Lerninhalte finden
Schule 
Studium 
Ausbildung Features
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets Entdecke
Lerninhalte finden
Features
Entdecke
© StudySmarter 2024, all rights reserved.
Historische Entwicklung und Meilensteine der Robotiktechnologie als Bestandteil der Informatik.
Beschreibe detailliert die Entwicklung und die Bedeutung des Industrieroboters Unimate in den 1950er Jahren. Erläutere, welche technischen Herausforderungen überwunden werden mussten und welche Auswirkungen diese technologische Errungenschaft auf die Industrie hatte.
Lösung:
Entwicklung und Bedeutung des Industrieroboters Unimate in den 1950er Jahren
Erkläre die Fortschritte in der Robotik, die in den 1990er Jahren durch Fortschritte in der Künstlichen Intelligenz (KI) und Sensorik erreicht wurden. Nimm Bezug auf ein spezifisches Beispiel wie den ASIMO-Roboter und beschreibe dessen Fähigkeiten und Einsatzbereiche, auch unter Berücksichtigung der technischen Details.
Lösung:
Fortschritte in der Robotik in den 1990er Jahren durch Künstliche Intelligenz (KI) und Sensorik
Vorwärts- und Rückwärtskinematik von RoboternDie Vorwärtskinematik eines Roboters beschäftigt sich mit der Berechnung der Position und Orientierung des Endeffektors basierend auf den gegebenen Gelenkwinkeln. Hingegen dreht sich die Rückwärtskinematik um die Bestimmung der notwendigen Gelenkwinkel, um eine gewünschte Endeffektor-Position und Orientierung zu erreichen. Mathematisch lassen sich diese Aufgaben durch Matrizenoperationen beschreiben. Die Jacobi-Matrix spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Geschwindigkeiten und für iterative Lösungsverfahren wie das Newton-Raphson-Verfahren, welches oft zur Lösung der Rückwärtskinematik eingesetzt wird.
1. Sei ein Roboterarm mit zwei Rotationsgelenken gegeben. Das erste Gelenk hat den Winkel \( \theta_1 \) und das zweite Gelenk den Winkel \( \theta_2 \). Die Längen der Glieder betragen \( l_1 \) und \( l_2 \). Leite die Vorwärtskinematik dieses Roboters her und bestimme die Position des Endeffektors \( (x, y) \) in Abhängigkeit von den Gelenkwinkeln. Hinweise:
Lösung:
Vorwärtskinematik eines Roboterarms mit zwei RotationsgelenkenUm die Position des Endeffektors \(x, y\) in Abhängigkeit von den Gelenkwinkeln \(\theta_1\) und \(\theta_2\) zu bestimmen, nutzen wir die homogene Transformationsmatrix. Die Schritte umfassen die Herleitung der Rotations- und Translationsmatrizen für jedes Gelenk und deren anschließende Kombination.Hier ist die detaillierte Herleitung:
Finde einen Job 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen \(\mathbf{T_1} = \begin{bmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 & 0 & l_1 \cos \theta_1 \ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 & l_1 \sin \theta_1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)\(\mathbf{T_2} = \begin{bmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 & 0 & l_2 \cos \theta_2 \ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 & 0 & l_2 \sin \theta_2 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)\( \mathbf{T} = \mathbf{T_1} \cdot \mathbf{T_2} \)\( \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) & 0 & l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) & 0 & l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)\( x = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \ y = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)
\( x = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \ y = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)
2. Betrachte einen Roboterarm mit den gleichen Parametern wie in der vorigen Aufgabe. Angenommen, der Endeffektor hat die Zielposition \( (x_d, y_d) \). Formuliere die Rückwärtskinematik, um die Gelenkwinkel \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) zu berechnen, die zu dieser Position führen. Hinweise:
Lösung:
Rückwärtskinematik eines Roboterarms mit zwei RotationsgelenkenUm die Gelenkwinkel \(\theta_1\) und \(\theta_2\) zu berechnen, die den Endeffektor zur Zielposition \((x_d, y_d)\) führen, nutzen wir trigonometrische Methoden. Dabei gilt es zu beachten, dass es mehrere Lösungen geben kann.Hier ist die detaillierte Herleitung:
\( x = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \) \( y = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)
\( r = \sqrt{x_d^2 + y_d^2} \)Der Kosinussatz für das Dreieck gebildet durch \(l_1\), \(l_2\) und \(r\) lautet:\( r^2 = l_1^2 + l_2^2 - 2 l_1 l_2 \cos \theta_2 \)Umgestellt nach \(\theta_2\) ergibt sich:
\( \theta_2 = \cos^{-1} \left(\frac{r^2 - l_1^2 - l_2^2}{-2 l_1 l_2}\right) = \cos^{-1} \left(\frac{l_1^2 + l_2^2 - r^2}{2 l_1 l_2}\right) \)\( \alpha = \tan^{-1} \left(\frac{y_d}{x_d}\right) \)Der Winkel \(\beta\), der zwischen \(l_1\) und \(r\) liegt, kann mit Hilfe des Sinussatzes ermittelt werden:\( \beta = \sin^{-1} \left(\frac{l_2 \sin \theta_2}{r}\right) \)Folglich ist der Winkel \(\theta_1\) die Differenz zwischen \(\alpha\) und \(\beta\):\( \theta_1 = \alpha - \beta = \tan^{-1} \left(\frac{y_d}{x_d}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{l_2 \sin \theta_2}{r}\right) \)\( \theta_2 = \cos^{-1} \left(\frac{l_1^2 + l_2^2 - r^2}{2 l_1 l_2}\right) \)\( \theta_1 = \tan^{-1} \left(\frac{y_d}{x_d}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{l_2 \sin \theta_2}{r}\right) \)3. Für den gleichen Roboterarm wie oben: Bestimme die Jacobi-Matrix \( \mathbf{J} \), die die Beziehung zwischen den Gelenkwinkelgeschwindigkeiten \( \dot{\theta_1} \) und \( \dot{\theta_2} \) sowie den Geschwindigkeiten des Endeffektors \( \dot{x} \) und \( \dot{y} \) beschreibt. Hinweise:
Lösung:
Bestimmung der Jacobi-Matrix für einen Roboterarm mit zwei RotationsgelenkenUm die Jacobi-Matrix \(\mathbf{J}\) zu bestimmen, die die Beziehung zwischen den Gelenkwinkelgeschwindigkeiten \(\dot{\theta_1}\) und \(\dot{\theta_2}\) sowie den Geschwindigkeiten des Endeffektors \(\dot{x}\) und \(\dot{y}\) beschreibt, müssen wir die partiellen Ableitungen von \(x\) und \(y\) bezüglich \(\theta_1\) und \(\theta_2\) herleiten.Die Herleitung erfolgt wie folgt:
\( x = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \) \( y = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)
\( \frac{\partial x}{\partial \theta_1} = -l_1 \sin \theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)\( \frac{\partial x}{\partial \theta_2} = -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \)\( \frac{\partial y}{\partial \theta_1} = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \)\( \frac{\partial y}{\partial \theta_2} = l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \)\( \mathbf{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} \ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -l_1 \sin \theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \ l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{bmatrix} \)\( \begin{bmatrix} \dot{x} \ \dot{y} \end{bmatrix} = \mathbf{J} \begin{bmatrix} \dot{\theta_1} \ \dot{\theta_2} \end{bmatrix} \)\( \mathbf{J} = \begin{bmatrix} -l_1 \sin \theta_1 - l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \ l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{bmatrix} \)Sie beschreibt die Beziehung zwischen den Gelenkwinkelgeschwindigkeiten \(\dot{\theta_1}\), \(\dot{\theta_2}\) und den Geschwindigkeiten des Endeffektors \(\dot{x}\), \(\dot{y}\).4. Implementiere das Newton-Raphson-Verfahren, um die Rückwärtskinematik des Roboterarms zu lösen. Starte mit einer initialen Schätzung der Gelenkwinkel. Stelle sicher, dass Deine Implementierung sowohl die Position \( (x_d, y_d) \) als auch die Geschwindigkeiten durch das iterative Verfahren erreicht.
def newton_raphson(theta_initial, target_position, max_iterations=100, tolerance=1e-6): # Deine Implementierung hier pass
Lösung:
Implementierung des Newton-Raphson-Verfahrens zur Lösung der RückwärtskinematikDas Newton-Raphson-Verfahren kann verwendet werden, um iterativ die Gelenkwinkel \(\theta_1\) und \(\theta_2\) zu berechnen, die den Endeffektor zur gewünschten Position \((x_d, y_d)\) bewegen. Hier ist eine mögliche Implementierung dieses Verfahrens:Wir beginnen mit einer initialen Schätzung der Gelenkwinkel und verbessern diese iterativ, bis die geschätzte Position nahe genug an der Zielposition liegt.Hier ist die Implementierung im Python-Code:
def forward_kinematics(theta, l1, l2): theta1, theta2 = theta x = l1 * np.cos(theta1) + l2 * np.cos(theta1 + theta2) y = l1 * np.sin(theta1) + l2 * np.sin(theta1 + theta2) return np.array([x, y])def jacobian(theta, l1, l2): theta1, theta2 = theta j11 = -l1 * np.sin(theta1) - l2 * np.sin(theta1 + theta2) j12 = -l2 * np.sin(theta1 + theta2) j21 = l1 * np.cos(theta1) + l2 * np.cos(theta1 + theta2) j22 = l2 * np.cos(theta1 + theta2) return np.array([[j11, j12], [j21, j22]])def newton_raphson(theta_initial, target_position, l1, l2, max_iterations=100, tolerance=1e-6): theta = np.array(theta_initial, dtype=np.float64) target_position = np.array(target_position, dtype=np.float64) for _ in range(max_iterations): # Berechne die aktuelle Position des Endeffektors current_position = forward_kinematics(theta, l1, l2) # Berechne den Fehler (Differenz zur Zielposition) error = target_position - current_position if np.linalg.norm(error) < tolerance: break # Berechne die Jacobi-Matrix für die aktuellen Winkel J = jacobian(theta, l1, l2) # Aktualisiere die Winkel anhand des Newton-Raphson-Verfahrens delta_theta = np.linalg.solve(J, error) theta += delta_theta return theta
forward_kinematics: Berechnet die Position des Endeffektors basierend auf den gegebenen Gelenkwinkeln \(\theta_1\) und \(\theta_2\) sowie den Längen der Glieder \(l1\) und \(l2\).jacobian: Berechnet die Jacobi-Matrix basierend auf den gegebenen Gelenkwinkeln.newton_raphson: Führt das Newton-Raphson-Verfahren durch, um iterativ die Gelenkwinkel zu berechnen, die den Endeffektor zu der gewünschten Position \((x_d, y_d)\) bringen. Die Funktion verwendet die vorgegebenen Parameter max_iterations (maximale Iterationsanzahl) und tolerance (Fehlertoleranz).
Gegeben die Transformationsmatrizen der Gelenke 1 bis 5, berechne die Gesamttransformationsmatrix von der Basis des Roboterarms zur Endeffektorposition. Nutze hierfür die resultierenden homogenen Transformationsmatrizen und multipliziere diese sequentiell.
Lösung:
Berechnung der Gesamttransformationsmatrix von der Basis des Roboterarms bis zur EndeffektorpositionUm die Gesamttransformationsmatrix von der Basis des Roboterarms zur Endeffektorposition zu berechnen, müssen die homogenen Transformationsmatrizen der einzelnen Gelenke sequentiell multipliziert werden.Die Denavit-Hartenberg-Parameter (DH-Parameter) sind wie folgt gegeben:
\[ T_1 = \begin{bmatrix} \cos 45^\text{\degree} & -\sin 45^\text{\degree} \cos 90^\text{\degree} & \sin 45^\text{\degree} \sin 90^\text{\degree} & a_1 \cos 45^\text{\degree} \ \sin 45^\text{\degree} & \cos 45^\text{\degree} \cos 90^\text{\degree} & -\cos 45^\text{\degree} \sin 90^\text{\degree} & a_1 \sin 45^\text{\degree} \ 0 & \sin 90^\text{\degree} & \cos 90^\text{\degree} & d_1 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 3.54 \ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 3.54 \ 0 & 1 & 0 & 10 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_2 = \begin{bmatrix} \cos 90^\text{\degree} & -\sin 90^\text{\degree} \cos 0^\text{\degree} & \sin 90^\text{\degree} \sin 0^\text{\degree} & a_2 \cos 90^\text{\degree} \ \sin 90^\text{\degree} & \cos 90^\text{\degree} \cos 0^\text{\degree} & -\cos 90^\text{\degree} \sin 0^\text{\degree} & a_2 \sin 90^\text{\degree} \ 0 & \sin 0^\text{\degree} & \cos 0^\text{\degree} & d_2 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 25 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_3 = \begin{bmatrix} \cos 30^\text{\degree} & -\sin 30^\text{\degree} \cos (-90^\text{\degree}) & \sin 30^\text{\degree} \sin (-90^\text{\degree}) & a_3 \cos 30^\text{\degree} \ \sin 30^\text{\degree} & \cos 30^\text{\degree} \cos (-90^\text{\degree}) & -\cos 30^\text{\degree} \sin (-90^\text{\degree}) & a_3 \sin 30^\text{\degree} \ 0 & \sin (-90^\text{\degree}) & \cos (-90^\text{\degree}) & d_3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_3 = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 12.99 \ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 7.5 \ 0 & -1 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_4 = \begin{bmatrix} \cos 90^\text{\degree} & -\sin 90^\text{\degree} \cos 90^\text{\degree} & \sin 90^\text{\degree} \sin 90^\text{\degree} & a_4 \cos 90^\text{\degree} \ \sin 90^\text{\degree} & \cos 90^\text{\degree} \cos 90^\text{\degree} & -\cos 90^\text{\degree} \sin 90^\text{\degree} & a_4 \sin 90^\text{\degree} \ 0 & \sin 90^\text{\degree} & \cos 90^\text{\degree} & d_4 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_4 = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 10 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_5 = \begin{bmatrix} \cos 75^\text{\degree} & -\sin 75^\text{\degree} & 0 & 0 \ \sin 75^\text{\degree} & \cos 75^\text{\degree} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T_5 = \begin{bmatrix} 0.26 & -0.97 & 0 & 0 \ 0.97 & 0.26 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]\[ T = T_1 \cdot T_2 \cdot T_3 \cdot T_4 \cdot T_5 \]\[ T_{12} = T_1 \cdot T_2 \]\[ T_{123} = T_{12} \cdot T_3 \]\[ T_{1234} = T_{123} \cdot T_4 \]\[ T_{12345} = T_{1234} \cdot T_5 \]
Mit unserer kostenlosen Lernplattform erhältst du Zugang zu Millionen von Dokumenten, Karteikarten und Unterlagen.
Kostenloses Konto erstellenDu hast bereits ein Konto? Anmelden