Mathematik für INF 2 - Exam

Aufgabe 1)

In diesem Übungsblatt beschäftigen wir uns mit den grundlegenden Begriffen der abstrakten Algebra: Gruppen, Ringe und Körper. Diese Konzepte sind essentiell für die Struktur und Symmetrie in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik. Eine Gruppe ist eine Menge \( G \) mit einer Verknüpfung \( \bullet \), die die Eigenschaften abgeschlossen, assoziativ, mit neutralem Element und Inversen enthält. Eine Abelsche Gruppe ist eine Gruppe, in der die Verknüpfung kommutativ ist, d.h., \( a \bullet b = b \bullet a \). Ein Ring ist eine Menge \( R \) mit zwei Verknüpfungen \( + \) und \( \bullet \), wobei \( (R, +) \) eine abelsche Gruppe ist, \( (R, \bullet) \) ein Monoid ist und die Distributivgesetze gelten. Ein Körper ist ein Ring \( K \), bei dem \( (K \setminus \{0\}, \bullet) \) eine abelsche Gruppe bildet.

a)

• Nachweise für die gegebene Menge: Betrachte die Menge der n-mal n Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen, \( \text{M}_n(\text{R}) \). Nachweise, ob diese Menge mit der Matrixaddition eine abelsche Gruppe bildet. Zeige dabei alle Schritte auf und gehe insbesondere auf die Eigenschaften ein, die erforderlich sind, um eine abelsche Gruppe zu sein.

Lösung:

Nachweis, dass die Menge der n-mal n Matrizen über den reellen Zahlen, \( \text{M}_n(\text{R}) \), mit der Matrixaddition eine abelsche Gruppe bildet

Um zu zeigen, dass die Menge der n-mal n Matrizen über den reellen Zahlen \( \text{M}_n(\text{R}) \) mit der Matrixaddition eine abelsche Gruppe bildet, müssen wir überprüfen, ob die Menge und die Operation die folgenden Eigenschaften erfüllen:

• Abgeschlossenheit
• Assoziativität
• Neutrales Element
• Existenz von Inversen
• Kommutativität

Schritt für Schritt Lösung:

1. Abgeschlossenheit:

   Sind \( A, B \in \text{M}_n(\text{R}) \), dann ist \( A + B \ ebenfalls eine n-mal n Matrix, da die Summe zweier n-mal n Matrizen wieder eine n-mal n Matrix ist. Dies ergibt sich daraus, dass die Addition elementweise erfolgt und jedes Element eine reelle Zahl ist:

   \((A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \forall 1 \leq i, j \leq n\)

2. Assoziativität:

   Sind \( A, B, C \in \text{M}_n(\text{R}) \), dann gilt:

   \((A + B) + C = A + (B + C) \)

   Dies folgt aus der Assoziativität der Addition reeller Zahlen:

   \((A + B)_{ij} + C_{ij} = A_{ij} + (B_{ij} + C_{ij})\)

3. Neutrales Element:

   Die Nullmatrix \( 0 \) ist die n-mal n Matrix mit allen Einträgen gleich 0. Für jede Matrix \( A \in \text{M}_n(\text{R}) \) gilt:

   \(A + 0 = A\)

   Dies ergibt sich daraus, dass die Addition von 0 zu jedem Element der Matrix das Element unverändert lässt:

   \((A + 0)_{ij} = A_{ij} + 0 = A_{ij}\)

4. Existenz von Inversen:

   Für jede Matrix \( A \in \text{M}_n(\text{R}) \) existiert die inverse Matrix \( -A \), definiert als die n-mal n Matrix, deren Einträge die negativen der Einträge von \( A \) sind. Es gilt:

   \(A + (-A) = 0 \)

   Dies ergibt sich daraus, dass die Addition von entgegengesetzten reellen Zahlen 0 ergibt:

   \((A + (-A))_{ij} = A_{ij} + (-A_{ij}) = 0\)

5. Kommutativität:

   Sind \( A, B \in \text{M}_n(\text{R}) \), dann gilt:

   \(A + B = B + A \)

   Dies folgt aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen:

   \((A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = B_{ij} + A_{ij} = (B + A)_{ij}\)

Da alle fünf Eigenschaften erfüllt sind, bildet die Menge der n-mal n Matrizen \( \text{M}_n(\text{R}) \) mit der Matrixaddition eine abelsche Gruppe.

b)

• Ringstruktur und Beispiele: Untersuche die Polynomringe \( \text{R}[x] \) von Polynomen mit Koeffizienten aus dem Ring der ganzen Zahlen \( \text{R} = \text{Z} \). Sind diese Polynomringe tatsächlich Ringe nach der obigen Definition? Begründe Deine Antwort ausführlich und zeige anhand von Beispielen die Gültigkeit oder Widerlegung der Ringaxiome.

Lösung:

Untersuchung der Polynomringe \(\text{R}[x]\) mit Koeffizienten aus dem Ring der ganzen Zahlen \(\text{R} = \text{Z}\)

Um zu überprüfen, ob \(\text{Z}[x]\) (der Polynomring mit Koeffizienten aus dem Ring der ganzen Zahlen \(\text{Z}\)) tatsächlich ein Ring gemäß der obigen Definition ist, müssen wir die folgenden Ringaxiome nachweisen:

• \((\text{R}, +)\) ist eine abelsche Gruppe.
• \((\text{R}, \cdot)\) ist ein Monoid.
• Die Distributivgesetze gelten.

Schritt für Schritt Lösung:

1. \((\text{Z}[x], +)\) ist eine abelsche Gruppe:
   • Abgeschlossenheit: Die Summe zweier Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ist wiederum ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Nehmen wir an, \(f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0\) und \(g(x) = b_mx^m + \ldots + b_1x + b_0\). Dann ist \(f(x) + g(x) = (a_n + b_n)x^n + \ldots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)\).
   • Assoziativität: Die Addition von Polynomen ist assoziativ. Für alle \(f(x), g(x), h(x) \in \text{Z}[x]\) gilt: \((f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))\).
   • Neutrales Element: Das neutrale Element ist das Nullpolynom \(0\). Für jedes Polynom \(f(x) \in \text{Z}[x]\) gilt: \(f(x) + 0 = f(x)\).
   • Existenz von Inversen: Zu jedem Polynom \(f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0\) existiert das Polynom \(-f(x) = -a_nx^n + \ldots + (-a_1)x + (-a_0)\), sodass \(f(x) + (-f(x)) = 0\).
   • Kommutativität: Die Addition von Polynomen ist kommutativ. Für alle \(f(x), g(x) \in \text{Z}[x]\) gilt: \(f(x) + g(x) = g(x) + f(x)\).
2. \((\text{Z}[x], \cdot)\) ist ein Monoid:
   • Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ist wieder ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Für \(f(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0\) und \(g(x) = b_mx^m + \ldots + b_1x + b_0\) ist \(f(x) \cdot g(x)\) ein Polynom in \(\text{Z}[x]\).
   • Assoziativität: Die Multiplikation von Polynomen ist assoziativ. Für alle \(f(x), g(x), h(x) \in \text{Z}[x]\) gilt: \(f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x)) = (f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x)\).
   • Neutrales Element: Das neutrale Element in Bezug auf die Multiplikation ist das Polynom \(1\). Für jedes Polynom \(f(x) \in \text{Z}[x]\) gilt: \(f(x) \cdot 1 = f(x)\).
3. Distributivgesetze:Die Distributivgesetze müssen sowohl links- als auch rechtsseitig gelten. Für alle \(f(x), g(x), h(x) \in \text{Z}[x]\) gilt:
   • Linkes Distributivgesetz: \(f(x) \cdot (g(x) + h(x)) = f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot h(x)\).
   • Rechtes Distributivgesetz: \((f(x) + g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h(x)\).

Da alle Ringaxiome erfüllt sind, können wir folgern, dass \(\text{Z}[x]\) tatsächlich ein Ring ist.

Beispiele:

• Sei \(f(x) = 2x + 3\) und \(g(x) = x^2 - x + 4\). Dann sind sowohl\(f(x) + g(x) = (2x + 3) + (x^2 - x + 4) = x^2 + x + 7\) als auch \(f(x) \cdot g(x) = (2x + 3) \cdot (x^2 - x + 4) = 2x^3 + x^2 + 5x + 12\) wieder Polynome in \(\text{Z}[x]\).
• Das Nullpolynom \(0\) und das Einheitspolynom \(1\) erfüllen die Anforderungen an das neutrale Element in der Addition bzw. Multiplikation.

c)

• Körpereigenschaften und Beweis: Sei \( \text{F} \) der Körper der rationalen Zahlen. Zeige, dass \( (\text{F} \setminus \{0\}, \bullet) \) eine abelsche Gruppe bildet. Verwende hierzu die Definitionen und wende sie auf die rationalen Zahlen an. Gehe detailliert auf die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und eines inversen Elements für die Multiplikation ein.

Lösung:

Nachweis, dass \((\text{F} \setminus \{0\}, \cdot)\) eine abelsche Gruppe bildet, wobei \(\text{F}\) der Körper der rationalen Zahlen \(\text{Q}\) ist

Um nachzuweisen, dass \((\text{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\) eine abelsche Gruppe bildet, müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt sein:

• Abgeschlossenheit
• Assoziativität
• Neutrales Element
• Existenz von Inversen
• Kommutativität

Schritt für Schritt Lösung:

1. Abgeschlossenheit:

   Da \(\text{Q}\) ein Körper ist, ist das Produkt zweier rationaler Zahlen selbst wieder eine rationale Zahl. Wenn \(a, b \in \text{Q} \setminus \{0\}\), dann ist \(a \cdot b \in \text{Q} \setminus \{0\}\).

2. Assoziativität:

   Die Multiplikation rationaler Zahlen ist assoziativ. Für alle \(a, b, c \in \text{Q} \setminus \{0\}\) gilt:

   \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

   Dies folgt aus der Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen, wozu auch die rationalen Zahlen gehören.

3. Neutrales Element:

   Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die Zahl \(1\). Für jede rationale Zahl \(a \in \text{Q} \setminus \{0\}\) gilt:

   \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)

4. Existenz von Inversen:

   Für jede rationale Zahl \(a \in \text{Q} \setminus \{0\}\) existiert die inverse Zahl \(\frac{1}{a}\), sodass:

   \(a \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot a = 1\)

   Da \(\text{Q}\) ein Körper ist, ist \(\frac{1}{a}\) ebenfalls in \(\text{Q} \setminus \{0\}\), wenn \(a\) in \(\text{Q} \setminus \{0\}\) ist.

5. Kommutativität:

   Die Multiplikation rationaler Zahlen ist kommutativ. Für alle \(a, b \in \text{Q} \setminus \{0\}\) gilt:

   \(a \cdot b = b \cdot a\)

   Dies folgt aus der Kommutativität der Multiplikation reeller Zahlen, wozu auch die rationalen Zahlen gehören.

Da alle fünf Eigenschaften erfüllt sind, bildet \((\text{Q} \setminus \{0\}, \cdot)\) eine abelsche Gruppe.

Aufgabe 2)

• Gegeben sei die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \), und wir wollen den Grenzwert dieser Funktion an der Stelle \( x = 1 \) aufzeigen.
• Definition: Für jede beliebige positive Zahl \( \varepsilon > 0 \) gibt es eine positive Zahl \( \delta > 0 \) sodass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - a| < \delta \) gilt: \( |f(x) - L| < \varepsilon \).
• Bedingung: \( 0 < |x - a| < \delta \) -> \( |f(x) - L| < \varepsilon \)
• Anwendung: Nachweis der Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt.

a)

a) Bestimme den Grenzwert \( L \) der Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x = 1 \). Zeige, dass der Grenzwert existiert.

Lösung:

Um den Grenzwert der Funktion bei \( x = 1 \) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

• Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \).
• Bestimme den Wert der Funktion an der Stelle \( x = 1 \):
  • \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \)
• Da es sich um eine lineare Funktion handelt und lineare Funktionen stetig sind, können wir vermuten, dass der Grenzwert \( L = 5 \) ist.

Nun zeigen wir formell, dass der Grenzwert existiert, indem wir die \( \varepsilon - \delta \)-Definition verwenden:

• Sei \( \varepsilon \) eine beliebige positive Zahl.
• Wir müssen eine positive Zahl \( \delta \) finden, sodass für \( 0 < |x - 1| < \delta \) gilt: \( |f(x) - 5| < \varepsilon \).
• Berechne \( |f(x) - 5| \):
  • \( f(x) = 2x + 3 \) \( f(x) - 5 = 2x + 3 - 5 = 2x - 2 = 2(x - 1) \) \( |f(x) - 5| = |2(x - 1)| \)
• Um \( |2(x - 1)| < \varepsilon \) zu erfüllen, können wir \( |x - 1| < \frac{\varepsilon}{2} \) wählen.
• Setze \( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \). Dann gilt:
  • Wenn \( 0 < |x - 1| < \delta \), dann \( 0 < |x - 1| < \frac{\varepsilon}{2} \).
  • Daraus folgt: \( |2(x - 1)| = 2|x - 1| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \).
  • Also gilt: \( |f(x) - 5| < \varepsilon \).

Damit haben wir gezeigt, dass der Grenzwert \( L = 5 \) tatsächlich existiert und die Bedingung der \( \varepsilon - \delta \)-Definition erfüllt ist.

b)

b) Führe einen Epsilon-Delta-Beweis durch, um zu zeigen, dass der Grenzwert der Funktion an der Stelle \( x = 1 \) tatsächlich \( L = 5 \) ist. Inkludiere dabei alle notwendigen Schritte und Erklärungen.

Lösung:

Um zu zeigen, dass der Grenzwert der Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) an der Stelle \( x = 1 \) tatsächlich \( L = 5 \) ist, führen wir einen Epsilon-Delta-Beweis durch. Dazu folgen wir den gegebenen Schritten:

• Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) und wir möchten beweisen, dass \( \lim_{{x \to 1}} f(x) = 5 \).
• Laut Definition des Grenzwerts: Für jede beliebige positive Zahl \( \varepsilon > 0 \) gibt es eine positive Zahl \( \delta > 0 \), sodass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - 1| < \delta \) gilt: \( |f(x) - 5| < \varepsilon \).
• Berechnen wir \( |f(x) - 5| \):
  • \( f(x) = 2x + 3 \)
  • \( f(x) - 5 = 2x + 3 - 5 = 2x - 2 = 2(x - 1) \)
  • Daraus folgt: \( |f(x) - 5| = |2(x - 1)| = 2|x - 1| \)
• Um \( |2(x - 1)| < \varepsilon \) zu erfüllen, müssen wir \( |x - 1| < \frac{\varepsilon}{2} \) wählen.
• Setze \( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \). Dann gilt:
  • Wenn \( 0 < |x - 1| < \delta \), dann \( 0 < |x - 1| < \frac{\varepsilon}{2} \).
  • Das bedeutet, dass \( 2|x - 1| < \varepsilon \) oder \( |f(x) - 5| < \varepsilon \).

Dies zeigt, dass für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein entsprechendes \( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \) existiert, sodass \( 0 < |x - 1| < \delta \) die Bedingung \( |f(x) - 5| < \varepsilon \) erfüllt. Daher ist der Grenzwert der Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) an der Stelle \( x = 1 \) tatsächlich \( L = 5 \).

c)

c) Zeige, dass die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) stetig an der Stelle \( x = 1 \) ist, indem Du die vorherigen Resultate verwendest.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) stetig an der Stelle \( x = 1 \) ist, müssen wir die Definition der Stetigkeit an einem Punkt und die Ergebnisse aus den vorherigen Schritten verwenden.

Eine Funktion \( f(x) \) ist an einem Punkt \( x = a \) stetig, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

• Die Funktion \( f \) ist an der Stelle \( a \) definiert: \( f(a) \) existiert.
• Der Grenzwert der Funktion \( f(x) \) existiert, wenn \( x \) gegen \( a \) strebt: \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) existiert.
• Der Wert der Funktion an der Stelle \( a \) ist gleich dem Grenzwert der Funktion, wenn \( x \) gegen \( a \) strebt: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \).

Wir überprüfen diese Bedingungen für die gegebene Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) an der Stelle \( x = 1 \).

• Die Funktion ist an der Stelle \( x = 1 \) definiert:
  • \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \)
• Der Grenzwert der Funktion existiert, wenn \( x \) gegen \( 1 \) strebt (wie im Epsilon-Delta-Beweis gezeigt):
  • \( \lim_{{x \to 1}} f(x) = 5 \)
• Der Wert der Funktion an der Stelle \( 1 \) ist gleich dem Grenzwert der Funktion, wenn \( x \) gegen \( 1 \) strebt:
  • \( f(1) = 5 \) und \( \lim_{{x \to 1}} f(x) = 5 \)

Da alle drei Bedingungen erfüllt sind, können wir schließen, dass die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) stetig an der Stelle \( x = 1 \) ist.

Aufgabe 3)

• Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \) einer Matrix \( A \) erfüllen: \[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
• Charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
• Für jeden Eigenwert \( \lambda \) entspricht ein Eigenraum der Menge aller Eigenvektoren

a)

Gegeben sei die Matrix \( A \)

 \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} 

• Finde die Eigenwerte von \( A \), indem du die charakteristische Gleichung aufstellst und löst.

Lösung:

Gegeben sei die Matrix

\begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix}

Um die Eigenwerte der Matrix zu finden, musst Du die charakteristische Gleichung aufstellen und lösen. Hier sind die detaillierten Schritte:

• Subtrahiere \(\begin{pmatrix} \lambda & 0 \ 0 & \lambda \end{pmatrix}\) (was gleich \( \lambda I \) ist) von der Ausgangsmatrix \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix}\) und erhalte:

\begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}

• Berechne die Determinante dieser resultierenden Matrix. Die charakteristische Gleichung lautet:

\det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = 0

• Die Determinante einer 2x2-Matrix \(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\) ist gegeben durch: \(ad - bc\). Somit berechnest Du:

\det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) = 0

• Erweitere die Gleichung:

(4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = (4 \cdot 3 - 4 \cdot \lambda - 3 \cdot \lambda + \lambda^2) - 2 = 12 - 7\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

• Dies ist eine quadratische Gleichung der Form \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \). Um die Eigenwerte \( \lambda \) zu finden, löse die quadratische Gleichung.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) sind gegeben durch:

\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

• Setze die entsprechenden Werte ein:

a = 1, \ b = -7, \ c = 10

• Berechne:

\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}

• Erhalte die zwei Lösungen:

\lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \ \lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2

• Die Eigenwerte der Matrix \( A \) sind also:

\lambda_1 = 5, \ \lambda_2 = 2

b)

Berechne die Eigenvektoren zu den Eigenwerten von Frage 1.

• Für jeden gefundenen Eigenwert \( \lambda \), löse das lineare Gleichungssystem \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

Lösung:

Berechne die Eigenvektoren zu den Eigenwerten von Frage 1.

• Für jeden gefundenen Eigenwert \( \lambda \), löse das lineare Gleichungssystem \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

Die Eigenwerte von Frage 1 sind \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \). Wir berechnen die Eigenvektoren für jeden dieser Eigenwerte. Für \( \lambda_1 = 5 \):

• Bilde die Matrix \( A - 5I \):

 A - 5I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 1 \ 2 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} 

• Löse das Gleichungssystem \( (A - 5I) \mathbf{v} = 0 \):

• Für die Matrix \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \)

• Dies führt zu folgendem Gleichungssystem:

-v_1 + v_2 = 0 \ 2v_1 - 2v_2 = 0

• Aus der ersten Gleichung folgt: \( v_1 = v_2 \)

• Der Eigenvektor \( \mathbf{v} \) zu \( \lambda_1 = 5 \) ist daher \( \mathbf{v} = k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \), wobei \( k \) ein beliebiger Skalar ist.

Für \( \lambda_2 = 2 \):

• Bilde die Matrix \( A - 2I \):

 A - 2I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 1 \ 2 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} 

• Löse das Gleichungssystem \( (A - 2I) \mathbf{v} = 0 \):

• Für die Matrix \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \)

• Dies führt zu folgendem Gleichungssystem:

2v_1 + v_2 = 0 \ 2v_1 + v_2 = 0

• Aus der ersten Gleichung folgt: \( v_2 = -2v_1 \)

• Der Eigenvektor \( \mathbf{v} \) zu \( \lambda_2 = 2 \) ist daher \( \mathbf{v} = k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \), wobei \( k \) ein beliebiger Skalar ist.

• Zusammenfassend sind die Eigenvektoren:

 Zu \( \lambda_1 = 5 \): \mathbf{v}_1 = k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \ Zu \( \lambda_2 = 2 \): \mathbf{v}_2 = k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} 

• Diese Vektoren sind die Eigenvektoren zu den berechneten Eigenwerten.

c)

Eigenräume bestimmen

• Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem Eigenwert, den du in Frage 1 gefunden hast. Gebe die Vektoren in expliziter Form an.

Lösung:

Eigenräume bestimmen

• Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem Eigenwert, den du in Frage 1 gefunden hast. Gebe die Vektoren in expliziter Form an.

Die Eigenwerte, die wir in Frage 1 gefunden haben, sind \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \). Wir haben bereits die Eigenvektoren berechnet. Jetzt werden wir die Eigenräume bestimmen und die Vektoren in expliziter Form angeben. Für \( \lambda_1 = 5 \): Der Eigenvektor zu \( \lambda_1 = 5 \) ist:

 \mathbf{v}_1 = k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} 

wobei \( k \) ein beliebiger Skalar ist. Der Eigenraum zu \( \lambda_1 = 5 \) ist daher:

 E_5 = \left\{ k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \right\} 

Für \( \lambda_2 = 2 \): Der Eigenvektor zu \( \lambda_2 = 2 \) ist:

 \mathbf{v}_2 = k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} 

wobei \( k \) ein beliebiger Skalar ist. Der Eigenraum zu \( \lambda_2 = 2 \) ist daher:

 E_2 = \left\{ k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \right\} 

Zusammenfassend sind die Eigenräume:

• Eigenraum zu \( \lambda_1 = 5 \):

   E_5 = \left\{ k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \right\} 

• Eigenraum zu \( \lambda_2 = 2 \):

   E_2 = \left\{ k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \right\} 

d)

Transformationseigenschaften

• Sei \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \). Transformiere \( \mathbf{x} \) mit der Matrix \( A \) und bestimme die Darstellung von \( A \mathbf{x} \) als Linearkombination der Eigenvektoren aus Frage 2. Zeige den Zusammenhang zwischen der Transformation und den Eigenvektoren.

Lösung:

Transformationseigenschaften

• Sei \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}^T \). Transformiere \( \mathbf{x} \) mit der Matrix \( A \) und bestimme die Darstellung von \( A \mathbf{x} \) als Linearkombination der Eigenvektoren aus Frage 2. Zeige den Zusammenhang zwischen der Transformation und den Eigenvektoren.

Um \( \mathbf{x} \) mit der Matrix \( A \) zu transformieren, berechnen wir \( A \mathbf{x} \). Die Matrix \( A \) ist gegeben durch:

 A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} 

• Multipliziere die Matrix \( A \) mit dem Vektor \( \mathbf{x} \):

 \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \  A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \ \ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ \ 5 \end{pmatrix} 

Der transformierte Vektor \( A \mathbf{x} \) ist \( \begin{pmatrix} 5 \ 5 \end{pmatrix} \). Nun stellen wir \( \begin{pmatrix} 5 \ \ 5 \end{pmatrix} \) als Linearkombination der Eigenvektoren aus Frage 2 dar. Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten aus Frage 2 sind:

• Eigenvektor zu \( \lambda_1 = 5 \): \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \)
• Eigenvektor zu \( \lambda_2 = 2 \): \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \)

• Da \( \begin{pmatrix} 5 \ \ 5 \end{pmatrix} \) proportional zu \( \begin{pmatrix} 1 \ \ 1 \end{pmatrix} \), also zu \( \mathbf{v}_1 \), ist, können wir schreiben:

 \begin{pmatrix} 5 \ 5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} = 5 \mathbf{v}_1 

• Somit lautet die Darstellung:

 A \mathbf{x} = 5 \mathbf{v}_1 

• Das Resultat zeigt, dass die Transformation von \( \mathbf{x} \) mit \( A \) dazu führt, dass \( \mathbf{x} \) in Richtung des Eigenvektors \( \mathbf{v}_1 \) skaliert wird.

Dies liegt daran, dass \( A \mathbf{x} \) einfach eine Skalierung des Eigenvektors \( \mathbf{v}_1 \) mit dem Faktor des Eigenwertes \( \lambda_1 = 5 \) darstellt.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du hast die folgende gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) gegeben: \[ \frac{dy}{dx} + 3y = 2e^{-x} \] Du musst diese ODE mit verschiedenen Methoden lösen.

a)

Löse die ODE, indem Du die Variablen trennst.

Lösung:

Um die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE)

\(\frac{dy}{dx} + 3y = 2e^{-x}\)

mittels der Methode der Trennung der Variablen zu lösen, folge diesen Schritten:

1. Umschreiben der Gleichung Die gegebene Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Um die Variablen zu trennen, bringe die Gleichung in eine Form, bei der alle y-Terme auf einer Seite und alle x-Terme auf der anderen Seite sind.

\(\frac{dy}{dx} = 2e^{-x} - 3y\)

2. Variablen trennen und Integrieren Der nächste Schritt besteht darin, die Variablen zu trennen, damit Du das Integral auf beiden Seiten der Gleichung auflösen kannst.

• 1. Bringe die y-Terme und die dy auf eine Seite.

\(\frac{dy}{2e^{-x} - 3y} = dx\)

• 2. Integriere beide Seiten:

\(\int \frac{1}{2e^{-x} - 3y} dy = \int dx\)

• 3. Um das Integral zu lösen, verwenden wir die Substitutionstechnik. Substituiere: \( u = 2e^{-x} - 3y\) Dann ergibt sich: \( du = -2e^{-x} dx\) Dies bedeutet, die ursprüngliche Gleichung in eine Form zu bringen, die einfacher integriert werden kann:

\(\int \frac{1}{u} du = \int dx\) Dies vereinfacht sich zu:\(\ln|u| = x + C\)

Rücksubstitution Setze u zurück in die Gleichung ein:

• Rearrangiere den Ausdruck:

\( \ln|2e^{-x} - 3y| = x + C\)

• Die Exponentialfunktion anwenden:

\( |2e^{-x} - 3y| = e^{x+C}\)

\(2e^{-x} - 3y = C_1 e^x\) (dabei ist \(C_1 = e^C\))

Rearrangiere, um y auszudrücken:

• \( -3y = C_1 e^x - 2e^{-x}\)

Endgültige Lösung:

• \(y(x)= \frac{2e^{-x} - C_1 e^x }{3}\)

b)

Finde die Lösung der ODE mittels Variation der Konstanten.

Lösung:

Um die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE)

\(\frac{dy}{dx} + 3y = 2e^{-x}\)

mittels der Methode der Variation der Konstanten zu lösen, folge diesen Schritten:

1. Bestimmung der homogenen Lösung Zunächst löse die homogene Gleichung:

\(\frac{dy}{dx} + 3y = 0\)

2. Diese ist eine einfache lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

• Die Lösung der homogenen Gleichung hat die Form:

\(y_h = Ce^{-3x}\)

Ansatz der Variation der Konstanten Nun setzen wir den Ansatz der Variation der Konstanten an und schreiben die allgemeine Lösung auf:

\(y = u(x)e^{-3x}\)

• Hier ist u(x) eine Funktion, die noch zu bestimmen ist.

Einsetzen in die originale Differentialgleichung Setze nun diesen Ansatz in die gegebene Differentialgleichung ein:

• Berechne zuerst die Ableitung von \(y\):

\(y = u(x)e^{-3x}\)\(\frac{dy}{dx} = u'(x)e^{-3x} - 3u(x)e^{-3x}\)

Setze diese Werte in die ursprüngliche Gleichung ein:

\(u'(x)e^{-3x} - 3u(x)e^{-3x} + 3u(x)e^{-3x} = 2e^{-x}\)\(u'(x)e^{-3x} = 2e^{-x}\)

Vereinfachung Umformen der Gleichung:

• Teile beide Seiten der Gleichung durch \(e^{-3x}\):

\(u'(x) = 2e^{2x}\)

Integration Integriere beide Seiten der Gleichung, um \(u\) zu bestimmen:

\(u(x) = \int 2e^{2x} dx = \frac{2}{2}e^{2x} + C = e^{2x} + C\)

Zusammensetzung Setze \(u(x)\) in den Ansatz ein:

\(y = u(x)e^{-3x} = (e^{2x} + C)e^{-3x}\)\(y = e^{2x}e^{-3x} + Ce^{-3x}\)\(y = e^{-x} + Ce^{-3x}\)

Das ist die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung unter Verwendung der Methode der Variation der Konstanten:

\(y = e^{-x} + Ce^{-3x}\)

c)

Wende die Laplace-Transformation an, um die ODE zu lösen.

Lösung:

Um die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE)

\(\frac{dy}{dx} + 3y = 2e^{-x}\)

mittels der Laplace-Transformation zu lösen, folge diesen Schritten:

1. Laplace-Transformation anwenden Wende die Laplace-Transformation auf beide Seiten der Differentialgleichung an:

\(\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dx}\right\} + \mathcal{L}\{3y\} = \mathcal{L}\{2e^{-x}\}\)

• Die Laplace-Transformation der Ableitung lautet:

\(\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dx}\right\} = sY(s) - y(0)\)

• Setze dies ein:

\(sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L}\{2e^{-x}\}\)

Laplace-Transformation der rechten Seite Die Laplace-Transformation von \(2e^{-x}\) lautet:

\(\mathcal{L}\{2e^{-x}\} = \frac{2}{s+1}\)

Setze dies in die Gleichung ein:

\(sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \frac{2}{s+1}\)

Auflösen nach \(Y(s)\) Bringe alle Terme um \(Y(s)\) zusammen:

\(Y(s)(s + 3) - y(0) = \frac{2}{s+1}\)\(Y(s)(s + 3) = \frac{2}{s+1} + y(0)\)\(Y(s) = \frac{2}{(s+1)(s+3)} + \frac{y(0)}{s+3}\)

Partialbruchzerlegung Zerlege den Bruch in Partialbrüche:

\(\frac{2}{(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+3}\)

• Um A und B zu finden, setze die Partialbrüche gleich:

\(2 = A(s+3) + B(s+1)\)\(2 = As + 3A + Bs + B\)\(2 = (A+B)s + (3A+B)\)A + B = 03A + B = 2A = 1B = -1\)

Setze die Werte von A und B ein:

\(\frac{2}{(s+1)(s+3)} = \frac{1}{s+1} + \frac{-1}{s+3}\)

Setze diese Partialbrüche in die Gleichung für \(Y(s)\) ein:

\(Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+3} + \frac{y(0)}{s+3}\)

Inverse Laplace-Transformation Führe nun die inverse Laplace-Transformation durch:

\(y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+3}\right\} + y(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+3}\right\}\)

• Die Inverse Laplace-Transformation ergibt:

\(y(t) = e^{-t} - e^{-3t} + y(0)e^{-3t}\)

Endergebnis Kombiniere die Terme, um die endgültige Lösung der Differentialgleichung zu erhalten:

\(y(t) = e^{-t} + (y(0) - 1)e^{-3t}\)

d)

Implementiere die numerische Lösung der ODE mit dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung in Python. Dazu gehört das Schreiben eines Codes, der die Differentialgleichung integriert und die Lösung in einem Bereich von x = 0 bis x = 10 graphisch darstellt.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Funktion, die dy/dx berechnetdef dydx(x, y):    return 2 * np.exp(-x) - 3 * y# Runge-Kutta-Implementierung der 4. Ordnungdef runge_kutta_4th_order(x0, y0, x_end, h):    n = int((x_end - x0) / h)    x = np.linspace(x0, x_end, n+1)    y = np.zeros(n+1)    y[0] = y0    for i in range(n):        k1 = h * dydx(x[i], y[i])        k2 = h * dydx(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*k1)        k3 = h * dydx(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*k2)        k4 = h * dydx(x[i] + h, y[i] + k3)        y[i+1] = y[i] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6    return x, y# Parameter festlegenx0 = 0y0 = 1x_end = 10h = 0.1# Runge-Kutta-Methode anwendenx, y = runge_kutta_4th_order(x0, y0, x_end, h)# Ergebnisse plottenplt.plot(x, y, label='Numerische Lösung (Runge-Kutta 4. Ordnung)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.show()

Lösung:

Um die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE)

\(\frac{dy}{dx} + 3y = 2e^{-x}\)

numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung zu lösen, folge der untenstehenden Implementierung in Python:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Funktion, die dy/dx berechnetdef dydx(x, y):    return 2 * np.exp(-x) - 3 * y# Runge-Kutta-Implementierung der 4. Ordnungdef runge_kutta_4th_order(x0, y0, x_end, h):    n = int((x_end - x0) / h)    x = np.linspace(x0, x_end, n+1)    y = np.zeros(n+1)    y[0] = y0    for i in range(n):        k1 = h * dydx(x[i], y[i])        k2 = h * dydx(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*k1)        k3 = h * dydx(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*k2)        k4 = h * dydx(x[i] + h, y[i] + k3)        y[i+1] = y[i] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6    return x, y# Parameter festlegenx0 = 0y0 = 0  # Anfangsbedingung; diese kann angepasst werdenx_end = 10h = 0.1# Runge-Kutta-Methode anwendenx, y = runge_kutta_4th_order(x0, y0, x_end, h)# Ergebnisse plottenplt.plot(x, y, label='Numerische L\u00f6sung (Runge-Kutta 4. Ordnung)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.title('L\u00f6sung der ODE mittels Runge-Kutta-Verfahren')plt.grid()plt.show()