Hauptseminar Messtechnik - Exam

Aufgabe 1)

Du arbeitest in einem Messtechniklabor und hast den Auftrag, ein experimentelles Messsystem zu analysieren und dessen Messunsicherheit zu beurteilen. Das System misst elektrische Größen, und die Genauigkeit der Messung ist entscheidend für die Qualität der Ergebnisse. Verwende die theoretischen Grundlagen der Messtechnik, um die Aufgaben zu lösen.

a)

Ein Stromsensor hat eine Messunsicherheit gemäß der Formel:

• \( u = \frac{1}{\rho}\frac{dI}{dV} \)

Die Leitfähigkeit \(\rho\) beträgt 5 S/m, und die Steigung der Strom-Spannungs-Kurve \( \frac{dI}{dV} \) beträgt 2 A/V. Berechne die Messunsicherheit des Stroms.

Lösung:

Um die Messunsicherheit des Stroms zu berechnen, verwende die gegebene Formel:

• u = \frac{1}{\rho}\frac{dI}{dV}

Gegeben sind:

• Leitfähigkeit \(\rho = 5 \, \text{S/m}\)
• Steigung der Strom-Spannungs-Kurve \(\frac{dI}{dV} = 2 \, \text{A/V}\)

Setze diese Werte in die Formel ein:

  u = \frac{1}{\rho}\frac{dI}{dV} = \frac{1}{5 \, \text{S/m}} \cdot 2 \, \text{A/V} 

Rechne die Werte aus:

  u = \frac{1}{5} \cdot 2 = 0.4 \, \text{A/V} 

Die Messunsicherheit des Stroms beträgt also 0,4 A/V.

b)

Während einer Messreihe stellst Du fest, dass der gemessene Stromwert systematisch um 5 mA vom tatsächlichen Wert abweicht aufgrund eines falsch kalibrierten Geräts. Diskutiere, welche Schritte Du unternehmen würdest, um diesen systematischen Fehler zu erkennen und zu beheben. Erkläre dabei die Bedeutung der Kalibrierung und wie Du die Kalibrierung des Messgeräts durchführen würdest.

Lösung:

Um den systematischen Fehler von 5 mA zu erkennen und zu beheben, solltest Du folgende Schritte unternehmen:

• Erkennen des systematischen Fehlers:

1. Vergleich mit einem Referenzmessgerät: Vergleiche die Messergebnisse des fehlerhaften Geräts mit einem kalibrierten Referenzmessgerät. Das Referenzgerät sollte korrekt kalibriert und zuverlässig sein. Wenn eine Abweichung von 5 mA festgestellt wird, liegt möglicherweise ein systematischer Fehler vor.
2. Analyse von Messdaten: Untersuche historische Messdaten des Geräts, um festzustellen, ob der Fehler konsistent aufgetreten ist. Ein systematischer Fehler zeigt sich oft als konstante oder regelmäßig auftretende Abweichung.

• Bedeutung der Kalibrierung:

Die Kalibrierung eines Messgeräts ist ein Prozess, bei dem das Gerät mit bekannten Standards verglichen wird, um Korrekturfaktoren zu ermitteln. Diese Faktoren werden verwendet, um Abweichungen und Fehler zu beheben und sicherzustellen, dass das Gerät genaue Messungen liefert.

• Schritte zur Kalibrierung des Messgeräts:

1. Vorbereitung: Stelle sicher, dass alle benötigten Kalibrierungswerkzeuge und Standards verfügbar sind. Das Umfeld sollte stabil und frei von Störfaktoren sein, die die Messung beeinflussen könnten.
2. Durchführung der Kalibrierung:
   • Schritt 1: Schließe das Messgerät an eine bekannte und präzise Stromquelle an, die verschiedene Stromwerte erzeugen kann.
   • Schritt 2: Messe die Stromwerte mit dem Gerät und notiere die Abweichungen vom tatsächlichen Wert. Beachte dabei die festgestellte systematische Abweichung von 5 mA.
   • Schritt 3: Berechne und dokumentiere die Korrekturfaktoren, um die gemessenen Werte an die tatsächlichen Stromwerte anzupassen.
   • Schritt 4: Implementiere die Korrekturfaktoren im Messgerät oder in der Datenverarbeitung, damit die zukünftigen Messungen korrigiert werden.
3. Überprüfung der Kalibrierung: Wiederhole die Messungen mit dem nun kalibrierten Gerät, um sicherzustellen, dass die Abweichung beseitigt wurde. Ein Vergleich mit dem Referenzmessgerät sollte nun keine bedeutenden Unterschiede mehr aufweisen.
4. Dokumentation: Dokumentiere den gesamten Kalibrierungsprozess, die festgestellten Abweichungen, die berechneten Korrekturfaktoren und die Ergebnisse der Überprüfung. Diese Dokumentation ist wichtig für zukünftige Kalibrierungen und Qualitätssicherungsmaßnahmen.

Durch diese Maßnahmen stellst Du sicher, dass das Messgerät genaue und zuverlässige Werte liefert, und die Qualität der Messungen gewährleistet ist.

Aufgabe 2)

Du führst eine Reihe von Experimenten an einem Temperatursensor durch, der die Temperatur in einem Labor misst. Bei der Messung ist es wichtig, sowohl die systematischen als auch die zufälligen Fehler zu berücksichtigen. Der Sensor hat einen Kalibrierfehler von 0.5°C und unterliegt zufälligen Messfehlern, die einer Normalverteilung mit einer Standardabweichung von 0.2°C unterliegen. Deine Messreihe besteht aus den gemessenen Werten: 22.1°C, 22.3°C, 22.2°C, 22.4°C, und 22.3°C.

a)

• Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung der gemessenen Daten.
• Berechne die absolute Unsicherheit unter Berücksichtigung des systematischen Fehlers und der zufälligen Fehler.
• Berechne die relative Unsicherheit des Mittelwerts.
• Gib die endgültige Temperaturmessung mit der dazugehörigen Unsicherheit an und bestimme die Anzahl der signifikanten Stellen.

Lösung:

Berechnung der statistischen Kenngrößen für die Messreihe

1. Mittelwert und Standardabweichung der gemessenen Daten

• Die Messwerte sind: 22.1°C, 22.3°C, 22.2°C, 22.4°C und 22.3°C.
• Mittelwert (\(\bar{x}\)):\(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)\(\bar{x} = \frac{1}{5} (22.1 + 22.3 + 22.2 + 22.4 + 22.3)\)\(\bar{x} = \frac{1}{5} (111.3) = 22.26°C\)
• Standardabweichung (\(\sigma\)):\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\)Berechnung der quadrierten Abweichungen:\((22.1 - 22.26)^2 = 0.0256\)\((22.3 - 22.26)^2 = 0.0016\)\((22.2 - 22.26)^2 = 0.0036\)\((22.4 - 22.26)^2 = 0.0196\)\((22.3 - 22.26)^2 = 0.0016\)Summe der quadrierten Abweichungen: 0.0256 + 0.0016 + 0.0036 + 0.0196 + 0.0016 = 0.052\\(\sigma = \sqrt{\frac{0.052}{4}} = \sqrt{0.013} = 0.114\)

2. Absolute Unsicherheit

• Systematische Unsicherheit: 0.5°C
• Zufällige Unsicherheit: Standardabweichung der gemessenen Werte, 0.2°C
• Gesamtunsicherheit:\(\Delta = \sqrt{\Delta_{\text{systematisch}}^2 + \Delta_{\text{zufällig}}^2}\)\(\Delta = \sqrt{0.5^2 + 0.2^2}\)\(\Delta = \sqrt{0.25 + 0.04} = \sqrt{0.29} = 0.54°C\)

3. Relative Unsicherheit des Mittelwerts

• \(\text{Relative Unsicherheit} = \frac{\text{Absolute Unsicherheit}}{\text{Mittelwert}}\)\(\text{Relative Unsicherheit} = \frac{0.54}{22.26} \approx 0.0243\)
• In Prozent: \(0.0243 \times 100 \approx 2.43\%\)

4. Endgültige Temperaturmessung und Anzahl der signifikanten Stellen

• Endgültige Temperatur: \(22.26 \pm 0.54°C\)
• Anzahl der signifikanten Stellen: Die endgültige Temperatur wird auf 22.3°C gerundet, mit einer Unsicherheit von 0.5°C, entsprechend 3 signifikanten Stellen für den Messwert und 1 signifikanten Stelle für die Unsicherheit.

Aufgabe 3)

Kalibrierung und Justierung von MessgerätenKalibrierung: Vergleich Messgerät mit Referenz. Justierung: Messgerät wird angepasst, um Abweichungen zu minimieren.

• Zweck: Genauigkeit und Zuverlässigkeit sicherstellen
• Kalibrierprotokoll führt Unsicherheitsberechnung durch
• ISO/IEC 17025 Normen beachten
• Messabweichung: \(\Delta = M_x - M_s\)
• Justierung verändert physische/elektronische Parameter
• Regelmäßige Kalibrierintervalle festlegen

a)

Stelle ein detailliertes Kalibrierprotokoll für ein digitales Temperaturmessgerät vor, das mit einer Referenz von \(100 \degree C\) verglichen wird. Beschreibe die einzelnen Schritte inkl. der Durchführung der Unsicherheitsberechnung und zeige beispielhaft die Berechnung der Messabweichung \(\Delta\) für eine Ablesung \(M_x\) von \(99.8 \degree C\). Hinweis: Gehe dabei auch auf die Einhaltung der ISO/IEC 17025 Normen ein.

Lösung:

Kalibrierprotokoll für ein digitales Temperaturmessgerät

• Vorbereitung:
  • Temperaturmessgerät und Referenzthermometer auf notwendige Temperaturen stabilisieren.
  • Sicherstellen, dass alle Geräte gereinigt und in einwandfreiem Zustand sind.
  • Überprüfen, ob alle verwendeten Geräte den Anforderungen der ISO/IEC 17025 Normen entsprechen.
• Kalibrierungsschritte:
  • Referenztemperatur einstellen:
    • Stelle das Referenzthermometer auf 100 °C ein.
  • Messgerät ablesen:
    • Lies das digitale Temperaturmessgerät ab. Beispiel: Ablesung beträgt 99.8 °C (\text{M}_x).
  • Messabweichung berechnen:
    • Berechne die Messabweichung Δ anhand der Formel: \begin{equation} Δ = M_x - M_s \text{, wobei } M_s = 100 °C \text{ und } M_x = 99.8 °C \text{. Daher ist:} Δ = 99.8 °C - 100 °C = -0.2 °C \text{.}
  • Unsicherheitsberechnung:
    • Bestimme die Unsicherheitskomponenten (z. B. Auflösung des Messgeräts, Stabilität der Temperaturquelle, Umgebungsbedingungen).
    • Summiere die Unsicherheitskomponenten quadratisch zur Ermittlung der kombinierten standardmäßigen Unsicherheit: \begin{equation} u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \text{...}}
    • Berechne die erweiterte Unsicherheit (typischerweise 95% Konfidenzniveau), indem du die kombinierte standardmäßige Unsicherheit mit einem passenden Faktoren (meist k = 2) multiplizierst: \begin{equation} U = k * u_c
  • Kalibrierprotokoll erstellen:
    • Dokumentiere alle Messergebnisse, die berechneten Abweichungen (Δ) und die geschätzte Unsicherheit (U).
    • Zusammenfassende Angaben zum Zustand des Messgeräts und Empfehlungen für eine eventuelle Justierung.
  • Einhaltung der ISO/IEC 17025 Normen:
    • Sicherstellen, dass das gesamte Kalibrierverfahren nach ISO/IEC 17025 dokumentiert und durchgeführt wurde.
    • Überprüfen, ob die Labor- und Personalanforderungen der Norm eingehalten werden (z.B. Qualifikation und Schulung des Personals, Überwachungsmaßnahmen für den Messprozess).
    • Archivierung und Aufbewahrung aller relevanten Kalibrierdateien gemäß ISO/IEC 17025.
  • Justierung (optional):
    • Falls die Abweichung Δ die zulässigen Grenzwerte überschreitet, führe eine Justierung des Geräts durch.
    • Wiederhole die Kalibrierung, um sicherzustellen, dass das Messgerät innerhalb der akzeptablen Toleranzen arbeitet.

  b)

  Im Rahmen der Justierung erfolgt die Anpassung eines Temperaturmessgerätes. Angenommen, das Messgerät zeigt systematische Abweichungen, die linear verlaufen (d.h. bei \(50 \degree C\) \(49.5 \degree C\) und bei \(100 \degree C\) \(99 \degree C\)). Beschreibe den zugehörigen Justierungsvorgang und die Anpassungen, die vorgenommen werden müssen, um das Messgerät zu kalibrieren. Berechne die neuen Anzeigen nach der Justierung bei den Punkten \(50 \degree C\) und \(100 \degree C\).

  Lösung:

  Justierungsvorgang eines Temperaturmessgerätes

  • Vorbereitung:
    • Alle notwendigen Geräte vorbereiten und sicherstellen, dass sie den Anforderungen der ISO/IEC 17025 Normen entsprechen.
    • Überprüfen, ob das Messgerät für die Justierung in einem kalibrierten Zustand ist.
  • Einlesen der systematischen Abweichungen:
    • Bei \(50 \text{°C}\) zeigt das Gerät \(49.5 \text{°C}\) an.
    • Bei \(100 \text{°C}\) zeigt das Gerät \(99 \text{°C}\) an.
    • Die Abweichung beträgt linear \(-0.5 \text{°C}\) bei \(50 \text{°C}\) und \(-1 \text{°C}\) bei \(100 \text{°C}\).
  • Berechnung der Justierung:
    • Um die systematische lineare Abweichung zu verbessern, berechne die Konversionsfunktion, um die gemessenen Werte zu korrigieren.
    • Bestimme die lineare Funktion der Abweichungen. Gegeben sind zwei Punkte: (50, -0.5) und (100, -1). Die Steigung (m) der linearen Funktion ist:
    • \(m = \frac{-1 - (-0.5)}{100 - 50} = \frac{-0.5}{50} = -0.01\)
    • Der y-Achsenabschnitt (b) der Funktion ist:
    • \(y = mx + b \rightarrow -0.5 = -0.01 * 50 + b \rightarrow b = -0.5 + 0.5 = 0\)
    • Die Funktion der Abweichung lautet also: \(y = -0.01x\) (systematische Fehlerfunktion).
  • Anpassung der Messwerte:
    • Um die Justierung vorzunehmen, muss das Messgerät kompensiert werden, indem der systematische Fehler hinzugefügt wird.
    • Neue angezeigte Werte bei \(50 \text{°C}\) nach Justierung:
    • \(49.5 + 0.01 * 50 = 49.5 + 0.5 = 50 \text{°C}\)
    • Neue angezeigte Werte bei \(100 \text{°C}\) nach Justierung:
    • \(99 + 0.01 * 100 = 99 + 1 = 100 \text{°C}\)
    • Nach der Anpassung sollten die neuen Messwerte genauer reflektieren.
  • Eintragen der Korrekturen:
    • Dokumentiere die durchgeführten Justierungen im Kalibrierprotokoll.
    • Überprüfe nach der Justierung erneut die Messwerte, um sicherzustellen, dass das Messgerät nun genau misst.
  • Einhaltung der ISO/IEC 17025 Normen:
    • Sicherstellen, dass die Justierung dokumentiert und gemäß den Normen durchgeführt wurde.
    • Alle notwendigen Protokolle und Aufzeichnungen archivieren.

  Aufgabe 4)

  Signalumwandlung und -verarbeitung Du hast ein analoges Signal, das du verarbeiten willst, um nützliche Informationen daraus zu gewinnen. Angenommen, das Signal ist eine Sprachaufnahme, die du für die digitale Analyse in einer Sprachverarbeitungsanwendung vorbereiten musst. Ziehe dabei die folgenden Schritte in Betracht: Analog-Digital-Wandlung (ADC), Filterung und Frequenzanalyse.

  a)

  Analog-Digital-Wandlung: Beschreibe den Vorgang der Analog-Digital-Wandlung (ADC). Welche Rolle spielen die Abtastrate und das Nyquist-Theorem in diesem Prozess? Überlege dir, wie der Quantisierungsfehler das Signal beeinflusst und erläutere dies ausführlich.

  Lösung:

  • Signalumwandlung und -verarbeitungDu hast ein analoges Signal, das du verarbeiten willst, um nützliche Informationen daraus zu gewinnen. Angenommen, das Signal ist eine Sprachaufnahme, die du für die digitale Analyse in einer Sprachverarbeitungsanwendung vorbereiten musst. Ziehe dabei die folgenden Schritte in Betracht: Analog-Digital-Wandlung (ADC), Filterung und Frequenzanalyse.
  • Analog-Digital-Wandlung: Beschreibe den Vorgang der Analog-Digital-Wandlung (ADC). Welche Rolle spielen die Abtastrate und das Nyquist-Theorem in diesem Prozess? Überlege dir, wie der Quantisierungsfehler das Signal beeinflusst und erläutere dies ausführlich.
  Beschreibung der Analog-Digital-Wandlung (ADC) Die Analog-Digital-Wandlung (ADC) ist der Prozess, bei dem ein analoges Signal (kontinuierliches Signal) in ein digitales Signal (diskretes Signal) umgewandelt wird. Dabei durchläuft das Signal mehrere Schritte:
  • Abtastung: Das analoge Signal wird in regelmäßigen Zeitintervallen gemessen. Diese Zeitintervalle werden durch die Abtastrate bestimmt.
  • Quantisierung: Jede gemessene Spannung oder Amplitude des Signals wird in einen diskreten Wert umgewandelt. Diese Werte sind durch die Auflösung des Wandlers begrenzt, welche die Anzahl der möglichen Amplitudenstufen angibt.
  • Kodierung: Die quantisierten Werte werden in ein binäres Format übertragen, das von digitalen Systemen verarbeitet werden kann.
  Abtastrate und das Nyquist-Theorem Die Abtastrate, auch als Samplingrate bezeichnet, bestimmt, wie oft das analoge Signal pro Zeiteinheit abgetastet wird. Sie wird in Hertz (Hz) angegeben, z.B. 44,1 kHz für Audiosignale. Das Nyquist-Theorem gibt vor, dass die Abtastrate mindestens doppelt so hoch sein muss wie die höchste Frequenz des analogen Signals, um dieses korrekt zu rekonstruieren. Formal ausgedrückt:
  • \textit{Abtastrate} \textgreater 2 \times \textit{höchste Frequenz des Signals}
  Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, tritt das Phänomen des Aliasing auf, bei dem höhere Frequenzen als niedrigere Frequenzen erscheinen und das Signal verzerrt wird.Quantisierungsfehler und dessen Einfluss auf das Signal Der Quantisierungsfehler entsteht bei der Umwandlung der gemessenen analogen Spannung in einen diskreten digitalen Wert. Dieser Fehler resultiert aus der Differenz zwischen dem tatsächlichen analogen Wert und dem nächstliegenden digitalen Wert. Die Größe des Quantisierungsfehlers hängt von der Auflösung des ADC ab; eine höhere Auflösung führt zu kleineren Quantisierungsfehlern. Der Quantisierungsfehler kann dem Signal Rauschen hinzufügen, bekannt als Quantisierungsrauschen. Um das Quantisierungsrauschen zu minimieren, wird oft eine dithering-Technik verwendet, die zufälliges Rauschen zum Signal hinzufügt, um die negativen Effekte der Quantisierung zu verschleiern.Zusammengefasst spielen die Abtastrate und das Nyquist-Theorem eine entscheidende Rolle in der ADC, während der Quantisierungsfehler die Qualität des digitalisierten Signals beeinflusst.

b)

Filterung: Nach der Digitalisierung des Sprachsignals möchtest du spezifische Frequenzkomponenten herausfiltern. Erläutere den Unterschied zwischen FIR (Finite Impulse Response) und IIR (Infinite Impulse Response) Filtern. Gib ein Beispiel für ein einfaches FIR- und IIR-Filter mit den entsprechenden Koeffizienten und diskutiere ihre jeweilige Anwendung in der Sprachverarbeitung.

Lösung:

• Signalumwandlung und -verarbeitungDu hast ein analoges Signal, das du verarbeiten willst, um nützliche Informationen daraus zu gewinnen. Angenommen, das Signal ist eine Sprachaufnahme, die du für die digitale Analyse in einer Sprachverarbeitungsanwendung vorbereiten musst. Ziehe dabei die folgenden Schritte in Betracht: Analog-Digital-Wandlung (ADC), Filterung und Frequenzanalyse.
• Filterung: Nach der Digitalisierung des Sprachsignals möchtest du spezifische Frequenzkomponenten herausfiltern. Erläutere den Unterschied zwischen FIR (Finite Impulse Response) und IIR (Infinite Impulse Response) Filtern. Gib ein Beispiel für ein einfaches FIR- und IIR-Filter mit den entsprechenden Koeffizienten und diskutiere ihre jeweilige Anwendung in der Sprachverarbeitung.

Unterschied zwischen FIR und IIR Filtern Digitale Filter sind essenziell für die Signalverarbeitung, um unerwünschte Frequenzen zu unterdrücken oder gewünschte Frequenzen hervorzuheben. Es gibt zwei Haupttypen von digitalen Filtern: FIR (Finite Impulse Response) und IIR (Infinite Impulse Response).

• FIR-Filter: Ein FIR-Filter hat eine endliche Impulsantwort. Das bedeutet, dass das Filter nur für eine endliche Anzahl von Abtastwerten in der Vergangenheit reagiert. Mathematisch beschrieben hat ein FIR-Filter die Form:

   y[n] = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + ... + bN * x[n-N] 

  Hierbei sind \( b0, b1, b2, ..., bN \) die Koeffizienten des Filters und \( x[n] \) die Eingangssignalwerte.
• IIR-Filter: Ein IIR-Filter hat eine unendliche Impulsantwort. Das bedeutet, dass das Filter auf eine infinitesimale Anzahl von Vergangenheitswerten des Eingangssignals und des Ausgangssignals reagiert. Mathematisch beschrieben hat ein IIR-Filter die Form:

   y[n] = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + ... + bM * x[n-M] - a1 * y[n-1] - a2 * y[n-2] - ... - aN * y[n-N] 

  Hierbei sind \( b0, b1, b2, ..., bM \) die Koeffizienten des Filters und \( a1, a2, ..., aN \) die Rückkopplungskoeffizienten.

Beispiele:

• Einfaches FIR-Filter: Ein einfaches FIR-Filter könnte nur drei Koeffizienten haben, z.B. \( b0 = 0.3, b1 = 0.2, b2 = 0.5 \). In diesem Fall ergibt sich die Filtergleichung:

   y[n] = 0.3 * x[n] + 0.2 * x[n-1] + 0.5 * x[n-2] 

• Einfaches IIR-Filter: Ein einfaches IIR-Filter könnte die folgenden Koeffizienten haben: \( b0 = 0.2, b1 = 0.2, a1 = -0.5 \). In diesem Fall ergibt sich die Filtergleichung:

   y[n] = 0.2 * x[n] + 0.2 * x[n-1] - 0.5 * y[n-1] 

Anwendung in der Sprachverarbeitung:

• FIR-Filter: FIR-Filter sind stabil und haben eine lineare Phasenantwort. Das bedeutet, dass sie keine Phasenverzerrungen im Signal einführen, was besonders wichtig für Anwendungen ist, bei denen die Signalform beibehalten werden muss. In der Sprachverarbeitung können sie verwendet werden, um Rauschen zu reduzieren oder bestimmte Frequenzbänder zu betonen.
• IIR-Filter: IIR-Filter können für eine gegebene Spezifikation eine höhere Filterleistung mit einer geringeren Anzahl von Koeffizienten erreichen als FIR-Filter. Sie können für die Unterdrückung von Hintergrundgeräuschen und die Betonung von Sprachkomponenten verwendet werden. Aufgrund ihrer Rückkopplungsstruktur müssen IIR-Filter jedoch sorgfältig gestaltet werden, um Stabilitätsprobleme zu vermeiden.

c)

Frequenzanalyse: Du möchtest die Frequenzkomponenten des Sprachsignals analysieren. Erkläre die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und zeige, wie sie angewendet wird, um in den Frequenzbereich zu transformieren. Berechne die DFT der folgenden diskreten Signalwerte: \( x_n = [1, 2, 3, 4] \). Erläutere auch, wie die FFT (Fast Fourier Transform) verwendet wird, um die Berechnungen zu beschleunigen.

Lösung:

• Signalumwandlung und -verarbeitungDu hast ein analoges Signal, das du verarbeiten willst, um nützliche Informationen daraus zu gewinnen. Angenommen, das Signal ist eine Sprachaufnahme, die du für die digitale Analyse in einer Sprachverarbeitungsanwendung vorbereiten musst. Ziehe dabei die folgenden Schritte in Betracht: Analog-Digital-Wandlung (ADC), Filterung und Frequenzanalyse.
• Frequenzanalyse: Du möchtest die Frequenzkomponenten des Sprachsignals analysieren. Erkläre die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und zeige, wie sie angewendet wird, um in den Frequenzbereich zu transformieren. Berechne die DFT der folgenden diskreten Signalwerte: \( x_n = [1, 2, 3, 4] \). Erläutere auch, wie die FFT (Fast Fourier Transform) verwendet wird, um die Berechnungen zu beschleunigen.

Erklärung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist ein mathematisches Verfahren zur Umwandlung eines diskreten Signals aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich. Sie wird verwendet, um die Frequenzkomponenten eines Signals zu analysieren. Die DFT eines Signals \( x[n] \) mit \( N \) Abtastwerten ist definiert durch:

 X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j(2\pi/N)kn}, \quad k = 0, 1, 2, ..., N-1 

Hierbei ist \( X[k] \) der \( k \)-te Fourier-Koeffizient, der die Amplitude und Phase der \( k \)-ten Frequenzkomponente beschreibt.DFT-Berechnung für das Signal \( x_n = [1, 2, 3, 4] \) Um die DFT des Signals \( x_n = [1, 2, 3, 4] \) zu berechnen, verwenden wir die obige Formel:

• \( N = 4 \)
• \( n = 0, 1, 2, 3 \)
• \( k = 0, 1, 2, 3 \)

Die Berechnung für jeden Wert \( k \) sieht wie folgt aus:

• \( X[0] = 1 \cdot e^{-j(2\pi/4)0\cdot0} + 2 \cdot e^{-j(2\pi/4)0\cdot1} + 3 \cdot e^{-j(2\pi/4)0\cdot2} + 4 \cdot e^{-j(2\pi/4)0\cdot3} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \)
• \( X[1] = 1 \cdot e^{-j(2\pi/4)1\cdot0} + 2 \cdot e^{-j(2\pi/4)1\cdot1} + 3 \cdot e^{-j(2\pi/4)1\cdot2} + 4 \cdot e^{-j(2\pi/4)1\cdot3} = 1 + 2 \cdot e^{-j\pi/2} + 3 \cdot e^{-j\pi} + 4 \cdot e^{-j3\pi/2} = 1 + 2(-j) + 3(-1) + 4j = -2 - j \)
• \( X[2] = 1 \cdot e^{-j(2\pi/4)2\cdot0} + 2 \cdot e^{-j(2\pi/4)2\cdot1} + 3 \cdot e^{-j(2\pi/4)2\cdot2} + 4 \cdot e^{-j(2\pi/4)2\cdot3} = 1 + 2(-1) + 3(1) + 4(-1) = -2 \)
• \( X[3] = 1 \cdot e^{-j(2\pi/4)3\cdot0} + 2 \cdot e^{-j(2\pi/4)3\cdot1} + 3 \cdot e^{-j(2\pi/4)3\cdot2} + 4 \cdot e^{-j(2\pi/4)3\cdot3} = 1 + 2j + 3(-1) + 4(-j) = -2 + j \)

Zusammenfassend erhalten wir:

 X[0] = 10 \ X[1] = -2 - j \ X[2] = -2 \ X[3] = -2 + j 

Erklärung der Fast Fourier Transformation (FFT) Die Fast Fourier Transformation (FFT) ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT. Während die DFT direkte Berechnungen verwendet und \( O(N^2) \) Rechenoperationen benötigt, verwendet die FFT eine Divide-and-Conquer-Strategie, um die Komplexität auf \( O(N \log N) \) zu reduzieren. Dies macht die FFT besonders nützlich für große Datensätze und Echtzeitanwendungen.

• Anwendung der FFT: Die FFT kann unter Verwendung von gängigen Softwarebibliotheken wie NumPy in Python angewendet werden. Zum Beispiel:

   import numpy as np x = np.array([1, 2, 3, 4]) X = np.fft.fft(x) print(X) 

  Hierbei wird die FFT des Signals \( x \) effizient berechnet.