Mathematik für INF 1 - Exam

Aufgabe 1)

Grundbegriffe der Mengenlehre: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen der Menge. Ein Element ist ein Objekt einer Menge, und die Zugehörigkeit eines Objekts zu einer Menge wird durch die Notation \(a \in A\) angezeigt. Eine Teilmenge ist eine Menge, bei der jedes Element der Teilmenge auch ein Element der übergeordneten Menge ist. Dies wird durch die Notation \(A \subseteq B\) ausgedrückt.

a)

Gegeben sind die Mengen:

• \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
• \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\)
• \(C = \{1, 2, 3\}\)

Zeige, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

• a) \(A \subseteq B\)
• b) \(C \subseteq A\)
• c) \(3 \in B\) und \(6 \in A\)

Lösung:

• Grundbegriffe der Mengenlehre: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen der Menge. Ein Element ist ein Objekt einer Menge, und die Zugehörigkeit eines Objekts zu einer Menge wird durch die Notation \(a \in A\) angezeigt. Eine Teilmenge ist eine Menge, bei der jedes Element der Teilmenge auch ein Element der übergeordneten Menge ist. Dies wird durch die Notation \(A \subseteq B\) ausgedrückt.

Lösung der Teilaufgabe: Subexercise: Gegeben sind die Mengen:

• \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
• \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\)
• \(C = \{1, 2, 3\}\)

Zeige, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

• a) \(A \subseteq B\)
• b) \(C \subseteq A\)
• c) \(3 \in B\) und \(6 \in A\)

Lassen Sie uns die Aussagen nacheinander prüfen:

• a) \(A \subseteq B\)Diese Aussage ist falsch. Nicht alle Elemente der Menge A sind in der Menge B enthalten. Zum Beispiel sind die Elemente 1 und 2 in A, aber nicht in B.
• b) \(C \subseteq A\)Diese Aussage ist wahr. Jedes Element der Menge C ist auch ein Element der Menge A.
• c) \(3 \in B\) und \(6 \in A\)Diese Aussage ist teilweise richtig und teilweise falsch. Das Element 3 ist in B, daher ist \(3 \in B\) wahr, aber das Element 6 ist nicht in A, daher ist \(6 \in A\) falsch.

Zusammenfassend:

• a) Falsch
• b) Wahr
• c) Teilweise wahr, teilweise falsch

b)

Bestimme die folgenden Mengenoperationen anhand der gegebenen Mengen von Subexercise 1:

• a) \(A \cup B\)
• b) \(A \cap B\)
• c) \(A \setminus B\)
• d) \(B \setminus A\)

Lösung:

• Grundbegriffe der Mengenlehre: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten, den Elementen der Menge. Ein Element ist ein Objekt einer Menge, und die Zugehörigkeit eines Objekts zu einer Menge wird durch die Notation \(a \in A\) angezeigt. Eine Teilmenge ist eine Menge, bei der jedes Element der Teilmenge auch ein Element der übergeordneten Menge ist. Dies wird durch die Notation \(A \subseteq B\) ausgedrückt.

Solve the following subexercise:Bestimme die folgenden Mengenoperationen anhand der gegebenen Mengen von Subexercise 1:

• \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
• \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\)
• \(C = \{1, 2, 3\}\)

Bestimmen wir nun die Mengenoperationen:

• a) \(A \cup B\)
• b) \(A \cap B\)
• c) \(A \setminus B\)
• d) \(B \setminus A\)

Berechnung der einzelnen Mengenoperationen:

• a) \(A \cup B\) (die Vereinigung von A und B):Die Vereinigung von zwei Mengen beinhaltet alle Elemente, die in einer der beiden Mengen oder in beiden enthalten sind. Daher:\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
• b) \(A \cap B\) (der Durchschnitt von A und B):Der Durchschnitt von zwei Mengen beinhaltet nur die Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig enthalten sind. Daher:\(A \cap B = \{3, 4, 5\}\)
• c) \(A \setminus B\) (die Differenz von A und B):Die Differenz von zwei Mengen beinhaltet die Elemente, die in der ersten Menge, aber nicht in der zweiten Menge enthalten sind. Daher:\(A \setminus B = \{1, 2\}\)
• d) \(B \setminus A\) (die Differenz von B und A):Die Differenz von zwei Mengen beinhaltet die Elemente, die in der ersten Menge, aber nicht in der zweiten Menge enthalten sind. Daher:\(B \setminus A = \{6, 7\}\)

Aufgabe 2)

Betrachte die beiden Mengen:

• \textbf{A} = {1, 3, 5, 7, 9}
• \textbf{B} = {3, 4, 5, 6}

a)

Bestimme die Vereinigung der Mengen \textbf{A} und \textbf{B}. Schreibe das Ergebnis in der mathematischen Notation.

Lösung:

Betrachte die beiden Mengen:

• A = {1, 3, 5, 7, 9}
• B = {3, 4, 5, 6}

Subexercise: Bestimme die Vereinigung der Mengen A und B. Schreibe das Ergebnis in der mathematischen Notation. Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die in A, in B oder in beiden enthalten sind. Also: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

b)

Berechne den Durchschnitt der Mengen \textbf{A} und \textbf{B}. Stelle sicher, dass alle gemeinsamen Elemente korrekt dargestellt werden.

Lösung:

Betrachte die beiden Mengen:

• A = {1, 3, 5, 7, 9}
• B = {3, 4, 5, 6}

Subexercise: Berechne den Durchschnitt der Mengen A und B. Stelle sicher, dass alle gemeinsamen Elemente korrekt dargestellt werden. Der Durchschnitt der Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Also: A ∩ B = {3, 5}

c)

Bestimme die Differenz der Mengen \textbf{A} und \textbf{B}. Gebe alle Elemente an, die nur in \textbf{A} enthalten sind.

Lösung:

Betrachte die beiden Mengen:

• A = {1, 3, 5, 7, 9}
• B = {3, 4, 5, 6}

Subexercise: Bestimme die Differenz der Mengen A und B. Gebe alle Elemente an, die nur in A enthalten sind. Die Differenz der Mengen A und B (auch als A \textbackslash B oder A-B bezeichnet) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B. Also: A - B = {1, 7, 9}

d)

Gegeben sei die Menge \textbf{C} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Zeige, dass \textbf{A} Teilmenge von \textbf{C} ist. Schreibe die formale Beweisführung auf.

Lösung:

Betrachte die beiden Mengen:

• A = {1, 3, 5, 7, 9}
• B = {3, 4, 5, 6}

Gegeben sei die Menge C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Zeige, dass A Teilmenge von C ist. Schreibe die formale Beweisführung auf. Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge C, wenn jedes Element von A auch ein Element von C ist. Dies wird formell als A ⊆ C ausgedrückt. Gegeben:

• A = {1, 3, 5, 7, 9}
• C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Beweis:

1. 1 ∈ A und 1 ∈ C
2. 3 ∈ A und 3 ∈ C
3. 5 ∈ A und 5 ∈ C
4. 7 ∈ A und 7 ∈ C
5. 9 ∈ A und 9 ∈ C

Da alle Elemente von A auch in C enthalten sind, folgt: A ⊆ C. Damit ist gezeigt, dass A eine Teilmenge von C ist.

Aufgabe 3)

Aussagenlogik und WahrheitstafelnIn diesem Abschnitt sollst Du Deine Kenntnisse in der Aussagenlogik und der Erstellung von Wahrheitstafeln unter Beweis stellen. Dabei betrachtest Du verschiedene Aussagen und ihre Verknüpfung durch logische Operatoren. Erinnerte Dich daran, dass eine Aussage entweder wahr (W) oder falsch (F) sein kann und logische Operatoren wie UND (∧), ODER (∨), NICHT (¬), Implikation (→) und Äquivalenz (↔) zur Verknüpfung von Aussagen verwendet werden.

a)

Subaufgabe 1: Gegeben sind die Aussagen:

• p: „Es regnet.“
• q: „Der Boden ist nass.“

Erstelle eine Wahrheitstafel für die logischen Aussagen p ∧ q und p → q. Zeige alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von p und q sowie die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen.

Lösung:

Aussagenlogik und Wahrheitstafeln In diesem Abschnitt sollst Du Deine Kenntnisse in der Aussagenlogik und der Erstellung von Wahrheitstafeln unter Beweis stellen. Dabei betrachtest Du verschiedene Aussagen und ihre Verknüpfung durch logische Operatoren. Erinnerte Dich daran, dass eine Aussage entweder wahr (W) oder falsch (F) sein kann und logische Operatoren wie UND (∧), ODER (∨), NICHT (¬), Implikation (→) und Äquivalenz (↔) zur Verknüpfung von Aussagen verwendet werden. Subaufgabe 1: Gegeben sind die Aussagen:

• p: „Es regnet.“
• q: „Der Boden ist nass.“

Erstelle eine Wahrheitstafel für die logischen Aussagen p ∧ q und p → q. Zeige alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von p und q sowie die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen. Wahrheitstafel:

p	q	p ∧ q	p → q
W	W	W	W
W	F	F	F
F	W	F	W
F	F	F	W

b)

Subaufgabe 2: Beweise anhand der Wahrheitstafeln, ob \(p → q\) ↔ \(¬p ∨ q\) eine Tautologie ist. Eine Aussage ist eine Tautologie, wenn sie unter allen möglichen Wahrheitswerten der zugrunde liegenden Aussagen wahr ist. Erstelle die entsprechende Wahrheitstafel und schlussfolgere aus ihr, ob die Aussage für alle möglichen Kombinationen von \(p\) und \(q\) wahr ist.

Lösung:

Aussagenlogik und Wahrheitstafeln In diesem Abschnitt sollst Du Deine Kenntnisse in der Aussagenlogik und der Erstellung von Wahrheitstafeln unter Beweis stellen. Dabei betrachtest Du verschiedene Aussagen und ihre Verknüpfung durch logische Operatoren. Erinnerte Dich daran, dass eine Aussage entweder wahr (W) oder falsch (F) sein kann und logische Operatoren wie UND (∧), ODER (∨), NICHT (¬), Implikation (→) und Äquivalenz (↔) zur Verknüpfung von Aussagen verwendet werden. Subaufgabe 2: Beweise anhand der Wahrheitstafeln, ob \(p → q \) ↔ \(¬p ∨ q\) eine Tautologie ist. Eine Aussage ist eine Tautologie, wenn sie unter allen möglichen Wahrheitswerten der zugrunde liegenden Aussagen wahr ist. Erstelle die entsprechende Wahrheitstafel und schlussfolgere aus ihr, ob die Aussage für alle möglichen Kombinationen von \(p\) und \(q\) wahr ist.Wahrheitstafel:

p	q	¬p	p → q	¬p ∨ q	(p → q) ↔ (¬p ∨ q)
W	W	F	W	W	W
W	F	F	F	F	W
F	W	W	W	W	W
F	F	W	W	W	W

Schlussfolgerung: Aus der Wahrheitstafel ist ersichtlich, dass die Aussage \(p → q\) ↔ \((¬p ∨ q)\) für alle möglichen Kombinationen von \(p\) und \(q\) wahr ist. Daher handelt es sich bei dieser Aussage um eine Tautologie.

Aufgabe 4)

Du sollst Aussagen anhand der Prädikatenlogik formalisieren und analysieren. Verwende Quantoren, Prädikate und Formeln, um die folgenden Unteraufgaben zu beantworten.

a)

Formuliere die folgende Aussage in der Prädikatenlogik: 'Für jede gerade Zahl gibt es eine größere Zahl, die durch 3 teilbar ist.' Definiere dabei geeignete Prädikate und verwende die Quantoren sinnvoll.

Lösung:

• Prädikate definieren:
• Gerade Zahl: Wir definieren das Prädikat G(x), um zu sagen, dass x eine gerade Zahl ist. Das bedeutet:

  G(x) : (\exists k) \ (x = 2k)

• Durch 3 teilbare Zahl: Wir definieren das Prädikat D(y), um zu sagen, dass y durch 3 teilbar ist. Das bedeutet:

  D(y) : (\exists m) \ (y = 3m)

• Aussage in Prädikatenlogik formulieren:
• Die Aussage „Für jede gerade Zahl gibt es eine größere Zahl, die durch 3 teilbar ist“ lässt sich formalisieren als:

  \forall x \ (G(x) \rightarrow (\exists y) \ (y > x \land D(y)))

Daher ist die formale Darstellung der gegebenen Aussage:

\forall x \ ((\exists k \ (x = 2k)) \rightarrow (\exists y \ ((y > x) \land (\exists m \ (y = 3m))))