Grundlagen der Nachrichtenübertragung - Cheatsheet

Eigenschaften und Klassifikation von Signalen

Definition:

Eigenschaften und Klassifikation von Signalen.

Details:

• Kontinuierliche Signale: definiert für jeden Zeitpunkt, z.B. analoge Signale.
• Diskrete Signale: definiert nur zu bestimmten Zeitpunkten, z.B. digitale Signale.
• Deterministische Signale: vollständig durch mathematische Funktion beschreibbar.
• Stochastische Signale: statistisch beschrieben, z.B. Rauschen.
• Eigenschaften von Signalen:
  • Amplitude: Maximale Auslenkung
  • Frequenz: Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, Einheit: Hz
  • Phase: Verschiebung der Signalwelle
  • Bandbreite: Frequenzbereich, in dem das Signal liegt
• Mathematische Beschreibungen:
  • Fourier-Transformation: \( X(f) = \frac{1}{\tau} \int_{-\tau/2}^{\tau/2} x(t) e^{-i 2 \pi ft} dt \)
  • Laplace-Transformation: \( X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt \)

Lineare zeitinvariante Systeme (LTI)

Definition:

Lineare zeitinvariante Systeme (LTI) sind Systeme, die sowohl linear als auch zeitinvariant sind.

Details:

• Lineare Systeme: Superpositionsprinzip gilt.
• Zeitinvariante Systeme: Eigenschaften des Systems ändern sich nicht mit der Zeit.
• Mathematische Beschreibung durch Differentialgleichungen möglich.
• Antwort auf eine Eingabe: Faltung der Eingabe mit der Impulsantwort des Systems
• Impulsantwort: Antwort des Systems auf einen Dirac-Impuls.
• Übertragungseigenschaften können im Frequenzbereich mittels Fourier-Transformation analysiert werden:
• \( Y(\theta) = H(\theta)X(\theta) \) mit \( H(\theta) \) als Systemfunktion.

Fourier-Transformation und ihre Anwendungen

Definition:

Fourier-Transformation wandelt eine zeitabhängige Funktion in eine Darstellung im Frequenzbereich um.

Details:

• Fourier-Transformierte: \( X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt \)
• Inverse Fourier-Transformierte: \( x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} df \)
• Zentrale Anwendung in der Nachrichtentechnik zur Analyse und Verarbeitung von Signalen.
• Ermöglicht Bandbreiten- und Frequenzanalyse von Übertragungskanälen.
• Nützlich für Filterung, Modulation und Demodulation von Signalen.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und Fast Fourier Transform (FFT)

Definition:

DFT wandelt eine endliche Folge von Abtastwerten eines Signals von der Zeit- in die Frequenzdomäne um. FFT ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT.

Details:

• DFT: Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich
• DFT-Formel: \[\text{DFT}(x)[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\]
• FFT berechnet DFT in \(O(N \log N)\) statt \(O(N^2)\)
• Wesentlich schneller für große Datensätze
• FFT-Algorithmen: Cooley-Tukey, Bluestein, Rader

Amplitude Modulation (AM) und Frequenz Modulation (FM)

Definition:

Amplitude Modulation (AM) und Frequenz Modulation (FM) sind Techniken zur Übertragung von Nachrichten durch Veränderung von Eigenschaften eines Trägersignals.

Details:

• AM: Modifikation der Amplitude des Trägersignals mit der Nachricht
• FM: Modifikation der Frequenz des Trägersignals mit der Nachricht
• AM-Signal: \[ s(t) = [A + m(t)] \cos(2\pi f_c t) \]
• FM-Signal: \[\begin{equation} s(t) = A \cos \bigg(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau) \textrm{d}\tau\bigg) \end{equation} \]
• AM: einfachere Implementierung, mehr Störanfälligkeit
• FM: höhere Störfestigkeit, komplexere Implementierung
• Beispielanwendungen: AM bei Mittelwellenradio, FM bei UKW-Radio

Digitale Modulationsverfahren (PSK und QPSK)

Definition:

PSK und QPSK sind digitale Modulationsverfahren, die zur Übertragung von Daten durch Änderung der Phase eines Trägersignals verwendet werden. PSK ändert die Phase pro Bit, QPSK pro 2 Bit.

Details:

• PSK (Phasenmodulation): Modulation, bei der jede Phase einem Bitmuster zugeordnet wird. Einfachste Form ist BPSK (Binary Phase Shift Keying), bei der zwei Phasen verwendet werden. Mathematische Darstellung: \[ s(t) = A \times \text{cos} (2 \pi f_c t + \theta_i) \] \( \theta_i \) ändert sich in Abhängigkeit vom Bitmuster.
• QPSK (Quadratur-Phasenumtastung): Spezielle Form der PSK, die vier Phasen verwendet, um zwei Bits pro Symbol zu modulieren. Effizienter als BPSK, da doppelte Datenrate bei gleicher Bandbreite möglich. Mathematische Darstellung: \[ s(t) = A \times \text{cos} (2 \pi f_c t + \theta_i) \] wobei \( \theta_i \in \{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \} \]
• Herzstück von modernen digitalen Kommunikationssystemen (WLAN, LTE)

Einzelbit- und Mehrbit-Fehlerkorrektur

Definition:

Einzelbit-Fehlerkorrektur korrigiert Fehler bei einem einzigen Bit, Mehrbit-Fehlerkorrektur kann mehrere fehlerhafte Bits erkennen und korrigieren.

Details:

• Einzelbit-Fehlerkorrektur: Hamming-Code
• Mehrbit-Fehlerkorrektur: Reed-Solomon-Code
• Hamming-Distanz: Mindestanzahl an Bit-Änderungen, um einen Codewort in ein anderes zu verwandeln
• Bei Mehrbit-Korrektur: Erhöhung der Redundanz erforderlich
• Mathematisch: Syndromberechnung zur Fehlererkennung und -korrektur
• Fehlerkorrigierende Codes verbessern die Zuverlässigkeit der Datenübertragung

Turbo-Codes und Reed-Solomon-Codes

Definition:

Fehlerkorrekturverfahren zur Verbesserung der Übertragungssicherheit in Kommunikationssystemen

Details:

• Turbo-Codes: Iterative Decodierung, hohe Fehlerkorrekturleistung nahe Shannon-Grenze
• Verwendet verschachtelte konvolutionelle Codes
• Reed-Solomon-Codes: Nicht-binär, arbeitet auf Symbol-Ebene
• Korrigiert Burst-Fehler, weit verbreitet in Speichersystemen und digitalen Kommunikationssystemen
• Polynomdarstellung: \( R(x) = \textstyle \text{Original-Datenpolynom} + \text{Redundanzpolynom} \)