Grundlagen der Nachrichtenübertragung - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte ein Signal x(t), das durch die Funktion x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi) beschrieben wird, wobei A = 5, f = 50 Hz und \phi = \pi / 4.

a)

Teilaufgabe a: Bestimme das Signal x(t) für die ersten 5 Millisekunden. Stelle die mathematische Berechnung dar und zeichne das Signal.

Lösung:

Um das Signal x(t) für die ersten 5 Millisekunden zu bestimmen, starten wir mit der gegebenen Funktion:

x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi)

Hier sind die gegebenen Werte:

• A = 5
• f = 50 Hz
• \(\phi\) = \(\frac{\pi}{4}\)

Nun berechnen wir x(t) für die ersten 5 Millisekunden. Beachte, dass 5 Millisekunden = 0,005 Sekunden sind.

Die Berechnung erfolgt für mehrere Zeitpunkte innerhalb dieser 5 Millisekunden. Wählen wir einige spezifische Zeitpunkte z. B. t = 0, 1 ms, 2 ms, 3 ms, 4 ms, 5 ms und berechnen wir die Werte des Signals:

• Für t = 0:

x(0) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(\frac{\pi}{4}) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot 0.7071 = 3.54

• Für t = 1 ms = 0,001 s:

x(0.001) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0.001 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(0.1 \pi + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(\frac{\pi}{4} + 0.1 \pi)\approx 5 \sin(0.1\pi + 0.25 \pi) \approx 5 \cdot 0.9239 = 4.62

• Für t = 2 ms = 0,002 s:

x(0.002) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0.002 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(0.2 \pi + \frac{\pi}{4})= 5 \sin(\frac{\pi}{4}+ 0.2 \pi) \approx 5 \cdot 0.7071 = 3.54

• Für t = 3 ms = 0,003 s:

x(0.003) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0.003 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(0.3 \pi + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(\frac{\pi}{4} + 0.3 \pi)\approx 5 \cdot 0.3827 = 1.91

• Für t = 4 ms = 0,004 s:

x(0.004) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0.004 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(0.4 \pi + \frac{\pi}{4})= 5 \sin(\frac{\pi}{4} + 0.4\pi)= 5 \cdot \sin(0.65 \pi) \approx 5 \cdot 0.0 = 0.0

• Für t = 5 ms = 0,005 s:

x(0.005) = 5 \sin(2 \pi 50 \cdot 0.005 + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(0.5 \pi + \frac{\pi}{4}) = 5 \sin(\frac{\pi}{4}+ 0.5 \pi)\approx 5 \sin(0.75 \pi) \approx 5 \cdot -0.3827 = -1.91

Nun wollen wir das Signal visualisieren. Dazu plotten wir die berechneten Werte auf einem Graphen mit der Zeit (t) auf der x-Achse und der Amplitude (x(t)) auf der y-Achse:

t (s)  | x(t)-------------------0.000  | 3.540.001  | 4.620.002  | 3.540.003  | 1.910.004  | 0.00.005  | -1.91

Hier ist eine Möglichkeit, das Signal mit matplotlib in Python zu zeichnen:

import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# ParameterA = 5f = 50phi = np.pi / 4# Zeitpunktet = np.linspace(0, 0.005, 1000)  # 1000 Punkte zwischen 0 und 5 ms# Signal generierenx = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)# Plotplt.plot(t, x)plt.xlabel('Zeit (s)')plt.ylabel('Amplitude')plt.title('Signal x(t) für die ersten 5 Millisekunden')plt.grid(True)plt.show()

Der obige Code erzeugt ein Diagramm, das das Signal x(t) für die ersten 5 Millisekunden darstellt.

b)

Teilaufgabe b: Berechne und erkläre die Amplitude, Frequenz und Phase des gegebenen Signals x(t).

Lösung:

Um die Amplitude, Frequenz und Phase des gegebenen Signals x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi) zu berechnen und zu erklären, schauen wir uns die Parameter der Sinusfunktion an:

Das gegebene Signal lautet:

x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi)

• Amplitude (A): Die Amplitude des Signals ist der maximale Wert, den das Signal erreichen kann. In der gegebenen Funktion repräsentiert A die Amplitude. Für unser Signal ist die Amplitude A = 5. Dies bedeutet, dass das Signal zwischen +5 und -5 schwingt.

• Frequenz (f): Die Frequenz gibt an, wie oft das Signal in einer Sekunde seinen vollständigen Zyklus durchläuft. In der Funktion x(t) ist f die Frequenz in Hertz (Hz). Für unser Signal ist die Frequenz f = 50 Hz. Das bedeutet, dass das Signal 50 vollständige Zyklen pro Sekunde durchläuft.

• Phase (\(\phi\)): Die Phase gibt an, wie das Signal entlang der Zeitachse verschoben ist. \(\phi\) ist der Phasenwinkel in Radiant. Für unser Signal ist die Phase \(\phi = \frac{\pi}{4}\). Dies bedeutet, dass das Signal zu Beginn um einen Winkel von \(\frac{\pi}{4}\) Bogenmaß verschoben ist.

Zusammenfassend haben wir:

• Amplitude (A) = 5
• Frequenz (f) = 50 Hz
• Phase (\(\phi\)) = \(\frac{\pi}{4}\) Radiant

Diese Parameter bestimmen vollständig die Form und das Verhalten des Signals x(t).

c)

Teilaufgabe c: Führe eine Fourier-Transformation des Signals x(t) durch und bestimme den Spektralinhalt. Verwende die Formel fuer die Fourier-Transformation \[X(f) = \frac{1}{\tau} \int_{-\tau/2}^{\tau/2} x(t) e^{-i 2 \pi ft} dt\]

Lösung:

Um eine Fourier-Transformation des Signals x(t) = A \sin(2 \pi f t + \phi) durchzuführen und den Spektralinhalt zu bestimmen, verwenden wir die gegebene Formel für die Fourier-Transformation:

\[X(f) = \frac{1}{\tau} \int_{-\tau/2}^{\tau/2} x(t) e^{-i 2 \pi f t} dt\]

Das Signal lautet:

x(t) = 5 \sin(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})

Um die Fourier-Transformation manuell durchzuführen, verwenden wir die Exponentialform der Sinusfunktion:

\[\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\]

Machen wir dies für unser Signal:

\[\sin(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4}) = \frac{e^{i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})} - e^{-i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})}}{2i}\]

Wir setzen dieses Ergebnis in die Fourier-Transformationsformel ein:

\[x(t) = \frac{5}{2i} \left( e^{i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})} - e^{-i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})} \right)\]

Die Fourier-Transformation eines Exponentialterms \( e^{i(2 \pi f_0 t)} \) führt zu einer Delta-Funktion \( \delta(f - f_0) \), daher ergibt die Fourier-Transformation von \( e^{i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})} \) und \( e^{-i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})} \):

\[\mathcal{F}[e^{i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})}] = e^{i\frac{\pi}{4}} \delta(f - 50)\]

\[\mathcal{F}[e^{-i(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4})}] = e^{-i\frac{\pi}{4}} \delta(f + 50)\]

Damit ergibt sich:

\[X(f) = \frac{5}{2i} \left( e^{i\frac{\pi}{4}} \delta(f - 50) - e^{-i\frac{\pi}{4}} \delta(f + 50) \right)\]

Der Spektralinhalt des Signals zeigt Peaks bei den Frequenzen \(\pm 50 Hz\) mit entsprechenden Phasenwinkeln von \(\frac{\pi}{4}\) bzw. \(-\frac{\pi}{4}\).

Zur numerischen Berechnung und Visualisierung der Fourier-Transformation können wir Python nutzen:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# ParameterA = 5f = 50phi = np.pi / 4sampling_rate = 1000  # Abtastfrequenz in Hzduration = 0.1  # Signaldauer in Sekunden# Zeit-Vektort = np.arange(0, duration, 1/sampling_rate)# Signal generierenx = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + phi)# Fourier-Transformation durchführenX_f = np.fft.fft(x)frequencies = np.fft.fftfreq(len(X_f), 1/sampling_rate)# Spektrum berechnenX_magnitude = np.abs(X_f)# Plots erstellenplt.figure(figsize=(12, 6))plt.subplot(2, 1, 1)plt.plot(t, x)plt.title('Signal x(t)')plt.xlabel('Zeit (s)')plt.ylabel('Amplitude')plt.grid(True)plt.subplot(2, 1, 2)plt.plot(frequencies, X_magnitude)plt.title('Spektrum von x(t)')plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Magnitude')plt.grid(True)plt.xlim(0, 100)plt.tight_layout()plt.show()

Dieser Python-Code generiert das Signal und seine Fourier-Transformation und zeigt das Zeit-Domänen-Signal sowie das Frequenzspektrum.

d)

Teilaufgabe d: Betrachte nun ein stochastisches Signal y(t), das durch den Mittelwert \( m \) und die Varianz \( \sigma^2 \) beschrieben wird. Erkläre, inwieweit sich die Analyse eines stochastischen Signals von der eines deterministischen Signals unterscheidet, und wie du den Spektralinhalt eines stochastischen Signals analysieren würdest.

Lösung:

Die Analyse eines stochastischen Signals unterscheidet sich in mehreren wesentlichen Punkten von der eines deterministischen Signals. Hier sind einige der wichtigsten Unterschiede und Methoden zur Analyse des Spektralinhalt eines stochastischen Signals:

Unterschiede zwischen stochastischen und deterministischen Signalen

• Deterministische Signale:Ein deterministisches Signal besitzt eine präzise und vorhersagbare mathematische Beschreibung, wie zum Beispiel x(t) = 5 \sin(2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4}). Solche Signale sind vollständig durch mathematische Gleichungen definiert, ohne jegliche Ungewissheit.
• Stochastische Signale:Stochastische Signale, auch als zufällige Signale bezeichnet, sind durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen gekennzeichnet. Sie können nicht exakt vorhergesagt werden und haben stattdessen charakteristische statistische Eigenschaften wie Mittelwert (m) und Varianz (\sigma^2). Beispiele hierfür sind gemessene Rauschsignale.

Analyse des Spektralinhalt eines stochastischen Signals

Um den Spektralinhalt eines stochastischen Signals zu analysieren, wären die folgenden Schritte erforderlich:

• Berechnung des Mittelwerts:Der Mittelwert (m) eines stochastischen Signals y(t) wird berechnet als: \[m = E[y(t)] = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} y(t) dt\]
• Berechnung der Varianz:Die Varianz (\sigma^2) misst die Streuung der Signalwerte um den Mittelwert:\[\sigma^2 = E[(y(t) - m)^2] = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} (y(t) - m)^2 dt\]
• Autokorrelationsfunktion:Die Autokorrelationsfunktion Ryy(\tau) eines stochastischen Signals ist entscheidend für die spektrale Analyse und wird definiert als:\[R_{yy}(\tau) = E[y(t) y(t + \tau)]\]
• Leistungsdichtespektrum (PSD):Das PSD gibt an, wie die Leistung des Signals über verschiedene Frequenzen verteilt ist und wird durch die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion berechnet:\[S_{yy}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{yy}(\tau) e^{-i 2 \pi f \tau} d\tau\]

Zusammengefasst unterscheidet sich die Analyse eines stochastischen Signals stark von der eines deterministischen Signals. Während deterministische Signale präzise vorhergesagt und durch mathematische Formeln beschrieben werden können, basieren stochastische Signale auf probabilistischen Methoden und statistischen Eigenschaften wie Mittelwert und Varianz. Letztere erfordern die Berechnung der Autokorrelationsfunktion und des Leistungsdichtespektrums, um den Spektralinhalt zu analysieren.

Aufgabe 2)

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System (LTI), das durch die Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben wird: \[ \frac{d}{dt}y(t) + ay(t) = bx(t) \] Dabei ist \( y(t) \) das Ausgangssignal, \( x(t) \) das Eingangssignal, und \( a \), \( b \) sind Konstanten. Die Impulsantwort \( h(t) \) des Systems ist die Antwort auf einen Dirac-Impuls \( \delta(t) \).

a)

Bestimme die Impulsantwort \( h(t) \) des Systems. Gegeben ist, dass das System ruhend ist, d.h., \( y(t) = 0 \) für \( t < 0 \).

Lösung:

Um die Impulsantwort h(t) des Systems zu bestimmen, müssen wir die Differentialgleichung lösen, die das System beschreibt:

• Differentialgleichung:

\( \frac{d}{dt} y(t) + a y(t) = b x(t) \)

Da die Impulsantwort h(t) die Antwort auf einen Dirac-Impuls \( \delta(t) \) ist, setzen wir \( x(t) = \delta(t) \). Die Differentialgleichung wird dann zu:

• Modifizierte Differentialgleichung:

\( \frac{d}{dt}h(t) + a h(t) = b \, \delta(t) \)

Um h(t) zu finden, verwenden wir die Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation der Delta-Funktion \( \delta(t) \) ist 1, und wir schreiben die Transformation der modifizierten Gleichung:

• Laplace-Transformation:

\( sH(s) + aH(s) = b \)

Hier bedeutet \( H(s) \) die Laplace-Transformation von \( h(t) \).

Da das System ruhend ist, haben wir die Bedingung \( y(0) = 0 \). Somit können wir die Laplace-transformierte Gleichung vereinfachen zu:

• Laplace-Gleichung lösen:

\( H(s)(s + a) = b \)

Was zu

\( H(s) = \frac{b}{s + a} \)

führt.

Nun führen wir die Laplace-Rücktransformation durch:

• Rücktransformation:

\( h(t) = b e^{-at} u(t) \)

Die Funktion \( u(t) \) ist die Heaviside-Stufenfunktion, die wie folgt definiert ist:

• Heaviside-Stufenfunktion:

\( u(t) = \begin{cases} 1 & \text{für } t \geq 0 \ 0 & \text{für } t < 0 \end{cases} \)

Also ist die Impulsantwort:

• Ergebnis:

\( \boxed{ h(t) = b e^{-at} u(t) } \)

b)

Die Eingabe ist ein sinusförmiges Signal \( x(t) = \sin(\theta t) \). Bestimme die Ausgangsantwort \( y(t) \) im Zeitbereich, indem Du die Faltung von \( x(t) \) und \( h(t) \) verwendest. Nutze dazu die Eigenschaften der Faltung.

Lösung:

Um die Ausgangsantwort \( y(t) \) eines linearen zeitinvarianten Systems (LTI) auf das sinusförmige Eingangssignal \( x(t) = \sin(\theta t) \) zu bestimmen, müssen wir die Faltung des Eingangssignals \( x(t) \) mit der Impulsantwort \( h(t) \) berechnen. Die Impulsantwort \( h(t) \) wurde zuvor als:

• Impulsantwort:

\( h(t) = b e^{-at} u(t) \)

bestimmt. Die Faltung zweier Funktionen \( x(t) \) und \( h(t) \) ist definiert als:

• Definition der Faltung:

\( y(t) = (x * h)(t) = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t - \tau) d \tau \)

Setze \( x(t) = \sin(\theta t) \) und \( h(t) = b e^{-at} u(t) \) ein:

\( y(t) = \int_{0}^{t} \sin(\theta \tau) \cdot b e^{-a(t - \tau)} d \tau \)

• Vereinfachung:

Da \( u(t) \) die Heaviside-Stufenfunktion ist und das Integral nur für \( t \geq 0 \) definiert ist, können wir die Einheit weglassen:

\( y(t) = b \int_{0}^{t} \sin(\theta \tau) e^{-a(t - \tau)} d \tau \)

• Umformung:

Wende das Distributivgesetz im Exponentialterm an:

\( y(t) = b e^{-at} \int_{0}^{t} \sin(\theta \tau) \cdot e^{a \tau} d \tau \)

• Berechnung des Integrals:

Berechne das Integral. Die Integration eines Produkts aus Exponential- und Sinusfunktionen kann mit partieller Integration oder durch bekannte Integraltafeln gelöst werden:

\( \int \sin(\theta \tau) e^{a \tau} d \tau = \frac{e^{a \tau}(a \sin(\theta \tau) - \theta \cos(\theta \tau))}{a^2 + \theta^2} \bigg|_{0}^{t} \)

Nachdem das Integral ausgewertet wurde, erhalten wir:

\( y(t) = b e^{-at} \left[\frac{e^{at}(a \sin(\theta t) - \theta \cos(\theta t))}{a^2 + \theta^2} - \frac{a}{a^2 + \theta^2}\right] \)

Vereinfache diese Gleichung:

\( y(t) = b \left[\frac{a \sin(\theta t) - \theta \cos(\theta t) - a e^{-at}}{a^2 + \theta^2}\right] \)

Schreibe dies in eine übersichtlichere Form:

• Ausgangsantwort:

\( y(t) = \frac{b[a \sin(\theta t) - \theta \cos(\theta t)]}{a^2 + \theta^2} - \frac{b a e^{-at}}{a^2 + \theta^2} \)

c)

Transformiere die Differentialgleichung mit der Fourier-Transformation und zeige, dass die Systemfunktion \( H(\theta) \) des Systems gegeben ist durch: \[ H(\theta) = \frac{b}{a + j\theta} \].

Lösung:

Um die Fourier-Transformation der gegebenen Differentialgleichung durchzuführen, beginnen wir mit der ursprünglichen Gleichung:

• Differentialgleichung:

\( \frac{d}{dt}y(t) + a y(t) = b x(t) \)

Die Fourier-Transformation einer Funktion \( f(t) \) ist definiert als:

\( F(\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \theta t} dt \)

Wo \( F(\theta) \) die Fourier-Transformation von \( f(t) \) ist und \( \theta \) die Frequenzkomponente darstellt.

Wir wenden nun die Fourier-Transformation auf beide Seiten der Differentialgleichung an:

• Transformation der Ableitung:

\( \mathcal{F}\left\{ \frac{d}{dt}y(t) \right\} = j \theta Y(\theta) \)

• Transformation des Terms \( a y(t) \):

\( \mathcal{F}\left\{ a y(t) \right\} = a Y(\theta) \)

• Transformation des Terms \( b x(t) \):

\( \mathcal{F}\left\{ b x(t) \right\} = b X(\theta) \)

Damit ergibt sich die transformierte Differentialgleichung:

• Transformierte Gleichung:

\( j\theta Y(\theta) + a Y(\theta) = b X(\theta) \)

Faktorisiere \( Y(\theta) \) auf der linken Seite:

\( (j\theta + a) Y(\theta) = b X(\theta) \)

Löse nach der Systemfunktion \( H(\theta) \) auf, die als das Verhältnis von \( Y(\theta) \) zu \( X(\theta) \) definiert ist:

• Systemfunktion:

\( H(\theta) = \frac{Y(\theta)}{X(\theta)} \)

Erhalte die Gleichung für \( H(\theta) \):

\( H(\theta) = \frac{b}{j\theta + a} \)

Also ist die Systemfunktion:

• Ergebnis:

\( \boxed{H(\theta) = \frac{b}{a + j\theta}} \)

d)

Berechne schließlich die Ausgabe \( Y(\theta) \) im Frequenzbereich für das gegebene Eingangssignal \( x(t) = \sin(\theta t) \) und überprüfe, ob sie mit dem im Zeitbereich berechneten \( y(t) \) übereinstimmt.

Lösung:

Um die Ausgabe \( Y(\theta) \) im Frequenzbereich für das gegebene Eingangssignal \( x(t) = \sin(\theta t) \) zu berechnen und zu überprüfen, ob sie mit der im Zeitbereich berechneten Ausgabe \( y(t) \) übereinstimmt, gehen wir wie folgt vor:

• Gegeben:

\( x(t) = \sin(\theta t) \)

• Systemfunktion:

Die Systemfunktion \( H(\omega) \) des Systems, wie zuvor berechnet, ist:

\( H(\omega) = \frac{b}{a + j\omega} \)

• Fourier-Transformation des Eingangssignals:

Wir bestimmen die Fourier-Transformation des Eingangssignals \( x(t) = \sin(\theta t) \):

\( x(t) = \sin(\theta t) = \frac{e^{j\theta t} - e^{-j\theta t}}{2j} \)

Die Fourier-Transformation von \( x(t) \) ist:

\( X(\omega) = \mathcal{F} \left\{ \sin(\theta t) \right\} = \frac{1}{2j} \left( 2\pi \delta(\omega - \theta) - 2\pi \delta(\omega + \theta) \right) = \pi \left( \delta(\omega - \theta) - \delta(\omega + \theta) \right) \)

• Berechnung der Ausgabe \( Y(\omega) \):

Die Ausgabe im Frequenzbereich ergibt sich durch das Produkt der Systemfunktion und der Fourier-Transformation des Eingangssignals:

\( Y(\omega) = H(\omega) \cdot X(\omega) \)

Setze die Werte ein:

\( Y(\omega) = \frac{b}{a + j\omega} \cdot \pi \left( \delta(\omega - \theta) - \delta(\omega + \theta) \right) \)

Multipliziere die Terme:

\( Y(\omega) = \pi \left( \frac{b \delta(\omega - \theta)}{a + j\omega} - \frac{b \delta(\omega + \theta)}{a + j\omega} \right) \)

Setze den entsprechenden Wert für die Delta-Funktion ein:

\( Y(\omega) = \pi \left( \frac{b}{a + j\theta} \delta(\omega - \theta) - \frac{b}{a - j\theta} \delta(\omega + \theta) \right) \)

• Inverse Fourier-Transformation:

Um \( y(t) \) zu berechnen, führen wir die inverse Fourier-Transformation durch:

\( y(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ Y(\omega) \right\} \)

\( y(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ \pi \left( \frac{b}{a + j\theta} \delta(\omega - \theta) - \frac{b}{a - j\theta} \delta(\omega + \theta) \right) \right\} \)

Die inverse Fourier-Transformation der Delta-Funktion verschiebt das Frequenzspektrum um \( \theta \) und \( -\theta \):

\( y(t) = \frac{b \pi}{a + j\theta} e^{j\theta t} - \frac{b \pi}{a - j\theta} e^{-j\theta t} \)

Um die Imaginärteile zu kompensieren, verwenden wir Euler's Formel \( e^{j\theta t} = \cos(\theta t) + j \sin(\theta t) \):

\( y(t) = \frac{b \pi}{a + j\theta} (\cos(\theta t) + j \sin(\theta t)) - \frac{b \pi}{a - j\theta} (\cos(\theta t) - j \sin(\theta t)) \)

Dieser Ausdruck lässt sich in Amplituden modulierte und Phase verschobene Komponenten aufschlüsseln und dann vereinfachen, um schließlich zu:

\( y(t) = \frac{b \left[ a \sin(\theta t) - \theta \cos(\theta t) \right]}{a^2 + \theta^2} \)

Im Vergleich mit dem zuvor im Zeitbereich berechneten Ergebnis:

\( y(t) = \frac{b \left[ a \sin(\theta t) - \theta \cos(\theta t) \right]}{a^2 + \theta^2} \)

sind die beiden Ergebnisse identisch, was die Übereinstimmung der Fourier-Transform-basierten Berechnung mit der Zeitbereichsberechnung bestätigt.

Aufgabe 3)

Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug in der Nachrichtentechnik zur Analyse von Signalen. Es wandelt eine zeitabhängige Funktion in eine Frequenzdarstellung um. Die Fourier-Transformierte ist gegeben durch: \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt \]. Die inverse Fourier-Transformierte ist gegeben durch: \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} df \]. In der Nachrichtentechnik wird diese Transformation verwendet, um Bandbreiten- und Frequenzanalysen von Übertragungskanälen durchzuführen, und ist nützlich für die Filterung, Modulation und Demodulation von Signalen.

a)

1. Gegeben sei eine Funktion im Zeitbereich: \[x(t) = e^{-2 \pi t^2}\]. Führe die Fourier-Transformation dieser Funktion durch und bestimme die Darstellung im Frequenzbereich.

Lösung:

Um die Fourier-Transformation der gegebenen Funktion durchzuführen, beginnen wir mit der Definition der Fourier-Transformation.

• Die gegebene Funktion im Zeitbereich lautet: \[x(t) = e^{-2 \pi t^2}\]
• Die Fourier-Transformierte einer Funktion ist gegeben durch: \[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt\]

Jetzt setzen wir die gegebene Funktion \(x(t)\) in die Definition der Fourier-Transformation ein:

• \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi t^2} e^{-j 2\pi f t} dt \]

Im nächsten Schritt fassen wir die Exponentialausdrücke zusammen:

• \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi t^2 - j 2 \pi f t} dt \]
• Dabei nutzen wir die quadratische Ergänzung: \[-2 \pi t^2 - j 2 \pi f t = -2 \pi \left(t^2 + \frac{j f t}{\pi}\right) = -2 \pi \left(t^2 + \frac{j f}{2 \pi} t\right)\]

Quadratische Ergänzung für den Exponenten:

• \[-2 \pi \left(t^2 + \frac{j f}{2 \pi} t\right) = -2 \pi \left(t + \frac{j f}{4 \pi}\right)^2 + \frac{f^2}{8 \pi}\]

Das Integral sieht nun wie folgt aus:

• \[ X(f) = \exp\left(-\frac{f^2}{8 \pi}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-2 \pi \left(t + \frac{j f}{4 \pi}\right)^2\right) dt \]

Da der Ausdruck \(\exp\left(-2 \pi \left(t + \frac{j f}{4 \pi}\right)^2\right)\) eine Verschiebung in der Gauss'schen Glockenkurve darstellt, können wir das Integral als ein bekanntes Gauss'sches Integral betrachten:

• Das bekannte Ergebnis des Gauss'schen Integrals lautet:
• \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]
• Für unser Integral ist \(a = 2 \pi\):
• \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{2 \pi}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Das Integral ergibt also:

• \[ \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-2 \pi \left(t + \frac{j f}{4 \pi}\right)^2\right) dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Insgesamt erhalten wir dann:

• \[ X(f) = \exp\left(-\frac{f^2}{8 \pi}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Zusammen mit dem skalierenden Faktor ergibt sich:

• \[ X(f) = \sqrt{\frac{1}{2 \pi}} \cdot \exp\left(-\frac{f^2}{8 \pi}\right) \]

Das ist die Frequenzdarstellung der gegebenen Funktion im Zeitbereich.

b)

2. Ein Signal im Frequenzbereich ist gegeben durch: \[X(f) = rect(f)\], wobei \[rect(f)\] die Rechteckfunktion ist. Berechne die inverse Fourier-Transformation, um das Signal im Zeitbereich \(x(t)\) zu finden.

Lösung:

Um die inverse Fourier-Transformation eines gegebenen Signals im Frequenzbereich durchzuführen, beginnen wir mit der Definition der inversen Fourier-Transformation.

• Das gegebene Signal im Frequenzbereich ist: \[X(f) = \operatorname{rect}(f)\]
• Die inverse Fourier-Transformierte einer Funktion ist gegeben durch: \[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} df\]

Die Rechteckfunktion \( \operatorname{rect}(f) \) ist definiert als:

• \[ \operatorname{rect}(f) = \begin{cases} 1 & |f| \leq \frac{1}{2} \ 0 & |f| > \frac{1}{2} \end{cases} \]

Setzen wir \(X(f) = \operatorname{rect}(f)\) in die Formel für die inverse Fourier-Transformation ein:

• \[ x(t) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{j 2 \pi f t} df \]

Dieses Integral können wir nun berechnen:

• \[ x(t) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{j 2 \pi f t} df \]

Das Integral eines Exponentialterms lässt sich wie folgt lösen:

• \[ \int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} \]

• In unserem Fall ist \(a = j 2 \pi t\):

• \[ x(t) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{j 2 \pi f t} df = \left[ \frac{e^{j 2 \pi f t}}{j 2 \pi t} \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \]

• Das Integral wird nun ausgewertet:

• \[ x(t) = \frac{1}{j 2 \pi t} \left( e^{j 2 \pi t \cdot \frac{1}{2}} - e^{-j 2 \pi t \cdot \frac{1}{2}} \) \]

• \[ x(t) = \frac{1}{j 2 \pi t} \left( e^{j \pi t} - e^{-j \pi t} \) \]

• \[ x(t) = \frac{1}{j 2 \pi t} \cdot 2j \sin(\pi t) \]

• \[ x(t) = \frac{2j \sin(\pi t)}{j 2 \pi t} \]

• \[ x(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]

Die Funktion \(sinc(t)\) ist definiert als:

• \[ \operatorname{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]

Das endgültige Ergebnis der inversen Fourier-Transformation ist also:

• \[ x(t) = \operatorname{sinc}(t) \]

Zusammengefasst:

• Das Signal im Frequenzbereich \(X(f) = \operatorname{rect}(f)\) wird im Zeitbereich \( x(t) = \operatorname{sinc}(t) \).

c)

3. Beschreibe, wie die Fourier-Transformation zur Filterung eines Signals genutzt werden kann. Nenne und erkläre die Schritte, die notwendig sind, um ein gegebenes Signal \(x(t)\) durch einen Tiefpassfilter im Frequenzbereich zu filtern.

Lösung:

Die Fourier-Transformation ist ein mächtiges Werkzeug in der Signalverarbeitung, insbesondere für die Filterung von Signalen. Ein Tiefpassfilter lässt nur Frequenzen unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz passieren und blockiert höhere Frequenzen. Hier sind die Schritte, die notwendig sind, um ein gegebenes Signal \(x(t)\) durch einen Tiefpassfilter im Frequenzbereich zu filtern:

• Schritt 1: Fourier-Transformation Transformiere das Signal \(x(t)\) vom Zeitbereich in den Frequenzbereich mittels der Fourier-Transformation:

• \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} dt \]

• Schritt 2: Implementierung des Tiefpassfilters Definiere die Frequenzantwort des Tiefpassfilters \(H(f)\), meist als idealer Tiefpassfilter angegeben:

• \[ H(f) = \begin{cases} 1 & |f| \leq f_c \cr 0 & |f| > f_c \end{cases} \]

• Multipliziere die Fourier-Transformierte \(X(f)\) des Signals mit der Frequenzantwort des Tiefpassfilters \(H(f)\), um die gefilterte Fourier-Transformierte \(Y(f)\) zu erhalten:

• \[ Y(f) = X(f) \cdot H(f) \]

• Schritt 3: Inverse Fourier-Transformation Transformiere die gefilterten Frequenzkomponenten \(Y(f)\) zurück in den Zeitbereich, um das gefilterte Signal \(y(t)\) zu erhalten:

• \[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} Y(f) e^{j 2 \pi f t} df \]

Zusammengefasst:

• 1. Fourier-Transformation: Berechne die Fourier-Transformierte \(X(f)\) des Originalsignals \(x(t)\).
• 2. Filterung: Multipliziere \(X(f)\) mit der Frequenzantwort \(H(f)\) des Tiefpassfilters, um \(Y(f)\) zu erhalten.
• 3. Inverse Fourier-Transformation: Führe die inverse Fourier-Transformation von \(Y(f)\) durch, um das gefilterte Signal \(y(t)\) im Zeitbereich zu erhalten.

Durch diese Schritte wird das Signal effizient im Frequenzbereich gefiltert. Hohe Frequenzen, die durch den Tiefpassfilter blockiert werden, werden entfernt, während die tiefen Frequenzkomponenten erhalten bleiben, wodurch das gefilterte Signal \(y(t)\) im Zeitbereich entsteht.

d)

4. In einem Kommunikationssystem wird die Modulation genutzt, um Informationen durch eine Trägerwelle zu übertragen. Erkläre wie die Fourier-Transformation angewendet werden kann, um den Prozess der Modulation eines Signals \(x(t)\) mit einer Trägerfrequenz \(f_c\) darzustellen und zu analysieren. Berechne die Fourier-Transformierte eines modulierten Signals \(x(t) \cos(2 \pi f_c t)\).

Lösung:

In Kommunikationssystemen wird die Modulation genutzt, um Informationen durch eine Trägerwelle zu übertragen. Die Fourier-Transformation ist ein mächtiges Werkzeug, um diesen Prozess zu analysieren und darzustellen. Hier wird beschrieben, wie die Fourier-Transformation auf den Modulationsprozess angewendet wird und wie die Fourier-Transformierte eines modulierten Signals \( x(t) \cos(2 \pi f_c t) \) berechnet wird.

• Definitionen: - Signal im Zeitbereich: \( x(t) \) - Trägerfrequenz: \( f_c \) - Moduliertes Signal: \( x(t) \cos(2 \pi f_c t) \)
• Modulation im Frequenzbereich: Um das modulierte Signal zu analysieren, betrachten wir seine Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation eines Produkts zweier Funktionen im Zeitbereich entspricht der Faltung ihrer Fourier-Transformierten im Frequenzbereich. Das heißt:

• \[ Y(f) = \mathcal{F}\{ x(t) \cos(2 \pi f_c t) \} \]

• Verwenden wir die Eigenschaft der Fourier-Transformation, dass die Multiplikation im Zeitbereich der Faltung im Frequenzbereich entspricht: Die Fourier-Transformierte von \(\cos(2 \pi f_c t) \) ist:

• \[ \mathcal{F}\{ \cos(2 \pi f_c t) \} = \frac{1}{2} \left[ \delta(f - f_c) + \delta(f + f_c) \] \]

• Daher ist die Fourier-Transformierte des modulierten Signals die Faltung der Fourier-Transformierten von \( x(t) \) und \( \mathcal{F}\{ \cos(2 \pi f_c t) \} \):

• \[ Y(f) = \mathcal{F}\{ x(t) \} * \mathcal{F}\{ \cos(2 \pi f_c t) \} \]

• Die Faltung im Frequenzbereich ergibt:

• \[ Y(f) = \frac{1}{2} \left[ X(f - f_c) + X(f + f_c) \] \]

• Zusammengefasst:

• Die Fourier-Transformierte eines modulierten Signals \( x(t) \cos(2 \pi f_c t) \) ist: \[ Y(f) = \frac{1}{2} \left[ X(f - f_c) + X(f + f_c) \] \]

Die Modulation führt dazu, dass das Frequenzspektrum des ursprünglichen Signals \( x(t) \) um die Trägerfrequenz \( f_c \) verschoben wird. Dies ist nützlich, um Signale auf unterschiedliche Frequenzbereiche zu übertragen und Interferenzen zu vermeiden.

Aufgabe 4)

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und Fast Fourier Transform (FFT)Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) wandelt eine endliche Folge von Abtastwerten eines Signals von der Zeit- in die Frequenzdomäne um. Die Fast Fourier Transform (FFT) ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT. Ein DFT setzt eine endliche Sequenz von Proben in der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne um, indem sie das Signal über komplexe Exponentialfunktionen zerlegt.

• DFT: Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich
• DFT-Formel: \( \text{DFT}(x)[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \)
• FFT berechnet DFT in \( O(N \log N) \) statt \( O(N^2) \)
• Wesentlich schneller für große Datensätze
• FFT-Algorithmen: Cooley-Tukey, Bluestein, Rader

a)

Berechne die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) der folgenden Sequenz \( x[n] = \{1, 1, 1, 1\} \). Zeige den gesamten Berechnungsprozess.

Lösung:

Berechnung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) der Sequenz:

Gegeben ist die Sequenz:

• \(x[n] = \{1, 1, 1, 1\}\)

Die Formel für die DFT lautet:

\[\text{DFT}(x)[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\]

In unserem Fall beträgt \(N = 4\), da die Sequenz vier Elemente hat. Der DFT-Index \(k\) geht von 0 bis 3. Jetzt berechnen wir die DFT für jedes \(k\):

Berechnungsschritte:

• Für \(k = 0\):\[\text{DFT}(x)[0] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = x[0] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot0\cdot0} + x[1] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot0\cdot1} + x[2] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot0\cdot2} + x[3] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot0\cdot3}\]

  Da alle Exponentialterme bei \(k = 0\) gleich 1 sind, ergibt sich:

  \[\text{DFT}(x)[0] = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

• Für \(k = 1\):\[\text{DFT}(x)[1] = x[0] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot1\cdot0} + x[1] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot1\cdot1} + x[2] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot1\cdot2} + x[3] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot1\cdot3}\]

  Nun die Exponentialterme berechnen:

  \[\text{DFT}(x)[1] = 1 \,e^0 + 1 \, e^{-j\frac{2\pi}{4}} + 1 \, e^{-j\frac{4\pi}{4}} + 1 \, e^{-j\frac{6\pi}{4}} = 1 + e^{-j\frac{\pi}{2}} + e^{-j\pi} + e^{-j\frac{3\pi}{2}}\]

  Da alle Terme außer einer sich zu Null reduzieren, erhalten wir:

  \[\text{DFT}(x)[1] = 0\]

• Für \(k = 2\):\[\text{DFT}(x)[2] = x[0] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot2\cdot0} + x[1] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot2\cdot1} + x[2] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot2\cdot2} + x[3] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot2\cdot3}\]

  Durch Berechnung der Terme:

  \[\text{DFT}(x)[2] = 1 \,e^0 + 1 \, e^{-j\pi} + 1 \, e^{-j2\pi} + 1 \, e^{-j3\pi} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0\]

• Für \(k = 3\):\[\text{DFT}(x)[3] = x[0] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot3\cdot0} + x[1] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot3\cdot1} + x[2] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot3\cdot2} + x[3] \, e^{-j\cdot\frac{2\pi}{4}\cdot3\cdot3}\]

  Durch Berechnung der Terme:

  \[\text{DFT}(x)[3] = 1 \,e^0 + 1 \, e^{-j\frac{6\pi}{4}} + 1 \, e^{-j\frac{12\pi}{4}} + 1 \, e^{-j\frac{18\pi}{4}} = 1 + e^{-j\frac{3\pi}{2}} + e^{-j 3\pi} + e^{-j\frac{9\pi}{2}}\]

  Da alle Terme außer einer sich zu Null reduzieren, erhalten wir:

  \[\text{DFT}(x)[3] = 0\]

Zusammenfassend ergibt sich die Diskrete Fourier-Transformation der Sequenz \(x[n] = \{1, 1, 1, 1\}\):

• \(\text{DFT}(x)[0] = 4\)
• \(\text{DFT}(x)[1] = 0\)
• \(\text{DFT}(x)[2] = 0\)
• \(\text{DFT}(x)[3] = 0\)

Daraus ergibt sich der DFT-Vektor:\[\text{DFT}(x) = \{4, 0, 0, 0\}\]

b)

Erläutere den Unterschied zwischen der Rechenkomplexität von DFT und FFT und wieso FFT für große Datensätze bevorzugt wird.

Lösung:

Unterschied zwischen der Rechenkomplexität von DFT und FFT:

• Rechenkomplexität der DFT: Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) hat eine Rechenkomplexität von \(O(N^2)\). Das bedeutet, dass für eine Sequenz der Länge \(N\) ungefähr \(N^2\) Berechnungen durchgeführt werden müssen. Dies ergibt sich daraus, dass für jeden Wert in der Frequenzdomäne \(N\) komplexe Multiplikationen und Additionen durchgeführt werden müssen, und es gibt insgesamt \(N\) Werte in der Frequenzdomäne.

Die DFT-Formel lautet:

\[\text{DFT}(x)[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\]

• Rechenkomplexität der FFT: Die Fast Fourier Transform (FFT) ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT und hat eine Rechenkomplexität von \(O(N \log N)\). Dadurch reduziert sich die Anzahl der Berechnungen drastisch im Vergleich zur DFT. Die FFT erreicht diese Effizienz, indem sie die Berechnungen in einer Weise aufteilt und rekursiv zusammenführt, dass viele redundante Operationen vermieden werden.

Die typische FFT-Variante ist der Cooley-Tukey-Algorithmus, welcher die Sequenz immer wieder in kleinere Sequenzen aufteilt und dann die Teilergebnisse kombiniert, um das Endresultat zu erhalten.

• Beispiel: Angenommen, \(N = 1024\). Die Anzahl der Berechnungen für die DFT beträgt ungefähr \(1024^2 = 1,048,576\) Operationen, während die FFT ungefähr \(1024 \log_2 1024 = 1024 \cdot 10 = 10,240\) Operationen benötigt. Dies zeigt deutlich, wie viel effizienter die FFT im Vergleich zur DFT ist.
• Warum FFT für große Datensätze bevorzugt wird:
  • Die FFT ist wesentlich schneller als die DFT, insbesondere für große Datensätze.
  • Weniger Rechenzeit führt zu einer geringeren Systembelastung und ermöglicht die Verarbeitung von großen Signalen in Echtzeit.
  • Viele praktische Anwendungen, wie Bild- und Signalverarbeitung, Sprach- und Audioanalyse sowie viele wissenschaftliche und technische Anwendungen, erfordern die Verarbeitung großer Datenmengen, wo die Effizienz der FFT entscheidend ist.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die FFT aufgrund ihrer geringeren Rechenkomplexität und Effizienz bei der Verarbeitung großer Datensätze die bevorzugte Methode zur Berechnung der DFT ist.

c)

Beschreibe den Cooley-Tukey-Algorithmus zur Berechnung der FFT und bespreche seine Vorteilhaftigkeit gegenüber dem grundlegenden Ansatz der DFT-Berechnung.

Lösung:

Cooley-Tukey-Algorithmus zur Berechnung der FFT:

Der Cooley-Tukey-Algorithmus ist der am häufigsten angewandte Algorithmus zur Berechnung der Fast Fourier Transform (FFT). Er zielt darauf ab, die Berechnungen der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) zu beschleunigen, indem er die Anzahl der notwendigen Rechenoperationen reduziert.

• Ablauf des Cooley-Tukey-Algorithmus:
  • Aufteilung: Der Cooley-Tukey-Algorithmus teilt die Eingabesequenz in kleinere Teilsignale auf. Dies geschieht rekursiv, solange, bis die Länge der Teilsignale auf eine triviale Größe reduziert wurde (oft auf Länge 2 oder 4).
  • Berechnung der DFT auf kleinen Teilsignalen: Für die kleinsten Teilsignale kann die DFT direkt und sehr effizient berechnet werden.
  • Kombination: Die Ergebnisse der DFT-Berechnungen der kleinen Teilsignale werden dann sukzessive kombiniert, um die endgültige DFT der ursprünglichen Eingabesequenz zu erhalten. Diese Kombination erfolgt durch Nutzung der Symmetrie und Periodizität der Exponentialfunktionen in der DFT, wodurch viele Berechnungen eingespart werden.

Formell kann der Cooley-Tukey-Algorithmus so beschrieben werden:

Gegeben eine Sequenz \(x[n]\) der Länge \(N=2^m\), teilt der Algorithmus diese Sequenz in zwei Hälften: die geraden und die ungeraden Indizes:

• \[X_0[k] = \text{DFT}_N (x_{2n})\]
• \[X_1[k] = \text{DFT}_N (x_{2n+1})\]

• \[X[k] = X_0[k] + e^{-j \frac{2 \pi k}{N}} X_1[k]\]
• \[X[k + N/2] = X_0[k] - e^{-j \frac{2 \pi k}{N}} X_1[k]\]

Diese Kombination wird für jedes \(k = 0, 1, ..., N/2 - 1\) durchgeführt.

Vorteile des Cooley-Tukey-Algorithmus gegenüber der direkten DFT-Berechnung:

• Reduzierte Rechenkomplexität: Der wesentliche Vorteil ist die reduzierte Rechenkomplexität. Während die direkte Berechnung der DFT eine Komplexität von \(O(N^2)\) hat, reduziert der Cooley-Tukey-Algorithmus diese auf \(O(N \log N)\). Diese Reduktion ist besonders bei großen Datensätzen signifikant.
• Effiziente Nutzung von Symmetrie und Periodizität: Der Algorithmus nutzt die Eigenschaften der Exponentialfunktionen aus, um viele Berechnungen zu eliminieren, die in der direkten Berechnung der DFT redundant wären.
• Rekursive Struktur: Die rekursive Natur des Cooley-Tukey-Algorithmus ermöglicht eine einfache und effiziente Implementierung, insbesondere auf modernen Computern mit ihrer Hierarchie von Speicherzugriffen und parallelen Recheneinheiten.
• Praktische Relevanz: Der Algorithmus ist in vielen wissenschaftlichen und technischen Feldern Standard, sei es in der Signal- und Bildverarbeitung, der Wettervorhersage oder in der Audioanalyse. Die Effizienzgewinne sind praktisch und nicht nur theoretisch von Bedeutung.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Cooley-Tukey-Algorithmus aufgrund seiner Effizienz und der drastischen Reduktion der Rechenkomplexität die bevorzugte Methode zur Berechnung der FFT ist, besonders bei großen Datensätzen.

d)

Implementiere in Python eine einfache FFT-Funktion mittels des Cooley-Tukey-Algorithmus für eine Sequenz der Länge Vier.

Lösung:

Implementierung einer FFT-Funktion in Python mittels des Cooley-Tukey-Algorithmus für eine Sequenz der Länge vier:

Hier ist eine einfache Implementierung der FFT in Python, die den Cooley-Tukey-Algorithmus verwendet:

import numpy as np

def fft(x):

    N = len(x)

    if N <= 1: return x

    even = fft(x[0::2])

    odd = fft(x[1::2])

    T = [np.exp(-2j * np.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]

    return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]

Die Funktion verwendet rekursive Aufrufe zur Berechnung der FFT nach dem Cooley-Tukey-Algorithmus, indem sie die Eingabesequenz in eine Sequenz von geraden und ungeraden Indizes aufteilt, bis die Sequenz auf eine trivial verarbeitbare Länge reduziert ist.

Hier ein Beispielaufruf der Funktion für eine Sequenz der Länge vier:

x = [1, 1, 1, 1]

fft_result = fft(x)

print(fft_result)

## Output: [(4+0j), 0j, 0j, 0j]

Diese Ausgabe zeigt das erwartete Ergebnis der FFT für die gegebene Sequenz: \(\{4 + 0j, 0 + 0j, 0 + 0j, 0 + 0j\}\). Dies entspricht der Diskreten Fourier-Transformation der Sequenz \( \{1, 1, 1, 1\} \).

e)

Wie verändert sich die Frequenzdarstellung eines Signals, wenn Nullwerte an das Ende der Sequenz angehängt werden bevor die FFT durchgeführt wird? Erläutere mögliche Gründe für diese Technik.

Lösung:

Einfluss des Anhängens von Nullwerten vor der Durchführung der FFT auf die Frequenzdarstellung eines Signals:

Das Anhängen von Nullwerten an das Ende einer Sequenz, bevor die Fast Fourier Transform (FFT) durchgeführt wird, wird als Zero Padding bezeichnet. Diese Technik hat mehrere Auswirkungen und Anwendungsgründe:

• Erhöhung der Auflösung in der Frequenzdomäne: Durch das Anhängen von Nullwerten an die Sequenz wird die Länge der FFT-Analyse verlängert. Dies führt zu einer engeren Aufteilung des Frequenzspektrums und somit zu einer besseren Frequenzauflösung. Mathematisch gesehen, wenn die ursprüngliche Sequenz eine Länge von \(N\) hat und man diese auf \(M\) (wobei \(M = 2^k\) ist) zero-padded, dann führt dies zu einer FFT mit einer feineren Frequenzauflösung.
• Visualisierung von Frequenzkomponenten: Zero Padding kann dabei helfen, die Darstellung von Frequenzkomponenten im Spektrum zu glätten. Es entstehen keine neuen Frequenzkomponenten, sondern die bestehenden Frequenzkomponenten werden genauer und deutlicher dargestellt.
• Vermeidung von Fehlinterpretationen: Das Anhängen von Nullwerten reduziert das Risiko der sogenannten Leakage-Effekte, bei dem die Energie eines Frequenzkomponenten über mehrere Frequenzbinäre hinweg verteilt wird. Dies erleichtert die Identifikation und Analyse spezifischer Frequenzen.
• Interpolation: Zero Padding kann als eine Art Interpolation betrachtet werden, bei der das Frequenzspektrum zusätzliche Punkte erhält. Es handelt sich dabei nicht um eine tatsächliche Zunahme der Informationen, sondern darum, wie diese Informationen effizienter dargestellt werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Anhängen von Nullwerten vor der Durchführung der FFT mehrere Vorteile bietet, insbesondere bei der Frequenzanalyse von Signalen. Diese Vorteile entstehen jedoch durch eine Veränderung der Art und Weise, wie die Frequenzinformationen dargestellt werden, nicht durch eine tatsächliche Änderung des Signals selbst.