Mathematik für INF 3 - Cheatsheet

Vektorräume und Unterräume

Definition:

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Details:

• Ein Vektorraum über einem Körper \(K\):
• Menge \(V\) mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation (\( \cdot \)).
• Axiome: Assoziativität, Kommutativität der Addition, Existenz eines Nullvektors und inversen Elements, Distributivität der Multiplikation.
• Ein Unterraum \(U\) eines Vektorraums \(V\):
• \(U \subseteq V\) und U ist selbst ein Vektorraum.
• Eigenschaften: Enthält Nullvektor, abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Anwendungen der Ableitungen

Definition:

Anwendungen der Ableitungen analysieren das Verhalten von Funktionen und helfen, Extrema und Wendepunkte zu identifizieren.

Details:

• Berechnung von Extremwerten: Setze die Ableitung gleich Null: \( f'(x) = 0 \)
• Bestimmen von Wendepunkten: Löse \( f''(x) = 0 \); überprüfe das Vorzeichenwechsel von \( f''(x) \)
• Monotonieverhalten: Prüfe das Vorzeichen von \( f'(x) \)
• Krümmungsverhalten: Prüfe das Vorzeichen von \( f''(x) \)

Fundamentalsatz der Analysis

Definition:

Zwei Teile: 1. stellt Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral her; 2. ermöglicht Auswertung bestimmter Integrale.

Details:

• 1. Teil: Falls $f$ stetig auf $[a, b]$ und $F$ Stammfunktion von $f$ ist, dann gilt: \[ F'(x) = f(x) \]
• 2. Teil: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Zufallsvariablen und Verteilungen

Definition:

Zufallsvariablen sind Funktionen, die Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zuordnen. Verteilungen beschreiben, wie Wahrscheinlichkeiten diesen Ergebnissen zugeordnet sind.

Details:

• Eine Zufallsvariable: \( X: \text{Ergebnisraum} \rightarrow \mathbb{R} \)
• Verteilung einer Zufallsvariablen wird häufig durch Verteilungsfunktion \(F_X(x) = P(X \leq x)\) beschrieben.
• Diskrete Zufallsvariablen: Haben abzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeitsfunktion \(P(X = x_i) \) gegeben.
• Stetige Zufallsvariablen: Haben überabzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Dichtefunktion \(f_X(x)\) gegeben, wobei \[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x \]

Numerische Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Definition:

Numerische Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme sind Techniken, die zur approximativen Lösung von Gleichungen der Form \(Ax = b\) eingesetzt werden, wo \(A\) eine Matrix und \(x\) und \(b\) Vektoren sind.

Details:

• Direkte Methoden: Geben die exakte Lösung in einer endlichen Anzahl von Schritten. Beispielformen: Gauss-Elimination, LU-Zerlegung.
• Iterative Methoden: Nähern sich der Lösung schrittweise. Beispielformen: Jacobi-Verfahren, Gauss-Seidel-Verfahren, Gradient-Verfahren.
• Gauss-Elimination: Transformiert das Gleichungssystem durch Vorwärtselimination in eine obere Dreiecksmatrix, danach Rückwärtseinsetzen.
• LU-Zerlegung: Zerlegung der Matrix \(A\) in eine untere Dreiecksmatrix \(L\) und eine obere Dreiecksmatrix \(U\), sodass \(A = LU\).
• Jacobi-Verfahren: Iteratives Verfahren, das jede Gleichung nutzt, um den Wert einer Unbekannten zu berechnen, wobei alte Werte verwendet werden.
• Gauss-Seidel-Verfahren: Ähnlich wie Jacobi, benutzt jedoch bereits aktualisierte Werte innerhalb der Iteration.
• Gradient-Verfahren: Minimalisiert die quadratische Fehlerfunktion bei Überbestimmten Systemen.

Regeln zur Differentiation

Definition:

Mathematische Regeln zum Bestimmen der Ableitung einer Funktion.

Details:

• Potenzregel: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n x^{n-1}\)
• Summenregel: \(f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)\)
• Produktregel: \(f(x) = g(x) \cdot h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)
• Quotientenregel: \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}\)
• Kettenregel: \(f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Techniken der Integration

Definition:

Methoden zum Berechnen von Integralen.

Details:

• Substitution: Setze ein neues Integral durch Änderung der Integrationsgrenzen und Variablen.
• Partielle Integration: Nutze die Formel \( \int u \cdot v' \,dx = uv - \int u' \cdot v \,dx \) zur Zerlegung eines Integrals.
• Partielle Bruchzerlegung: Zerlege eine gebrochene rationale Funktion in einfachere Brüche.
• Trigonometrische Substitution: Transformation von Integralen durch trigonometrische Identitäten.
• Integration durch Reihen: Näherung durch Reihenentwicklung.