Mathematik für INF 4 - Cheatsheet

Minimierung von Schaltnetzen mit Boolescher Algebra und Karnaugh-Diagrammen

Definition:

Minimierung von Schaltnetzen durch Anwendung von Boolescher Algebra und Karnaugh-Diagrammen zur Vereinfachung logischer Ausdrücke.

Details:

• Ziel: Reduktion der Anzahl der logischen Gatter und Verbindungen.
• Boolesche Algebra: Nutzung von Gesetzen wie Kommutativität, Assoziativität, Distributivität zur Vereinfachung.
• Karnaugh-Diagramm (K-Diagramm): Graphische Methode zur Darstellung und Minimierung von Booleschen Funktionen.
• Vorgehen im K-Diagramm: Zusammenfassung von 1-Quadraten (Minterms) zu größeren Blöcken (Potenz von 2) zur Reduktion des logischen Ausdrucks.
• Minimierte Funktion: Summe von Produkten (SOP) oder Produkt von Summen (POS) der resultierenden Blöcke.

Grundlagen zu Flip-Flops und deren Typen (SR, D, JK, T)

Definition:

Elektronische Schaltkreise, die Zustand speichern. Flip-Flops sind grundlegende Speicherbausteine in digitalen Schaltungen.

Details:

• SR-Flip-Flop: Speichert und setzt Rücksetzsignale. Wahrheitstabelle:

• Q' = Q, wenn S=0 und R=0
• Q' = 1, wenn S=1 und R=0
• Q' = 0, wenn S=0 und R=1
• undefiniert, wenn S=1 und R=1

• D-Flip-Flop: Daten werden direkt übernommen. Zustand durch Taktsignal bestimmt.
• Q' = D bei aktivem Takt

• JK-Flip-Flop: Kombination aus SR und T. Umgeht undefinierten Zustand bei S=1 und R=1.
• Q' = 0, wenn J=0 und K=1
• Q' = 1, wenn J=1 und K=0
• Q' = eg Q, wenn J=1 und K=1
• Q' = Q, wenn J=0 und K=0

• T-Flip-Flop: Taktflanken-gesteuert. Toggles Zustand.
• Q' = eg Q, wenn T=1
• Q' = Q, wenn T=0

Zustandsdiagramme und Zustandsübergänge in Schaltwerken

Definition:

Grafische Darstellung der Zustände und Übergänge eines Schaltwerks.

Details:

• Schaltwerke: Automaten (endliche Zustandsmaschinen)
• Zustandsdiagramm: Knoten = Zustände, Kanten = Übergänge
• Übergang durch: Eingaben/Trigger
• Ausgabe- und Übergangsfunktionen: Moore (nur Zustand zählt), Mealy (Zustand+Eingabe zählt)

Numerische Integrationsverfahren (Trapez- und Simpsonregel)

Definition:

Numerische Integrationsverfahren sind Techniken zur Annäherung des Integrals einer Funktion, wenn eine analytische Lösung schwierig oder unmöglich ist. Trapezregel und Simpsonregel sind zwei häufig verwendete Methoden.

Details:

• Trapezregel: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right] \]
• Verfeinerte Trapezregel: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right] \]
• Simpsonregel: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f \left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right] \]
• Verfeinerte Simpsonregel: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6n} \Bigg[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,...}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,...}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \Bigg] \]
• Beide Methoden teilen das Integrationsintervall in kleinere Abschnitte, um die Genauigkeit zu erhöhen.

Anwendung von Schieberegistern und Zählern

Definition:

Anwendung von Schieberegistern und Zählern in digitalen Schaltungen, um Daten zu speichern, zu verschieben und zu zählen.

Details:

• Schieberegister: Serie von Flip-Flops zur Datenverschiebung und -speicherung
• Zähler: Abfolge von Flip-Flops zur binären Zählung von Ereignissen
• Beispiel Schieberegister: Ringzähler, PN-Generatoren
• Beispiel Zähler: Modulo-Zähler, Binärzähler
• Formeln: Übergangsfunktion eines Zählers: \(Q_{n+1} = (Q_n + 1) \bmod 2^n\)
• Anwendungen: Frequenzteiler, Zeitgeber, digitale Signalverarbeitung