Mathematische Modellierung Theorie - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte das lineare Gleichungssystem, das durch die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix dargestellt wird:

\[ A|b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \ 0 & 1 & 5 & | & 9 \ 2 & -3 & 4 & | & 7 \end{pmatrix} \]

Führe die folgenden Aufgaben durch:

a)

1. Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Zeige dabei alle Zwischenschritte und beschreibe die einzelnen Transformationen, die verwendet werden.

Lösung:

Um das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens zu lösen, müssen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksform umwandeln und danach durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen der Variablen bestimmen. Hier sind die Schritte im Detail:

• Beginne mit der gegebenen erweiterten Koeffizientenmatrix:

\[ A|b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \ 0 & 1 & 5 & | & 9 \ 2 & -3 & 4 & | & 7 \end{pmatrix} \]

• Zuerst eliminieren wir das Element in der dritten Zeile, erste Spalte. Dazu subtrahieren wir das Doppelte der ersten Zeile von der dritten Zeile:

Z_3 = Z_3 - 2 \times Z_1\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \ 0 & 1 & 5 & | & 9 \ 0 & -7 & 6 & | & 1 \end{pmatrix} \]

• Nun eliminieren wir das Element in der dritten Zeile, zweite Spalte. Dazu addieren wir das Siebenfache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:

Z_3 = Z_3 + 7 \times Z_2\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \ 0 & 1 & 5 & | & 9 \ 0 & 0 & 41 & | & 64 \end{pmatrix} \]

• Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist nun in oberen Dreiecksform. Jetzt können wir mit dem Rückwärtseinsetzen beginnen:
• Setze zuerst die Variable z in der dritten Zeile ein:

41z = 64 \implies z = \frac{64}{41}

• Setze nun die Variable z in der zweiten Zeile ein und löse nach y auf:

0 + y + 5 \times \frac{64}{41} = 9 \implies y + \frac{320}{41} = 9 \implies y = 9 - \frac{320}{41} \implies y = \frac{369}{41} - \frac{320}{41} \implies y = \frac{49}{41}

• Schließlich setzen wir die Variablen y und z in die erste Zeile ein und lösen nach x auf:

1x + 2 \times \frac{49}{41} - \frac{64}{41} = 3 \implies x + \frac{98}{41} - \frac{64}{41} = 3 \implies x + \frac{34}{41} = 3 \implies x = 3 - \frac{34}{41} \implies x = \frac{123}{41} - \frac{34}{41} \implies x = \frac{89}{41}

• Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

\[ x = \frac{89}{41}, y = \frac{49}{41}, z = \frac{64}{41} \]

Aufgabe 2)

Gegeben: Eine Datenmenge von Messwerten mit den unabhängigen Variablenwerten \( x_i \) und den entsprechenden abhängigen Variablenwerten \( y_i \) für \( i = 1, 2, \text{...}, n \). Verwende die Methode der kleinsten Quadrate, um die lineare Beziehung zwischen den Variablen zu modellieren. Das lineare Modell sei: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \text{{\epsilon}} \)

• Berechne die Schätzer \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \), welche die Summe der quadrierten Abweichungen \( \text{RSS} = \text{\sum} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \) minimieren.

a)

Gegeben sind die beobachteten Werte: \( x = [1, 2, 3, 4, 5] \) \( y = [2, 3, 5, 7, 11] \)

• Berechne die Werte \( \bar{x} \) und \( \bar{y} \) und verwende diese, um die Schätzer \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) zu bestimmen. Hinweis: Nutze die Formeln: \[ \hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] \[ \hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \]

Lösung:

Gegeben: Eine Datenmenge von Messwerten mit den unabhängigen Variablenwerten \( x_i \) und den entsprechenden abhängigen Variablenwerten \( y_i \) für \( i = 1, 2, \text{...}, n \). Verwende die Methode der kleinsten Quadrate, um die lineare Beziehung zwischen den Variablen zu modellieren. Das lineare Modell sei: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \text{\epsilon} \)

• Berechne die Schätzer \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \), welche die Summe der quadrierten Abweichungen \( \text{RSS} = \text{\sum} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \) minimieren.

Gegeben: \( x = [1, 2, 3, 4, 5] \) \( y = [2, 3, 5, 7, 11] \)

• Berechne die Werte \( \bar{x} \) und \( \bar{y} \) und verwende diese, um die Schätzer \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) zu bestimmen. Hinweis: Nutze die Formeln: \[ \hat{\beta_1} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] \[ \hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \]

Lösung:Schritt 1: Berechne \( \bar{x} \) und \( \bar{y} \). \[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \]\[ \bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6 \]Schritt 2: Berechne die Summe \( \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \). \[ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (1-3)(2-5.6) + (2-3)(3-5.6) + (3-3)(5-5.6) + (4-3)(7-5.6) + (5-3)(11-5.6) \]\[ = (-2)(-3.6) + (-1)(-2.6) + (0)(-0.6) + (1)(1.4) + (2)(5.4) \]\[ = 7.2 + 2.6 + 0 + 1.4 + 10.8 = 22 \]Schritt 3: Berechne die Summe \( \sum (x_i - \bar{x})^2 \). \[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 \]\[ = (-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2 \]\[ = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 \]Schritt 4: Berechne \( \hat{\beta_1} \). \[ \hat{\beta_1} = \frac{22}{10} = 2.2 \]Schritt 5: Berechne \( \hat{\beta_0} \). \[ \hat{\beta_0} = 5.6 - 2.2 \cdot 3 = 5.6 - 6.6 = -1 \]Ergebnis:Die Schätzer sind \( \hat{\beta_0} = -1 \) und \( \hat{\beta_1} = 2.2 \). Daher lautet das lineare Modell:\[ y = -1 + 2.2x \]

b)

Verwende die bestimmten Werte von \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \), um die geschätzten Werte von \( y_i \) für die gegebenen \( x_i \) zu berechnen. Bestimme die quadrierte Abweichung für jedes Paar \( (x_i, y_i) \) und die Summe der quadrierten Abweichungen (RSS).

• Berücksichtige die Formel für die quadrierten Abweichungen: \[ \text{RSS} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \]

Lösung:

Gegeben: Eine Datenmenge von Messwerten mit den unabhängigen Variablenwerten \( x_i \) und den entsprechenden abhängigen Variablenwerten \( y_i \) für \( i = 1, 2, \text{...}, n \). Verwende die Methode der kleinsten Quadrate, um die lineare Beziehung zwischen den Variablen zu modellieren. Das lineare Modell sei: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \text{\epsilon} \)

• Berechne die Schätzer \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \), welche die Summe der quadrierten Abweichungen \( \text{RSS} = \text{\sum} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \) minimieren.

Gegeben: \( \hat{\beta_0} = -1 \) \( \hat{\beta_1} = 2.2 \) \( x = [1, 2, 3, 4, 5] \) \( y = [2, 3, 5, 7, 11] \)

• Verwende die bestimmten Werte von \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \), um die geschätzten Werte von \( y_i \) für die gegebenen \( x_i \) zu berechnen. Bestimme die quadrierte Abweichung für jedes Paar \( (x_i, y_i) \) und die Summe der quadrierten Abweichungen (RSS).

Schritt 1: Berechne die geschätzten Werte \( \hat{y_i} \) für die gegebenen \( x_i \). \[ \hat{y}_i = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_i \] \[ \hat{y}_1 = -1 + 2.2 \times 1 = 1.2 \] \[ \hat{y}_2 = -1 + 2.2 \times 2 = 3.4 \] \[ \hat{y}_3 = -1 + 2.2 \times 3 = 5.6 \] \[ \hat{y}_4 = -1 + 2.2 \times 4 = 7.8 \] \[ \hat{y}_5 = -1 + 2.2 \times 5 = 10 \] Schritt 2: Berechne die quadrierten Abweichungen für jedes Paar \( (x_i, y_i) \). \[ (y_1 - \hat{y}_1)^2 = (2 - 1.2)^2 = 0.64 \] \[ (y_2 - \hat{y}_2)^2 = (3 - 3.4)^2 = 0.16 \] \[ (y_3 - \hat{y}_3)^2 = (5 - 5.6)^2 = 0.36 \] \[ (y_4 - \hat{y}_4)^2 = (7 - 7.8)^2 = 0.64 \] \[ (y_5 - \hat{y}_5)^2 = (11 - 10)^2 = 1 \] Schritt 3: Berechne die Summe der quadrierten Abweichungen (RSS). \[ \text{RSS} = 0.64 + 0.16 + 0.36 + 0.64 + 1 = 2.8 \] Ergebnis:Die Summe der quadrierten Abweichungen (RSS) beträgt 2.8.

Aufgabe 3)

Betrachte die Funktion

• Sei die Funktion \( f(x) = x^3 - x - 2 \) gegeben.
• Ziel ist es, die Nullstellen dieser Funktion zu finden.
• Verwende verschiedene numerische Methoden zur Lösung der Gleichung \( f(x) = 0 \).

a)

1. Bisektionsmethode:

• Wende die Bisektionsmethode auf das Intervall \([1,2]\) an, um eine Nullstelle von \( f(x) \) zu berechnen.
• Durchführe mindestens fünf Iterationen und dokumentiere jeden Schritt detailliert.
• Berechne den ungefähren Fehler nach der fünften Iteration.

Lösung:

Betrachte die Funktion

• Sei die Funktion \( f(x) = x^3 - x - 2 \) gegeben.
• Ziel ist es, die Nullstellen dieser Funktion zu finden.
• Verwende verschiedene numerische Methoden zur Lösung der Gleichung \( f(x) = 0 \).

1. Bisektionsmethode:

• Wende die Bisektionsmethode auf das Intervall \([1,2]\) an, um eine Nullstelle von \( f(x) \) zu berechnen.
• Durchführe mindestens fünf Iterationen und dokumentiere jeden Schritt detailliert.
• Berechne den ungefähren Fehler nach der fünften Iteration.

Lösung:

Die Bisektionsmethode basiert auf dem Zwischenwertsatz, der besagt, dass eine Funktion \(f(x)\), die auf einem Intervall \([a, b]\) stetig ist und bei der \(f(a)\) und \(f(b)\) unterschiedliche Vorzeichen haben, mindestens eine Nullstelle in diesem Intervall hat.

1. Initialisierung:
   • Gegebenes Intervall: \([a, b] = [1, 2]\)
   • \( f(a) = f(1) = 1^3 - 1 - 2 = -2\)
   • \( f(b) = f(2) = 2^3 - 2 - 2 = 4\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(b) \) unterschiedliche Vorzeichen haben, gibt es eine Nullstelle in diesem Intervall.
2. Iteration 1:
   • Berechnung des Mittelpunkts: \( c_1 = \frac{a + b}{2} = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
   • \( f(c_1) = f(1.5) = 1.5^3 - 1.5 - 2 = -0.125\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(c_1) \) unterschiedliche Vorzeichen haben, setzen wir \( b = c_1 \). Neues Intervall: \([1, 1.5]\)
3. Iteration 2:
   • Berechnung des Mittelpunkts: \( c_2 = \frac{a + b}{2} = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25\)
   • \( f(c_2) = f(1.25) = 1.25^3 - 1.25 - 2 = -0.890625\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(c_2) \) gleiche Vorzeichen haben, setzen wir \( a = c_2 \). Neues Intervall: \([1.25, 1.5]\)
4. Iteration 3:
   • Berechnung des Mittelpunkts: \( c_3 = \frac{a + b}{2} = \frac{1.25 + 1.5}{2} = 1.375\)
   • \( f(c_3) = f(1.375) = 1.375^3 - 1.375 - 2 = -0.087890625\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(c_3) \) unterschiedliche Vorzeichen haben, setzen wir \( b = c_3 \). Neues Intervall: \([1.25, 1.375]\)
5. Iteration 4:
   • Berechnung des Mittelpunkts: \( c_4 = \frac{a + b}{2} = \frac{1.25 + 1.375}{2} = 1.3125\)
   • \( f(c_4) = f(1.3125) = 1.3125^3 - 1.3125 - 2 = -0.357666015625\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(c_4) \) gleiche Vorzeichen haben, setzen wir \( a = c_4 \). Neues Intervall: \([1.3125, 1.375]\)
6. Iteration 5:
   • Berechnung des Mittelpunkts: \( c_5 = \frac{a + b}{2} = \frac{1.3125 + 1.375}{2} = 1.34375\)
   • \( f(c_5) = f(1.34375) = 1.34375^3 - 1.34375 - 2 = -0.1209716796875\)
   • Da \( f(a) \) und \( f(c_5) \) unterschiedliche Vorzeichen haben, setzen wir \( b = c_5 \). Neues Intervall: \([1.3125, 1.34375]\)

Fehlerabschätzung: Der Fehler nach der fünften Iteration kann durch die Größe des Intervalls abgeschätzt werden: \( E_5 = \frac{b - a}{2} = \frac{1.34375 - 1.3125}{2} = 0.015625 \)

b)

2. Newton-Verfahren:

• Wende das Newton-Verfahren an, um dieselbe Nullstelle zu finden. Benutze als Startwert \( x_0 = 1.5 \).
• Erstelle die Ableitungsfunktion \( f'(x) \) für die gegebene Funktion.
• Durchführe mindestens drei Iterationen und dokumentiere die jeweiligen Annäherungen.
• Diskutiere die Geschwindigkeit der Konvergenz im Vergleich zur Bisektionsmethode.

Lösung:

Betrachte die Funktion

• Sei die Funktion \( f(x) = x^3 - x - 2 \) gegeben.
• Ziel ist es, die Nullstellen dieser Funktion zu finden.
• Verwende verschiedene numerische Methoden zur Lösung der Gleichung \( f(x) = 0 \).

2. Newton-Verfahren:

• Wende das Newton-Verfahren an, um dieselbe Nullstelle zu finden. Benutze als Startwert \( x_0 = 1.5 \).
• Erstelle die Ableitungsfunktion \( f'(x) \) für die gegebene Funktion.
• Durchführe mindestens drei Iterationen und dokumentiere die jeweiligen Annäherungen.
• Diskutiere die Geschwindigkeit der Konvergenz im Vergleich zur Bisektionsmethode.

Lösung:

1. Ableitungsfunktion erstellen:
   • Die gegebene Funktion ist \( f(x) = x^3 - x - 2 \).
   • Die Ableitung von \( f(x) \) ist \( f'(x) = 3x^2 - 1 \).
2. Initialisierung:
   • Startwert: \( x_0 = 1.5 \).
3. Iteration 1:
   • Berechnung von \( x_1 \): \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
   • \( f(1.5) = 1.5^3 - 1.5 - 2 = -0.125 \)
   • \( f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 1 = 5.75 \)
   • \( x_1 = 1.5 - \frac{-0.125}{5.75} = 1.5217391304347827 \)
4. Iteration 2:
   • Berechnung von \( x_2 \): \( f(1.5217391304347827) = (1.5217391304347827)^3 - 1.5217391304347827 - 2 = 0.022563402075712405 \)
   • \( f'(1.5217391304347827) = 3(1.5217391304347827)^2 - 1 = 5.944700460829492 \)
   • \( x_2 = 1.5217391304347827 - \frac{0.022563402075712405}{5.944700460829492} = 1.5072219296674958 \)
5. Iteration 3:
   • Berechnung von \( x_3 \): \( f(1.5072219296674958) = (1.5072219296674958)^3 - 1.5072219296674958 - 2 = -0.0017302939757123215 \)
   • \( f'(1.5072219296674958) = 3(1.5072219296674958)^2 - 1 = 5.819867992842804 \)
   • \( x_3 = 1.5072219296674958 - \frac{-0.0017302939757123215}{5.819867992842804} = 1.5075065253892896 \)

Diskussion der Konvergenzgeschwindigkeit:

• Das Newton-Verfahren zeigt eine sehr schnelle Konvergenz zur Nullstelle, da es quadratisch konvergiert. In der zweiten Iteration haben wir bereits eine sehr genaue Annäherung an die Nullstelle.
• Im Vergleich dazu ist die Bisektionsmethode langsamer, da sie linear konvergiert. Nach fünf Iterationen erhalten wir eine annähernde Nullstelle mit einem gewissen Fehler.
• Die Genauigkeit des Newton-Verfahrens hängt jedoch stark vom Startwert ab, und wenn der Startwert nicht gut gewählt ist oder die Ableitungsfunktion ungünstige Werte hat (z.B. wenn \( f'(x) \) nahe null ist), kann das Verfahren langsam konvergieren oder sogar divergieren.

Aufgabe 4)

Bifurkationstheorie und Chaos:Untersucht das Verhalten dynamischer Systeme, wenn ein Parameter geändert wird, und das Auftreten von Chaos.

• Bifurkation: Qualitative Änderung des Systemverhaltens bei Parameteränderung.
• Beispiele: Sattel-Knoten, Pitchfork, Hopf-Bifurkationen.
• Chaos: Sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, deterministisches System mit scheinbar zufälligem Verhalten.
• Beispiel: Lorenz-Attraktor.
• Mathematisch: Lösung analysiert durch Differentialgleichungen \(\dot{x} = f(x, \mu)\)
• Bifurkationsdiagramme zur Visualisierung.

a)

Betrachte das folgende dynamische System, das durch die Differentialgleichung \[\dot{x} = \mu - x^2\] beschrieben wird, wobei \(\mu\) ein Parameter ist.

• Untersuche die Stabilität der Fixpunkte: Bestimme die Fixpunkte dieses Systems und analysiere ihre Stabilität in Abhängigkeit von \(\mu\).
• Klassifizierung der Bifurkation: Identifiziere für welches \(\mu\) eine Bifurkation auftritt und klassifiziere die Art der Bifurkation.

Lösung:

Bearbeitung der Teilaufgabe:Betrachte das dynamische System, das durch die Differentialgleichung \(\frac{dx}{dt} = \dot{x} = \mu - x^2\) beschrieben wird, wobei \mu ein Parameter ist.

• Untersuche die Stabilität der Fixpunkte:
• Schritt 1: Bestimmung der Fixpunkte:
Wir setzen die rechte Seite der Gleichung gleich Null, um die Fixpunkte zu finden:\( \mu - x^2 = 0 \)daraus folgt:\( x^2 = \mu \) Die Fixpunkte sind also:\( x = \sqrt{\mu} \) und \( x = -\sqrt{\mu} \)
• Schritt 2: Stabilitätsanalyse:
Wir analysieren die Stabilität der Fixpunkte durch Berechnung der Ableitung der rechten Seite der Differentialgleichung. Die Ableitung lautet:\( \frac{d}{dx} ( \mu - x^2 ) = -2x \)Wir werten die Ableitung an den Fixpunkten aus:
• Für \( x = \sqrt{\mu} \):\( \frac{d}{dx} ( \mu - x^2 ) = -2\sqrt{\mu} \)Da \ das Ergebnis negativ ist, ist dieser Fixpunkt stabil.
• Für \( x = -\sqrt{\mu} \):\( \frac{d}{dx} ( \mu - x^2 ) = 2\sqrt{\mu} \)Da \ das Ergebnis positiv ist, ist dieser Fixpunkt instabil.
• Klassifizierung der Bifurkation:
Eine Bifurkation tritt auf, wenn der Ausdruck unter der Wurzel null wird, also bei \( \mu = 0 \). Dies ist der Punkt, an dem sich die Anzahl und die Stabilität der Fixpunkte qualitativ ändern. Für \( \mu < 0 \) gibt es keine reellen Fixpunkte. Für \( \mu = 0 \) gibt es einen Fixpunkt bei \( x = 0 \), und für \( \mu > 0 \) gibt es zwei Fixpunkte bei \( x = \pm \sqrt{\mu} \).Diese Bifurkation ist als Sattel-Knoten-Bifurkation bekannt.

b)

Ein weiteres Beispiel für ein dynamisches System ist der Lorenz-Attraktor, gegeben durch die folgenden Differentialgleichungen:

 \dot{x} = \sigma(y - x)  \dot{y} = x(\rho - z) - y  \dot{z} = xy - \beta z 

für geeignete Parameter \(\sigma, \rho, und \beta\).

• Parameterstudie: Bestimme die Werte für \(\sigma, \rho, und \beta\), bei denen das System chaotisch in Verhalten wird. Visualisiere das chaotische Verhalten mit einem Phasenraumplot.
• Sensible Abhängigkeit: Beschreibe, wie die sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen im Lorenz-Attraktor zu Chaos führt. Führe eine numerische Simulation durch, indem Du zwei Trajektorien startest, die anfangs sehr nahe beieinander liegen. Vergleiche ihre Entwicklungen über die Zeit.

Lösung:

Bearbeitung der Teilaufgabe:Ein Beispiel für ein dynamisches System ist der Lorenz-Attraktor, gegeben durch die folgenden Differentialgleichungen:

\( \dot{x} = \sigma(y - x) \)\( \dot{y} = x(\rho - z) - y \)\( \dot{z} = xy - \beta z \)

für geeignete Parameter \( \sigma, \rho, und \beta \).

• Parameterstudie: Bestimme die Werte für \( \sigma, \rho, und \beta \), bei denen das System chaotisch in Verhalten wird. Visualisiere das chaotische Verhalten mit einem Phasenraumplot.

• Verwendung geeigneter Parameter:
Um das chaotische Verhalten des Lorenz-Attraktors zu untersuchen, verwenden wir häufig die Parameter:
• \( \sigma = 10 \)
• \( \rho = 28 \)
• \( \beta = 8/3 \)
• Visualisierung: Um das chaotische Verhalten zu visualisieren, verwenden wir einen Phasenraumplot, der die Trajektorien des Systems in einem dreidimensionalen Raum darstellt.
Hier ist ein Code-Beispiel in Python, um den Lorenz-Attraktor zu simulieren und das chaotische Verhalten zu visualisieren:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# Parameterwertesigma = 10rho = 28beta = 8/3# Lorenz-System definierendef lorenz_system(state, t):    x, y, z = state    dx = sigma * (y - x)    dy = x * (rho - z) - y    dz = x * y - beta * z    return [dx, dy, dz]# Anfangsbedingungen und Zeitbereichinitial_state = [1.0, 1.0, 1.0]time = np.linspace(0, 50, 10000)# Lösung des Systemsfrom scipy.integrate import odeintsolution = odeint(lorenz_system, initial_state, time)# Plot des chaotischen Verhaltensfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.plot(solution[:, 0], solution[:, 1], solution[:, 2])ax.set_xlabel('X-Achse')ax.set_ylabel('Y-Achse')ax.set_zlabel('Z-Achse')plt.show()

• Sensible Abhängigkeit:
Beschreibe, wie die sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen im Lorenz-Attraktor zu Chaos führt. Führe eine numerische Simulation durch, indem Du zwei Trajektorien startest, die anfangs sehr nahe beieinander liegen. Vergleiche ihre Entwicklungen über die Zeit:

Der Lorenz-Attraktor zeigt eine starke Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Diese sensible Abhängigkeit bedeutet, dass zwei Trajektorien, die nur geringfügig verschiedene Startwerte haben, sich im Laufe der Zeit stark auseinander entwickeln können.Hier ist ein Code-Beispiel in Python, um diese Eigenschaft zu veranschaulichen:

# Zwei sehr ähnliche Anfangsbedingungeninitial_state_1 = [1.0, 1.0, 1.0]initial_state_2 = [1.001, 1.001, 1.001]# Lösungen des Systems für beide Anfangsbedingungensolution_1 = odeint(lorenz_system, initial_state_1, time)solution_2 = odeint(lorenz_system, initial_state_2, time)# Vergleich der Trajektorienfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.plot(solution_1[:, 0], solution_1[:, 1], solution_1[:, 2], label='Trajektorie 1')ax.plot(solution_2[:, 0], solution_2[:, 1], solution_2[:, 2], label='Trajektorie 2')ax.set_xlabel('X-Achse')ax.set_ylabel('Y-Achse')ax.set_zlabel('Z-Achse')ax.legend()plt.show()

Durch die Ausführung dieses Codes kannst Du beobachten, wie die beiden Trajektorien, die zunächst sehr nahe beieinander liegen, sich im Laufe der Zeit stark auseinander entwickeln. Dies ist ein charakteristisches Merkmal von Chaos im Lorenz-Attraktor.