was sagt das über die Genauigkeit deines Messgeräts nach der Justierung aus?

Lösung:

Angenommen, nach der Justierung zeigt dein Thermometer nun 25°C bei einem Referenzwert von 25°C an. Daraus lassen sich folgende Schlüsse ziehen:

• Genauigkeit des Messgeräts: Die Tatsache, dass dein Thermometer nach der Justierung exakt den Referenzwert von 25°C anzeigt, deutet darauf hin, dass die Justierung erfolgreich war. Es bedeutet, dass das Thermometer nun genau misst und keine (oder vernachlässigbare) Abweichungen mehr aufweist. Nach der Justierung zeigt dein Thermometer also eine hohe Messgenauigkeit.
• Zuverlässigkeit der Messungen: Da das Thermometer nun korrekte Werte liefert, kannst Du darauf vertrauen, dass die zukünftigen Messungen ebenfalls genau sein werden, solange die Justierung und Kalibrierung regelmäßig überprüft und gegebenenfalls angepasst werden.
• Qualität der Justierung: Das erfolgreiche Messen der Referenztemperatur zeigt, dass die Justierung kompetent durchgeführt wurde und die eingestellten Korrekturen präzise sind. Dies spricht für die hohe Qualität der Justierungsarbeit.
• Kalibrierstatus: Auch wenn dein Thermometer jetzt die 25°C zeigt, ist es wichtig, weiterhin regelmäßige Kalibrierungen durchzuführen, um sicherzustellen, dass die Genauigkeit über Zeit stabil bleibt und um Änderungen in der Messgenauigkeit frühzeitig zu erkennen.

Fazit: Nach der erfolgreichen Justierung deines Thermometers kannst du sicher sein, dass dein Messgerät nun genau ist und zuverlässige Messungen liefert. Regelmäßige Überprüfungen und Justierungen bleiben jedoch weiterhin wichtig, um diese Genauigkeit aufrechtzuerhalten.

Aufgabe 4)

Analyse eines Signals mit Hilfe der Fourier-TransformationIn diesem Aufgabenblock wirst Du ein gegebenes Zeitsignal analysieren und mithilfe der Fourier-Transformation und ihrer verschiedenen Varianten (kontinuierlich, diskret und schnell) den Frequenzbereich betrachten.

• Fourier-Transformierte: \[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]
• Inverse Fourier-Transformierte: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df\]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und ihre schnelle algorithmische Umsetzung (FFT)
• Spectral Leakage durch Fensterfunktionen minimieren

a)

Gegeben sei das Zeitsignal \(x(t) = cos(2\pi 3t) + cos(2\pi 7t)\).

• Bestimme die Fourier-Transformierte \(X(f)\) des Signals. Zeige alle Zwischenschritte und leite her, welche Frequenzanteile im Spektrum enthalten sind.

Lösung:

Analyse eines Signals mit Hilfe der Fourier-TransformationIn diesem Aufgabenblock wirst Du ein gegebenes Zeitsignal analysieren und mithilfe der Fourier-Transformation und ihrer verschiedenen Varianten (kontinuierlich, diskret und schnell) den Frequenzbereich betrachten.

• Fourier-Transformierte: \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt \]
• Inverse Fourier-Transformierte: \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df \]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und ihre schnelle algorithmische Umsetzung (FFT)
• Spectral Leakage durch Fensterfunktionen minimieren

Unteraufgabe:Gegeben sei das Zeitsignal \( x(t) = \text{cos}(2\pi 3t) + \text{cos}(2\pi 7t) \).

• Bestimme die Fourier-Transformierte \( X(f) \) des Signals. Zeige alle Zwischenschritte und leite her, welche Frequenzanteile im Spektrum enthalten sind.

Lösung:1. Gegebenes Signal:\[ x(t) = \text{cos}(2\pi 3t) + \text{cos}(2\pi 7t) \]2. Definiere die Fourier-Transformierte:\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt \]3. Zerlege das Signal in seine Cosinus-Komponenten:\[ \text{cos}(2\pi 3t) + \text{cos}(2\pi 7t) \]4. Nutzung der komplexen Exponentialdarstellung eines Cosinus:

• \[ \text{cos}(2\pi ft) = \frac{1}{2} \left[ e^{j2\pi ft} + e^{-j2\pi ft} \right] \]

5. Wende dies auf jede Komponente des Signals an:

• \[ x(t) = \frac{1}{2} \left[ e^{j2\pi 3t} + e^{-j2\pi 3t} \right] + \frac{1}{2} \left[ e^{j2\pi 7t} + e^{-j2\pi 7t} \right] \]

6. Anwenden der Fourier-Transformierten auf die einzelnen Exponentialfunktion:

• Für \( e^{j2\pi 3t} \):\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi 3t} e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi (3-f)t} dt = \delta(f - 3) \]
• Für \( e^{-j2\pi 3t} \):\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi 3t} e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi (3+f)t} dt = \delta(f + 3) \]
• Für \( e^{j2\pi 7t} \):\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi 7t} e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi (7-f)t} dt = \delta(f - 7) \]
• Für \( e^{-j2\pi 7t} \):\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi 7t} e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi (7+f)t} dt = \delta(f + 7) \]

7. Zusammenführen der Ergebnisse:Die Fourier-Transformierte von \( x(t) \) ist:

• \[ X(f) = \frac{1}{2} \, \delta(f - 3) + \frac{1}{2} \, \delta(f + 3) + \frac{1}{2} \, \delta(f - 7) + \frac{1}{2} \, \delta(f + 7) \]

8. Frequenzanteile im Spektrum:Das Frequenzspektrum enthält Spitzen (Dirac-Impulse) bei den Frequenzen \( f = ±3 \) und \( f = ±7 \).

b)

Das Signal \(x[n] = cos(2\pi \frac{3n}{10}) + cos(2\pi \frac{7n}{10})\) soll mit einer Diskreten Fourier-Transformation (DFT) analysiert werden.

• Berechne die DFT dieses diskreten Signals für \(N = 10\). Zeige die Schritte der Berechnung und die resultierenden Frequenzkomponenten.

Lösung:

Analyse eines Signals mit Hilfe der Fourier-TransformationIn diesem Aufgabenblock wirst Du ein gegebenes Zeitsignal analysieren und mithilfe der Fourier-Transformation und ihrer verschiedenen Varianten (kontinuierlich, diskret und schnell) den Frequenzbereich betrachten.

• Fourier-Transformierte: \[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]
• Inverse Fourier-Transformierte: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df\]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und ihre schnelle algorithmische Umsetzung (FFT)
• Spectral Leakage durch Fensterfunktionen minimieren

Unteraufgabe:Das Signal \(x[n] = \cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) + \cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right)\) soll mit einer Diskreten Fourier-Transformation (DFT) analysiert werden.

• Berechne die DFT dieses diskreten Signals für \(N = 10\). Zeige die Schritte der Berechnung und die resultierenden Frequenzkomponenten.

Lösung:1. Gegebenes Signal:\(x[n] = \cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) + \cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right)\)2. Definition der DFT:Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) für ein Signal \(x[n]\) mit Länge \(N\) ist definiert als:\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi \frac{k n}{N}}\]\(k = 0, 1, 2, \, ..., \, N-1\)3. Einsetzen des gegebenen Signals in die DFT-Formel:Für \(N = 10\):\[X[k] = \sum_{n=0}^{9} \left(\cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) + \cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right)\right) e^{-j2\pi \frac{kn}{10}}\]4. Erweiterung der Cosinus-Funktion in die Exponentialform:

• \[\cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) = \frac{1}{2} \left(e^{j2\pi \frac{3n}{10}} + e^{-j2\pi \frac{3n}{10}}\right)\]
• \[\cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right) = \frac{1}{2} \left(e^{j2\pi \frac{7n}{10}} + e^{-j2\pi \frac{7n}{10}}\right)\]

5. Substitution in die DFT-Formel:\[X[k] = \sum_{n=0}^{9} \left(\frac{1}{2} \left(e^{j2\pi \frac{3n}{10}} + e^{-j2\pi \frac{3n}{10}}\right) + \frac{1}{2} \left(e^{j2\pi \frac{7n}{10}} + e^{-j2\pi \frac{7n}{10}}\right)\right) e^{-j2\pi \frac{kn}{10}}\]6. Separate Fourier-Transformation der Exponentialglieder:

• Für \(e^{j2\pi \frac{3n}{10}}\):
• \[\sum_{n=0}^{9} e^{j2\pi \frac{3n}{10}} e^{-j2\pi \frac{kn}{10}} = \sum_{n=0}^{9} e^{j2\pi \frac{(3-k)n}{10}} = N \delta[k - 3] = 10 \delta[k - 3]\]
• Für \(e^{-j2\pi \frac{3n}{10}}\):
• \[\sum_{n=0}^{9} e^{-j2\pi \frac{3n}{10}} e^{-j2\pi \frac{kn}{10}} = \sum_{n=0}^{9} e^{-j2\pi \frac{(3+k)n}{10}} = N \delta[k + 3] = 10 \delta[k + 3]\]
• Für \(e^{j2\pi \frac{7n}{10}}\):
• \[\sum_{n=0}^{9} e^{j2\pi \frac{7n}{10}} e^{-j2\pi \frac{kn}{10}} = \sum_{n=0}^{9} e^{j2\pi \frac{(7-k)n}{10}} = N \delta[k - 7] = 10 \delta[k - 7]\]
• Für \(e^{-j2\pi \frac{7n}{10}}\):
• \[\sum_{n=0}^{9} e^{-j2\pi \frac{7n}{10}} e^{-j2\pi \frac{kn}{10}} = \sum_{n=0}^{9} e^{-j2\pi \frac{(7+k)n}{10}} = N \delta[k + 7] = 10 \delta[k + 7]\]

7. Zusammenführung der Ergebnisse:Die Fourier-Transformierte von \(x[n]\) ist:\[X[k] = \frac{1}{2} \left(10 \delta[k - 3] + 10 \delta[k + 3]\right) + \frac{1}{2} \left(10 \delta[k - 7] + 10 \delta[k + 7]\right)\]Da die DFT periodisch mit Periode \(N = 10\) ist, zirkulieren die Indizes zurück innerhalb des Bereichs \(0, 1, 2, \, ..., \, N - 1\). Folglich:\(k + 3\) und \(k + 7\) entsprechen \(k = 7\) und \(k = 3\) innerhalb eines Zyklus mit Länge \(10\).Finale Frequenzkomponenten:

• \(X[3] = 5\)
• \(X[7] = 5\)

Zusammenfassung:Das Frequenzspektrum enthält Spitzen bei den Indizes \(k = 3\) und \(k = 7\) mit einer Amplitude von 5.

c)

Um Spectral Leakage zu minimieren, soll eine Fensterfunktion angewendet werden.

• Erkläre die Rolle der Fensterfunktion bei der Frequenzanalyse und berechne die DFT des Signals \(x[n]\) aus Teilaufgabe 2 unter Verwendung eines Hamming-Fensters. Diskutiere die Unterschiede im Frequenzspektrum mit und ohne Fensterung.

Lösung:

Analyse eines Signals mit Hilfe der Fourier-TransformationIn diesem Aufgabenblock wirst Du ein gegebenes Zeitsignal analysieren und mithilfe der Fourier-Transformation und ihrer verschiedenen Varianten (kontinuierlich, diskret und schnell) den Frequenzbereich betrachten.

• Fourier-Transformierte: \[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt\]
• Inverse Fourier-Transformierte: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df\]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und ihre schnelle algorithmische Umsetzung (FFT)
• Spectral Leakage durch Fensterfunktionen minimieren

Unteraufgabe:Um Spectral Leakage zu minimieren, soll eine Fensterfunktion angewendet werden.

• Erkläre die Rolle der Fensterfunktion bei der Frequenzanalyse und berechne die DFT des Signals \(x[n]\) aus Teilaufgabe 2 unter Verwendung eines Hamming-Fensters. Diskutiere die Unterschiede im Frequenzspektrum mit und ohne Fensterung.

Lösung:1. Rolle der Fensterfunktion bei der Frequenzanalyse:Bei der diskreten Fourier-Transformation führen unendliche Signale oft zu 'Spectral Leakage' (Spektraler Auslauf). Dies passiert, wenn das Signal am Ende einer Periode abrupt endet, was zu falschen Frequenzkomponenten führt.

• Die Fensterfunktionen multiplizieren das Signal mit einer Funktion, die das Signal sanft auf Null bringt. Dies reduziert die Unstetigkeitsstellen und mindert so das 'Spectral Leakage'.

2. Definition des Hamming-Fensters:Die Hamming-Fensterfunktion ist definiert als:\[ w[n] = 0.54 - 0.46 \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) \quad \text{für } 0 \le n \le N-1 \] Hier ist \(N\) die Länge des Fensters.3. Berechnung des fenstergefilterten Signals:Das gegebene Signal ist:\[x[n] = \cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) + \cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right) \]Mit einem Hamming-Fenster filtert man das Signal:\[ x_w[n] = x[n] \cdot w[n] \] Für \(N = 10\):

• Berechne die Werte des Hamming-Fensters:\[ w[0] = 0.54 \]\[ w[1] = 0.54 - 0.46 \cos\left(\frac{2\pi \cdot 1}{9}\right) \approx 0.54 - 0.46 \cdot 0.766 \approx 0.238 \]\[ w[2] = 0.54 - 0.46 \cos\left(\frac{4\pi}{9}\right) \approx 0.54 - 0.46 \cdot 0.173 \approx 0.460 \]\[ \text{...} \]\[ w[9] = 0.54 \]

4. Fenster-gefiltertes Signal:Das gefilterte Signal ist:\[ x_w[n] = x[n] \cdot w[n] \]Multipliziere die Originalsignalamplituden mit den Fensterwerten:

• \( x_w[n] = \left(\cos\left(2\pi \frac{3n}{10}\right) + \cos\left(2\pi \frac{7n}{10}\right)\right) \cdot w[n]\)

5. Berechnung der DFT des gefilterten Signals:

• Für \(N = 10\) ergibt das:
• \[X_w[k] = \sum_{n=0}^{9} x_w[n] e^{-j2\pi \frac{k n}{10}}\]

6. Diskussion der Unterschiede im Frequenzspektrum:Ohne Fensterung führt das abrupte Ende des Signals zu Nebensignalen ('Spectral Leakage') im Frequenzspektrum.Durch Anwendung des Hamming-Fensters sinken die Nebensignale, und das Hauptspektrum wird deutlicher.Zusammenfassung:Die Anwendung von Fensterfunktionen, wie dem Hamming-Fenster, ist wesentlich, um 'Spectral Leakage' zu minimieren und zuverlässige Frequenzanalysen zu erhalten. Diese Methode reduziert Unstetigkeitsstellen und verbessert die Genauigkeit der Frequenzkomponenten.