Physik - Exam

Aufgabe 1)

Kontext: Du betreibst eine Analyse auf einem Luftkissen-Tisch (um Reibung zu minimieren) und untersuchst die Bewegung eines Körpers. Die Masse des Körpers beträgt 5 kg. Du willst die Newtonschen Gesetze überprüfen und dabei verschiedene Szenarien betrachten. Beachte dabei alle relevante Kräfte und deren Wechselwirkungen.

b)

Angenommen, nachdem der Körper eine Geschwindigkeit von 4 m/s erreicht hat, hörst du auf, die Kraft auszuüben. Welche Art von Bewegung folgt nach dem 1. Newtonschen Gesetz? Beschreibe die resultierende Bewegung und erkläre dies mithilfe des Gesetzes.

Lösung:

• Kontext: Du betreibst eine Analyse auf einem Luftkissen-Tisch (um Reibung zu minimieren) und untersuchst die Bewegung eines Körpers. Die Masse des Körpers beträgt 5 kg. Du willst die Newtonschen Gesetze überprüfen und dabei verschiedene Szenarien betrachten. Beachte dabei alle relevante Kräfte und deren Wechselwirkungen.
• Aufgabe: Angenommen, nachdem der Körper eine Geschwindigkeit von 4 m/s erreicht hat, hörst du auf, die Kraft auszuüben. Welche Art von Bewegung folgt nach dem 1. Newtonschen Gesetz? Beschreibe die resultierende Bewegung und erkläre dies mithilfe des Gesetzes.

• Das Erste Newtonsche Gesetz, auch bekannt als Trägheitsgesetz, besagt:

• Im gegebenen Fall:

• Nachdem du aufgehört hast, eine Kraft auf den Körper auszuüben, gibt es keine Nettokraft mehr, die auf ihn einwirkt.
• Da wir annehmen, dass der Luftkissen-Tisch die Reibung minimiert, befinden wir uns in einem nahezu reibungslosen Umfeld.
• Laut dem ersten Newtonschen Gesetz wird der Körper seine aktuelle Bewegung beibehalten, da keine äußere Kraft vorhanden ist, die den Bewegungszustand ändert.

• Der Körper wird seine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fortsetzen: 4 m/s in die gleiche Richtung.
• Diese gleichförmige geradlinige Bewegung wird andauern, bis eine externe Kraft den Bewegungszustand ändert (z.B. durch Reibung oder eine andere äußere Kraft).

• Zusammenfassend, nach dem 1. Newtonschen Gesetz, wird der Körper in gleichförmiger Bewegung verbleiben, also mit konstanter Geschwindigkeit von 4 m/s in die gleiche Richtung, nachdem die angewandte Kraft weggenommen wurde.

Aufgabe 2)

Ein ideales Gas befindet sich in einem geschlossenen System. Das Gas wird durch eine äußere Heizung erwärmt und verrichtet Arbeit, indem es einen Kolben hebt. Angenommen, die zugeführte Wärme beträgt 500 J, und die vom Gas verrichtete Arbeit beträgt 200 J.

Verwende den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, um die folgenden Fragen zu beantworten:

Aufgabe 3)

Ein Wissenschaftler untersucht die Bildentstehung durch Linsen und Spiegel in einem Laborexperiment. Er verwendet eine konvexe Linse mit einer Brennweite von 10 cm und einen konkaven Spiegel mit einer Brennweite von 15 cm. Ein Lichtstrahl trifft in einem Winkel von 30° von der Luft auf ein Glas (Brechungsindex = 1,5). Der Lichtstrahl verläuft anschließend zu einer konvexen Linse und dann zu einem konkaven Spiegel. Der Wissenschaftler möchte die genauen Positionen der entstehenden Bilder und die Lichtwege bestimmen.

a)

Berechne den Brechungswinkel des Lichtstrahls, wenn dieser von der Luft (n = 1) ins Glas (n = 1,5) in einem Einfallswinkel von 30° eintritt.

Lösung:

Berechnung des Brechungswinkels

Um den Brechungswinkel zu berechnen, können wir das Snell'sche Gesetz anwenden. Das Gesetz besagt:

• Snell'sches Gesetz: \[ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) \]

Im gegebenen Problem sind folgende Werte bekannt:

• \( n_1 = 1 \) (Brechungsindex der Luft)
• \( n_2 = 1{,}5 \) (Brechungsindex des Glases)
• \( \theta_1 = 30^\text{°} \) (Einfallswinkel)

Jetzt setzen wir diese Werte in das Snell'sche Gesetz ein:

• \[ 1 \cdot \sin(30^\text{°}) = 1{,}5 \cdot \sin(\theta_2) \]

Wir berechnen \( \sin(30^\text{°}) \):

• \[ \sin(30^\text{°}) = 0{,}5 \]

Dann setzen wir diesen Wert in die Gleichung ein:

• \[ 0{,}5 = 1{,}5 \cdot \sin(\theta_2) \]

Jetzt lösen wir nach \( \theta_2 \) auf:

• \[ \sin(\theta_2) = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3} \]

Schließlich berechnen wir den Brechungswinkel \( \theta_2 \):

• \[ \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19{,}47^\text{°} \]

Ergebnis:

Der Brechungswinkel des Lichtstrahls beim Eintritt von der Luft ins Glas beträgt ungefähr 19,47°.

b)

Bestimme die Bildweite, wenn der Gegenstand 20 cm vor der konvexen Linse platziert wird. Verwende die Linsengleichung \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\] um die Bildweite zu berechnen.

Lösung:

Berechnung der Bildweite

Um die Bildweite zu berechnen, wenn der Gegenstand 20 cm vor der konvexen Linse platziert wird, müssen wir die Linsengleichung verwenden. Die Linsengleichung lautet:

• Linsengleichung: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]

Im gegebenen Problem sind folgende Werte bekannt:

• \( f = 10 \) cm (Brennweite der konvexen Linse)
• \( d_o = 20 \) cm (Gegenstandsweite)

Jetzt setzen wir diese Werte in die Linsengleichung ein:

• \[ \frac{1}{10} = \frac{1}{20} + \frac{1}{d_i} \]

Nun lösen wir die Gleichung nach \( d_i \) (Bildweite) auf:

• Erster Schritt: Subtrahiere \( \frac{1}{20} \) von beiden Seiten: \[ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} \]
• Berechne die gemeinsame Basis: \[ \frac{1}{10} = \frac{2}{20} \]
• Setze die berechneten Werte in die Gleichung ein: \[ \frac{1}{d_i} = \frac{2}{20} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \]
• Löse nach \( d_i \) auf: \[ d_i = 20 \text{cm} \]

Ergebnis:

Die Bildweite beträgt 20 cm, wenn der Gegenstand 20 cm vor der konvexen Linse platziert wird.

c)

Berechne die Position des Bildes, das durch den konkaven Spiegel entsteht, wenn das durch die Linse erzeugte Bild 25 cm vor dem Spiegel platziert wird. Verwende die Spiegelgleichung \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\] um die Bildposition zu bestimmen.

Lösung:

Berechnung der Bildposition durch den konkaven Spiegel

Um die Position des Bildes zu berechnen, das durch den konkaven Spiegel entsteht, wenn das durch die Linse erzeugte Bild 25 cm vor dem Spiegel platziert wird, müssen wir die Spiegelgleichung verwenden. Die Spiegelgleichung lautet:

• Spiegelgleichung: \( \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \)

Im gegebenen Problem sind folgende Werte bekannt:

• \( f = -15 \) cm (Brennweite des konkaven Spiegels. Das Vorzeichen ist negativ, da es sich um einen konkaven Spiegel handelt.)
• \( d_o = 25 \) cm (Gegenstandsweite, da das Bild durch die Linse erzeugt und vor dem Spiegel platziert wird.)

Jetzt setzen wir diese Werte in die Spiegelgleichung ein:

• \( \frac{1}{-15} = \frac{1}{25} + \frac{1}{d_i} \)

Nun lösen wir die Gleichung nach \( d_i \) (Bildweite) auf:

• Erster Schritt: Subtrahiere \( \frac{1}{25} \) von beiden Seiten:\( \frac{1}{d_i} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{25} \)
• Berechne den gemeinsamen Nenner von 15 und 25:
• \( \frac{1}{-15} = \frac{-5}{75} \)
• \( \frac{1}{25} = \frac{3}{75} \)
• Setze die berechneten Werte in die Gleichung ein:\( \frac{1}{d_i} = \frac{-5}{75} - \frac{3}{75} = \frac{-8}{75} \)
• Löse nach \( d_i \) auf:\( d_i = \frac{75}{-8} = -9,375 \text{ cm} \)

Ergebnis:

Die Position des Bildes, das durch den konkaven Spiegel entsteht, beträgt -9,375 cm. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass das Bild auf der gleichen Seite wie das Objekt liegt, also vor dem Spiegel.

Aufgabe 4)

Wellen-Teilchen-DualitätIn der Quantenmechanik wird angenommen, dass Teilchen sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften zeigen können, abhängig vom Experiment. Die wellenartigen Eigenschaften von Licht umfassen Phänomene wie Beugung und Interferenz, während die teilchenartigen Eigenschaften durch den Fotoeffekt erklärt werden können, bei dem Licht als Quantenpakete, sogenannte Photonen, betrachtet wird. Die De-Broglie-Hypothese verknüpft die Wellenlänge eines Teilchens mit seinem Impuls durch die Formel \( \lambda = \frac{h}{p} \)Zudem beschreibt die Heisenbergsche Unschärferelation die fundamentale Grenze der gleichzeitigen Messgenauigkeit von Ort und Impuls:\( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \).

a)

Ein Elektron hat einen Impuls von \(2.2 \times 10^{-24} \text{kg} \cdot \text{m/s}\). Bestimme die Wellenlänge dieses Elektrons unter Verwendung der De-Broglie-Hypothese.

Lösung:

• Gegeben:
• Impuls des Elektrons: \( p = 2.2 \times 10^{-24} \text{kg} \cdot \text{m/s} \)
• Plancksches Wirkungsquantum: \( h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{Js} \)
• Gesucht: Wellenlänge \( \lambda \) des Elektrons
• Formel aus der De-Broglie-Hypothese:
\[ \lambda = \frac{h}{p} \]
• Einsetzen der gegebenen Werte:
\[ \lambda = \frac{6.62607015 \times 10^{-34} \text{Js}}{2.2 \times 10^{-24} \text{kg} \cdot \text{m/s}} \]
• Berechnung:
• Zunächst den Bruch berechnen:
\[ = \frac{6.62607015}{2.2} \times 10^{-34+24} \]
• Dann vereinfachen:
\[ = 3.012304614 \times 10^{-10} \text{m} \]
• Ergebnis:
• Die Wellenlänge des Elektrons beträgt etwa \(\lambda = 3.012304614 \times 10^{-10} \text{m} \) oder \( 0.301 \text{nm} \).

b)

Ein Laser strahlt Licht einer Wellenlänge von 500 nm aus. Berechne die Energie eines einzelnen Photons dieses Lasers.

Lösung:

• Gegeben:
• Wellenlänge des Lichts: \( \lambda = 500 \text{ nm} \ = 500 \times 10^{-9} \text{ m} \)
• Plancksches Wirkungsquantum: \( h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{Js} \)
• Lichtgeschwindigkeit: \( c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \)
• Gesucht: Energie \( E \) eines einzelnen Photons
• Formel:
• Die Energie \( E \) eines Photons lässt sich über die Beziehung zwischen Energie und Frequenz berechnen:
\[ E = h \cdot f \]
• Verbindung zwischen Frequenz und Wellenlänge:
• Da die Frequenz \( f \) auch in Zusammenhang mit der Wellenlänge \( \lambda \) steht, verwenden wir die Formel:
\[ f = \frac{c}{\lambda} \]
• Einsetzen der Werte in die Frequenzformel:
• Ersetzen wir die Werte für Lichtgeschwindigkeit und Wellenlänge:
\[ f = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{500 \times 10^{-9} \text{ m}} \]
• Berechnung der Frequenz:
\[ f = 6 \times 10^{14} \text{ Hz} \]
• Einsetzen der Frequenz in die Energieformel:
• Jetzt setzen wir die berechnete Frequenz in die Formel für die Energie ein:
\[ E = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{ Js} \cdot 6 \times 10^{14} \text{ Hz} \]
• Berechnung der Energie:
• Durch die Multiplikation erhalten wir:
\[ E = 3.97564209 \times 10^{-19} \text{ J} \]
• Ergebnis:
• Die Energie eines einzelnen Photons dieses Lasers beträgt \( E = 3.98 \times 10^{-19} \text{ J} \) (gerundet auf zwei Dezimalstellen).\

c)

Erkläre, wie die Heisenbergsche Unschärferelation die Präzision, mit der Ort und Impuls eines Teilchens gemessen werden können, einschränkt. Diskutiere die Auswirkungen dieser Einschränkung auf die Durchführung von Experimenten der Quantenmechanik.

Lösung:

• Heisenbergsche Unschärferelation:
• Die Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt eine fundamentale Grenze für die gleichzeitige Messgenauigkeit von Ort und Impuls eines Teilchens.
• Die mathematische Formulierung dieser Beziehung lautet:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \]

• Interpretation:
• \(\Delta x\) repräsentiert die Unsicherheit in der Ortsmessung des Teilchens.
• \(\Delta p\) repräsentiert die Unsicherheit in der Impulsmessung des Teilchens.
• \(h\) ist das Plancksche Wirkungsquantum, eine fundamentale Konstante der Quantenmechanik.

• Die Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Unsicherheiten von Ort und Impuls mindestens so groß sein muss wie \(\frac{h}{4 \pi}\).

• Auswirkungen auf Experimente in der Quantenmechanik:
• Begrenzte Präzision: Die Unschärferelation setzt eine grundsätzliche Grenze für die Präzision, mit der Ort und Impuls gleichzeitig bestimmt werden können.
• Unvermeidbare Unschärfe: Egal wie genau die Messgeräte sind, es ist unmöglich, sowohl den Ort als auch den Impuls eines Teilchens exakt zu messen. Wenn der Ort eines Teilchens sehr präzise gemessen wird, muss die Unschärfe des Impulses groß sein und umgekehrt.
• Planung von Experimenten: In Experimenten der Quantenmechanik müssen Wissenschaftler die Heisenbergsche Unschärferelation berücksichtigen. Es ist notwendig, einen Kompromiss zwischen der Genauigkeit der Orts- und Impulsmessung zu finden, abhängig davon, welche Information wichtiger für das jeweilige Experiment ist.
• Beobachtungsprozesse: Da Beobachtungen in der Quantenmechanik den Zustand des Systems beeinflussen können, muss die Heisenbergsche Unschärferelation bei der Interpretation der experimentellen Ergebnisse berücksichtigt werden.
• Technologische Grenzen: Moderne Technologien wie Rastertunnelmikroskope nutzen die Prinzipien der Quantenmechanik und sind durch die Unschärferelation begrenzt. Diese technologischen Anwendungen profitieren von einem umfassenden Verständnis der Heisenbergschen Unschärferelation.
• Zusammenfassung: Die Heisenbergsche Unschärferelation ist ein zentrales Prinzip der Quantenmechanik, das die gleichzeitige Messgenauigkeit von Ort und Impuls begrenzt. Diese Einschränkung hat tiefgreifende Auswirkungen auf die Planung, Durchführung und Interpretation von Experimenten in der Quantenmechanik.