Numerik II für Ingenieure - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die verschiedenen Fehlerquellen bei numerischen Berechnungen:

• Rundungsfehler: Diese Fehler entstehen durch die begrenzte Genauigkeit der Dezimaldarstellung im Rechner.
• Trunkationsfehler: Diese Fehler treten auf, wenn Approximationsmethoden angewendet werden, wie z.B. bei der numerischen Differentiation oder Integration.
• Modellierungsfehler: Diese Fehler resultieren aus der Abweichung des mathematischen Modells von der realen Welt.

b)

Teilaufgabe 2: Bei der Simulation eines physikalischen Systems wird die Bewegung einer Kugel im freien Fall modelliert. Angenommen, es wird die Näherung \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) für die Erdbeschleunigung verwendet. Beschreibe die möglichen Modellierungsfehler, die durch diese Annahme entstehen können. Untersuche zudem, wie sich kleine Änderungen im Wert von \(g\) auf das Ergebnis der Simulation auswirken könnten.

Lösung:

Betrachte die verschiedenen Fehlerquellen bei numerischen Berechnungen:

• Rundungsfehler: Diese Fehler entstehen durch die begrenzte Genauigkeit der Dezimaldarstellung im Rechner.
• Trunkationsfehler: Diese Fehler treten auf, wenn Approximationsmethoden angewendet werden, wie z.B. bei der numerischen Differentiation oder Integration.
• Modellierungsfehler: Diese Fehler resultieren aus der Abweichung des mathematischen Modells von der realen Welt.

Lösung zu Teilaufgabe 2: Bei der Simulation eines physikalischen Systems wird die Bewegung einer Kugel im freien Fall modelliert. Angenommen, es wird die Näherung \(g = 9.8\) m/s² für die Erdbeschleunigung verwendet. Hierbei können folgende Modellierungsfehler auftreten: Mögliche Modellierungsfehler:

• Geografische Variabilität: In der Realität variiert die Erdbeschleunigung abhängig von der geografischen Lage, z.B. beträgt sie am Äquator etwa 9.78 m/s² und an den Polen etwa 9.83 m/s². Diese Unterschiede werden in der Näherung nicht berücksichtigt.
• Höhenabhängigkeit: \(g\) nimmt mit der Höhe über dem Meeresspiegel ab. In großer Höhe könnten diese Unterschiede signifikant werden.
• Vernachlässigte Effekte: Effekte wie Luftwiderstand, Corioliskraft oder lokale Gravitationsanomalien (z.B. durch Gebirgszüge) können die Bewegung beeinflussen und werden in der einfachen Modellierung nicht berücksichtigt.

Auswirkungen kleiner Änderungen im Wert von \(g\) auf das Simulationsergebnis: Um zu untersuchen, wie sich kleine Änderungen im Wert von \(g\) auf das Ergebnis der Simulation auswirken, betrachten wir die Gleichungen der Bewegung im freien Fall. Die Höhe \(h\) einer Kugel zu einer Zeit \(t\) wird durch die Gleichung beschrieben: \[ h(t) = \frac{1}{2} g t^2 \] Wenn dann der Wert von \(g\) leicht geändert wird um einen Betrag \( \Delta g \), dann wird die neue Höhe \( h_{neu}(t) \) durch die modifizierte Gleichung beschrieben: \[ h_{\text{neu}}(t) = \frac{1}{2} (g + \Delta g ) t^2 = \frac{1}{2} g t^2 + \frac{1}{2} \Delta g t^2 \] Der Unterschied in der Höhe \( \Delta h(t) \) ist somit: \[ \Delta h(t) = \frac{1}{2} \Delta g t^2 \] Ein Beispiel: Angenommen, \( \Delta g = 0.1\) m/s² und \( t = 2 \) s. Dann ist: \[ \Delta h(t) = \frac{1}{2} \times 0.1 \text{ m/s}^2 \times (2 \text{ s})^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \text{ m/s}^2 \times 4 \text{ s}^2 = 0.2 \text{ m} \] Das bedeutet, dass die Höhe in diesem Beispiel um etwa 0.2 m abweicht. Dies zeigt, dass selbst kleine Änderungen im Wert von \( g \) signifikante Auswirkungen auf das Simulationsergebnis haben können, insbesondere bei langen Zeiträumen oder großen Höhenunterschieden. Zusammenfassung:

• Die genaue Modellierung der Bewegung sollte daher die geografische Variabilität, Höhenabhängigkeit und andere relevante Effekte berücksichtigen, um präzisere Ergebnisse zu erzielen.
• Selbst kleine Schwankungen im Wert von \( g \) können deutliche Auswirkungen auf Simulationsergebnisse haben, was bei der Analyse und Interpretation der Daten bedacht werden muss.

Aufgabe 4)

Adaptive Integrationsmethoden passen die Schrittweite lokal an die Funktion an, um eine vorgegebene Fehlergrenze zu erreichen.

• Nutzen variable Schrittweiten für höhere Genauigkeit.
• Fehlerkontrolle durch Teilevaluierung des Integrals und Anpassung der Schrittweite.
• Bekannte adaptive Methoden: Adaptive Simpson-Regel, Adaptive Trapezregel.
• Fehlerschätzung durch Differenz zwischen feiner und grober Quadratur.
• Erreichte Genauigkeit abhängig von der Feinheit der Anpassung.

a)

Angenommen, Du möchtest das Integral der Funktion f(x) = e^{-x^2} im Intervall [0, 1] mit einer adaptiven Integrationsmethode berechnen.

• (a) Erkläre, wie die Fehlerschätzung in der adaptiven Simpson-Regel durchgeführt wird. Gehe dabei auf die Berechnungen der feinen und groben Quadraturen ein.
• (b) Implementiere die adaptive Simpson-Regel zur Berechnung des Integrals von f(x) = e^{-x^2} in Python. Nutze dabei eine Fehlerschranke von 10^-6. Zeige den Python-Code und erkläre die wichtigsten Schritte Deiner Implementation.

Lösung:

Adaptive Integrationsmethoden passen die Schrittweite lokal an die Funktion an, um eine vorgegebene Fehlergrenze zu erreichen.

• Nutzen variable Schrittweiten für höhere Genauigkeit.
• Fehlerkontrolle durch Teilevaluierung des Integrals und Anpassung der Schrittweite.
• Bekannte adaptive Methoden: Adaptive Simpson-Regel, Adaptive Trapezregel.
• Fehlerschätzung durch Differenz zwischen feiner und grober Quadratur.
• Erreichte Genauigkeit abhängig von der Feinheit der Anpassung.

Lass uns die Aufgaben nacheinander lösen:

• (a) Erkläre, wie die Fehlerschätzung in der adaptiven Simpson-Regel durchgeführt wird. Gehe dabei auf die Berechnungen der feinen und groben Quadraturen ein.

Bei der adaptiven Simpson-Regel wird die Fehlerabschätzung durch den Vergleich zwischen einer feinen und einer groben Quadratur erreicht.

• 1. Berechne das Integral über das gesamte Intervall [a, b] mit der Simpson-Regel. Dies ist die grobe Quadratur S(a, b).
• 2. Unterteile das Intervall [a, b] in zwei Hälften: [a, m] und [m, b], wobei m der Mittelpunkt von [a, b] ist.
• 3. Berechne das Integral jeweils über die beiden neuen Intervalle mit der Simpson-Regel. Diese Summen nennt man die feinen Quadraturen S(a, m) und S(m, b).
• 4. Schätze den Fehler ab durch die Differenz der groben und feinen Quadraturen: Fehler = |S(a, b) - (S(a, m) + S(m, b))|/15.
• 5. Wenn der Fehler größer als die vorgegebene Schranke (z.B. 10^-6) ist, unterteile die Intervalle weiter und wiederhole den Vorgang rekursiv.

• (b) Implementiere die adaptive Simpson-Regel zur Berechnung des Integrals von f(x) = e^{-x^2} in Python. Nutze dabei eine Fehlerschranke von 10^-6. Zeige den Python-Code und erkläre die wichtigsten Schritte Deiner Implementation.

Hier ist der Code zur Implementierung der adaptiven Simpson-Regel in Python:

import mathdef f(x):    return math.exp(-x ** 2)def adaptive_simpson(f, a, b, epsilon, whole=None):    c = (a + b) / 2.0    h = b - a    if whole is None:        whole = (h / 6) * (f(a) + 4 * f(c) + f(b))    left = (h / 12) * (f(a) + 4 * f((a + c) / 2) + f(c))    right = (h / 12) * (f(c) + 4 * f((c + b) / 2) + f(b))    if abs(left + right - whole) <= 15 * epsilon:        return left + right + (left + right - whole) / 15.0    return adaptive_simpson(f, a, c, epsilon / 2.0, left) + adaptive_simpson(f, c, b, epsilon / 2.0, right)result = adaptive_simpson(f, 0, 1, 1e-6)print(result)

Erklärung der wichtigsten Schritte:

• Funktion f: Die zu integrierende Funktion f(x) = e^{-x^2}.
• adaptive_simpson: Diese Funktion berechnet das Integral rekursiv. Sie unterteilt das Intervall [a, b], berechnet die groben (whole) und feinen (left und right) Quadraturen und schätzt den Fehler.
• Fehlerabschätzung: Der Fehler wird überprüft durch den Vergleich der feinen und groben Quadraturen. Wenn die Fehlerschranke eingehalten wird, wird das Ergebnis zurückgegeben, andernfalls wird das Intervall weiter unterteilt.
• Ergebnis: Am Ende wird das berechnete Integral ausgegeben.