Numerik II für Ingenieure - Cheatsheet

Rundungs-, Trunkations- und Modellierungsfehler

Definition:

Fehlerarten bei numerischen Berechnungen.

Details:

• Rundungsfehler: Fehler durch begrenzte Genauigkeit im Rechner.
• Trunkationsfehler: Fehler durch Approximationsmethoden (z.B. bei numerischer Differentiation/Integration).
• Modellierungsfehler: Abweichung des mathematischen Modells von der realen Welt.

Fehlerfortpflanzung und -verstärkung

Definition:

Fehlerfortpflanzung und -verstärkung in numerischen Berechnungen zeigen, wie sich kleine Fehler in den Daten auf die Endergebnisse auswirken können.

Details:

• Durch Rundungsfehler und Abschätzungen entstehen kleine Fehler.
• Diese Fehler können sich durch die Berechnung fortpflanzen und verstärken.
• Lineare Probleme: Fehler bleibt proportional zur Anfangsstörung.
• Nichtlineare Probleme: Fehler kann sich nichtlinear verstärken.
• Fehlerverstärkungsfaktor: \[ K = \frac{\Delta y}{\Delta x} \text{ mit } 0 < K < 1 \text{ (Dämpfung)}, K > 1 \text{ (Verstärkung)} \]
• Beispiel iterative Methoden: Fehlerverstärkung beeinflusst Konvergenz und Stabilität.
• Bedeutung: Kritische Betrachtung der Genauigkeit bei numerischen Algorithmen.

Gauss-Quadraturmethoden

Definition:

Numerische Methode zur Approximierung von Integralen mittels spezieller Stützstellen und Gewichte, die das Integral von Polynomen beliebigen Grades exakt berechnen können.

Details:

• Verwendet orthogonale Polynome und deren Nullstellen als Stützstellen.
• Der Integrationsfehler hängt von der Anzahl der Stützstellen ab.
• Formel für das Integral: eine Funktion im Intervall ist gegeben - unterteile das Integral in Teilintervalle und verwende z.B.
  römisch 1:
• Gauss-Legendre Quadratur: die Standardform Beste Approximationsformeln, höher als Simspons Beispiel quadratische Standardregel

Adaptive Integrationsmethoden

Definition:

Adaptive Integrationsmethoden passen die Schrittweite lokal an die Funktion an, um eine vorgegebene Fehlergrenze zu erreichen.

Details:

• Nutzen variable Schrittweiten für höhere Genauigkeit.
• Fehlerkontrolle durch Teilevaluierung des Integrals und Anpassung der Schrittweite.
• Bekannte adaptive Methoden: Adaptive Simpson-Regel, Adaptive Trapezregel.
• Fehlerschätzung durch Differenz zwischen feiner und grober Quadratur.
• Erreichte Genauigkeit abhängig von der Feinheit der Anpassung.

Runge-Kutta-Verfahren

Definition:

Explizites Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs).

Details:

• Allgemeine Form des Verfahrens: \[ y_{n+1} = y_n + h \frac{1}{6} \big( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \big) \]
• Berechnung der Stufen: \[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1) \] \[ k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_2) \] \[ k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3) \]
• Stabilität und Genauigkeit höher als bei den meisten einfacheren Verfahren.
• Weit verbreitet aufgrund einfacher Implementierung und guter Performance.

Newton-Verfahren

Definition:

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Gleichungen der Form f(x)=0. Es basiert auf der Tangentenmethode und nutzt die Ableitung der Funktion.

Details:

• Startwert: Wähle einen Startwert \(x_0\)
• Rekursionsformel: \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
• Konvergenz: Quadratische Konvergenz, falls f ausreichend glatt und die Ableitung nicht null ist.
• Anwendung bei Systemen von Gleichungen: Erweiterte Formulierung mit Jakobimatrix \[ \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \]
• Zusatz (Lineare Gleichungssysteme): Lösung des linearen Gleichungssystems \[ \mathbf{J}(\mathbf{x}_n)\Delta\mathbf{x}_n = -\mathbf{F}(\mathbf{x}_n) \] , wobei \( \mathbf{J} \) die Jakobimatrix ist.
• Vorsicht: Konvergenz nicht garantiert, Wahl des Startwerts entscheidend.

Randwertprobleme bei Differentialgleichungen

Definition:

Randwertprobleme betreffen Differentialgleichungen mit zusätzlichen Bedingungen (Randbedingungen), die an den Rändern des Definitionsbereichs definiert sind.

Details:

• Randwertprobleme benötigen zwei Bedingungen: Anfangsbedingungen und Randbedingungen.
• Gesucht: Funktion, die die Differentialgleichung und die Randbedingungen erfüllt.
• Diskretisierungsmethoden: Finite Differenzen, Finite Elemente.
• Typische Verfahren: Schießverfahren, Diskretisierung.
• Beispiel: BVP für Poisson-Gleichung \[ -\Delta u = f \, \text{in} \, \Omega, \quad u|_{\partial \Omega} = g \]

Gleitkommaarithmetik in der Fehleranalyse

Definition:

Darstellung von Zahlen im Computer, um große Wertebereiche und hohe Präzision zu ermöglichen. Analyse von Rundungsfehlern und deren Einfluss auf numerische Berechnungen.

Details:

• IEEE 754 Standard für Gleitkommazahlen: \texttt{single precision (32-bit)} und \texttt{double precision (64-bit)}
• Normalisierung: Form \texttt{±m * b^e}; \texttt{m} = Mantisse, \texttt{b} = Basis, \texttt{e} = Exponent
• Maschinengenauigkeit: \texttt{ε} definiert als kleinstes \texttt{x} für \texttt{1 + x ≠ 1}
• Rundungsfehler: Unterschied zwischen exaktem und im Rechner dargestelltem Wert
• Kondition von Aufgaben: Stabilität numerischer Algorithmen, empfindlich gegenüber Fehlern
• Beispiele:
  • Gleitkommaaddition: \texttt{fl(a + b)}
  • Gleitkommamultiplikation: \texttt{fl(a * b)}