Mathematische Modellierung Theorie - Cheatsheet

Einführung in lineare Gleichungssysteme

Definition:

Systeme aus mehreren linearen Gleichungen, die simultan gelöst werden müssen.

Details:

• Allgemeine Form: \[ Ax = b \]
• \( A \): Koeffizientenmatrix
• \( x \): Vektor der Variablen
• \( b \): Ergebnisvektor
• Methoden zur Lösung: Gaussian Elimination, Cramersche Regel, Matrixinversion
• Lösungsmöglichkeiten: eindeutig, unendlich viele, keine
• Erweiterte Koeffizientenmatrix für Gaussian Elimination: \[ [A|b] \]

Regression und lineare Schätzung

Definition:

Berechnung einer Linie, die die Beziehung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen beschreibt.

Details:

• Lineares Modell: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \)
• Ziel: Minimierung der Summe der quadrierten Abweichungen (Fehler) \( \sum (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \)
• Schätzer für \(\beta_0\) und \(\beta_1\) mittels Kleinste-Quadrate-Methode: \( \hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \)
• \( \hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \)

Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Definition:

Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen befassen sich mit der Bestimmung der Nullstellen von Funktionen, die nicht-linear sind.

Details:

• Einfachste Methode: Bisektionsmethode (Intervallhalbierungsverfahren)
• Schnellere Konvergenz: Newton-Verfahren (benötigt Ableitung)
• Sekantenverfahren: Keine Ableitungen erforderlich
• Fixpunktiteration: für Funktionen umgestellt auf Fixpunktform
• Konvergenz: Abhängig von Wahl des Startwerts und Eigenschaften der Funktion
• Kombinationen und Adaptationen: Brent's Methode, Hybridverfahren

Bifurkationstheorie und Chaos

Definition:

Untersucht das Verhalten dynamischer Systeme, wenn ein Parameter geändert wird, und das Auftreten von Chaos.

Details:

• Bifurkation: Qualitative Änderung des Systemverhaltens bei Parameteränderung.
• Beispiele: Sattel-Knoten, Pitchfork, Hopf-Bifurkationen.
• Chaos: Sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, deterministisches System mit scheinbar zufälligem Verhalten.
• Beispiel: Lorenz-Attraktor.
• Mathematisch: Lösung analysiert durch Differentialgleichungen \(\dot{x} = f(x, \mu)\)
• Bifurkationsdiagramme zur Visualisierung.

Grundlagen der Differentialgleichungen

Definition:

Grundlegende Konzepte und Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen, die in Informatik und mathematischer Modellierung verwendet werden.

Details:

• Differentialgleichung: Gleichung mit Unbekannten und deren Ableitungen
• Ordnung: höchste auftretende Ableitung
• Partikuläre Lösung: spezifische Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung
• Homogene Lösung: Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
• Lineare Differentialgleichung: Linearkombination der Funktion und ihrer Ableitungen
• Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Integrationsfaktor, Variation der Konstanten, Laplace-Transformation
• Rand- und Anfangsbedingungen: zusätzliche Bedingungen zur eindeutigen Bestimmung der Lösung

Markov-Ketten und zufällige Prozesse

Definition:

Stochastischer Prozess, bei dem der nächste Zustand nur vom aktuellen Zustand abhängt und nicht von den vorherigen Zuständen.

Details:

• Ein Markov-Prozess ist durch die Übergangswahrscheinlichkeiten definiert.
• Markov-Kette: diskrete Zustände und Zeitpunkte.
• Übergangsmatrix: \(P = (p_{ij})\) mit \(p_{ij} = P(X_{n+1} = j \mid X_n = i)\).
• Absorbing states: Zustände, die einmal erreicht, nicht verlassen werden.
• Stationäre Verteilung: \(\pi P = \pi\) und \(\sum_{i} \pi_i = 1\).
• Eigenschaft für Zeit-Homogenität: Übergangswahrscheinlichkeiten sind zeitinvariant.

Stochastische Differentialgleichungen

Definition:

SDEs beschreiben Systeme, die zufällige Einflüsse berücksichtigen. Typisch verwendet für Modellierung in Finanzmathematik, Naturwissenschaften, Ingenieurwesen.

Details:

• Allgemeine Form: \ dX_t = \mu(X_t, t) \ dt + \sigma(X_t, t) \ dW_t
• X_t: stochastischer Prozess
• \mu(X_t, t): Drift-Term
• \sigma(X_t, t): Diffusion-Term
• dW_t: Wiener-Prozess (Brown'sche Bewegung)
• Lösungsmethoden: explizite, implizite Verfahren; Euler-Maruyama, Milstein-Schema
• Anwendungen: Finanzmodelle (z.B. Black-Scholes), physikalische Prozesse (z.B. Brownsche Bewegung), maschinelles Lernen