Handhabungs- und Montagetechnik - Exam

Aufgabe 1)

Angenommen, Du arbeitest an der Kinematik und Dynamik eines 6-achsigen Roboters in einer Fertigungslinie. Der Roboter wird verwendet, um präzise Montagearbeiten durchzuführen. Du sollst verschiedene Aspekte der Bewegungs- und Kraftübertragung analysieren und berechnen, um die Effizienz und Genauigkeit des Roboters zu verbessern.

a)

Bestimme die Endeffektor-Position des Roboters, wenn die Gelenkwinkel \theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4, \theta_5 und \theta_6 gegeben sind. Verwende die direkte Kinematik, um diese Position aus den Gelenkwinkeln zu berechnen. Gehe davon aus, dass die Längen der Glieder bekannt sind.

Lösung:

Um die Endeffektor-Position eines 6-achsigen Roboters zu berechnen, verwenden wir die direkte Kinematik. Diese Methode ermöglicht es uns, die Position und Orientierung des Endeffektors aus den gegebenen Gelenkwinkeln \(\theta_1\), \(\theta_2\), \(\theta_3\), \(\theta_4\), \(\theta_5\) und \(\theta_6\) sowie den bekannten Längen der Glieder zu berechnen. Dabei nutzen wir die Denavit-Hartenberg-Parameter (DH-Parameter) zur Modellierung der Transformationen zwischen den Gelenken.

Schritte zur Lösung

• Ermittle die DH-Parameter des Roboters. Diese umfassen Längen, Dreh- und Verschiebungsparameter für jedes Gelenk.
• Erstelle die homogene Transformationsmatrix für jedes Gelenk basierend auf den DH-Parametern.
• Multipliziere die einzelnen Transformationsmatrizen in der richtigen Reihenfolge, um die Gesamt-Transformationsmatrix zu erhalten.
• Extrahiere die Position und Orientierung des Endeffektors aus der Gesamt-Transformationsmatrix.

Denavit-Hartenberg-Parameter (DH-Parameter)

Für ein beliebiges Gelenk \(i\) lauten die Parameter:

• \(a_i\): Abstand entlang der \(x_{i-1}\)-Achse zwischen den Gelenken
• \(\alpha_i\): Winkel um die \(x_{i-1}\)-Achse zwischen den Gelenken
• \(d_i\): Abstand entlang der \(z_i\)-Achse zwischen den Gelenken
• \(\theta_i\): Winkel um die \(z_i\)-Achse zwischen den Gelenken

Homogene Transformationsmatrix

Die homogene Transformationsmatrix für jedes Gelenk \(i\) kann wie folgt definiert werden:

\[ T_i = \begin{bmatrix} \cos \theta_i & -\sin \theta_i \cos \alpha_i & \sin \theta_i \sin \alpha_i & a_i \cos \theta_i \ \sin \theta_i & \cos \theta_i \cos \alpha_i & -\cos \theta_i \sin \alpha_i & a_i \sin \theta_i \ 0 & \sin \alpha_i & \cos \alpha_i & d_i \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Die Gesamt-Transformationsmatrix \(T\) wird durch Multiplikation der einzelnen Transformationsmatrizen berechnet:

\[ T = T_1 \cdot T_2 \cdot T_3 \cdot T_4 \cdot T_5 \cdot T_6 \]

Der obere rechte 3x1-Teil der Matrix \(T\) gibt die Position des Endeffektors an, während der 3x3-Teil die Orientierung beschreibt.

Vorgehen zur Berechnung

Angenommen, die spezifischen Werte der DH-Parameter und Gelenkwinkel sind bekannt:

• Längen: \(a_1, a_2, \dots, a_6\)
• Winkel: \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_6\)
• Verschiebungen: \(d_1, d_2, \dots, d_6\)
• Gelenkwinkel: \(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_6\)

Wir erstellen die Transformationsmatrix für jedes Gelenk und multiplizieren sie dann in der angegebenen Reihenfolge, um die Gesamt-Transformationsmatrix zu erhalten:

\[ T = T_1 \cdot T_2 \cdot T_3 \cdot T_4 \cdot T_5 \cdot T_6 \]

Schließlich extrahieren wir die Position \((P_x, P_y, P_z)\) und die Orientierung des Endeffektors aus der homogenen Transformationsmatrix \(T\):

\[ T = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & P_x \ r_{21} & r_{22} & r_{23} & P_y \ r_{31} & r_{32} & r_{33} & P_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Die Werte \(P_x\), \(P_y\) und \(P_z\) stellen die Koordinaten der Position des Endeffektors dar, und die Elemente \(r_{ij}\) geben die Orientierung an.

b)

Berechne die erforderlichen Gelenkwinkel \theta_1, \theta_2 und \theta_3, um den Endeffektor des Roboters zu einer gewünschten Position (x, y, z) zu bewegen. Verwende die inverse Kinematik und gib die entsprechenden Gleichungen an.

Lösung:

Um die erforderlichen Gelenkwinkel \( \theta_1 \), \( \theta_2 \) und \( \theta_3 \) zu berechnen, damit der Endeffektor des 6-achsigen Roboters eine gewünschte Position \((x, y, z)\) erreicht, verwenden wir die inverse Kinematik. Bei der inversen Kinematik berechnen wir die Gelenkwinkel, die notwendig sind, um den Endeffektor an eine bestimmte Position zu bringen.

Schritte zur Lösung

Wir gehen davon aus, dass der Roboterarm ein kaskadierter Arm ist, bei dem jede Achse eine Rotation um eine der Basis-Achsen erlauben.

• \( \theta_1 \): Drehung um die z-Achse an der Basis.
• \( \theta_2 \): Drehung um die y-Achse des zweiten Gelenks.
• \( \theta_3 \): Drehung um die y-Achse des dritten Gelenks.

Schritt 1: Berechnung von \( \theta_1 \)

Der Winkel \( \theta_1 \) bestimmt die Drehung um die Basisz-Achse, sodass der Arm auf die gewünschte Position in der xy-Ebene zeigt:

\[ \theta_1 = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \]

Schritt 2: Berechnung von \( r \) und \( z' \)

Berechne den Abstand \( r \) von der Basis zur Projektion des Punktes \((x, y, z)\) in die xy-Ebene und die vertikale Projektion \( z' \):

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

\[ z' = z - d_1 \]

Schritt 3: Berechnung von \( \theta_2 \) und \( \theta_3 \)

Um die Gelenkwinkel \( \theta_2 \) und \( \theta_3 \) zu berechnen, verwenden wir den Kosinussatz (Klimalänge des Segments \( r \) und vertikaler Abstand \( z' \):

• Berechne \( \theta_3 \):

\[ \cos \theta_3 = \frac{r^2 + z'^2 - a_2^2 - a_3^2}{2 a_2 a_3} \]

Dann:

\[ \theta_3 = \cos^{-1} \left( \frac{r^2 + z'^2 - a_2^2 - a_3^2}{2 a_2 a_3} \right) \]

Berechne \( \theta_2 \):

Nutze die Werte von \( r \), \( z' \), und den berechneten Winkel \( \theta_3 \):

\[ \theta_2 = \tan^{-1} \left( \frac{z'}{r} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{a_3 \sin(\theta_3)}{a_2 + a_3 \cos(\theta_3)} \right) \]

Dieser Schritt stellt sicher, dass wir den richtigen Winkel \( \theta_2 \) haben, um den gewünschten Punkt zu erreichen.

Zusammenfassung der Gleichungen

Die erforderlichen Gelenkwinkel für eine gewünschte Position \((x, y, z)\) berechnen sich folgendermaßen:

\[ \theta_1 = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \]

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

\[ z' = z - d_1 \]

\[ \theta_3 = \cos^{-1} \left( \frac{r^2 + z'^2 - a_2^2 - a_3^2}{2 a_2 a_3} \right) \]

\[ \theta_2 = \tan^{-1} \left( \frac{z'}{r} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{a_3 \sin(\theta_3)}{a_2 + a_3 \cos(\theta_3)} \right) \]

Mit diesen Winkelwerten können wir den Endeffektor des Roboters an die gewünschte Position \((x, y, z)\) bewegen.

c)

Leite die Jacobi-Matrix für den beschriebenen Roboter ab und erkläre, wie sie verwendet wird, um die Gelenkgeschwindigkeiten in Endeffektor-Geschwindigkeit umzuwandeln. Zeige detailliert, wie die Jacobi-Matrix für die ersten drei Gelenke des Roboters aussieht.

Lösung:

Um die Jacobi-Matrix für den beschriebenen Roboter abzuleiten und zu erklären, wie sie verwendet wird, um die Gelenkgeschwindigkeiten in Endeffektor-Geschwindigkeit umzuwandeln, müssen wir zunächst den Zusammenhang zwischen den Gelenkwinkeln und der Position sowie Orientierung des Endeffektors verstehen. Die Jacobi-Matrix ist ein Werkzeug, das diese Beziehung in Form von Ableitungen ausdrückt.

Schritte zur Ableitung der Jacobi-Matrix

• Bestimme die Position des Endeffektors in Bezug auf die Gelenkwinkel \( \theta_1, \theta_2 \) und \( \theta_3 \).
• Berechne die partiellen Ableitungen dieser Positionen hinsichtlich der Gelenkwinkel, um die Elemente der Jacobi-Matrix zu erhalten.

Jacobi-Matrix Definition

Die Jacobi-Matrix \(\mathbf{J}\) stellt die Beziehung zwischen den Gelenkgeschwindigkeiten \(\mathbf{\theta}^\cdot\) (Vektor der Gelenkgeschwindigkeiten) und der Endeffektor-Geschwindigkeit \(\mathbf{v}_{EE}\) (Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten des Endeffektors) wie folgt dar:

\[ \mathbf{v}_{EE} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{\theta}^\cdot \]

Schritt 1: Bestimme die Positionen der Endeffektor

Die Position des Endeffektors \((x, y, z)\) für die ersten drei Gelenke kann in der homogenen Darstellung geschrieben werden. Es basiert auf der Transformationsmatrix, die wir aus der Vorwärtskinematik kennen:

\[ \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = f(\theta_1, \theta_2, \theta_3) \]

Schritt 2: Berechnung der partiellen Ableitungen für die Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix \(\mathbf{J}\) wird durch die partiellen Ableitungen der Positionen und Orientierungen des Endeffektors hinsichtlich der Gelenkwinkel gebildet. Für die ersten drei Gelenke sieht sie folgendermaßen aus:

\[ \mathbf{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial x}{\partial \theta_2} & \frac{\partial x}{\partial \theta_3} \ \frac{\partial y}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_2} & \frac{\partial y}{\partial \theta_3} \ \frac{\partial z}{\partial \theta_1} & \frac{\partial z}{\partial \theta_2} & \frac{\partial z}{\partial \theta_3} \ \frac{\partial \alpha}{\partial \theta_1} & \frac{\partial \alpha}{\partial \theta_2} & \frac{\partial \alpha}{\partial \theta_3} \ \frac{\partial \beta}{\partial \theta_1} & \frac{\partial \beta}{\partial \theta_2} & \frac{\partial \beta}{\partial \theta_3} \ \frac{\partial \gamma}{\partial \theta_1} & \frac{\partial \gamma}{\partial \theta_2} & \frac{\partial \gamma}{\partial \theta_3} \end{bmatrix} \]

Hierbei stehen \( x, y, z \) für die Position des Endeffektors und \( \alpha, \beta, \gamma \) für die Orientierung des Endeffektors in einer geeigneten Parametrisierung (z.B. Euler-Winkel).

Schritt 3: Berechnung der partiellen Ableitungen

Angenommen, die Position des Endeffektors wird durch eine Funktion \(( x, y, z ) = f( \theta_1, \theta_2, \theta_3 )\) bestimmt, berechnen wir die partiellen Ableitungen:

• \( \frac{\partial x}{\partial \theta_1} \): Dies beschreibt, wie sich die x-Position des Endeffektors in Bezug auf \( \theta_1 \) ändert.
• \( \frac{\partial y}{\partial \theta_1} \): Ähnlich beschreibt dies die Änderung der y-Position in Bezug auf \( \theta_1 \).
• \( \frac{\partial z}{\partial \theta_1} \): Ebenso für die z-Position in Bezug auf \( \theta_1 \).
• Die gleichen Ableitungen werden für \( \theta_2 \) und \( \theta_3 \) berechnet.

Verwendung der Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix wird verwendet, um die Gelenkgeschwindigkeiten \(\mathbf{\theta}^\cdot\) in die Endeffektor-Geschwindigkeit \(\mathbf{v}_{EE}\) umzuwandeln. Dies ist besonders nützlich in der Robotersteuerung und Simulation:

• Ermöglicht die Berechnung der Endeffektor-Geschwindigkeit auf Basis der Gelenkgeschwindigkeiten.
• Verwendet für die inverse Kinematik, um die notwendigen Gelenkgeschwindigkeiten für eine gewünschte Endeffektor-Geschwindigkeit zu berechnen.

Zum Beispiel:

\[ \mathbf{v}_{EE} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{\theta}^\cdot \]

Dies bedeutet, dass wir durch Multiplikation der Jacobi-Matrix mit dem Vektor der Gelenkgeschwindigkeiten die momentane Geschwindigkeit des Endeffektors erhalten.

d)

Verwende die Newton-Euler-Gleichungen, um die Kräfte und Momente an den Gelenken 2 und 3 des Roboters zu berechnen, während er sich entlang einer vorbestimmten Bahn bewegt. Gib einen Energieansatz mit der Lagrange-Methode, um das dynamische Modell des Systems zu vervollständigen und zu erklären.

Lösung:

Um die Kräfte und Momente an den Gelenken 2 und 3 des 6-achsigen Roboters zu berechnen, verwenden wir die Newton-Euler-Gleichungen. Zusätzlich geben wir einen Energieansatz mit der Lagrange-Methode an, um das dynamische Modell des Systems zu vervollständigen.

Newton-Euler-Gleichungen

Die Newton-Euler-Gleichungen werden verwendet, um die Kräfte und Momente in einem Mehrkörpersystem wie einem Roboterarm zu berechnen. Diese Gleichungen bestehen aus den Gleichungen der Bewegung für Translation und Rotation.

Schritte zur Berechnung

1. Bestimmung der kinematischen Größen (Geschwindigkeit und Beschleunigung) für jedes Gelenk.
2. Anwendung der Newton-Euler-Gleichungen für jedes Segment des Roboters.
3. Berechnung der Kräfte und Momente an den Gelenken.

Kinematische Größen

Zunächst müssen wir die Kinematik der Gelenke 2 und 3 bestimmen:

\[ \mathbf{v}_i \equiv \text{Lineargeschwindigkeit des Gelenks i} \]

\[ \mathbf{\omega}_i \equiv \text{Rotationsgeschwindigkeit des Gelenks i} \]

\[ \mathbf{a}_i \equiv \text{Linearbeschleunigung des Gelenks i} \]

\[ \mathbf{\alpha}_i \equiv \text{Rotationsbeschleunigung des Gelenks i} \]

Newton-Euler-Gleichungen für Translation

\[ \mathbf{F}_i = m_i \mathbf{a}_i \]

Hierbei ist \( m_i \) die Masse des Segments i und \( \mathbf{F}_i \) die resultierende Kraft auf das Segment i.

Newton-Euler-Gleichungen für Rotation

\[ \mathbf{N}_i = \mathbf{I}_i \mathbf{\alpha}_i + \mathbf{\omega}_i \times (\mathbf{I}_i \mathbf{\omega}_i) \]

Hierbei ist \( \mathbf{I}_i \) das Trägheitsmoment des Segments i und \( \mathbf{N}_i \) das resultierende Moment auf das Segment i.

Anwendung auf Gelenk 2 und 3

1. Berechnung der Kräfte und Momente für das Segment zwischen den Gelenken 2 und 3.
2. Berücksichtigung des Einflusses der Beschleunigungen und Corioliskräfte.

Energieansatz mit der Lagrange-Methode

Für ein vollständigeres dynamisches Modell des Systems verwenden wir die Lagrange-Methode. Der Lagrange-Formalismus basiert auf den Prinzipien der Energie:

Die Lagrange-Funktion \( L \) ist definiert als:

\[ L = T - V \]

Hierbei ist \( T \) die kinetische Energie und \( V \) die potenzielle Energie des Systems.

1. Bestimme die kinetische Energie \( T \) der einzelnen Segmente:

\[ T = \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i^2 + \frac{1}{2} \mathbf{\omega}_i^T \mathbf{I}_i \mathbf{\omega}_i \]

2. Bestimme die potenzielle Energie \( V \) der einzelnen Segmente:

\[ V = m_i g h_i \]

Hierbei ist \( g \) die Gravitationskonstante und \( h_i \) die Höhe des Schwerpunkts des Segments i.

3. Bestimme die Lagrange-Gleichungen:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = Q_j \]

Hierbei ist \( q_j \) die j-te verallgemeinerte Koordinate des Systems und \( Q_j \) die j-te verallgemeinerte Kraft.

Zusammenfassung

Durch die Newton-Euler-Gleichungen können wir die Kräfte und Momente an den Gelenken berechnen, während sich der Roboter entlang einer vorbestimmten Bahn bewegt. Durch den Energieansatz mit der Lagrange-Methode können wir das dynamische Modell des Systems vervollständigen und die Beziehungen zwischen den Gelenkkräften, Momenten und den verallgemeinerten Koordinaten bestimmen.

Aufgabe 2)

Steuerung und Programmierung eines Roboters: Angenommen, Du arbeitest an einem Projekt, bei dem ein Roboterarm Aufgaben in einer Lagerhalle automatisieren soll. Der Roboter soll in der Lage sein, vordefinierte Wege zu gehen, Objekte zu greifen und sie an einen anderen Ort zu transportieren.

• Grundlagen: Die Kinematik und Dynamik des Roboters müssen präzise kalkuliert werden, um die Bewegungen durchzuführen. Die Vorwärts- und inverse Kinematik gibt uns die Möglichkeit, Position und Orientierung des Endeffektors des Roboters zu bestimmen.
• Pfadplanung: Algorithmen wie Dijkstra's Algorithmus und A* werden verwendet, um den optimalen Weg zu finden, den der Roboter nehmen soll, um Kollisionen zu vermeiden.
• Steuerungsarten: Es sind verschiedene Steuerungsarten möglich, darunter der offene und der geschlossene Regelkreis, je nachdem ob Feedback in den Steuerungsprozess einfließt.
• Programmierparadigmen: Unterschiedliche Paradigmen können verwendet werden, wie sequenzielle, ereignisgesteuerte und reaktive Programmierung.
• Sprachen: Typischerweise werden Sprachen wie Python und C++ oder Frameworks/Plattformen wie ROS (Robot Operating System) zur Programmierung verwendet.
• Simulation: Vor der Implementierung wird der Roboterarm in Simulationen wie Gazebo und V-Rep getestet.
• Sicherheitsaspekte: Da Maschinen in der Nähe von Menschen arbeiten, sind Sicherheitsnormen und -steuerungen zu berücksichtigen.

a)

Kinematische Berechnung: Berechne die Position und Orientierung des Endeffektors des Roboterarms, wenn die Winkel in den Gelenken wie folgt sind:

• Gelenk 1: 45 Grad
• Gelenk 2: 30 Grad
• Gelenk 3: 60 Grad

Nutze die Vorwärtskinematik, um die exakten Koordinaten des Endeffektors zu bestimmen. Zeige alle Deine Berechnungen und Arbeitsschritte. Angenommen, der Roboterarm hat die folgenden Längen:

• L1 = 2 m
• L2 = 1.5 m
• L3 = 1 m

Lösung:

Kinematische Berechnung

Wir möchten die Position und Orientierung des Endeffektors eines Roboterarms berechnen, wobei die Gelenkwinkel wie folgt gegeben sind:

• Gelenk 1: 45 Grad
• Gelenk 2: 30 Grad
• Gelenk 3: 60 Grad

Die Längen der Armsegmente sind:

• L1 = 2 m
• L2 = 1.5 m
• L3 = 1 m

Wir verwenden die Vorwärtskinematik, um die exakten Koordinaten des Endeffektors zu bestimmen. Hier sind die Arbeitsschritte und Berechnungen:

1. Mathematische Grundlagen

Die Vorwärtskinematik beschreibt die Position und Orientierung des Endeffektors eines Roboterarms basierend auf den Gelenkwinkeln und den Längen der Verbindungsglieder. Wir berechnen die Position des Endeffektors in einem 2D-Raum.

Trigonometrische Identität

Um die Position des Endeffektors zu berechnen, nutzen wir die Cosinus- und Sinus-Werte der Winkel. Die Formel lautet:

• \(X_n = X_{n-1} + L_n \cdot \cos(\theta_n)\)
• \(Y_n = Y_{n-1} + L_n \cdot \sin(\theta_n)\)

2. Transformationen

Wir starten mit den Basis-Rotationen für jeden Gelenkwinkel. Dazu berechnen wir die Position nach jedem Gelenk.

Transformation für Gelenk 1

Die Position des Endeffektors nach Gelenk 1 ist:

• \(X_1 = L_1 \cdot \cos(45^\circ)\)
• \(Y_1 = L_1 \cdot \sin(45^\circ)\)

X_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 0.7071 = 1.4142 \text{ m}  Y_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 0.7071 = 1.4142 \text{ m}

Transformation für Gelenk 2

Die Position des Endeffektors nach Gelenk 2 ist:

• \(X_2 = X_1 + L_2 \cdot \cos(45^\circ + 30^\circ)\)
• \(Y_2 = Y_1 + L_2 \cdot \sin(45^\circ + 30^\circ)\)

X_2 = 1.4142 + 1.5 \cdot \cos(75^\circ) = 1.4142 + 1.5 \cdot 0.2588 = 1.4142 + 0.3882 = 1.8024 \text{ m}  Y_2 = 1.4142 + 1.5 \cdot \sin(75^\circ) = 1.4142 + 1.5 \cdot 0.9659 = 1.4142 + 1.4489 = 2.8631 \text{ m}

Transformation für Gelenk 3

Die Position des Endeffektors nach Gelenk 3 ist:

• \(X_3 = X_2 + L_3 \cdot \cos(45^\circ + 30^\circ + 60^\circ)\)
• \(Y_3 = Y_2 + L_3 \cdot \sin(45^\circ + 30^\circ + 60^\circ)\)

X_3 = 1.8024 + 1 \cdot \cos(135^\circ) = 1.8024 + 1 \cdot (-0.7071) = 1.8024 - 0.7071 = 1.0953 \text{ m}  Y_3 = 2.8631 + 1 \cdot \sin(135^\circ) = 2.8631 + 1 \cdot 0.7071 = 2.8631 + 0.7071 = 3.5702 \text{ m}

3. Endgültige Koordinaten des Endeffektors

Die exakten Koordinaten des Endeffektors des Roboterarms sind somit:

• Endeffektor x-Position: 1.0953 m
• Endeffektor y-Position: 3.5702 m

b)

Pfadplanung: Erkläre, wie Du Dijkstra's Algorithmus oder den A* Algorithmus verwenden würdest, um einen kollisionsfreien Weg in der Lagerhalle zu planen. Skizziere einen beispielhaften Lagerhallenplan und markiere den Start- und Zielpunkt. Beschreibe den Prozess und die Schritte im Detail, die der Algorithmus durchläuft.

Lösung:

Pfadplanung mit Dijkstra's Algorithmus und A* Algorithmus

In dieser Aufgabe möchten wir erklären, wie Du Dijkstra's Algorithmus oder den A* Algorithmus verwenden kannst, um einen kollisionsfreien Weg in einer Lagerhalle zu planen. Wir werden dabei einen beispielhaften Lagerhallenplan skizzieren und den Prozess detailliert beschreiben.

Beispielhafter Lagerhallenplan

Nachfolgend ist eine vereinfachte Skizze einer Lagerhalle dargestellt. Die Zahlen repräsentieren verschiedene Positionen in der Halle, Hindernisse sind mit 'X' markiert.

1  2  3  4  5X  X  6  X  78  9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 20 21 2223 24 25 26 27

• Startpunkt: Position 1
• Zielpunkt: Position 27
• Hindernisse: Positionen 2, 3, 6, und 10

Dijkstra's Algorithmus

Dijkstra's Algorithmus findet den kürzesten Weg in einem gewichteten Graphen ohne negative Kantenlängen. In unserem Fall repräsentiert jede Position einen Knoten und jede Bewegung von einer Position zur benachbarten Position eine Kante mit dem Gewicht 1.

Schritte des Dijkstra's Algorithmus:

• Initialisierung: Setze die Distanz des Startknotens (Position 1) auf 0 und alle anderen Knoten auf unendlich. Markiere alle Knoten als unbesucht. Der Startknoten ist der aktuelle Knoten.
• Besuch des aktuellen Knotens: Überprüfe alle benachbarten, unbesuchten Knoten des aktuellen Knotens. Berechne deren Distanzen vom Startknoten. Ersetze die Distanz, wenn die neu berechnete Distanz kleiner ist.
• Nächster Knoten: Markiere den aktuellen Knoten als besucht. Wähle unter den unbesuchten Knoten jenen mit der kleinsten Distanz als nächsten aktuellen Knoten.
• Wiederholung: Wiederhole den Prozess, bis der Zielknoten besucht wurde oder alle unbesuchten Knoten eine Distanz von unendlich haben (d.h. der Zielknoten ist unerreichbar).
• Rückverfolgung: Beginne beim Zielknoten und verfolge den Weg entsprechend der kleinsten Distanzen zurück zum Startknoten.

A* Algorithmus

Der A* Algorithmus ist eine Erweiterung von Dijkstra's Algorithmus, die eine Heuristik verwendet, um die Suche zu steuern. Die Heuristik fängt die geschätzten Kosten ein, vom aktuellen Knoten zum Zielknoten zu gelangen.

Schritte des A* Algorithmus:

• Initialisierung: Wie bei Dijkstra's Algorithmus, aber zusätzlich wird für jeden Knoten eine geschätzte Distanz zum Zielknoten (Heuristik) berechnet. Wir verwenden hier den Manhattan-Abstand.
• Besuch des aktuellen Knotens: Wie bei Dijkstra's Algorithmus, aber die Entscheidung, welcher Knoten als nächstes besucht wird, basiert auf der Summe der aktuellen Distanz und der Heuristik (f = g + h).
• Nächster Knoten: Markiere den aktuellen Knoten als besucht. Wähle den unbesuchten Knoten mit dem kleinsten Wert von f.
• Wiederholung: Wiederhole den Prozess, bis der Zielknoten besucht wurde oder der beste Knoten in der offenen Menge eine Distanz von unendlich hat.

Visualisierung der Schritte

Hier ist eine einfache Visualisierung der Schritte, die der Algorithmus durchläuft:

• 1. Startpunkt: Position 1 hat die initiale Distanz 0.

1(S)  2(X)  3(X)  4  5X (X)  6(X)  X (X)  78      9  10(X)  11  1213   14  15   16   1718   19  20   21   2223   24  25  26 27(E)

2. Bewegungen: Von Position 1 zu Position 8 zu Position 9 und so weiter, während Kollisionen mit Hindernissen vermieden werden.

Positions mit optimalen Pfad markiert: 1 -> 8 -> 9 -> 14 -> 15 -> 16 -> 21 -> 26 -> 27

Schlussfolgerung

Durch die Anwendung von Dijkstra's Algorithmus oder dem A* Algorithmus kann der Roboterarm einen kollisionsfreien und optimalen Weg in der Lagerhalle finden. Beide Algorithmen bieten zuverlässige Methoden zur Pfadplanung und können je nach Anforderungen und Umgebung angewendet werden.

c)

Implementierung und Sicherheit: Angenommen, Du verwendest ROS und Python zur Programmierung des Roboters. Schreibe ein einfaches ROS-Skript in Python, das den Roboterarm zu einer bestimmten Position bewegt. Beschreibe zudem, welche Sicherheitsmaßnahmen und Normen beachtet werden müssen, wenn der Roboterarm in der Nähe von menschlichen Arbeitskräften eingesetzt wird.

Lösung:

Implementierung und Sicherheit

ROS-Skript in Python

Angenommen, wir verwenden ROS (Robot Operating System) und Python, um den Roboterarm zu einer bestimmten Position zu bewegen, können wir ein einfaches ROS-Skript erstellen. Wir gehen davon aus, dass der Roboterarm MoveIt! zur Bewegungsplanung verwendet.

Hier ist ein Beispielskript:

#!/usr/bin/env python3import rospyfrom moveit_commander import MoveGroupCommander, RobotCommander, PlanningSceneInterfacefrom geometry_msgs.msg import Pose# Initialisiere die ROS-Knotenrospy.init_node('move_robot_arm', anonymous=True)# Initialisieren von RobotCommander, PlanningSceneInterface und MoveGroupCommanderrobot = RobotCommander()scene = PlanningSceneInterface()group = MoveGroupCommander('arm_group')# Zielpose definierengoal_pose = Pose()goal_pose.orientation.w = 1.0 goal_pose.position.x = 0.4 # Beispielwerte für xgoal_pose.position.y = 0.1 # Beispielwerte für ygoal_pose.position.z = 0.4 # Beispielwerte für zgroup.set_pose_target(goal_pose)# Plane und bewege den Roboterarmgroup.go(wait=True)# Sicherstellen, dass keine Restbewegungen vorhanden sindgroup.stop()group.clear_pose_targets()# Skript sicher beendenrospy.signal_shutdown('Bewegung abgeschlossen')

Sicherheitsmaßnahmen und Normen

Bei der Implementierung von Robotern in Umgebungen, in denen Menschen in der Nähe arbeiten, müssen verschiedene Sicherheitsmaßnahmen und Normen berücksichtigt werden. Hier sind einige wichtige Punkte:

• Sicherheitsnormen: - ISO 10218: Internationale Normen für die Sicherheit von Industrierobotern. - ISO/TS 15066: Spezifikationen für kollaborative Roboter.
• Physische Sicherheitsmaßnahmen: - Einrichten von Schutzvorrichtungen wie Zäunen oder Lichtschranken. - Einsatz von Sicherheitssensoren, die den Roboterarm stoppen, wenn sich eine Person nähert. - Installieren von Not-Aus-Schaltern in der Nähe des Roboters.
• Softwarebasierte Sicherheitsmaßnahmen: - Implementierung von Erkennungsmechanismen für Hindernisse, um Kollisionen zu vermeiden. - Verwendung von weichen Endanschlägen, um Bewegungen zu begrenzen. - Regelmäßige Überprüfung und Aktualisierung der Software zur Behebung von Sicherheitslücken.
• Mensch-Roboter-Kollaboration: - Sicherstellen, dass der Roboterarme nur mit reduzierter Geschwindigkeit und Kraft betrieben wird, wenn Menschen in der Nähe sind. - Schulung des Personals im sicheren Umgang mit Roboterarmen. - Informationskennzeichnungen und Warnhinweise in der Umgebung anbringen.

Diese Sicherheitsmaßnahmen und Normen helfen dabei, eine sichere Arbeitsumgebung sowohl für Maschinen als auch für menschliche Arbeitskräfte zu gewährleisten.

Aufgabe 3)

Füge- und VerbindungstechnikenIn der Montagetechnik sind verschiedene Methoden zur sicheren und dauerhaften Verbindung von Bauteilen erforderlich. Diese Methoden umfassen mechanische Verbindungen wie Schrauben und Nieten, Klebverbindungen, Schweißverbindungen, Lötverbindungen und thermische Verbindungen. In dieser Aufgabe betrachten wir insbesondere Schraubverbindungen. Angenommen, du musst zwei Stahlplatten mit einer Schraubverbindung zusammenfügen. Es wird eine Schraube der Festigkeitsklasse 8.8 verwendet, die maximalen Kräfte betragen 5 kN.

• Mechanische Verbindung: Schrauben, Nieten, Klemmen
• Klebverbindung: Einsatz von Klebstoffen
• Schweißverbindung: Verschmelzen der Materialien
• Lötverbindung: Weich- und Hartlöten
• Thermische Verbindung: Heizelement-, Heißluft-, Ultraschallschweißen
• Modulverbindung: Steckverbindungen, Schnellverbindungssysteme

a)

Berechne die erforderliche Vorspannkraft einer Schraube der Festigkeitsklasse 8.8, die eine maximale axiale Belastung von 5 kN aufnimmt. Die Schraube hat einen Nenndurchmesser von 10 mm. Beachte, dass die Streckgrenze der Schraube bei 640 N/mm² liegt.

Lösung:

Berechnung der erforderlichen Vorspannkraft einer Schraube

Gegeben:

• Schraube der Festigkeitsklasse 8.8
• Maximale axiale Belastung: 5 kN
• Schraubendurchmesser: 10 mm
• Streckgrenze: 640 N/mm²

Schrittweise Lösung:

1. Berechne den Kernquerschnitt der Schraube:Der Kerndurchmesser für eine M10-Schraube kann typischerweise als 8,157 mm angenommen werden.Formel:

   \[A_s = \frac{\pi}{4} \times d_{\text{kern}}^2\]

   Setze den Wert ein:

   \[A_s = \frac{\pi}{4} \times (8,157 \text{ mm})^2\]

   Berechnung:

   \[A_s \approx 52,19 \text{ mm}^2\]

2. Berechne die erforderliche Vorspannkraft:Die Vorspannkraft (\(F_v\)) wird als Bruchteil der Streckgrenze (\(R_e\)) multipliziert mit dem Kernquerschnitt (\(A_s\)) berechnet. Für Schrauben der Festigkeitsklasse 8.8 wird typischerweise ein Faktor von 0,7 verwendet:Formel:

   \[F_v = 0,7 \times A_s \times R_e\]

   Setze die Werte ein:

   \[F_v = 0,7 \times 52,19 \text{ mm}^2 \times 640 \text{ N/mm}^2\]

   Berechnung:

   \[F_v = 0,7 \times 52,19 \times 640\]

   \[F_v \approx 23.409,44 \text{ N}\]

   \[F_v \approx 23,41 \text{ kN}\]

3. Vergleiche die Vorspannkraft mit der maximalen Belastung:Die Vorspannkraft von ca. 23,41 kN übertrifft die maximale axiale Belastung von 5 kN deutlich, wodurch eine sichere Verbindung gewährleistet ist.

Fazit:

Um die maximale axiale Belastung von 5 kN aufzunehmen, muss die Schraube eine Vorspannkraft von etwa 23,41 kN erreichen.

b)

Mit der ermittelten Vorspannkraft, überprüfe, ob die Schraube der Festigkeitsklasse 8.8 für die Verbindung geeignet ist, wenn ein Sicherheitsfaktor von 1,4 verwendet wird.

Lösung:

Überprüfung der Eignung der Schraube der Festigkeitsklasse 8.8

Gegeben:

• Ermittelte Vorspannkraft: 23,41 kN
• Maximale axiale Belastung: 5 kN
• Sicherheitsfaktor: 1,4

Schrittweise Lösung:

1. Berechne die erforderliche Vorspannkraft unter Berücksichtigung des Sicherheitsfaktors:Formel:

   \[F_{\text{VS}} = F_{\text{max}} \times \text{Sicherheitsfaktor}\]

   Setze die Werte ein:

   \[F_{\text{VS}} = 5 \text{ kN} \times 1,4\]

   Berechnung:

   \[F_{\text{VS}} = 7 \text{ kN}\]

2. Vergleiche die berechnete erforderliche Vorspannkraft mit der ermittelten Vorspannkraft:Die ermittelte Vorspannkraft beträgt 23,41 kN, und die erforderliche Vorspannkraft unter Berücksichtigung des Sicherheitsfaktors beträgt 7 kN.Da 23,41 kN > 7 kN, erfüllt die Schraube der Festigkeitsklasse 8.8 die Anforderungen und bietet ausreichende Sicherheit für die Verbindung.

Fazit:

Die Schraube der Festigkeitsklasse 8.8 ist für die Verbindung geeignet, nachdem die erforderliche Vorspannkraft unter Berücksichtigung des Sicherheitsfaktors 7 kN beträgt, und die ermittelte Vorspannkraft von 23,41 kN deutlich höher liegt.

c)

Beschreibe zwei alternative Verbindungsverfahren, die für die gleiche Anwendung (Verbindung von zwei Stahlplatten) geeignet sein könnten, und erkläre die jeweiligen Vor- und Nachteile im Vergleich zur Schraubverbindung. Nutze Mechanische Verbindung (z.B. Nieten) und eine Thermische Verbindung, die im Unterricht behandelt wurde.

Lösung:

Alternative Verbindungsverfahren für die Verbindung von zwei Stahlplatten

1. Mechanische Verbindung: Nieten

Beschreibung:Nieten ist ein mechanisches Verfahren, bei dem Metallstifte (Nieten) durch vorgebohrte Löcher in die zu verbindenden Teile eingeführt und durch plastische Verformung befestigt werden.Vorteile:

• Hohe Festigkeit und Zuverlässigkeit.
• Gleichmäßige Lastverteilung über die gesamte Verbindungsfläche.
• Dauerhafte Verbindung, die nicht leicht aufgelöst werden kann.

Nachteile:

• Erfordert genaue Vorarbeit, wie Bohren der Löcher und Setzen der Nieten.
• Schwieriger zu demontieren als Schraubverbindungen.
• Geringere Flexibilität bei Wiederverwendbarkeit im Vergleich zu Schrauben.

2. Thermische Verbindung: Schweißen

Beschreibung:Beim Schweißen werden die zu verbindenden Teile durch Wärme (z.B. Lichtbogen, Gas) an den Verbindungsstellen geschmolzen und miteinander verschmolzen. Es entsteht eine feste und dauerhafte Verbindung.Vorteile:

• Hohe Festigkeit der Verbindung, oft stärker als das ursprüngliche Material.
• Keine zusätzlichen Verbindungselemente wie Schrauben oder Nieten erforderlich.
• Glatte, nahtlose Verbindungen ohne Überlappung.

Nachteile:

• Erfordert spezielle Ausrüstung und Fachkenntnisse.
• Verbindung ist meist nicht lösbar und Reparaturen sind schwierig.
• Wärmeeinfluss kann das Material verändern und Verformungen verursachen.

Vergleich zu Schraubverbindungen:

Schrauben:

• Vorteile: Einfache Montage und Demontage, wiederverwendbar, erfordert keine speziellen Fachkenntnisse.
• Nachteile: Dauerhafte Überwachung und Nachziehen notwendig, Potenzial für Lockerung durch Vibration.

Nieten:

• Vorteile: Hohe Festigkeit und gleichmäßige Lastverteilung.
• Nachteile: Aufwendige Montage, schwieriger rückzubauen.

Schweißen:

• Vorteile: Sehr hohe Festigkeit, keine zusätzlichen Verbindungselemente, nahtlose Verbindungen.
• Nachteile: Unlösbare Verbindung, erfordert spezielle Ausrüstung und Fachkenntnisse, mögliche Materialveränderungen.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du bist verantwortlich für die Steuerung und Regelung eines industriellen Fertigungsprozesses mit einer automatisierten Montagelinie. Um eine hohe Produktqualität und Effizienz zu gewährleisten, planst Du, einen PID-Regler sowie einen SPS einzusetzen. Weiterhin soll der Prozess durch geeignete Sensoren überwacht und durch Aktoren gesteuert werden.

a)

Beschreibe das Funktionsprinzip eines PID-Reglers. Sei dabei besonders darauf bedacht, die mathematische Funktion zu erläutern und alle Variablen zu definieren. Berechne für den gegebene PID-Regler Koeffizienten: \(K_p = 3\), \(K_i = 1\), \(K_d = 0.5\) und einer Fehlerfunktion \( e(t) = 5 \sin(t) \), den Stellwert \(u(t)\) bei \( t = \pi \).

Lösung:

Ein PID-Regler (Proportional-Integral-Derivat-Regler) ist ein Steuerungssystem, das in vielen industriellen Prozessen zur Regelung eingesetzt wird. Er kombiniert drei verschiedene Regelanteile, um den Stellwert zu berechnen:

• Proportionalanteil (P): Dieser Anteil ist direkt proportional zum Fehlerwert. Die Berechnung erfolgt mithilfe des Proportionalitätsfaktors \(K_p\) und dem aktuellen Fehler \(e(t)\).Mathematisch: \( P(t) = K_p \times e(t) \)
• Integralanteil (I): Dieser Anteil berücksichtigt die Summe aller bisherigen Fehler. Die Berechnung erfolgt durch den Integralfaktor \(K_i\) und dem Integral des Fehlers über die Zeit.Mathematisch: \( I(t) = K_i \times \int_0^t e(\tau) d\tau \)
• Derivatanteil (D): Dieser Anteil berücksichtigt die Änderungsrate des Fehlers. Die Berechnung erfolgt durch den Differenzierungsfaktor \(K_d\) und der Ableitung des Fehlers nach der Zeit.Mathematisch: \( D(t) = K_d \times \frac{d}{dt} e(t) \)

Der Gesamtausdruck für den Stellwert \(u(t)\) eines PID-Reglers lautet:

\[ u(t) = K_p \times e(t) + K_i \times \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \times \frac{d}{dt} e(t) \]

Definieren wir die gegebenen Koeffizienten und die Fehlerfunktion:\( K_p = 3 \), \( K_i = 1 \), \( K_d = 0.5 \) und \( e(t) = 5 \sin(t) \).

Berechnen wir nun den Stellwert \( u(t) \) bei \( t = \pi \):

• Fehlerfunktion: \( e(\pi) = 5 \sin(\pi) = 0 \)
• Integral des Fehlers: \[ \int_0^t e(\tau) d\tau = \int_0^{\pi} 5 \sin(\tau) d\tau \]Dieser Ausdruck ergibt nach einer Integration: \[ \int_0^{\pi} 5 \sin(\tau) d\tau = -5 \cos(\tau) \Big|_0^{\pi} = -5(\cos(\pi) - \cos(0)) = -5(-1 - 1) = 10 \]
• Änderungsrate des Fehlers: \ \( \frac{d}{dt} e(t) = \frac{d}{dt} (5 \sin(t)) = 5 \cos(t) \)\( \frac{d}{dt} e(\pi) = 5 \cos(\pi) = 5(-1) = -5 \)

Setzen wir diese Werte in die PID-Formel ein:

\[ u(\pi) = K_p \times e(\pi) + K_i \times \int_0^{\pi} e(\tau) d\tau + K_d \times \frac{d}{dt} e(\pi) \]

\[ u(\pi) = 3 \times 0 + 1 \times 10 + 0.5 \times (-5) \]

\[ u(\pi) = 0 + 10 - 2.5 = 7.5 \]

Der Stellwert \( u(t) \) bei \( t = \pi \) beträgt also 7,5.

b)

Erkläre die Funktion einer SPS und wie sie sich von einem klassischen PC unterscheidet. Gehe dabei auf die spezifischen Anforderungen in der industriellen Automatisierung ein und nenne ein Beispiel, wie eine SPS in Verbindung mit Sensoren und Aktoren für eine Steuerungsaufgabe in der Montagelinie verwendet werden kann.

Lösung:

Eine speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) ist ein spezialisiertes elektronisches Gerät, das für die Automatisierung und Steuerung von Maschinen und industriellen Prozessen verwendet wird. Im Gegensatz zu einem klassischen PC ist eine SPS robust und speziell für den Einsatz in industriellen Umgebungen konzipiert. Hier sind die Hauptunterschiede und Funktionen einer SPS im Vergleich zu einem PC:

• Robustheit und Zuverlässigkeit: SPS sind so ausgelegt, dass sie extremen Umgebungsbedingungen wie Staub, Feuchtigkeit, Vibration und hohen Temperaturen standhalten können. PCs sind hingegen eher für standardisierte Büro- oder Wohnumgebungen gedacht.
• Echtzeitfähigkeit: SPS sind für die Echtzeitsteuerung optimiert und können sofort auf Änderungen in der Eingabe reagieren. PCs sind oft nicht für Echtzeitanforderungen ausgelegt und könnten Verzögerungen verursachen.
• Benutzeroberfläche (UI): SPS werden normalerweise über spezialisierte Programmiersoftware, wie z.B. STEP 7 oder TIA Portal, programmiert. PCs verwenden allgemeinere Betriebssysteme und Softwarepakete.
• Programmierbarkeit: SPS verwenden oft eine spezielle Programmiersprache wie Ladder Logic, Funktionsbausteinsprache (FBD), oder Anweisungsliste (AWL), die speziell für Steuerungsaufgaben entwickelt wurden. PC-Programmierung erfolgt durch High-Level-Sprachen wie Python, C++ oder Java.
• Zuverlässigkeit bei Stromausfällen: SPS verfügen häufig über Mechanismen zum Schutz und zur Wiederherstellung nach Stromausfällen. PCs müssen spezielle Batterien oder unterbrechungsfreie Stromversorgungen (USV) verwenden.

Beispiel einer SPS in einer automatisierten Montagelinie:

Angenommen, wir haben eine Montagelinie, die aus mehreren Förderbändern, Montagestationen und Prüfstationen besteht. Hier ist ein vereinfachtes Beispiel, wie eine SPS zusammen mit Sensoren und Aktoren verwendet wird, um eine Steuerungsaufgabe zu erfüllen:

• Sensoren: Es gibt verschiedene Arten von Sensoren entlang der Linie, wie Lichtschranken, Näherungssensoren, Temperatur- und Drucksensoren. Diese Sensoren erfassen Daten über den Status der Teile auf der Linie, z.B. ob ein Teil an der richtigen Position ist oder ob die Temperatur innerhalb des akzeptablen Bereichs liegt.
• Aktoren: Aktoren wie Motoren, Ventile und Hydraulikzylinder werden verwendet, um physische Aktionen basierend auf den Befehlen der SPS auszuführen, z.B. ein Förderband anhalten, ein Teil in die richtige Position bewegen oder ein Werkstück spannen.
• Steuerungsaufgabe: Eine SPS überwacht kontinuierlich die Signale von den Sensoren. Angenommen, ein Näherungssensor erkennt, dass ein Teil zu einer Montagestation transportiert wurde. Die SPS berechnet dann, wann genau das Förderband angehalten werden muss, um das Teil genau an der Montagestation zu platzieren. Ein genau platzierter Bestandteil wird dann durch einen Aktor (z.B. ein Hydraulikzylinder) für die Montage eingespannt.
• Fehlermanagement: Wenn ein Sensor ein Problem erkennt, wie z.B. ein fehlendes Teil oder eine Überhitzung, sendet die SPS sofort Signale, um den Betrieb anzuhalten und möglicherweise ein Warnsignal auszulösen, sodass das Problem behoben werden kann, ohne großen Schaden zu verursachen.

Auf diese Weise hilft eine SPS dabei, die Effizienz und Genauigkeit des gesamten Produktionsprozesses zu erhöhen und gleichzeitig eine hohe Produktqualität sicherzustellen.