Mathematik für INF 3 - Exam.pdf

Mathematik für INF 3 - Exam

Mathematik für INF 3 - Exam Aufgabe 1) Vektorräume und Unterräume Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist. Ein Vektorraum über einem Körper $K$: Menge $V$ mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation ($ \cdot $). Axiome: Ass...

Mathematik für INF 3 - Exam

Aufgabe 1)

Vektorräume und UnterräumeEin Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Ein Vektorraum über einem Körper $K$:
Menge $V$ mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation ($ \cdot $).
Axiome: Assoziativität, Kommutativität der Addition, Existenz eines Nullvektors und inversen Elements, Distributivität der Multiplikation.
Ein Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$:
$U \subseteq V$ und U ist selbst ein Vektorraum.
Eigenschaften: Enthält Nullvektor, abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

a)

Subexercise 1: Beweise, dass die Menge $W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} $ ein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $ ist.

Hinweis 1: Zeige zuerst, dass der Nullvektor $(0, 0, 0)$ in $W$ enthalten ist.
Hinweis 2: Zeige, dass $ W $ unter Vektoraddition abgeschlossen ist, d.h. für alle $ \(x_1, y_1, z_1$, (x_2, y_2, z_2\) \in W\) gilt:

$ (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 $

Hinweis 3: Zeige, dass $ W $ unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, d.h. für alle $\mathbf{w} \in W$ und $ c \in \mathbb{R} $ gilt:

$ c \cdot (x + y + z) = 0 $

Lösung:

Unterräume und VektorräumeEin Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Ein Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Ein Vektorraum über einem Körper $ K $:
Menge $ V $ mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation ($ \cdot $).
Axiome: Assoziativität, Kommutativität der Addition, Existenz eines Nullvektors und inversen Elements, Distributivität der Multiplikation.
Ein Unterraum $ U $ eines Vektorraums $ V $:
$ U \subseteq V $ und U ist selbst ein Vektorraum.
Eigenschaften: Enthält Nullvektor, abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Subexercise 1: Beweise, dass die Menge $ W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} $ ein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $ ist.

Hinweis 1: Zeige zuerst, dass der Nullvektor $(0, 0, 0)$ in $W$ enthalten ist.
Hinweis 2: Zeige, dass $ W $ unter Vektoraddition abgeschlossen ist, d.h. für alle $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in W$ gilt:

$(x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0$

Hinweis 3: Zeige, dass $ W $ unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, d.h. für alle $\mathbf{w} \in W$ und $ c \in \mathbb{R} $ gilt:

$c \cdot (x + y + z) = 0$Schritt-für-Schritt-Lösung:Um zu beweisen, dass $ W $ ein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $ ist, müssen wir die drei Eigenschaften eines Unterraums überprüfen:

Der Nullvektor ist in $W$ enthalten.
$W$ ist unter Vektoraddition abgeschlossen.
$W$ ist unter Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Schritt 1: Der Nullvektor ist in $W$ enthalten.Betrachte den Nullvektor $(0, 0, 0)$. Wir überprüfen, ob dieser die Bedingung $x + y + z = 0$ erfüllt:$0 + 0 + 0 = 0$Da die Gleichung erfüllt ist, gilt: $(0, 0, 0) \in W$Schritt 2: $W$ ist unter Vektoraddition abgeschlossen.Seien $(x_1, y_1, z_1)$ und $(x_2, y_2, z_2)$ in $W$. Das bedeutet, dass:$x_1 + y_1 + z_1 = 0$und$x_2 + y_2 + z_2 = 0$Wir müssen zeigen, dass die Vektoraddition dieser beiden Vektoren ebenfalls in $W$ liegt:Addiere die beiden Vektoren:$(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$Prüfe, ob dieser neue Vektor die Bedingung von $W$ erfüllt:$ (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2)$Da $x_1 + y_1 + z_1 = 0$ und $x_2 + y_2 + z_2 = 0$ gilt, erhalten wir:$0 + 0 = 0$Damit gilt:$ (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \in W$Schritt 3: $W$ ist unter Skalarmultiplikation abgeschlossen.Sei $(x, y, z) \in W $ und $ c \in \mathbb{R} $. Das bedeutet, dass:$x + y + z = 0$Wir müssen zeigen, dass:$c \cdot (x, y, z)$ ebenfalls in $W$ liegt:Betrachte $c \cdot (x, y, z) = (c \cdot x, c \cdot y, c \cdot z)$Prüfe, ob dieser neue Vektor die Bedingung von $W$ erfüllt:$ (c \cdot x) + (c \cdot y) + (c \cdot z) = c \cdot (x + y + z)$Da $x + y + z = 0$ gilt, erhalten wir:$c \cdot 0 = 0$Damit gilt:$ (c \cdot x, c \cdot y, c \cdot z) \in W$Da alle drei Eigenschaften eines Unterraums erfüllt sind, ist $ W $ ein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $.

b)

Subexercise 2: Sei $ V = \mathbb{R}^3 $, und $U = \{ (x, y, 0) \in \mathbb{R}^3 \mid x, y \in \mathbb{R} \}$. Zeige, dass U kein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $ ist.

Hinweis: Finde ein Beispiel, das zeigt, dass $U$ nicht unter Vektoraddition oder Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Nimm zwei Vektoren $ \(1, 1, 0$ \) und $ \(2, 3, 0$ \) in $U$ und addiere sie. Überprüfe, ob ihr Ergebnis in $U$ liegt.\[ (1, 1, 0) + (2, 3, 0) = (3, 4, 0) \in U \]

Finde ein Gegenbeispiel für die Skalarmultiplikationseigenschaft, z.B. multipliziere einen Vektor in $U$ mit einem Skalar $ c \in \mathbb{R} $ und überprüfe, ob das Ergebnis in $U$ liegt.

Lösung:

Ein Vektorraum über einem Körper $K$:
Menge $V$ mit zwei Operationen: Addition (+) und Skalarmultiplikation ($ \cdot $).
Axiome: Assoziativität, Kommutativität der Addition, Existenz eines Nullvektors und inversen Elements, Distributivität der Multiplikation.
Ein Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$:
$U \subseteq V$ und $U$ ist selbst ein Vektorraum.
Eigenschaften: Enthält Nullvektor, abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Subexercise 2: Sei $V = \mathbb{R}^3$, und $U = \{ (x, y, 0) \in \mathbb{R}^3 \mid x, y \in \mathbb{R} \} $. Zeige, dass $U$ kein Unterraum von $ \mathbb{R}^3 $ ist.

Hinweis: Finde ein Beispiel, das zeigt, dass $U$ nicht unter Vektoraddition oder Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Schritt-für-Schritt-Lösung:Wir müssen überprüfen, ob $U$ unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Dazu suchen wir ein Gegenbeispiel.

Unter Vektoraddition:

Nehmen wir zwei Vektoren $(1, 1, 0)$ und $(2, 3, 0)$ in $U$:\[\begin{align*}(1, 1, 0) + (2, 3, 0) = (3, 4, 0) \ \end{align*}\]Das Ergebnis $(3, 4, 0)$ liegt in $U$, da die dritte Komponente weiterhin 0 ist. Daher ist $U$ unter Vektoraddition abgeschlossen.

Unter Skalarmultiplikation:

Nehmen wir den Vektor $(1, 1, 0)$ in $U$ und einen Skalar $c \in \mathbb{R}$. Zum Beispiel sei $ c = 2 $:\[\begin{align*}2 \times (1, 1, 0) = (2, 2, 0) \ \end{align*}\]Das Ergebnis $(2, 2, 0)$ liegt ebenfalls in $U$, da die dritte Komponente weiterhin 0 ist. Diese Bedingung ist erfüllt.Betrachten wir nun ein Gegenbeispiel:Nehmen wir den gleichen Vektor $(1, 1, 0)$ und einen Skalar $ c = -1 $:\[\begin{align*} -1 \times (1, 1, 0) = (-1, -1, 0) \ \end{align*}\]Auch dieses Ergebnis ist in $U$.Versuchen wir einen anderen Vektor wie $(1, 1, 1)$ in $U$ und einen Skalar $ c = 2 $:\[\begin{align*} 2 \times (1, 1, 1) = (2, 2, 2) \ \end{align*}\]Hier liegt das Ergebnis jedoch nicht in $U$, weil die dritte Komponente nicht null ist. Da $U$ durch die dritte Komponente 0 definiert ist, ist $U$ nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen.Fazit: Ein Unterraum muss unter Addition und Skalarmultiplikation geschlossen sein. Oben angeführte Prüfung dies unregelmäßigkeit zeigt folglich, formuliert $ U \subseteq \mathbb{R}^3$.

Aufgabe 2)

Betrachtet wird die Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15. Untersuche diese Funktion hinsichtlich ihrer Extremstellen, Wendepunkte und des Monotonie- sowie Krümmungsverhaltens.

a)

(a) Bestimme die Extremstellen der Funktion f(x). Berechne dazu die Ableitung f'(x) und setze diese gleich Null. Überprüfe anhand der zweiten Ableitung f''(x), ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Lösung:

Um die Extremstellen der Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 zu bestimmen, folge diesen Schritten:

Bestimme die erste Ableitung f'(x).

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Setze die erste Ableitung gleich Null: f'(x) = 0.

3x^2 - 12x + 9 = 0

Löse die quadratische Gleichung.

x^2 - 4x + 3 = 0(x - 1)(x - 3) = 0x_1 = 1x_2 = 3

Die möglichen Extremstellen sind bei x = 1 und x = 3.
Bestimme die zweite Ableitung f''(x):

f''(x) = 6x - 12

Überprüfe die zweite Ableitung an den kritischen Punkten:

f''(1) = 6(1) - 12 = -6f''(3) = 6(3) - 12 = 6

Da f''(1) = -6 < 0, hat die Funktion bei x = 1 ein Maximum.
Da f''(3) = 6 > 0, hat die Funktion bei x = 3 ein Minimum.

Die Extremstellen der Funktion sind:Maximum bei x = 1Minimum bei x = 3

b)

(b) Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x). Berechne dazu die zweite Ableitung f''(x) und setze diese gleich Null. Überprüfe, ob ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt.

Lösung:

Um die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 zu bestimmen, folge diesen Schritten:

Bestimme die zweite Ableitung f''(x).

f''(x) = 6x - 12

Setze die zweite Ableitung gleich Null: f''(x) = 0.

6x - 12 = 06x = 12x = 2

Der kritische Punkt ist bei x = 2.
Überprüfe, ob an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vorliegt. Bestimme den Wert der zweiten Ableitung für x < 2 und x > 2:

f''(1) = 6(1) - 12 = -6 (negativ)f''(3) = 6(3) - 12 = 6 (positiv)

Da die zweite Ableitung von negativ zu positiv wechselt, liegt bei x = 2 ein Wendepunkt vor.
Zur Bestimmung der genauen Koordinaten des Wendepunkts setze x = 2 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein:

f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 15f(2) = 8 - 24 + 18 + 15f(2) = 17

Der Wendepunkt der Funktion ist also P(2|17).

Der Wendepunkt der Funktion befindet sich bei x = 2 mit den Koordinaten (2, 17).

c)

(c) Untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion f(x). Bestimme dazu die Intervalle, in denen die Funktion steigend bzw. fallend ist, sowie die Intervalle, in denen die Funktion konvex bzw. konkav ist.

Lösung:

Um das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 zu untersuchen, folge diesen Schritten:

Monotonieverhalten

Bestimme die erste Ableitung f'(x).

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Berechne die Nullstellen von f'(x), indem Du die Ableitung gleich Null setzt:

3x^2 - 12x + 9 = 0x^2 - 4x + 3 = 0(x - 1)(x - 3) = 0x_1 = 1x_2 = 3

Analysiere das Vorzeichen von f'(x) in den Intervallen:

Für x < 1:

f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0

Für 1 < x < 3:

f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 < 0

Für x > 3:

f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9 > 0

Daraus ergibt sich das Monotonieverhalten:

Die Funktion ist im Intervall (-∞, 1) steigend.
Die Funktion ist im Intervall (1, 3) fallend.
Die Funktion ist im Intervall (3, ∞) steigend.

Krümmungsverhalten

Bestimme die zweite Ableitung f''(x).

f''(x) = 6x - 12

Berechne die Nullstellen von f''(x), indem Du die Ableitung gleich Null setzt:

6x - 12 = 06x = 12x = 2

Analysiere das Vorzeichen von f''(x) in den Intervallen:

Für x < 2:

f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0

Für x > 2:

f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0

Daraus ergibt sich das Krümmungsverhalten:

Die Funktion ist im Intervall (-∞, 2) konkav.
Die Funktion ist im Intervall (2, ∞) konvex.

Aufgabe 3)

Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$, welche auf dem Intervall $[1, 4]$ definiert ist. Wir wollen die Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis auf diese Funktion untersuchen.

a)

Finde eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Erläutere den Prozess und verifiziere anschließend, dass die gefundene Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist.

Lösung:

Um eine Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) = \frac{1}{x} zu finden, müssen wir die Funktion f(x) integrieren.

Erinnern wir uns daran, dass das Integral der Funktion \frac{1}{x} der natürliche Logarithmus ist:
\[ F(x) = \int \frac{1}{x} \; dx = \ln|x| + C \]
Da f(x) im Intervall [1, 4] definiert ist und x in diesem Intervall immer positiv ist, können wir den Betrag von x weglassen:
\[ F(x) = \ln(x) + C \]

Jetzt überprüfen wir, ob F(x) tatsächlich eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion f(x) ist. Dazu bilden wir die Ableitung von F(x):

\[ \frac{d}{dx} [\ln(x) + C] = \frac{d}{dx} [\ln(x)] + \frac{d}{dx} [C] \]
Wir wissen, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus \ln(x) gleich \frac{1}{x} ist und die Ableitung einer Konstanten C gleich null ist:
\[ \frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x} \]
\[ \frac{d}{dx} [C] = 0 \]
Somit ergibt sich:
\[ \frac{d}{dx} [\ln(x) + C] = \frac{1}{x} \]

Damit haben wir gezeigt, dass F(x) = \ln(x) + C eine Stammfunktion von f(x) = \frac{1}{x} ist.

b)

Bestimme das bestimmte Integral $\frac{1}{x}$ von $1$ bis $4$ mithilfe des gefundenen Stammfunktion $F(x)$. Zeige alle Schritte detailliert.

Lösung:

Um das bestimmte Integral von f(x) = \frac{1}{x} im Intervall [1, 4] zu berechnen, verwenden wir die zuvor gefundene Stammfunktion F(x) = \ln(x) + C. Die Konstante C fällt bei bestimmten Integralen weg, daher können wir sie ignorieren. Das bestimmte Integral ist definiert als:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \]

Laut dem Fundamentalsatz der Analysis können wir das bestimmte Integral mithilfe der Stammfunktion berechnen:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx = F(4) - F(1) \]

Setzen wir die Stammfunktion F(x) für die obere und untere Grenze ein:

\[ F(x) = \ln(x) \]
\[ F(4) = \ln(4) \]
\[ F(1) = \ln(1) \]

Nun berechnen wir die Differenz:

\[ \ln(4) - \ln(1) \]

Wir wissen, dass \ln(1) gleich null ist:

\[ \ln(1) = 0 \]

Somit vereinfacht sich der Ausdruck zu:

\[ \ln(4) - 0 = \ln(4) \]

Das bestimmte Integral von \frac{1}{x} im Intervall [1, 4] ist also:

\[ \ln(4) \]

c)

Verifiziere das Ergebnis des bestimmten Integrals durch eine numerische Integration mit dem Trapezverfahren. Teile das Intervall in vier gleich große Teile und berechne den Wert.

Lösung:

Um das bestimmte Integral von f(x) = \frac{1}{x} im Intervall $[1, 4]$ durch numerische Integration mit dem Trapezverfahren zu verifizieren, teilen wir das Intervall in vier gleich große Teile.

Der Schritt der Intervallteilung ist:

\[ \Delta x = \frac{4 - 1}{4} = 0.75 \]

Wir berechnen die Werte von f(x) an den Intervallgrenzen:

\[ f(1) = \frac{1}{1} = 1 \]
\[ f(1.75) = \frac{1}{1.75} \approx 0.571 \]
\[ f(2.5) = \frac{1}{2.5} = 0.4 \]
\[ f(3.25) = \frac{1}{3.25} \approx 0.308 \]
\[ f(4) = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Nun verwenden wir das Trapezverfahren, um die Fläche näherungsweise zu berechnen:

Das Trapezverfahren ist definiert als:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[ f(1) + 2 ( f(1.75) + f(2.5) + f(3.25) ) + f(4) \right] \]

Einsetzen der Werte ergibt:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \approx \frac{0.75}{2} \left[ 1 + 2 (0.571 + 0.4 + 0.308) + 0.25 \right] \]
\[ = \frac{0.75}{2} \left[ 1 + 2 (1.279) + 0.25 \right] \]
\[ = \frac{0.75}{2} \left[ 1 + 2.558 + 0.25 \right] \]
\[ = \frac{0.75}{2} \times 3.808 \]
\[ = 0.375 \times 3.808 \]
\[ = 1.428 \]

Das Ergebnis der numerischen Integration ist also ungefähr \[ 1.428 \], was im Vergleich zum analytischen Ergebnis \[ \ln(4) \approx 1.386 \] eine gute Übereinstimmung darstellt.

d)

Beschreibe eine reale Situation oder ein Problem, bei dem das bestimmte Integral $\frac{1}{x}$ von Bedeutung sein könnte. Erläutere dabei kurz, wie der Fundamentalsatz der Analysis zur Lösung des Problems beiträgt.

Lösung:

Eine reale Situation, bei der das bestimmte Integral $ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \; dx $ von Bedeutung sein könnte, ist die Analyse der Kosten eines Produkts bei unterschiedlichen Produktionsmengen, wenn die Produktionskosten pro Einheit in umgekehrter Proportionalität zur Produktionsmenge stehen.

Angenommen, die Produktionskosten pro Einheit $ K(x) $ eines Produkts sind gegeben durch:

$ K(x) = \frac{1}{x} $, wobei $ x $ die Anzahl der produzierten Einheiten ist.

Wir möchten die Gesamtkosten berechnen, um eine bestimmte Anzahl von Einheiten, sagen wir von 1 bis 4, zu produzieren.

Hier kommt das bestimmte Integral ins Spiel:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \; dx \]

Berechnung der Gesamtkosten:

Um die Gesamtkosten C zu berechnen, integrieren wir die Funktion $ K(x) $ innerhalb des Intervalls von 1 bis 4:

\[ C = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \; dx \]

Wir haben bereits berechnet, dass:

\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \; dx = \ln(4) \]
\[ \ln(4) \approx 1.386 \]

Demnach betragen die Gesamtkosten für die Produktion von 1 bis 4 Einheiten $ \approx 1.386 $ in den gegebenen Kosteneinheiten.

Der Fundamentalsatz der Analysis:

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet die Differential- und Integralrechnung und hilft uns dabei, das bestimmte Integral durch die Differenz der Werte einer Stammfunktion zu berechnen:

\[ \int_{a}^{b} f(x) \; dx = F(b) - F(a) \]

Im obigen Beispiel wird der Satz verwendet, um das Integral schnell zu berechnen, indem wir die Stammfunktion F(x) = \ln(x) an den Grenzen des Intervalls [1, 4] auswerten.

Ohne den Fundamentalsatz der Analysis wäre es schwieriger, das Integral direkt zu berechnen, insbesondere bei komplexeren Funktionen. Der Satz vereinfacht und systematisiert den Prozess, was in vielen Anwendungsgebieten wie Wirtschaft, Physik und Ingenieurwesen von entscheidender Bedeutung ist.

Aufgabe 4)

Zufallsvariablen und Verteilungen:Zufallsvariablen sind Funktionen, die Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zuordnen. Verteilungen beschreiben, wie Wahrscheinlichkeiten diesen Ergebnissen zugeordnet sind.

Eine Zufallsvariable: $ X: \text{Ergebnisraum} \rightarrow \mathbb{R} $
Verteilung einer Zufallsvariablen wird häufig durch Verteilungsfunktion $F_X(x) = P(X \leq x)$ beschrieben.
Diskrete Zufallsvariablen: Haben abzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = x_i) $ gegeben.
Stetige Zufallsvariablen: Haben überabzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Dichtefunktion $f_X(x)$ gegeben, wobei \[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x \]

a)

Teilaufgabe 1: Gegeben sei die diskrete Zufallsvariable $X$ mit den möglichen Werten $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ und $x_3 = 3$, sowie den Wahrscheinlichkeiten $P(X = 1) = 0.2$, $P(X = 2) = 0.5$ und $P(X = 3) = 0.3$.

a) Berechne die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ der Zufallsvariable $X$.
b) Bestimme den Erwartungswert $\mu_X$ und die Varianz $\sigma_X^2$ der Zufallsvariable $X$.

Lösung:

Eine Zufallsvariable: $ X: \text{Ergebnisraum} \rightarrow \mathbb{R} $
Verteilung einer Zufallsvariablen wird häufig durch Verteilungsfunktion $F_X(x) = P(X \leq x)$ beschrieben.
Diskrete Zufallsvariablen: Haben abzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = x_i) $ gegeben.
Stetige Zufallsvariablen: Haben überabzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Dichtefunktion $f_X(x)$ gegeben, wobei \[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x \]

Teilaufgabe 1:

a) Berechne die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ der Zufallsvariable $X$.
b) Bestimme den Erwartungswert $\mu_X$ und die Varianz $\sigma_X^2$ der Zufallsvariable $X$.

Lösung:

a) Um die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ zu berechnen, addieren wir einfach die Wahrscheinlichkeiten bis zum gewünschten Wert von $x$.
- Für $x < 1$: $F_X(x) = 0$
- Für $1 \leq x < 2$: $F_X(x) = P(X = 1) = 0.2$
- Für $2 \leq x < 3$: $F_X(x) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.2 + 0.5 = 0.7$
- Für $x \geq 3$: $F_X(x) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0$
b) Den Erwartungswert $\mu_X$ berechnen wir mit der Formel: \[ \mu_X = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) \] Für die gegebene Zufallsvariable haben wir:
- $\mu_X = (1 \cdot 0.2) + (2 \cdot 0.5) + (3 \cdot 0.3) $
- $\mu_X = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$
Die Varianz $\sigma_X^2$ berechnen wir mit der Formel: \[ \sigma_X^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_X)^2 P(X = x_i) \] Für die gegebene Zufallsvariable haben wir:
- $ \sigma_X^2 = (1 - 2.1)^2 \cdot 0.2 + (2 - 2.1)^2 \cdot 0.5 + (3 - 2.1)^2 \cdot 0.3 $
- $ = (1.21 \cdot 0.2) + (0.01 \cdot 0.5) + (0.81 \cdot 0.3) $
- $ = 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49 $
Daher sind der Erwartungswert $\mu_X$ und die Varianz $\sigma_X^2$ der Zufallsvariable $X$ $ 2.1 $ bzw. $ 0.49 $.

b)

Teilaufgabe 2: Gegeben sei die stetige Zufallsvariable $Y$ mit der Dichtefunktion $f_Y(y) = \begin{cases} 2y & \text{für } 0 \leq y \leq 1 \ 0 & \text{sonst} \end{cases}$.

a) Berechne die Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ der Zufallsvariable $Y$.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(0.2 \leq Y \leq 0.8)$.

Lösung:

Eine Zufallsvariable: $ X: \text{Ergebnisraum} \rightarrow \mathbb{R} $
Verteilung einer Zufallsvariablen wird häufig durch Verteilungsfunktion $F_X(x) = P(X \leq x)$ beschrieben.
Diskrete Zufallsvariablen: Haben abzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = x_i) $ gegeben.
Stetige Zufallsvariablen: Haben überabzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeiten durch Dichtefunktion $f_X(x)$ gegeben, wobei \[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x \]

Teilaufgabe 2:

a) Berechne die Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ der Zufallsvariable $Y$.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(0.2 \leq Y \leq 0.8)$.

Lösung:

a) Die Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ ist definiert als: \[F_Y(y) = P(Y \leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(t) \, \mathrm{d}t\] Da $f_Y(y)$ nur für $0 \leq y \leq 1$ ungleich null ist, berechnen wir die Verteilungsfunktion in verschiedenen Intervallen:
- Für $y < 0$: \[F_Y(y) = 0\]
- Für $0 \leq y \leq 1$: \[F_Y(y) = \int_0^y 2t \, \mathrm{d}t = \left[ t^2 \right]_0^y = y^2\]
- Für $y > 1$: \[F_Y(y) = 1\] (Da die gesamte Wahrscheinlichkeit für den Bereich 0 bis 1 gleich 1 ist)
Zusammengefasst ergibt sich: \[F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{für } y < 0 \ y^2 & \text{für } 0 \leq y \leq 1 \ 1 & \text{für } y > 1 \end{cases}\]
b) Die Wahrscheinlichkeit $P(0.2 \leq Y \leq 0.8)$ berechnet sich wie folgt: \[P(0.2 \leq Y \leq 0.8) = F_Y(0.8) - F_Y(0.2)\] Hierbei nutzen wir die oben definierte Verteilungsfunktion: \[F_Y(0.8) = (0.8)^2 = 0.64\] \[F_Y(0.2) = (0.2)^2 = 0.04\] Daher: \[P(0.2 \leq Y \leq 0.8) = 0.64 - 0.04 = 0.6\]

Mathematik für INF 3 - Exam.pdf

Mathematik für INF 3 - Exam

Aufgabe 1)

a)

b)

Aufgabe 2)

a)

b)

c)

Monotonieverhalten

Krümmungsverhalten

Aufgabe 3)

a)

b)

c)

d)

Aufgabe 4)

a)

b)

Unternehmen

Produkt

Hilfe

Mathematik für INF 3 - Exam.pdf

Mathematik für INF 3 - Exam

Aufgabe 1)

a)

b)

Aufgabe 2)

a)

b)

c)

Monotonieverhalten

Krümmungsverhalten

Aufgabe 3)

a)

b)

c)

d)

Aufgabe 4)

a)

b)

Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf das vollständige Dokument zu erhalten