Logik-Basierte Sprachverarbeitung - Exam

Aufgabe 2)

Du hast zwei logische Ausdrücke A und B. Gegeben sei der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).

Nutze Wahrheitstabellen und logische Äquivalenzen, um folgende Aufgaben zu bearbeiten:

a)

Erstelle eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) und führe alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von A und B auf.

Lösung:

Um eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) zu erstellen, musst Du alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von A und B berücksichtigen. Jeder der beiden Variablen A und B kann entweder wahr (W) oder falsch (F) sein, was zu vier möglichen Kombinationen führt.

• 1. Schritt: Liste alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von A und B auf:

• A = wahr, B = wahr
• A = wahr, B = falsch
• A = falsch, B = wahr
• A = falsch, B = falsch

• 2. Schritt: Berechne die Wahrheitswerte der Teilausdrücke für jede Kombination:

• Teilausdruck 1: A ∧ ¬B
• Teilausdruck 2: ¬A ∧ B
• (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

• 3. Schritt: Trage die Wahrheitswerte in die Wahrheitstabelle ein:

Hier ist die vollständige Wahrheitstabelle für den Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B):

b)

Bestimme die logische Äquivalenz von (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) und vereinfache den Ausdruck, falls möglich. Zeige alle notwendigen Schritte der Vereinfachung.

Lösung:

Um die logische Äquivalenz des Ausdrucks (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) zu bestimmen und den Ausdruck zu vereinfachen, müssen wir logische Gesetze und Äquivalenzen anwenden. Lass uns die Schritte im Detail durchgehen:

• Schritt 1: Betrachte den Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B). Dieser Ausdruck kann durch logische Äquivalenzen vereinfacht werden.

• Schritt 2: Identifiziere eine Gestalt des Ausdrucks, die einfacher zu interpretieren ist. Hier erkennen wir, dass der Ausdruck eine Form des XOR (Exklusives Oder) darstellt:

Ein Ausdruck der Form (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ist identisch mit dem Ausdruck A ⊕ B (A XOR B), welcher wahr ist, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

• Schritt 3: Erstelle die Wahrheitstabelle, um die Äquivalenz zu überprüfen:

• Erklärung der Wahrheitstabelle:
• (A ∧ ¬B): Dieser Teilausdruck ist nur wahr, wenn A wahr und B falsch ist.
• (¬A ∧ B): Dieser Teilausdruck ist nur wahr, wenn A falsch und B wahr ist.
• (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B): Dieser Ausdruck ist wahr, wenn einer der beiden Teilausdrücke wahr ist, was passiert, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

• Schlussfolgerung: Der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ist logisch äquivalent zu A ⊕ B (Ausschließendes Oder). Dies ist auch die vereinfachte Form des Ausdrucks.

c)

Beweise mithilfe von Wahrheitstabellen oder logischen Äquivalenzen, ob der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) äquivalent zu A ⊕ B (Exklusives Oder) ist.

Lösung:

Um zu beweisen, dass der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) äquivalent zu A ⊕ B (Exklusives Oder) ist, verwenden wir sowohl Wahrheitstabellen als auch logische Äquivalenzen. Lassen Sie uns mit der Wahrheitstabelle beginnen und dann die logischen Äquivalenzen betrachten.

Beweis durch Wahrheitstabelle

Erstelle eine Wahrheitstabelle für die Ausdrücke (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) und A ⊕ B.

Aus der Wahrheitstabelle können wir erkennen, dass die Spalten für (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) und A ⊕ B für jede Kombination von A und B identische Wahrheitswerte haben. Somit zeigen wir, dass die beiden Ausdrücke äquivalent sind.

Beweis durch logische Äquivalenzen

Schritt 1: Betrachte den Ausdruck

Der gegebene Ausdruck ist (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).

Schritt 2: Verwende die Definition von XOR

Die Definition von XOR (Exklusives Oder) besagt, dass A ⊕ B wahr ist, wenn entweder A wahr und B falsch ist oder A falsch und B wahr ist:

\[A ⊕ B ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)\]

Schlussfolgerung

Sowohl die Wahrheitstabelle als auch die Definition von XOR zeigen, dass (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) äquivalent zu A ⊕ B ist. Somit haben wir bewiesen, dass der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) tatsächlich äquivalent zu A ⊕ B (Exklusives Oder) ist.

d)

Führe eine formale logische Argumentation durch, in der Du die Bedeutung der Domination Regel (z.B., A ∨ True ≡ True) in Bezug auf die Vereinfachung logischer Ausdrücke erläuterst und ein Beispiel anhand des Ausdrucks (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) gibst.

Lösung:

Die Dominanzregel (Domination Rule) ist eine wichtige Regel in der Booleschen Algebra, die sagt, dass bestimmte Kombinationen von Ausdrücken und Konstanten immer zu einem konstanten Ergebnis führen:

• A ∨ Wahr ≡ Wahr: Ein Ausdruck oder wahr ist immer wahr.
• A ∧ Falsch ≡ Falsch: Ein Ausdruck und falsch ist immer falsch.

Diese Regeln helfen dabei, logische Ausdrücke zu vereinfachen, indem sie redundante Teile des Ausdrucks eliminieren. Lass uns die Bedeutung der Dominanzregel anhand des Ausdrucks (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) untersuchen.

Anwendung der Dominanzregel auf den Ausdruck

Der gegebene Ausdruck ist (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B). Wir überprüfen, ob dieser Ausdruck durch die Dominanzregel vereinfacht werden kann.

Schritt 1: Überprüfung der Teilterme

Betrachte die Teilterme des Ausdrucks:

• A ∧ ¬B: A ist wahr und B ist falsch.
• ¬A ∧ B: A ist falsch und B ist wahr.

Diese beiden Teilterme sind gegenseitig exklusiv. Das heißt, einer der Teilterme ist wahr, wenn der andere falsch ist. Folglich ist der gesamte Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) immer wahr, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Schritt 2: Analyse mithilfe der Dominanzregel

Die Dominanzregel besagt, dass A ∨ Wahr ≡ Wahr. Wenn einer der Teilterme zu wahr führt, ist der gesamte Ausdruck wahr. Wir analysieren den Ausdruck erneut unter Berücksichtigung der Dominanzregel:

Der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) kann nicht direkt durch die Dominanzregel vereinfacht werden, da keiner der Teilterme konstant wahr oder konstant falsch ist. Stattdessen können wir den Ausdruck in eine XOR-Form (Ausschließendes Oder) umwandeln:

\[(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ⊕ B\]

In dieser Form ist der Ausdruck äquivalent zu XOR (exklusives Oder), was bedeutet, dass der Ausdruck wahr ist, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Schritt 3: Wahrheitstabelle zur Überprüfung

Erstellen wir eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck, um die Äquivalenz zu überprüfen:

Aus der Wahrheitstabelle sehen wir, dass (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) und A ⊕ B identische Ergebnisse liefern (nämlich, dass der Ausdruck wahr ist, wenn A und B unterschiedliche Wahrheitswerte haben).

Schlussfolgerung

Obwohl wir die Dominanzregel nicht direkt auf den ursprünglichen Ausdruck anwenden konnten, haben wir gezeigt, dass der Ausdruck (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) äquivalent zu A ⊕ B ist. Dies verdeutlicht die Bedeutung und Anwendbarkeit der Dominanzregel bei der Analyse und Vereinfachung logischer Ausdrücke.

Aufgabe 3)

Du bist als Informatikstudent an der Universit�t Erlangen-N�rnberg mit der Aufgabe betraut worden, die G�ltigkeit verschiedener logischer Aussagen zu �berpr�fen und Beweise zu f�hren. Zu Deinem Thema geh�ren Deduktion, Induktion, Syllogismus und Modus Ponens. Nutze Dein Wissen �ber diese Bereiche, um die folgenden Aufgaben zu l�sen.

a)

Betrachte die folgenden Pr�misse:

• Wenn es regnet, wird die Stra�e nass.
• Es regnet.

Nutze den Modus Ponens, um die korrekte Schlussfolgerung zu ziehen. F�hre die Ableitung Schritt f�r Schritt durch und erkl�re die logische Struktur.

Lösung:

Um die Aufgabe Schritt für Schritt zu lösen, nutzen wir den Modus Ponens. Der Modus Ponens ist eine grundlegende Regel in der Aussagenlogik, die wie folgt formuliert wird:

• Wenn P, dann Q.
• P.
• Daraus folgt Q.

Betrachten wir die gegebenen Prämissen:

• Wenn es regnet, wird die Straße nass.
• Es regnet.

In der Form des Modus Ponens bedeutet das:

• P: Es regnet.
• Q: Die Straße wird nass.

Also haben wir:

• Wenn P (es regnet), dann Q (wird die Straße nass).
• P (es regnet).

Daher können wir logisch folgern:

• Q (die Straße wird nass).

Zusammengefasst:

• Prämisse 1: Wenn es regnet (P), wird die Straße nass (Q).
• Prämisse 2: Es regnet (P).
• Schlussfolgerung: Die Straße wird nass (Q).

Dies ist ein klassisches Beispiel für den Modus Ponens, und die logische Struktur ist wie folgt:

1. Identifiziere die Bedingung in der ersten Prämisse (wenn P, dann Q).
2. Überprüfe, ob die zweite Prämisse der Bedingung entspricht (P).
3. Folgere, dass die Konsequenz der Bedingung eintritt (Q).

b)

Angenommen, Du hast die folgenden Beobachtungen gemacht:

• Jeder beobachtete Schwan war wei�.
• Du hast 50 Schw�ne beobachtet.

Fasse eine Schlussfolgerung mittels Induktion. Diskutiere, ob diese Schlussfolgerung wahrscheinlich oder zwingend ist und erkl�re, warum Induktion in diesem Kontext genutzt wird.

Lösung:

Um diese Aufgabe zu lösen, nutzen wir Induktion, eine Methode der logischen Argumentation, bei der allgemeine Gesetze basierend auf einer Vielzahl von Einzelbeobachtungen abgeleitet werden.

Betrachten wir die gegebenen Beobachtungen:

• Jeder beobachtete Schwan war weiß.
• Du hast 50 Schwäne beobachtet.

Hier leiten wir eine allgemeine Schlusserklärung basierend auf den Einzelbeobachtungen ab. Daher kann die Schlussfolgerung lauten:

Alle Schwäne sind weiß.

Diskutieren wir, ob diese Schlussfolgerung wahrscheinlich oder zwingend ist:

• Wahrscheinlich: Die Schlussfolgerung ist wahrscheinlich, weil sie auf einer großen Anzahl von Beobachtungen beruht. Da alle 50 beobachteten Schwäne weiß waren, ist es vernünftig zu vermuten, dass alle Schwäne weiß sind. Jedoch garantiert die Beobachtung von nur 50 Schwänen von unzähligen auf der Welt nicht zwingend, dass es keine andersfarbigen Schwäne gibt.
• Nicht zwingend: Die Schlussfolgerung ist nicht zwingend, weil Induktion keine absolute Sicherheit bietet. Es bleibt die Möglichkeit, dass es irgendwo Schwäne gibt, die eine andere Farbe haben. Ein zwingender Beweis würde erfordern, dass alle Schwäne auf der Welt beobachtet werden, und dass alle weiß sind. In der Wissenschaft gibt es Beispiele, wie den schwarzen Schwan, die eine induktive Schlussfolgerung widerlegen können.

Warum wird Induktion in diesem Kontext genutzt?

Induktion wird hier genutzt, weil es praktisch unmöglich ist, alle Schwäne auf der Welt zu beobachten. Induktion ermöglicht es uns, basierend auf einer großen, aber endlichen Anzahl von Beobachtungen, allgemeine Gesetzmäßigkeiten oder Annahmen zu formulieren. Sie ist ein nützliches Werkzeug, um Hypothesen zu bilden und Wissen zu erweitern, obwohl sie keine absolute Sicherheit bietet, wie es deduktive Schlüsse tun würden.

Zusammenfassend:

• Induktive Schlussfolgerung: Alle Schwäne sind weiß.
• Die Schlussfolgerung ist wahrscheinlich, aber nicht zwingend.
• Induktion wird genutzt, weil die vollständige Beobachtung aller Schwäne praktisch unmöglich ist.

Aufgabe 4)

Du erhältst ein Prolog-Programm, das Informationen über die Familienbeziehungen einer Beispiel-Familie enthält. Das Programm verwendet Fakten und Regeln, um Beziehungen wie Eltern, Großeltern und Geschwister zu definieren. Nutze die gegebene Kontextinformation über Prolog, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

'elter(anna, marie).elter(anna, karl).elter(peter, marie).elter(peter, karl).elter(marie, sophia).elter(hans, sophia).geschwister(X, Y) :- elter(Z, X), elter(Z, Y), X \== Y.grosseltern(X, Z) :- elter(X, Y), elter(Y, Z).' 

a)

1. Füge einen neuen Fakt hinzu:

Erweitere das gegebene Programm um den Fakt, dass 'hannah' das Kind von 'karl' und 'lisa' ist.

Lösung:

Um den geforderten Fakt hinzuzufügen, erweitern wir das gegebenen Prolog-Programm mit den neuen Eltern-Kind-Informationen über 'hannah', 'karl' und 'lisa'. Hier ist das vollständige Programm mit dem neuen Fakt:

'elter(anna, marie).elter(anna, karl).elter(peter, marie).elter(peter, karl).elter(marie, sophia).elter(hans, sophia).elter(karl, hannah).elter(lisa, hannah).geschwister(X, Y) :- elter(Z, X), elter(Z, Y), X \== Y.grosseltern(X, Z) :- elter(X, Y), elter(Y, Z).' 

• Der neue Fakt wurde eingefügt: elter(karl, hannah).
• Der neue Fakt wurde eingefügt: elter(lisa, hannah).

b)

2. Abfrage zur Überprüfung:

Schreibe eine Prolog-Abfrage, um herauszufinden, wer die Großeltern von 'sophia' sind. Notiere alle möglichen Antworten, die Prolog zurückgeben würde.

Lösung:

Um herauszufinden, wer die Großeltern von 'sophia' sind, kannst Du die folgende Prolog-Abfrage verwenden:

grosseltern(X, sophia).

Dies wird Prolog dazu veranlassen, alle Paare von Großeltern zu finden, die in den Fakten und Regeln definiert sind. Hier ist eine detaillierte Überlegung der möglichen Antworten:

• Großeltern von 'sophia' können nur Personen sein, deren Kinder wiederum Eltern von 'sophia' sind.
• In den gegebenen Fakten ist 'sophia' das Kind von 'marie' und 'hans'.
• Die Eltern von 'marie' sind 'anna' und 'peter', daher sind sie die Großeltern von 'sophia'.

Folglich würde die Prolog-Abfrage grosseltern(X, sophia) die folgenden Ergebnisse zurückgeben:

• X = anna
• X = peter

c)

3. Definition einer neuen Regel:

Definiere eine neue Prolog-Regel 'urrection(X, Z)', die für 'wahr' steht, wenn X der Elternteil eines Elternteils von Z ist.

Lösung:

Um eine neue Prolog-Regel urrection(X, Z) zu definieren, die für 'wahr' steht, wenn X der Elternteil eines Elternteils von Z ist, fügen wir die Regel zu dem gegebenen Programm hinzu. Diese Regel bedeutet, dass X ein Großelternteil von Z ist.

'elter(anna, marie).elter(anna, karl).elter(peter, marie).elter(peter, karl).elter(marie, sophia).elter(hans, sophia).geschwister(X, Y) :- elter(Z, X), elter(Z, Y), X \== Y.grosseltern(X, Z) :- elter(X, Y), elter(Y, Z).urrection(X, Z) :- elter(X, Y), elter(Y, Z).' 

• Die neue Regel urrection(X, Z) bedeutet, dass es wahr ist, wenn X ein Elternteil von Y ist und Y ein Elternteil von Z ist.
• Dies ist äquivalent zur Definition eines Großelternteils in den gegebenen Fakten und Regeln.