Mathematik für INF 2 - Cheatsheet

Gruppen, Ringe und Körper

Definition:

Grundbegriffe der abstrakten Algebra. Verwendet für Struktur und Symmetrie in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik.

Details:

• Gruppe: Menge \( G \) mit Verknüpfung \( \bullet \), die abgeschlossen, assoziativ ist, ein neutrales Element und Inverses enthält.
• Abelsche Gruppe: Kommutative Gruppe, \( a \bullet b = b \bullet a \).
• Ring: Menge \( R \) mit zwei Verknüpfungen \( + \) und \( \bullet \), \( (R, +) \) ist abelsche Gruppe, \( (R, \bullet) \) ist Monoid, Distributivgesetze gelten.
• Körper: Ring \( K \) mit \( (K\setminus{\{0\}}, \bullet) \) bildet abelsche Gruppe.

Epsilon-Delta-Beweise

Definition:

Mathematischer Beweis zur Definition des Grenzwertes einer Funktion.

Details:

• Definition: Für jede beliebige positive Zahl \( \varepsilon \gt 0 \) gibt es eine positive Zahl \( \delta \gt 0 \) sodass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - a| < \delta \) gilt: \(|f(x) - L| < \varepsilon\)
• Bedingung: \(0 < |x - a| < \delta\) -> \(|f(x) - L| < \varepsilon\)
• Anwendung: Nachweis der Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben skalare Multiplikationen und Richtungen in linearen Abbildungen.

Details:

• Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \) einer Matrix \( A \) erfüllen: \[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
• Charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
• Für jeden Eigenwert \( \lambda \) entspricht ein Eigenraum der Menge aller Eigenvektoren

Lösungsmethoden für ODEs

Definition:

Methoden zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs)

Details:

• Explizite Verfahren: Euler-Verfahren, Fehlberg-Verfahren
• Implizite Verfahren: Rückwärts-Euler-Verfahren, implizites Runge-Kutta
• Linearisierung: Bei nichtlinearen ODEs
• Laplace-Transformation: Umformung der ODE in eine algebraische Gleichung
• Trennung der Variablen
• Variation der Konstanten: Zur Lösung inhomogener ODEs
• Numerische Verfahren: 4. Reihenfolge-Runge-Kutta, Finite-Differenzen-Methode
• Homogene, inhomogene ODEs unterscheiden

Gesetz der großen Zahlen

Definition:

Gesetz der großen Zahlen: Langfristig nähert sich der Durchschnitt der Ergebnisse einer Zufallsstichprobe dem Erwartungswert der Grundgesamtheit.

Details:

• Formulierung: \( \text{Für eine Folge } X_i \text{ von i.i.d. Zufallsvariablen mit } E[X_i] = \mu: \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \text{ für } n \to \infty\)
• Zwei Varianten: Schwaches und starkes Gesetz.
• Schwaches Gesetz: \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \text{ in Wahrscheinlichkeit}\)
• Starkes Gesetz: \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to \mu \text{ fast sicher}\)

Homomorphismen und Isomorphismen

Definition:

Homomorphismus: Struktur-erhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen. Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus, der umkehrbar ist.

Details:

• Homomorphismus: Abbildung \( \varphi: A \rightarrow B \) mit \( \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \) und \( \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \)
• Isomorphismus: Homomorphismus, der bijektiv (invertierbar) ist
• Gruppe, Ring, Vektorraum erfordern spezifische Bedingungen für Homomorphismen/Isomorphismen
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Reihen und Konvergenzkriterien

Definition:

Reihen sind Summen unendlich vieler Glieder einer Folge; Konvergenzkriterien bestimmen, ob Reihen konvergieren.

Details:

• Eine Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) konvergiert, wenn die Partialsummen \(S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n\) einen Grenzwert haben.
• Wichtige Konvergenzkriterien:
• Divergenzkriterium: \(a_n \rightarrow 0\) notwendig für Konvergenz.
• Majorantenkriterium: \(0 \leq a_n \leq b_n\) und \(\sum b_n\) konvergiert, dann konvergiert \(\sum a_n\).
• Minorantenkriterium: \(a_n \geq b_n \geq 0\) und \(\sum b_n\) divergiert, dann divergiert \(\sum a_n\).
• Alternierendes Kriterium (Leibniz): \(a_n \) alternierend, \(a_n \rightarrow 0\) und \(a_{n+1} \leq a_n\) dann konvergiert \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\).

Matrizen und Determinanten

Definition:

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen, die Vektoren abbilden oder lineare Gleichungssysteme darstellen. Determinanten sind skalare Werte, die Eigenschaften von Matrizen beschreiben.

Details:

• Eine Matrix der Größe \(m \times n\) hat \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten: \(A = (a_{ij})\) mit \(i=1,...,m\) und \(j=1,...,n\).
• Matrixmultiplikation: Für Matrizen \(A\) (\(m \times n\)) und \(B\) (\(n \times p\)) ist \(C = A \cdot B\) eine \(m \times p\) Matrix mit Elementen \(c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}\)
• Determinante einer \(2 \times 2\) Matrix: \(A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\), \(det(A) = ad - bc\).
• Determinante einer \(n \times n\) Matrix: Rekursiv über Laplace-Entwicklung berechnet.
• Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
• Transponierte Matrix \(A^T\): Vertauschen von Zeilen und Spalten.