Mathematische Modellierung Praxis - Cheatsheet

Lineare und nichtlineare Modelle in der mathematischen Modellierung

Definition:

Lineare Modelle: Gleichungen, deren Variablen in linearer Form auftreten. Nichtlineare Modelle: Gleichungen mit nichtlinearen Termen (z.B. Quadrate, Produkte von Variablen).

Details:

• Lineares Modell: \(y = ax + b\)
• Nichtlineares Modell: \(y = ax^2 + bx + c\)
• Lineare Modelle einfacher zu lösen und zu analysieren.
• Nichtlineare Modelle flexibler, können komplexere Beziehungen darstellen.
• Linearisierung: Nichtlineares Problem in ein lineares umwandeln (z.B. Taylor-Approximation).
• Anwendung abhängig von der Problemstellung (z.B. Regressionsanalyse, Differentialgleichungen).

Dynamische Systeme und deren Anwendungen

Definition:

Studium von Systemen, deren Zustand sich im Laufe der Zeit ändert; Anwendungen in der Modellierung von physikalischen, biologischen und wirtschaftlichen Prozessen.

Details:

• Beschreibung durch Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen
• Wichtige Konzepte: Stabilität, Attraktor, Phasenraum
• Beispiele: Wettervorhersage, Populationsdynamik, Regelungstechnik, Finanzmarktmodelle
• Analysemethoden: Numerische Simulation, Linearisierung, Lyapunov-Methoden

Stochastische Modelle und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition:

Stochastische Modelle und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Methoden zur Analyse und Beschreibung von Zufallsprozessen und Ungewissheit.

Details:

• Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: \( P(A) \)
• Gesetz der großen Zahlen: Langfristige Tendenz von Zufallsereignissen.
• Zentrale Grenzwertsatz: Verteilung von Mittelwerten großer Stichproben ist normalverteilt.
• Erwartungswert: \( E(X) = \sum x \, P(X=x) \)
• Varianz: \( Var(X) = E[(X - E(X))^2] \)
• Kovarianz: Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.
• Markov-Ketten: Zustandsübergänge mit Gedächtnislosigkeitseigenschaft.
• Bayessche Statistik: Update von Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Daten.

Algorithmische Modellierung und Simulationstechniken

Definition:

Algorithmische Modellierung und Simulationstechniken sind Methoden, um komplexe Systeme mittels mathematischer Modelle und numerischen Algorithmen zu analysieren und vorherzusagen.

Details:

• Mathematische Modelle: Differentialgleichungen, diskrete Systeme
• Numerische Algorithmen: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren
• Simulationstechniken: Monte-Carlo-Simulation, Agentenbasierte Modelle
• Verifizierung und Validierung der Modelle
• Softwaretools: MATLAB, Simulink, R, Python (SciPy)

Optimierungsprobleme: Methoden und Lösungsansätze

Definition:

Optimierungsprobleme: Suche nach dem Optimum einer Zielfunktion unter gegebenen Randbedingungen.

Details:

• Mathematisches Modell: \( \text{min} / \text{max} \, f(x) \ \text{unter Nebenbedingungen} \ g_i(x) \leq 0, \ i \in I \ und \ h_j(x) = 0, \ j \in J \ )
• Lineare Optimierung: Simplexverfahren
• Nichtlineare Optimierung: Gradientenverfahren, Newton-Verfahren
• Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung: Branch and Bound, Dynamische Programmierung
• Heuristiken: Genetische Algorithmen, Simulierte Abkühlung

Software-Tools und Programme für die Modellierung (z.B., MATLAB, R, Python)

Definition:

Details:

• MATLAB: Interagiere mit einer benutzerfreundlichen Umgebung für numerische Berechnungen, Datenvisualisierungen und Algorithmenentwicklung. Nutze integrierte Funktionen für mathematische Modellierung und Simulation.
• R: Ideal für statistische Analysen und Datenvisualisierung. Verfügbar als freie Software mit zahlreichen Paketen für spezialisierte statistische Methoden.
• Python: Vielseitige Programmiersprache, die durch Bibliotheken wie NumPy, SciPy und Matplotlib für wissenschaftliches Rechnen und Datenanalyse erweitert wird. Pandas ermöglicht umfangreiche Datenmanipulation.

Fallstudien: Verkehrsflussmodelle und Umweltmodellierung

Definition:

Fallstudien zu Verkehrsflussmodellen und Umweltmodellierung analysieren die mathematische Beschreibung und Simulation von Verkehrsdynamiken und deren Umweltauswirkungen.

Details:

• Verkehrsflussmodelle: Untersuchung der Dynamik von Fahrzeugen auf Straßen und deren Interaktionen.
• Grundlegende Modelle: z. B. Lighthill-Whitham-Richards Modell (LWR) mit der Erhaltungsgleichung \[ \frac{\text{d}\rho}{\text{d}t} + \frac{\text{d}(\rho v)}{\text{d}x} = 0 \] \rho = Verkehrsdichte, v = Geschwindigkeit
• Umweltmodellierung: Auswirkungen von Verkehrsfluss auf Emissionen und Luftqualität.
• Emissionsmodelle: Berechnung der freigesetzten Schadstoffe abhängig von Verkehrsparametern.
• Optimierungsansätze: Verbesserung des Verkehrsflusses zur Reduktion von Emissionen.

Projektarbeit: Modellentwicklung, Implementierung und Präsentation

Definition:

Projektarbeit in der Vorlesung Mathematische Modellierung: Erstellung eines mathematischen Modells, Implementierung dieses Modells und anschließende Präsentation der Ergebnisse.

Details:

• Modellentwicklung: Formulierung eines Problems, Annahmen treffen, mathematische Gleichungen aufstellen.
• Implementierung: Modell mittels Software umsetzen, z.B. in Python, MATLAB.
• Präsentation: Darstellung der Ergebnisse, Visualisierungen, Diskussion der Resultate.
• Arbeitsaufteilung: Teamarbeit, Klärung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
• Dokumentation: Schriftliche Aufbereitung der Projektarbeit, inkl. Code und Analyse.