Logik-basierte Wissensrepräsentation für mathematisch/technisches Wissen - Cheatsheet

Aussagenlogik und Prädikatenlogik

Definition:

Aussagenlogik: Logiksystem zur Untersuchung von Wahrheitswerten von Aussagen, verwendet logische Operatoren. Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik, beinhaltet Quantoren und Prädikate zur Ausdrückung komplexer Aussagen.

Details:

• Aussagenlogik: Variablen repräsentieren Aussagen (true/false)
• Operatoren: ¬ (Nicht), ∧ (Und), ∨ (Oder), → (Implikation), ↔ (Äquivalenz)
• Wahrheitstafeln für logische Verknüpfungen
• Prädikatenlogik: Prädikate (P(x)) + Quantoren (∃, ∀)
• Quantoren: ∀ (für alle), ∃ (es gibt mindestens ein)
• Domänen: Bereich, auf den sich Prädikate beziehen
• Ermöglicht Aussage über Objekte und deren Eigenschaften

Syntax und Semantik von Wissensrepräsentationssprachen

Definition:

Analyse zur strukturellen Beschreibung (Syntax) und Bedeutung (Semantik) von Sprachen, die Wissen in formalen Systemen repräsentieren.

Details:

• Syntax: Regeln zur Bildung von gültigen Ausdrücken.
• Beispiel: Prädikatenlogik - Terme, Formeln, Variablen, Quantoren.
• Semantik: Bedeutung dieser Ausdrücke.
• Beispiel: Interpretation einer Formel als wahr/falsch in einem Modell.
• Äquivalenz von Syntax- und Semantikprüfungen für Konsistenz und Validität.
• Ensuring formale Konsistenz und Interpretierbarkeit in Anwendungsdomänen.

Schlussfolgerungstechniken und Algorithmen

Definition:

Techniken und Algorithmen, die genutzt werden, um aus gegebenem Wissen logische Konsequenzen abzuleiten.

Details:

• wichtige Techniken: Vorwärtsverkettung, Rückwärtsverkettung
• Vorwärtsverkettung: Start bei bekannten Fakten, Anwendung von Regeln um neue Fakten zu finden
• Rückwärtsverkettung: Start bei Ziel, Anwendung von Regeln um Voraussetzungen des Ziels zu bestimmen
• Algorithmus-Beispiele: Resolution (für Prädikatenlogik), SLD-Resolution (für Prolog), DPLL-Algorithmus (für SAT-Solver)
• Komplexität und Effizienz sind oft Hauptprobleme

Automatisierte Beweiser und SAT-Solver

Definition:

Automatisierte Beweiser und SAT-Solver sind Werkzeuge zur automatischen Überprüfung und Findung von Beweisen in logischen und formalen Systemen.

Details:

• Automatisierte Beweiser: Algorithmen, die formale Beweise ohne menschliches Eingreifen erzeugen.
• SAT-Solver: Spezialisierte Algorithmen zur Lösung des Erfüllbarkeitsproblems der Aussagenlogik (\textit{SAT = Satisfiability}).
• Anwendung: Verifikation von Software und Hardware, Beweisfindung in mathematischen Theorien.
• Beispiele: Z3, E-Prover, MiniSAT.
• Wichtig: Effizienz und Skalierbarkeit bei großen Problemgrößen.

Programmierung mit Prolog

Definition:

Logik-Programmierungssprache, die auf Prädikatenlogik basiert. Ideal für Wissensrepräsentation und KI.

Details:

• Syntax: Fakten, Regeln, Abfragen
• Logische Konnektoren: \texttt{:-} (wenn), \texttt{,} (und), \texttt{;} (oder)
• Backtracking zur Problemlösung
• Beispiel für Fakt: \texttt{mensch(sokrates).}
• Beispiel für Regel: \texttt{sterblich(X) :- mensch(X).}
• Beispiel für Abfrage: \texttt{?- sterblich(sokrates).}

Einsatz in der Künstlichen Intelligenz

Definition:

Verwendung von logik-basierter Wissensrepräsentation zur Modellierung und Lösung komplexer Probleme in der KI.

Details:

• Logik-basiert: Wissen durch formale Logik dargestellt.
• Prolog: Häufig genutzte Programmiersprache.
• Ableitung: Schlussfolgerungen durch logische Regeln.
• Wissensbasen: Sammlung formalisierter Fakten und Regeln.
• Anwendung: Expertensysteme, Planung, Diagnose.

Algebraische Strukturen und Logik

Definition:

Untersuchung von Strukturen wie Gruppen, Ringen, Feldern in der Informatik, speziell in der Wissensrepräsentation.

Details:

• Gruppen: Menge mit einer binären Operation, die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Inversen garantiert.
• Ringe: Erweiterung von Gruppen mit zwei Operationen (Addition und Multiplikation), wobei Addition eine abelsche Gruppe bildet.
• Felder: Ringe mit Multiplikation ohne Null, wo jedes Element ein multiplikatives Inverses hat.
• Logische Grundlagen: Aussagenlogik und Prädikatenlogik zur formalen Darstellung und Verarbeitung von Wissen.
• Aussagenlogik: Propositionen und logische Verknüpfungen (AND, OR, NOT).
• Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um Quantoren und Prädikate zur detaillierteren Wissensrepräsentation.

Mathematische Modellierung und Simulation

Definition:

Verwendung mathematischer Modelle zur Darstellung und Analyse von Systemen und Prozessen; Simulation zur Untersuchung dieser Modelle unter verschiedenen Bedingungen.

Details:

• Mathematische Modelle: Systeme von Gleichungen oder Algorithmen
• Simulation: Durchführen von Modellen zur Vorhersage des Verhaltens
• Ziele: Optimierung, Vorhersage, Verständnis des Systems
• Verwendete Tools: MATLAB, Simulink, etc.
• Anwendungen: Physik, Ingenieurwesen, Ökonomie
• Modelltypen: diskret vs. kontinuierlich, deterministisch vs. stochastisch
• Validierung und Verifikation: Modelle auf Genauigkeit und Zuverlässigkeit prüfen