Numerik I für Ingenieure - Cheatsheet

Arithmetische Rundungsfehler und deren Handhabung

Definition:

Fehler, die durch die begrenzte Genauigkeit der Darstellung von Zahlen im Computer entstehen.

Details:

• Abschnittsfehler: Fehler durch Abrunden nach bestimmter Anzahle von Stellen
• Fehlerfortpflanzung: Rundungsfehler können sich durch Rechenoperationen verstärken.
• Formel: \[\text{Fehler} = \frac{\text{ungefähres Ergebnis} - \text{genaues Ergebnis}}{\text{genaues Ergebnis}}\]
• Stabilität eines Algorithmus: Wie anfällig ist er für Rundungsfehler?
• Vermeidungstechniken: Kahan-Summationsalgorithmus, Verwendung von mehr Stellen
• Maschinengenauigkeit: Kleinster Unterschied zwischen darstellbaren Zahlen
• Formel der Maschinengenauigkeit: \[\text{Maschinengenauigkeit} = \frac{1}{2}^{\text{Anzahl der Bits}}\]

LU-Zerlegung und Cholesky-Zerlegung

Definition:

LU-Zerlegung: Zerlegung einer Matrix A in eine untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U.Cholesky-Zerlegung: Zerlegung einer symmetrischen, positiv definiten Matrix A in eine untere Dreiecksmatrix L und deren Transponierte L^T.

Details:

• LU-Zerlegung: A = LU
• Cholesky-Zerlegung: A = LL^T
• LU-Zerlegung: Funktioniert für jede quadratische Matrix, erfordert evtl. Zeilenvertauschung (Pivotsuche).
• Cholesky-Zerlegung: Nur für symmetrische, positiv definite Matrizen.
• LU-Zerlegung: Nützlich zur Lösung linearer Gleichungssysteme und Invertierung.
• Cholesky-Zerlegung: Effizienter als LU-Zerlegung bei geeigneten Matrizen, weniger Rechenaufwand.

Iterative Verfahren: Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren

Definition:

Iterative Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen der Form \(Ax = b\).

Details:

• Ziel: Nähere Lösung von \(x\) iterativ an.
• Jacobi-Verfahren: Zerlegung von \(A\) in \(A = D + R\) (\(D\) diagonale, \(R\) Rest). Iterationsvorschrift: \( x^{(k+1)} = D^{-1}(b - Rx^{(k)}) \).
• Gauss-Seidel-Verfahren: Zerlegung von \(A\) in \(A = L + U\) (\(L\) untere Dreiecksmatrix, \(U\) obere Dreiecksmatrix). Iterationsvorschrift: \( x^{(k+1)} = (L + D)^{-1}(b - Ux^{(k)}) \).
• Konvergenz: Beide Verfahren konvergieren bei strikt diagonaldominierten oder positiv definiten Matrizen.

Splines und deren Anwendungen

Definition:

Mathematische Funktionen, die verwendet werden, um Kurven oder Flächen anzupassen. Splines bestehen aus stückweise definierten Polynomen und gewährleisten glatte Übergänge.

Details:

• Spline-Typen: Lineare Splines, Quadratische Splines, Kubische Splines
• Kubische Splines: Meistverwendet, da sie eine glatte zweite Ableitung an den Knotenpunkten garantieren
• Verwendung in Numerik I: Lösung von Interpolationsproblemen, Näherung von Funktionen
• Eigenschaften: Kontinuierliche erste und zweite Ableitungen
• Formeln: Kubische Splines erfüllen die Bedingung \( S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3 \)
• Anwendung: CAD (Computergestütztes Design), Animationen, Datenvisualisierung

Newton-Cotes-Formeln und Anwendungen

Definition:

Newton-Cotes-Formeln: numerische Integrationsmethoden, die durch Polynome interpoliert werden.

Details:

• Einfachste Form: Trapezregel
• Weitere Formeln: Simpsonregel, 3/8-Regel
• Formel (allgemein): \ \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=0}^{n} w_i \cdot f(x_i) \]
• Spezialfälle unterscheiden sich durch Wahl von \( w_i \) und \( x_i \)
• Simpsonregel: \( w_0 = w_2 = \frac{1}{3} \), \( w_1 = \frac{4}{3} \)
• Fehlerabschätzung: Abhängig von Grad des Polynoms und Differenzierbarkeit von \( f(x) \)

Gauss'sche Quadratur

Definition:

Verfahren zur numerischen Integration, das Integrale durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten approximiert.

Details:

• Nutzt orthogonale Polynome zur Auswahl der Stützstellen.
• Gewichte und Stützstellen sind für den betrachteten Intervall und das Polynomsystem spezifisch.
• Maximale Genauigkeit für Polynome bis Grad \(2n-1\) bei \(n\) Stützstellen.
• Typische Form: \[ \int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \] wobei \(x_i\) die Stützstellen und \(w_i\) die Gewichte sind.

Adaptives Quadraturverfahren

Definition:

Adaptives Quadraturverfahren nutzt rekursive Unterteilung des Integrationsbereichs, um den Fehler zu minimieren.

Details:

• Teile Intervalle adaptiv in Subintervalle
• Nutze Fehlerabschätzung zur Steuerung der Teilung
• Anwendung von Standard-Quadraturformeln auf Subintervalle
• Effizienter für Funktionen mit hoher Variabilität
• Beispiele: adaptive Trapezregel, adaptive Simpsonregel