Nichtlineare Optimierung - Cheatsheet

Definition und Bedeutung der nichtlinearen Optimierung

Definition:

Nichtlineare Optimierung beschäftigt sich mit der Minimierung oder Maximierung einer nichtlinearen Zielfunktion unter Berücksichtigung nichtlinearer Nebenbedingungen.

Details:

• Ziel: Optimierung der Funktion \textit{f(x)} unter Nebenbedingungen \textit{g(x)} und \textit{h(x)}
• Formales Problem: \[ \min f(x) \quad \text{unter den Bedingungen} \quad g_i(x) \leq 0, \quad h_j(x) = 0 \]
• Verwendung von Gradienten, Hessian-Matrizen
• Methoden: z.B. Newton-Verfahren, Quasi-Newton-Verfahren, Interior-Point-Methoden
• Anwendungsgebiete: Maschinelles Lernen, Wirtschaft, Ingenieurwesen

Gradienten, Laplacians und Jacobians

Definition:

Gradienten, Laplacians und Jacobians sind mathematische Werkzeuge, die in der nichtlinearen Optimierung verwendet werden.

Details:

• Gradient (abla f): Vektor der ersten partiellen Ableitungen einer Funktion. Verwendet, um die Richtung des steilsten Anstiegs zu bestimmen.
• Laplace-Operator (abla^2 f): Summe der zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wichtig in der Differentialgleichungsanalyse und Bildverarbeitung.
• Jakobimatrix (J): Matrix der ersten partiellen Ableitungen eines Vektors von Funktionen. Dient zur Linearisierung von Vektorfunktionen.

Evolutionsstrategien und genetische Algorithmen

Definition:

Evolutionsstrategien und genetische Algorithmen sind stochastische Optimierungsverfahren, die von den Mechanismen der natürlichen Evolution inspiriert sind.

Details:

• Ziel: Finden von globalen Optima in komplexen, nichtlinearen Suchräumen.
• Evolutionsstrategien:
  • Verwendung von Mutationen und Selektionen.
  • Parameterrekombination zur Variation der Lösungen.
• Genetische Algorithmen:
  • Verwendung von Kreuzungen, Mutationen und Selektionen.
  • Chromosomen als Repräsentation der Lösungen.
• Fitness-Funktion $\rightarrow $ Bewertung der Lösungen.
• Population $\rightarrow$ Gruppe von Lösungskandidaten.

Numerische Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Definition:

Methoden zur numerischen Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme, essenziell in der Optimierung und Simulation.

Details:

• Lineare Systeme: Gauss-Algorithmus, LU-Zerlegung, QR-Zerlegung.
• Nichtlineare Systeme: Newton-Verfahren, Quasi-Newton-Verfahren, Fixpunktiteration.
• Konvergenz: Abhängigkeit von Startwerten und Systemeigenschaften.
• Konditionierung: Robustheit der Lösungsmethoden bei kleinen Störgrößen.
• Anwendung in Optimierung: Finden von Minima/Maxima durch lösen von Ableitungsgleichungen.

Interior-Point-Methoden

Definition:

Optimierungsmethode, die im Inneren der zulässigen Menge iteriert, um sukzessive eine optimale Lösung zu erreichen.

Details:

• Nutzt Barrieremethoden zur Erhaltung der Zulässigkeit.
• Transformation der nichtlinearen Optimierungsprobleme durch Einführung einer Barrierefunktion.
• Ziel: Minimierung einer modifizierten Zielfunktion:
• Algorithmus: Barrierenschritt für Schrittgröße , Berechnung der Newtonrichtung.
• Stoppen, wenn die Abstände zur Grenze hinreichend klein sind.