Music Processing Analysis - Lecture and Exercise - Exam

Aufgabe 1)

Stelle Dir vor, dass Du ein digitales Audiosignal hast, das durch verschiedene analoge Filter verarbeitet werden muss, bevor es für eine Analyse verwendet werden kann. Diese Filter sollen bestimmte Frequenzanteile des Signals entweder verstärken oder unterdrücken. Um eine präzise Analyse zu gewährleisten, musst Du auch die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation durchführen können. Zusätzlich bist Du dafür verantwortlich, die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) mit einer geeigneten digitalen Implementierung anzuwenden.

a)

(a) Zeige anhand eines Beispiels, wie Du die Fourier-Transformation auf ein gegebenes Signal f(t) anwenden würdest. Berechne explizit F(ω) für f(t) = e^{-t^2}. Ein kleiner Tipp: Die Fourier-Transformation der Gaußfunktion e^{-t^2} ergibt wieder eine Gaußfunktion.

• Fourier-Transformation-Formel: \[\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\]

Lösung:

Um die Fourier-Transformation auf das gegebene Signal f(t) = e^{-t^2} anzuwenden, verwenden wir die Fourier-Transformationsformel:

• Formel der Fourier-Transformation: \(\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\)

1. Setze f(t) = e^{-t^2} in die Fourier-Transformationsformel ein:

 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} e^{-j\omega t} dt 

2. Kombiniere die Exponentialfunktionen:

 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2 - j\omega t} dt 

3. Um diesen Ausdruck besser handhaben zu können, schreibe den Exponenten um:

 -t^2 - j\omega t = -(t^2 + j\omega t) = -(t^2 + j\omega t + \frac{(\omega)^2}{4}) + \frac{(\omega)^2}{4} 

4. So wird der Exponent der Gaussfunktion vollständig:

 F(\omega) = e^{- \frac{\omega^2}{4}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t + \frac{j\omega}{2})^2} dt 

5. Dies ist eine bekannte Gauss-Integrale:

 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(t - b)^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (wenn\ a = 1) 

6. Mit a = 1 ergibt sich:

 F(\omega) = e^{- \frac{\omega^2}{4}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t + \frac{j\omega}{2})^2} dt = e^{- \frac{\omega^2}{4}} \sqrt{\pi} 

7. Daraus ergibt sich:

 F(\omega) = \sqrt{\pi} e^{- \frac{\omega^2}{4}} 

Fazit: Die Fourier-Transformation der Gaußfunktion f(t) = e^{-t^2} ergibt wieder eine Gaußfunktion:

 F(\omega) = \sqrt{\pi} e^{- \frac{\omega^2}{4}} 

b)

(b) Implementiere die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und die inverse Diskrete Fourier-Transformation (IDFT) in Python. Wende diese Implementierung an, um das Frequenzspektrum eines digitalen Audiosignals zu analysieren. Verwende dazu die folgenden Python-Bibliotheken: numpy für numerische Berechnungen und matplotlib für die Visualisierung. Dokumentiere Deine Implementierung und die Ergebnisse ausführlich.

• Diskrete Fourier-Transformation:

  def DFT(x):    N = len(x)    X = []    for k in range(N):        sum_real = 0        sum_imag = 0        for n in range(N):            angle = 2 * np.pi * k * n / N            sum_real += x[n] * np.cos(angle)            sum_imag -= x[n] * np.sin(angle)        X.append(complex(sum_real, sum_imag))    return X

• Inverse Diskrete Fourier-Transformation:

  def IDFT(X):    N = len(X)    x = []    for n in range(N):        sum_real = 0        sum_imag = 0        for k in range(N):            angle = 2 * np.pi * k * n / N            sum_real += X[k].real * np.cos(angle) - X[k].imag * np.sin(angle)            sum_imag += X[k].real * np.sin(angle) + X[k].imag * np.cos(angle)        x.append((sum_real + sum_imag * 1j) / N)    return x

Lösung:

Um die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und die inverse Diskrete Fourier-Transformation (IDFT) in Python zu implementieren und das Frequenzspektrum eines digitalen Audiosignals zu analysieren, werden wir die Bibliotheken numpy für numerische Berechnungen und matplotlib für die Visualisierung verwenden. Hier ist der vollständige Python-Code:

• Implementierung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT):

  import numpy as npdef DFT(x):    N = len(x)    X = []    for k in range(N):        sum_real = 0        sum_imag = 0        for n in range(N):            angle = 2 * np.pi * k * n / N            sum_real += x[n] * np.cos(angle)            sum_imag -= x[n] * np.sin(angle)        X.append(complex(sum_real, sum_imag))    return X

• Implementierung der inversen Diskreten Fourier-Transformation (IDFT):

  def IDFT(X):    N = len(X)    x = []    for n in range(N):        sum_real = 0        sum_imag = 0        for k in range(N):            angle = 2 * np.pi * k * n / N            sum_real += X[k].real * np.cos(angle) - X[k].imag * np.sin(angle)            sum_imag += X[k].real * np.sin(angle) + X[k].imag * np.cos(angle)        x.append((sum_real + sum_imag * 1j) / N)    return x

Hier ist ein Beispiel zur Anwendung dieser Funktionen auf ein einfaches Signal und um das Frequenzspektrum zu visualisieren:

• Beispielcode zur Analyse eines Signals:

  import matplotlib.pyplot as plt# Beispiel-Signal (sine wave)fs = 100  # Sampling ratet = np.arange(0, 1, 1/fs)  # Zeitvektorf = 5  # Frequenz des Sinussignalsx = np.sin(2 * np.pi * f * t)# Berechne die DFT des SignalsX = DFT(x)# FrequenzachsenberechnungN = len(X)freq = np.fft.fftfreq(N, d=1/fs)# Magnitude Spectrummagnitude = np.abs(X)# Plot des Originalsignalsplt.figure(figsize=(12, 8))plt.subplot(2, 1, 1)plt.plot(t, x)plt.title('Original Signal')plt.xlabel('Time [s]')plt.ylabel('Amplitude')# Plot des Frequenzspektrumsplt.subplot(2, 1, 2)plt.stem(freq, magnitude, 'b', markerfmt=' ', basefmt='-b')plt.title('Frequenzspektrum')plt.xlabel('Frequency [Hz]')plt.ylabel('Magnitude')plt.grid()plt.tight_layout()plt.show()

Dokumentation der Implementierung und Ergebnisse:

• DFT-Implementierung: Die Funktion DFT berechnet die Diskrete Fourier-Transformation eines zeitdiskreten Signals. Die Schleifen laufen über alle Frequenzbins (k) und Zeitsamples (n), um die Real- und Imaginärteile der Fourier-Koeffizienten zu summieren.
• IDFT-Implementierung: Die Funktion IDFT berechnet die inverse Diskrete Fourier-Transformation eines Frequenzspektrums. Ebenso wie bei der DFT-Schleife laufen die äußeren und inneren Schleifen über Zeitsamples und Frequenzbins, um das ursprüngliche Signal zurückzugewinnen.
• Visualisierung: Der Beispielcode visualisiert das originale Zeitsignal und sein Frequenzspektrum. Das Frequenzspektrum zeigt die Amplituden der Frequenzkomponenten im Signal.

Aufgabe 2)

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und schnelle Fourier-Transformation (FFT)DFT wandelt ein zeitdiskretes Signal in seine Frequenzkomponenten um. FFT ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT.

• DFT: \[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i \frac{2\pi}{N} kn}\]
• FFT: DFT-Algorithmus mit verringerter Rechenzeit (\(O(N \log N)\))
• Wird in der Musikerkennung und -analyse häufig verwendet
• FFT-basierte Algorithmen: Cooley-Tukey, Radix-2, und mehr
• Reduzierung von Aliasing und Spektralleckage durch Fensterfunktionen

b)

Erkläre, warum die schnelle Fourier-Transformation (FFT) effizienter ist als die direkte Berechnung der DFT.

Lösung:

Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist eine effiziente Methode zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Um zu erklären, warum die FFT effizienter ist als die direkte Berechnung der DFT, schauen wir uns die Zeitkomplexität und den Algorithmus an:

• DFT-Zeitkomplexität:

  Die direkte Berechnung der DFT für eine Zeitreihe der Länge N erfordert die Berechnung von N Summen, jede mit N Termen. Das ergibt eine Zeitkomplexität von:

  O(N^2)

  Dies bedeutet, dass die Anzahl der Berechnungen quadratisch mit der Länge der Zeitreihe zunimmt, was für große N sehr ineffizient ist.

• FFT-Zeitkomplexität:

  Die FFT verwendet einen anderen Ansatz zur Berechnung der DFT, der die Anzahl der Berechnungen drastisch reduziert. Der bekannteste FFT-Algorithmus ist der Cooley-Tukey-Algorithmus, der die Zeitreihe rekursiv in kleinere Teilreihen zerlegt und anschließend kombiniert. Dies führt zu einer Zeitkomplexität von:

  O(N \, \log \, N)

  Im Vergleich zur direkten DFT-Berechnung ist dies eine dramatische Verbesserung, da die Anzahl der Berechnungen nur logarithmisch mit der Länge der Zeitreihe zunimmt.

• Effizienzsteigerung:
  • Rekursive Zerlegung:

    Der Cooley-Tukey-Algorithmus zerlegt die Zeitreihe rekursiv in kleinere Teilreihen, die einfacher zu berechnen sind. Diese Rekursion reduziert die Anzahl der notwendigen Multiplikationen und Additionen erheblich.

  • Datenwiederverwendung:

    Die Teilreihen werden mehrfach verwendet, um verschiedene Frequenzkomponenten zu berechnen. Dies reduziert die Anzahl der benötigten Operationen weiter.

  • Parallelisierbarkeit:

    FFT-Algorithmen sind oft gut parallelisierbar, was bedeutet, dass sie effizient auf modernen Mehrkernprozessoren und Grafikkarten (GPUs) ausgeführt werden können.

• Anwendungsbeispiele:

  • Musikerkennung und -analyse:

    FFT wird häufig in der Musikerkennung und -analyse verwendet, da sie es ermöglicht, schnell die Frequenzkomponenten eines Audiosignals zu extrahieren.

  • Signalverarbeitung:

    In der Signalverarbeitung wird FFT zur Filterung, Modulation und Spektralanalyse von Signalen genutzt.

  • Bildverarbeitung:

    FFT wird zur Bildkompression, Bildfilterung und Bildrekonstruktion verwendet.

Zusammenfassend ist die schnelle Fourier-Transformation (FFT) effizienter als die direkte Berechnung der DFT, weil sie die Anzahl der Berechnungen reduziert und gleichzeitig die Möglichkeit bietet, die Berechnungen zu parallelisieren.

c)

Stelle den FFT-Algorithmus im Detail vor. Diskutiere den Cooley-Tukey-Algorithmus und wie er die Rechenzeit auf \(O(N \log N)\) reduziert.

Lösung:

Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Ein bekannter und verbreiteter FFT-Algorithmus ist der Cooley-Tukey-Algorithmus. Hier ist eine detaillierte Erörterung des Cooley-Tukey-Algorithmus und wie er die Rechenzeit auf \(O(N \, \log \, N)\) reduziert:

• Grundidee des Cooley-Tukey-Algorithmus:

  Der Cooley-Tukey-Algorithmus basiert auf der rekursiven Zerlegung. Statt die DFT direkt zu berechnen, wird die Eingabefolge in immer kleinere Teilfolgen zerlegt, bis die DFT der simpelsten Einzelfolgen einfach berechnet werden kann. Danach werden die Ergebnisse der Teilfolgen kombiniert, um die DFT der ursprünglichen Folge zu erhalten.

• Zerlegung der DFT:

  Angenommen, wir haben eine Eingabefolge der Länge \(N\), wobei \(N\) eine Potenz von 2 ist (d.h., \(N=2^m\) für ein natürliches \(m\)). Der Cooley-Tukey-Algorithmus zerlegt die Folge in zwei Teilfolgen: eine Folge gerader Indizes und eine Folge ungerader Indizes.

  Sei \( x[n] \) die Eingabesequenz:

  x[n] = [x_0, x_1, x_2, ..., x_{N-2}, x_{N-1}]

  Die Folge wird in zwei Teilsequenzen zerlegt:

  1. \( x_e[n] = [x_0, x_2, x_4, ..., x_{N-2}] \)
  2. \( x_o[n] = [x_1, x_3, x_5, ..., x_{N-1}] \)
• Rekursive Berechnung der DFT:

  Die DFT der ursprünglichen Folge \( x[n] \) kann dann durch die DFTs der Teilfolgen \( x_e[n] \) und \( x_o[n] \) wie folgt ausgedrückt werden:

  X[k] = \sum_{n=0}^{N/2-1} x_e[n] e^{-i \, \frac{2\pi}{N/2}kn} + e^{-i \, \frac{2\pi}{N}k} \sum_{n=0}^{N/2-1} x_o[n] e^{-i \, \frac{2\pi}{N/2}kn} = X_e[k] + e^{-i \, \frac{2\pi}{N}k} X_o[k]

  X[k+N/2] = X_e[k] - e^{-i \, \frac{2\pi}{N}k} X_o[k]

• Zeitkomplexität des Cooley-Tukey-Algorithmus:

  Die Zeitkomplexität des Cooley-Tukey-Algorithmus kann wie folgt erklärt werden:

  • Die Eingabesequenz wird rekursiv in zwei Teilsequenzen der halben Länge zerlegt. Dies wird auf jeder Ebene der Rekursion fortgesetzt, bis die Länge der Teilsequenzen 1 ist.
  • Jede Rekursionsebene erfordert \(N\) Berechnungen, und die Anzahl der Rekursionsebenen beträgt \(\log_2(N)\).
  • Daher ergibt sich eine Gesamtzeitkomplexität des Algorithmus von:

  O(N \, \log N)

  Dies ist im Vergleich zur direkten Berechnung der DFT \((O(N^2))\) eine erhebliche Verbesserung in der Effizienz.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Cooley-Tukey-Algorithmus durch die rekursive Zerlegung der Eingabe, die Wiederverwendung von Ergebnissen und die effiziente Kombination der DFT-Teilergebnisse die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert und somit eine Gesamtzeitkomplexität von \(O(N \, \log N)\) erreicht. Dies macht die FFT im Vergleich zur direkten DFT-Berechnung wesentlich effizienter.

Aufgabe 3)

Notenerkennung und -transkription

Automatische Erkennung und Umwandlung von gespielten Musiknoten in eine schriftliche Form.

• Notenerkennung: Algorithmus extrahiert Musiknoten aus einer Audioaufnahme.
• Methode: Fourier-Transformation zur Frequenzanalyse
• Konzept: Tonhöhe, Dauer und Lautstärke
• Notentranskription: Umsetzung der erkannten Noten in eine lesbare Notation.
• Schritte: Identifikation von Tonhöhen-Events, Zeitsegmentierung, Notenaggregation
• Herausforderung: Polyphonie, Hintergräusche, Instrumentencharakteristik
• Wichtige Algorithmen und Verfahren: Hidden-Markov-Modelle, maschinelles Lernen

a)

Beschreibe, wie die Fourier-Transformation zur Frequenzanalyse in der Notenerkennung verwendet wird. Erkläre die mathematischen Grundlagen der Fourier-Transformation und wie sie dazu beiträgt, die Tonhöhen aus einer Audioaufnahme zu extrahieren. Gehe dabei auch auf die komplexe Darstellung der Fourier-Koeffizienten ein.

Lösung:

Verwendung der Fourier-Transformation zur Frequenzanalyse in der Notenerkennung

Mathematische Grundlagen der Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein zentrales mathematisches Werkzeug, das es ermöglicht, ein Signal von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne zu überführen. Dies ist besonders nützlich, um die Frequenzkomponenten eines Signals zu analysieren. Die kontinuierliche Fourier-Transformation einer Funktion f(t) wird durch das folgende Integral definiert:

• F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt

Hierbei ist F(ω) die Fourier-Transformierte von f(t), und ω (Omega) steht für die Kreisfrequenz. Diese Transformation zerlegt das Signal f(t) in seine sinusförmigen Komponenten, jede mit einer bestimmten Amplitude und Phase.

Die inverse Fourier-Transformation ermöglicht es, das ursprüngliche Signal aus seinen Frequenzkomponenten zurückzugewinnen:

• f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega

Komplexe Darstellung der Fourier-Koeffizienten

Die Fourier-Koeffizienten sind komplexe Zahlen und lassen sich als Kombination aus Real- und Imaginärteil darstellen. Ein Fourier-Koeffizient F(ω) kann geschrieben werden als:

• F(\omega) = Re(F(\omega)) + i \cdot Im(F(\omega))

Hierbei sind:

• Re(F(\omega)): der Realteil des Fourier-Koeffizienten, der die Kosinus-Komponente der Frequenz darstellt.
• Im(F(\omega)): der Imaginärteil des Fourier-Koeffizienten, der die Sinus-Komponente der Frequenz darstellt.

Diese komplexen Koeffizienten sind essenziell, um die Amplitude und die Phase jeder Frequenzkomponente korrekt zu erfassen.

Anwendung zur Notenerkennung

In der Notenerkennung wird die Fourier-Transformation verwendet, um die verschiedenen Frequenzen in einer Audioaufnahme zu identifizieren. Durch die Analyse der Frequenzkomponenten können Tonhöhen, Dauer und Amplitude (Lautstärke) der gespielten Noten extrahiert werden. Dies erfolgt in mehreren Schritten:

• Frequenzanalyse: Anwendung der Fourier-Transformation auf das Audiosignal, um die Frequenzkomponenten zu identifizieren.
• Identifikation von Tonhöhen-Events: Bestimmung der Tonhöhen basierend auf den dominanten Frequenzkomponenten.
• Zeitsegmentierung: Segmentierung des Signals, um die Dauer jeder Note zu bestimmen.
• Notenaggregation: Kombination der Informationen zu einer lesbaren Notation.

Die Fourier-Transformation ermöglicht somit die präzise Extraktion der musikalischen Eigenschaften aus der Audioaufnahme, was die Grundlage für die weitere Notentranskription bildet.

b)

Diskutiere die Herausforderungen der Notentranskription, insbesondere im Kontext von Polyphonie und Hintergrundgeräuschen. Wie können Hidden-Markov-Modelle und maschinelles Lernen dazu beitragen, diese Herausforderungen zu bewältigen? Gib ein konkretes Beispiel, wie ein solches Modell implementiert werden könnte.

Lösung:

Herausforderungen der Notentranskription: Polyphonie und Hintergrundgeräusche

Die automatische Notentranskription, also das Umwandeln von gespielten Musiknoten in eine schriftliche Form, steht vor mehreren Herausforderungen. Zwei der größten Herausforderungen sind Polyphonie und Hintergrundgeräusche.

Polyphonie

Polyphonie bezeichnet die gleichzeitige Wiedergabe mehrerer musikalischer Noten. Dies bringt erhebliche Schwierigkeiten für die Notenerkennung mit sich, da es notwendig ist, mehrere unterschiedliche Frequenzen aus einem simultanen Audiosignal zu erkennen und zu trennen. Eine polyphone Musikaufnahme enthält viele überlagernde Harmonien, was die Analyse und Identifikation der einzelnen Noten stark erschwert.

Hintergrundgeräusche

Hintergrundgeräusche sind störende Elemente, die nicht zur Musik gehören, aber dennoch in der Aufnahme enthalten sind. Diese Geräusche können von verschiedenen Quellen stammen, z. B. von Menschen, die sprechen, Bewegungen oder elektronische Störungen. Sie überlagern die eigentlichen Musiksignale und erschweren die genaue Identifikation der Noten.

Anwendung von Hidden-Markov-Modellen (HMM) und maschinellem Lernen

Um diese Herausforderungen zu bewältigen, kommen Hidden-Markov-Modelle (HMM) und maschinelles Lernen zum Einsatz.

Hidden-Markov-Modelle (HMM)

Ein Hidden-Markov-Modell ist ein statistisches Modell, das eine Abfolge von beobachteten Ereignissen ermöglicht, deren zugrunde liegende Zustände unbekannt sind. Im Kontext der Notenerkennung kann ein HMM verwendet werden, um die Abfolge von Noten zu modellieren und vorherzusagen. Ein HMM besteht aus:

• Staaten: Dies könnten die Tonhöhen der Noten sein.
• Übergangswahrscheinlichkeiten: Diese beschreiben die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einer Note zur nächsten.
• Emissionswahrscheinlichkeiten: Diese geben die Wahrscheinlichkeit an, eine bestimmte Frequenz (Musiknote) in einem bestimmten Zustand zu beobachten.

HMMs sind besonders nützlich, um Noten zu identifizieren, die durch Polyphonie und Hintergrundgeräusche verdeckt sind, da sie die zeitliche Kontinuität und Abhängigkeiten im musikalischen Signal modellieren können.

Maschinelles Lernen

Maschinelles Lernen kann genutzt werden, um komplexe Muster in Musiksignalen zu erkennen und zu verarbeiten. Neuronale Netze, insbesondere Convolutional Neural Networks (CNNs) und Recurrent Neural Networks (RNNs), haben sich als sehr effektiv erwiesen. Ein typischer Ansatz könnte wie folgt aussehen:

• Datensammlung: Große Mengen an annotierten Musikaufnahmen werden gesammelt und zur Erstellung eines Trainingsdatensatzes verwendet.
• Feature-Extraction: Vorverarbeitung der Musikdaten, um Merkmale wie Mel-Frequency Cepstral Coefficients (MFCC) oder Spektrogramme zu extrahieren.
• Modelltraining: Ein geeigneter neuronaler Netzwerkarchitektur, z. B. ein CNN oder RNN, wird auf den Trainingsdaten trainiert, um die Muster der Noten in den Musikdaten zu lernen.
• Evaluierung und Feinabstimmung: Das trainierte Modell wird auf einem Testdatensatz evaluiert und gegebenenfalls optimiert.

Konkretes Beispiel: Implementierung eines HMM zur Notenerkennung

Hier ist ein vereinfachtes Beispiel, wie ein HMM zur Notenerkennung implementiert werden könnte:

• Schritt 1: Vorbereitung der DatenErfassen von Audioaufnahmen und Annotation der enthaltenen Noten. Dies könnte manuell oder durch vorliegende Transkriptionen erfolgen.
• Schritt 2: Feature-ExtractionExtrahieren von Frequenzkomponenten aus den Audioaufnahmen mittels Fourier-Transformation oder anderen Techniken.
• Schritt 3: ModelldefinitionDefinition eines HMM mit Zuständen (Tonhöhen), Übergangswahrscheinlichkeiten und Emissionswahrscheinlichkeiten.
• Schritt 4: TrainingSchätzen der Modellparameter (Übergangs- und Emissionswahrscheinlichkeiten) anhand der Trainingsdaten.
• Schritt 5: DekodierungVerwendung des trainierten HMM zur Dekodierung einer neuen Audioaufnahme, um die Notenfolge vorherzusagen.

Dieses Beispiel veranschaulicht, wie HMMs und maschinelles Lernen eingesetzt werden können, um die Herausforderungen in der Notenerkennung zu bewältigen und so eine präzise Notentranskription zu ermöglichen.

c)

Entwickle den Algorithmus zur Notenerkennung weiter, indem Du eine Methode zur Zeitsegmentierung implementierst. Schreibe den Pseudo-Code für diese Methode und erläutere jeden Schritt. Lasse dabei mathematische Formeln nicht außer Acht, wenn sie zur Klarheit beitragen.

Lösung:

Algorithmus zur Notenerkennung: Methode zur Zeitsegmentierung

Die Zeitsegmentierung ist ein entscheidender Schritt bei der Notenerkennung, da sie die Dauer und den Zeitpunkt jeder Note bestimmt. Hier ist der Pseudo-Code für eine Methode zur Zeitsegmentierung zusammen mit einer detaillierten Erläuterung:

Pseudo-Code für die Zeitsegmentierung

def time_segmentation(audio_signal, sampling_rate, threshold, window_size):    # Schritte zur Zeitsegmentierung    1. Konvertiere das Audiosignal in ein Amplitudenspektrum:        amplitude_spectrum = FourierTransformation(audio_signal)    2. Initialisiere ein leeres Array für die Zeitsegmente:        time_segments = []    3. Setze den aktuellen Startpunkt des Fensters auf 0:        window_start = 0    4. Laufe durch das Amplitudenspektrum in Fenstern festgelegter Größe:        while window_start < Länge des Amplitudenspektrums:            4.1. Extrahiere das aktuelle Fenster aus dem Amplitudenspektrum:                current_window = amplitude_spectrum[window_start : window_start + window_size]            4.2. Berechne das durchschnittliche Amplitudenwert im aktuellen Fenster:                average_amplitude = mean(current_window)            4.3. Wenn der durchschnittliche Amplitudenwert größer als der Schwellwert ist:                - Markiere den Startpunkt als Beginn eines neuen Zeitsegments                time_segments.append(window_start / sampling_rate)            4.4. Inkrementiere den Startpunkt des Fensters um die Fenstergroesse:                window_start += window_size    5. Gib die Zeitsegmente zurück:        return time_segments

Erläuterung der Schritte

1. Konvertiere das Audiosignal in ein Amplitudenspektrum:Die Fourier-Transformation wird auf das Audiosignal angewendet, um ein Amplitudenspektrum zu erhalten. Dies ermöglicht eine detaillierte Analyse der Frequenzkomponenten.

2. Initialisiere ein leeres Array für die Zeitsegmente:Ein Array wird erstellt, um die Zeitsegmente zu speichern, die die Positionen markieren, an denen Noten beginnen.

3. Setze den aktuellen Startpunkt des Fensters auf 0:Der Startpunkt des Fensters wird auf 0 gesetzt, um am Beginn des Audiosignals zu starten.

4. Laufe durch das Amplitudenspektrum in Fenstern festgelegter Größe:

• 4.1. Extrahiere das aktuelle Fenster aus dem Amplitudenspektrum:Ein Fenster mit einer festen Größe wird aus dem Amplitudenspektrum entnommen. Dies erlaubt es, das Signal in kleinen Segmenten zu analysieren.
• 4.2. Berechne die durchschnittliche Amplitude im aktuellen Fenster:Der durchschnittliche Amplitudenwert des aktuellen Fensters wird berechnet, um die Signalamplitude an diesem Punkt zu bestimmen.
• 4.3. Wenn der durchschnittliche Amplitudenwert größer als der Schwellwert ist:Wenn die Amplitude im aktuellen Fenster größer als ein vorgegebener Schwellwert ist, wird dieser Punkt als Beginn eines neuen Zeitsegments markiert. Dies identifiziert Stellen im Signal, an denen eine neue Note gespielt wird.
• 4.4. Inkrementiere den Startpunkt des Fensters um die Fenstergroesse:Der Startpunkt des Fensters wird um die Fenstergroesse erhöht, um das nächste Segment des Signals zu analysieren.

5. Gib die Zeitsegmente zurück:Die gefundenen Zeitsegmente werden zurückgegeben, die die Positionen im Signal darstellen, an denen neue Noten beginnen.

Mathematische Formeln

Die Fourier-Transformation des Audiosignals ${f(t)}$ ist gegeben durch:

• F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt

Die Durchschnittsamplitude im aktuellen Fenster kann berechnet werden als:

• average_amplitude = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} |f(t_k)|

Hierbei ist ${N}$ die Anzahl der Datenpunkte im Fenster und ${f(t_k)}$ der Wert des Funktionssignals im Zeitpunkt ${t_k}$.

Dieser Algorithmus kann kontinuierlich auf das Audiosignal angewandt werden, um die Zeitsegmente zu extrahieren, an denen Noten auftreten, und somit eine präzisere Notentranskription zu ermöglichen.

d)

Zeige, wie man erkannte Musiknoten in eine lesbare Notation umsetzt. Erkläre die verschiedenen musikalischen Notationen (z.B. Viertelnote, Achtelnote) und wie sie anhand von Dauer und Tonhöhe in der Notentranskription identifiziert werden. Gib ein Beispiel, in dem Du eine kleine Sequenz von erkannten Noten in schriftliche Notation transkribierst.

Lösung:

Umsetzung erkannter Musiknoten in eine lesbare Notation

Nachdem die Musiknoten aus einer Audioaufnahme extrahiert wurden, ist der nächste Schritt, diese Noten in eine lesbare musikalische Notation umzusetzen. Hier werde ich die verschiedenen musikalischen Notationen sowie die Identifikation anhand von Dauer und Tonhöhe erklären und ein Beispiel einer kleinen Sequenz von erkannten Noten in schriftlicher Notation geben.

Musikalische Notationen

Musikalische Notationen sind Symbole, die die Dauer und die Tonhöhe einer Note aufschreiben. Hier sind einige der gebräuchlichsten Noten:

• Ganze Note (𝅝): Hat die längste Dauer, normalerweise vier Zählzeiten im 4/4-Takt.
• Halbe Note (𝅗𝅥): Hat die halbe Dauer einer ganzen Note, normalerweise zwei Zählzeiten im 4/4-Takt.
• Viertelnote (𝅘𝅥): Hat die Viertel der Dauer einer ganzen Note, normalerweise eine Zählzeit im 4/4-Takt.
• Achtelnote (𝅘𝅥𝅮): Hat die achte der Dauer einer ganzen Note, normalerweise eine halbe Zählzeit im 4/4-Takt.
• Sechzehntelnote (𝅘𝅥𝅯): Hat die sechzehntel der Dauer einer ganzen Note, normalerweise ein Viertel Zählzeit im 4/4-Takt.

Die Tonhöhe wird durch die Position der Note auf den Notenlinien definiert, wobei höhere Positionen höhere Töne repräsentieren.

Identifikation anhand von Dauer und Tonhöhe

Die Identifikation der Dauer einer Note basiert auf der Zeitsegmentierung des Audiosignals. Durch die Analyse der Dauer und der Frequenz der erkannten Noten können wir die entsprechenden Notationen bestimmen.

• Dauer: Die Länge des Zeitsegments bestimmt die Notation, z.B. eine Note von 1 Sekunde Dauer entspricht einer ganzen Note in einem 4/4-Takt, 0.5 Sekunden einer Halben Note, und so weiter.
• Tonhöhe: Die Tonhöhe wird basierend auf der Frequenz der Note erkannt. Diese wird dann der entsprechenden Position auf dem Notensystem zugewiesen.

Beispiel: Sequenz von erkannten Noten in schriftlicher Notation

Nehmen wir an, wir haben die folgende Sequenz von erkannten Noten:

• Note 1: Tonhöhe: C4, Dauer: 1 Sekunde
• Note 2: Tonhöhe: E4, Dauer: 0.5 Sekunden
• Note 3: Tonhöhe: G4, Dauer: 0.25 Sekunden
• Note 4: Tonhöhe: C5, Dauer: 2 Sekunde

Transkription in schriftliche Notation:

• Note 1: C4, Ganze Note (𝅝)
• Note 2: E4, Halbe Note (𝅗𝅥)
• Note 3: G4, Viertelnote (𝅘𝅥)
• Note 4: C5, Ganze Note (𝅝)

In einer Notenzeile sieht dies wie folgt aus:

Dieses einfache Beispiel zeigt, wie erkannte Musiknoten basierend auf ihrer Dauer und Tonhöhe in eine lesbare Notation transkribiert werden können. Solche Transkriptionen helfen Musikern, die gespielten Stücke zu lesen und nachzuspielen.

Aufgabe 4)

In dieser Aufgabe geht es um die Analyse von Musiksignalen zur Bestimmung des Tempos und der Rhythmen, was in verschiedenen Anwendungen wie der Musiksynchronisation, der automatischen Transkription und der Musikklassifikation verwendet wird. Dabei kommen Methoden wie die Frequenzanalyse zur Detektion von Beats pro Minute (BPM), die Identifikation von rhythmischen Mustern anhand von Timing und Akzentierung, sowie Algorithmen wie die Fourier-Transformation und die Autokorrelation zum Einsatz. Nützliche Software-Tools umfassen LibROSA und Essentia.

a)

• Anhand eines gegebenen Musiksignals, welches in diskrete Sampleframes zerlegt ist, bestimme das Tempo in BPM (Beats per Minute). Beschreibe die notwendigen Schritte zur Frequenzanalyse und erkläre, wie du dabei die Fourier-Transformation und Autokorrelation verwendest.

Lösung:

Um das Tempo eines Musiksignals in BPM (Beats per Minute) zu bestimmen, kannst Du die folgenden Schritte ausführen:

• Signalvorverarbeitung:Zunächst muss das Musiksignal in diskrete Sampleframes zerlegt werden. Dies geschieht durch Abtastung bei einer bestimmten Abtastrate (z.B. 44.1 kHz). Es ist hilfreich, das Signal in kleinere Abschnitte (z.B. Zeitfenster von 1 Sekunde) zu unterteilen, um die zeitliche Variation des Tempos zu berücksichtigen.

• Frequenzanalyse:Die Frequenzanalyse des Signals wird in der Regel durch die Fourier-Transformation durchgeführt. Hierbei wird das zeitliche Signal in seine Frequenzkomponenten zerlegt.

  import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.fft import fft# Beispiel: Fourier-Transformation eines Signalsdef fourier_transform(signal, sample_rate):    N = len(signal)    T = 1.0 / sample_rate    yf = fft(signal)    xf = np.fft.fftfreq(N, T)[:N//2]    return xf, 2.0/N * np.abs(yf[0:N//2])

  In diesem Beispiel wird mithilfe der fft-Funktion die Fourier-Transformation auf ein gegebenes Signal angewendet. Die resultierenden Frequenzkomponenten können dann visualisiert werden.

• Beat-Erkennung:Um die Beats im Signal zu identifizieren, kannst Du die Energieverteilung im Frequenzbereich analysieren und nach Peaks suchen, die den Beats entsprechen. Dies kann durch eine Autokorrelation des Signals unterstützt werden.

• Autokorrelation:Die Autokorrelation hilft dabei, periodische Muster im Signal zu erkennen. Sie wird berechnet, indem das Signal mit sich selbst über verschiedene Zeitverzögerungen korreliert wird.

  from scipy.signal import correlate# Beispiel: Autokorrelation eines Signalsdef autocorrelate(signal):    result = correlate(signal, signal, mode='full')    result = result[result.size // 2:]    return result

• Tempo-Berechnung:Anhand der Periodizität der gefundenen Peaks in der Autokorrelation kann das Tempo berechnet werden. Die Zeitdifferenz zwischen aufeinander folgenden Peaks gibt die Periode der Beats an, und daraus kann das Tempo in BPM berechnet werden.

  # Beispiel: Berechnung des Tempos in BPMdef calculate_bpm(autocorrelation, sample_rate):    peak_indices = np.diff((autocorrelation > 0).astype(int)) == 1    peak_times = np.where(peak_indices)[0] / sample_rate    peak_intervals = np.diff(peak_times)    avg_interval = np.mean(peak_intervals)    bpm = 60.0 / avg_interval    return bpm

  In diesem Beispiel werden die Zeitdifferenzen zwischen den Peaks in der Autokorrelation verwendet, um das durchschnittliche Intervall und daraus das Tempo in BPM zu berechnen.

Zusammengefasst sind die wesentlichen Schritte zur Bestimmung des Tempos eines Musiksignals:

• Signalvorverarbeitung
• Frequenzanalyse mit Fourier-Transformation
• Beat-Erkennung
• Autokorrelation des Signals
• Berechnung des Tempos in BPM anhand der Periodizität der Peaks

b)

• Schreibe einen Python-Code, der mit der LibROSA-Bibliothek das Tempo und die rhythmischen Muster eines Audiosignals analysiert. Der Code sollte die Audioladedaten, die Tempobestimmung mittels Frequenzanalyse und die grafische Darstellung der erkannten Beats umfassen.

import librosaimport librosa.displayimport matplotlib.pyplot as plt# Laden des Audio-Signals und Berechnen des Temposfilename = 'dein_audio.wav'y, sr = librosa.load(filename)tempo, beat_frames = librosa.beat.beat_track(y=y, sr=sr)print('Geschätztes Tempo: {:.2f} BPM'.format(tempo))# Beats in die Zeitdomain konvertierenbeat_times = librosa.frames_to_time(beat_frames, sr=sr)# Beats darstellenplt.figure(figsize=(14, 5))librosa.display.waveshow(y, sr=sr, alpha=0.6)plt.vlines(beat_times, -1, 1, color='r', alpha=0.9, linestyle='--', label='Beats')plt.legend()plt.show()

Lösung:

Um das Tempo und die rhythmischen Muster eines Audiosignals mit der LibROSA-Bibliothek zu analysieren und grafisch darzustellen, kannst Du den folgenden Python-Code verwenden:

import librosaimport librosa.displayimport matplotlib.pyplot as plt# Laden des Audio-Signals und Berechnen des Temposfilename = 'dein_audio.wav'y, sr = librosa.load(filename)tempo, beat_frames = librosa.beat.beat_track(y=y, sr=sr)print('Geschätztes Tempo: {:.2f} BPM'.format(tempo))# Beats in die Zeitdomain konvertierenbeat_times = librosa.frames_to_time(beat_frames, sr=sr)# Beats darstellenplt.figure(figsize=(14, 5))librosa.display.waveshow(y, sr=sr, alpha=0.6)plt.vlines(beat_times, -1, 1, color='r', alpha=0.9, linestyle='--', label='Beats')plt.legend()plt.show()

• Audio-Signal laden:Der Code beginnt damit, das Audiosignal von der angegebenen Datei zu laden. Dies wird durch die Funktion librosa.load erreicht, die das Signal und die Abtastrate zurückgibt.

• Tempobestimmung:Das Tempo und die Beat-Frames werden mit der Funktion librosa.beat.beat_track berechnet. Diese Funktion analysiert das Signal und gibt das geschätzte Tempo in BPM sowie die Positionen der Beats in Frames zurück.

• Konvertierung der Beats in die Zeitdomain:Die erkannten Beat-Frames werden mit der Funktion librosa.frames_to_time in die entsprechende Zeit in Sekunden umgewandelt, sodass sie im Zeitdiagramm dargestellt werden können.

• Grafische Darstellung:Das Audiosignal und die erkannten Beats werden mithilfe von Matplotlib visualisiert. Das Signal wird als Wellenform angezeigt, und die Positionen der Beats werden als vertikale Linien über die Wellenform gelegt, um die Rhythmik darzustellen.

Hier sind die Schritte zusammengefasst:

• Laden des Audio-Signals
• Berechnen des Tempos und der Beat-Frames
• Konvertieren der Beat-Frames in Zeit
• Visualisieren des Signals und der Beats