Robuste Optimierung 1 - Exam

Aufgabe 1)

Du bist beauftragt, ein Transportproblem zu lösen, bei dem die Lieferkosten zwischen Warenlagern und Geschäften unsicher sind. Um sicherzustellen, dass Deine Lösung robust gegen diese Unsicherheiten ist, musst Du den Ansatz der robusten Optimierung verwenden.

Die Lieferkosten zwischen Warenlager i und Geschäft j können in einem Bereich variieren, der durch ein Polytop beschrieben wird. Angenommen, es gibt zwei Warenlager (A und B) und zwei Geschäfte (1 und 2). Die variierenden Lieferkosten c_ij (mit i für Lager und j für Geschäft) sind durch die Intervalle wie folgt gegeben:

• c_A1: [3, 5]
• c_A2: [4, 6]
• c_B1: [2, 3]
• c_B2: [5, 7]

Zusätzlich gibt es folgende Mengenanforderungen:

• Geschäft 1 benötigt 100 Einheiten
• Geschäft 2 benötigt 150 Einheiten

Die Lagerbestände sind:

• Warenlager A: 120 Einheiten
• Warenlager B: 130 Einheiten

Deine Aufgabe ist es, die optimalen Liefermengen zu bestimmen, wobei die Lösung robust gegenüber den gegebenen Unsicherheitsbereichen der Lieferkosten sein muss.

c)

c) Formuliere die robuste Zielfunktion für das Problem und erläutere, wie Du die Unsicherheiten der Lieferkosten berücksichtigst, um eine Lösung zu finden, die die Gesamtkosten minimiert, auch wenn die Lieferkosten variieren.

Lösung:

Um eine robuste Zielfunktion für das Transportproblem zu formulieren, müssen wir die Unsicherheiten der Lieferkosten berücksichtigen, sodass die Gesamtkosten minimiert werden, unabhängig von den Schwankungen innerhalb der gegebenen Intervalle. Die robuste Optimierung zielt darauf ab, eine Lösung zu finden, die unter den worst-case-Bedingungen optimal ist.

Gegebene Lieferkosten-Intervalle:

• c_A1: [3, 5]
• c_A2: [4, 6]
• c_B1: [2, 3]
• c_B2: [5, 7]

Um die Unsicherheiten der Lieferkosten zu berücksichtigen, verwenden wir einen Szenarioansatz, bei dem wir sowohl das Best Case- als auch das Worst Case-Szenario analysieren:

Best Case Szenario:

• c_A1 = 3
• c_A2 = 4
• c_B1 = 2
• c_B2 = 5

Worst Case Szenario:

• c_A1 = 5
• c_A2 = 6
• c_B1 = 3
• c_B2 = 7

Robuste Zielfunktion:

 \text{minimize} \; \max(3 \cdot \textit{x}_{A1} + 4 \cdot \textit{x}_{A2} + 2 \cdot \textit{x}_{B1} + 5 \cdot \textit{x}_{B2}, 5 \cdot \textit{x}_{A1} + 6 \cdot \textit{x}_{A2} + 3 \cdot \textit{x}_{B1} + 7 \cdot \textit{x}_{B2}) 

Durch diese Zielfunktion wird sichergestellt, dass die Gesamtkosten minimiert werden, selbst wenn die tatsächlichen Lieferkosten innerhalb der Intervalle schwanken.

Komplettes robustes Optimierungsmodell:

 \text{minimize} \; \max(3 \cdot \textit{x}_{A1} + 4 \cdot \textit{x}_{A2} + 2 \cdot \textit{x}_{B1} + 5 \cdot \textit{x}_{B2}, 5 \cdot \textit{x}_{A1} + 6 \cdot \textit{x}_{A2} + 3 \cdot \textit{x}_{B1} + 7 \cdot \textit{x}_{B2}) subject to: \textit{x}_{A1} + \textit{x}_{B1} = 100 \textit{x}_{A2} + \textit{x}_{B2} = 150 \textit{x}_{A1} + \textit{x}_{A2} \leq 120 \textit{x}_{B1} + \textit{x}_{B2} \leq 130 \textit{x}_{A1}, \textit{x}_{A2}, \textit{x}_{B1}, \textit{x}_{B2} \geq 0 

Erläuterung zur Berücksichtigung der Unsicherheiten:

• Die Zielfunktion minimiert die höchsten möglichen Gesamtkosten, die sich aus der Variation der Lieferkosten ergeben.
• Indem wir das Maximum der Kosten in der Zielfunktion minimieren, sorgen wir dafür, dass die Lösung robust gegenüber den Schwankungen der Lieferkosten ist.
• Die Constraints garantieren, dass die Mengenanforderungen der Geschäfte und die Lagerkapazitäten eingehalten werden.
• Die nicht-negativen Beschränkungen stellen sicher, dass nur sinnvolle, nicht negative Liefermengen verwendet werden.

Dieses robuste Optimierungsmodell gewährleistet, dass die Gesamtkosten minimiert werden, selbst wenn die Lieferkosten innerhalb ihrer gegebenen Intervalle variieren, und stellt somit sicher, dass die Lösung des Transportproblems robust und effizient ist.

Aufgabe 2)

Du arbeitest als Entscheidungsanalytiker in einer Firma, die ihre Produktionsplanung optimieren möchte. Diese Firma hat in den letzten Jahren immer wieder Probleme mit Nachfrageschwankungen und variablen Produktionskosten gehabt. Dein Ziel ist es, ein robustes Optimierungsmodell zu entwickeln, das auch unter diesen Unsicherheiten stabile Ergebnisse liefert. Die Produktionskosten pro Einheit schwanken im Intervall \( [5, 10] \) und die Nachfrage folgt einer ellipsoiden Unsicherheitsmenge. Du beginnst mit der Formulierung des robusten Optimierungsproblems.

b)

Teilaufgabe 2: Analysiere und diskutiere die potenziellen Auswirkungen, wenn Du eine zu konservative vs. eine zu performante Lösung wählst. Welche Risiken gehst Du ein, wenn Du Dich für eine der beiden Optionen entscheidest? Ziehe die gängigen Ansätze der robusten linearen und der robusten konvexen Optimierung in Betracht.

Lösung:

Bei der Wahl eines robusten Optimierungsmodells ist es wichtig, die Balance zwischen einer zu konservativen und einer zu performanten Lösung zu finden. Jede dieser Ansätze hat spezifische Vor- und Nachteile sowie potenzielle Risiken.

• Zu konservative Lösung:Ein konservatives Modell versucht, die Unsicherheiten stark abzusichern und minimiert die schlimmsten möglichen Kostenannahmen.

• Vorteile:
• Höhere Sicherheit und Stabilität bei schwankenden Produktionskosten und Nachfragen.
• Geringeres Risiko, dass die realen Kosten die geschätzten Kosten übersteigen.
• Nachteile:
• Höhere Kosten aufgrund übermäßiger Sicherheitsmargen – dies kann zu unnötigen Ressourcenblockaden führen.
• Eventuell weniger konkurrenzfähige Preise aufgrund der höheren Produktionskosten, was den Marktanteil reduzieren kann.
• Risiken:
• Unterversorgung des Marktes im Falle einer Senkung der Nachfrage, da das Unternehmen vorsichtiger produziert.
• Kundenunzufriedenheit durch lange Lieferzeiten oder fehlende Verfügbarkeit.
• Zu performante Lösung:Ein performantes Modell strebt nach höheren Erträgen und berücksichtigt dabei optimistischere Annahmen bezüglich der Kosten und Nachfrage.
• Vorteile:
• Niedrigere Produktionskosten und somit konkurrenzfähigere Preise.
• Möglicherweise höhere Marktdurchdringung und Umsatz aufgrund aggressiverer Planung.
• Nachteile:
• Größeres Risiko, dass die tatsächlichen Produktionskosten die kalkulierten Kosten übersteigen.
• Höheres Risiko von Nachfrageschwankungen nicht abgedeckt.
• Risiken:
• Überproduktion und damit verbundene Lagerhaltungskosten, falls die Nachfrage sinkt.
• Eingefrorenes Kapital in überschüssiger Produktion, was zu Liquiditätsproblemen führen kann.
• Kundefrustration und Reputationsverlust im Falle von Unterproduktion.

Bei der Betrachtung der gängigen Ansätze in der robusten linearen und der robusten konvexen Optimierung ist es wichtig zu berücksichtigen:

• Robuste lineare Optimierung: Hier wird eine Worst-Case-Optimierung verwendet, um sicherzustellen, dass alle möglichen Szenarien innerhalb der definierten Unsicherheitsmenge abgedeckt sind. Dies kann zu konservativeren, aber stabileren Lösungen führen.
• Robuste konvexe Optimierung: Dieser Ansatz ermöglicht eine flexiblere Unsicherheitsmodellierung und kann Lösungen liefern, die eine Balance zwischen konservativ und performant bieten. Dabei wird das Risiko mehr verteilt, was potenziell zu besseren Ressourcenverwendungen führen kann.

Insgesamt ist es wichtig, eine Strategie zu wählen, die die langfristigen Ziele des Unternehmens unterstützt und eine Balance zwischen Sicherheit und Effizienz bietet.

Aufgabe 3)

Du arbeitest an einem Projekt, bei dem Du einen robusten Optimierungsansatz verwenden musst, um eine Anlage zu konfigurieren. Die Anlage ist unterschiedlich starken Störungen ausgesetzt, und Du möchtest sicherstellen, dass die Konfiguration auch unter den schlechtesten Bedingungen gut funktioniert. Im Rahmen des Projekts sollst Du Methoden der Worst-Case-Optimierung einsetzen. Dabei modellierst Du Unsicherheiten als mögliche Szenarien, um die maximale Leistung der Anlage zu optimieren, selbst wenn die Störungen am größten sind. Die mathematische Formulierung dieses Problems ist: \[ \text{max}_{x} \text{min}_{u \text{U}} f(x,u) \]. Berücksichtige dabei bitte folgende Aspekte.

a)

• Erkläre ausführlich den Begriff Worst-Case-Optimierung und gib ein Beispiel aus der Praxis, wo dieser Ansatz sinnvoll angewendet werden kann.

Lösung:

Subexercise Lösung:

• Begriffserklärung und praktisches Beispiel der Worst-Case-Optimierung

Worst-Case-Optimierung:

Worst-Case-Optimierung ist ein Ansatz in der mathematischen Optimierung und Entscheidungsfindung, bei dem die Robustheit einer Lösung gegenüber den ungünstigsten möglichen Bedingungen gewährleistet wird. Ziel der Worst-Case-Optimierung ist es, eine Lösung zu finden, die auch unter den schlechtesten Szenarien eine akzeptable oder optimale Leistung bietet.

In der Worst-Case-Optimierung werden Unsicherheiten oder Störungen modelliert und als verschiedene mögliche Szenarien betrachtet. Dann wird die Lösung gesucht, die unter dem ungünstigsten Szenario zum besten Ergebnis führt. Diese Methode ist besonders nützlich in Situationen, in denen Unvorhersehbarkeit und hohe Variabilität eine Rolle spielen und es wichtig ist, dass Systeme oder Entscheidungen auch unter Extrembedingungen funktionieren.

Mathematisch wird dieser Optimierungsansatz oft als Maximierung eines Minimalwertes formuliert:

\[ \text{max}_{x} \text{min}_{u \text{U}} f(x,u) \]

Dies bedeutet, dass die Entscheidung über x so getroffen wird, dass der minimale Wert der Funktion \( f(x,u) \) über alle möglichen Szenarien u maximiert wird.

Praktisches Beispiel:

Ein praktisches Beispiel für Worst-Case-Optimierung ist die Planung und Gestaltung von Notstromversorgungssystemen für Krankenhäuser. In einem solchen Fall möchte man sicherstellen, dass das Notstromsystem auch im Falle des schlimmsten Szenarios, z.B. bei einem vollständigen und längerdauernden Stromausfall, zuverlässig funktioniert.

Hierbei müssen verschiedene Störszenarien berücksichtigt werden, wie zum Beispiel:

• Ein Stromausfall von mehreren Stunden oder Tagen.
• Gleichzeitiger Ausfall mehrerer Notstromgeneratoren.
• Zusätzliche Belastung durch erhöhte Patientenzahl während einer Krise.

Die Worst-Case-Optimierung würde in diesem Fall eine Konfiguration des Notstromsystems anstreben, die auch unter den schlechtesten Bedingungen die notwendige Stromversorgung für kritische medizinische Geräte und Infrastruktur sicherstellt. Damit wird sichergestellt, dass lebenswichtige Funktionen des Krankenhauses auch unter den extremsten Störungen nicht beeinträchtigt werden.

b)

• Gegeben sei die Funktion \(f(x,u) = x^2 - xu\) mit \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) und \(u \in \[1, 3\]\). Verwende die Worst-Case-Optimierungstechnik, um den optimalen Wert für \(x\) zu bestimmen, sodass der maximale minimale (worst-case) Wert der Funktion erzielt wird. Zeige alle Berechnungsschritte und Erklärungen klar und verständlich.

Lösung:

Subexercise Lösung:

• Worst-Case-Optimierung anwenden

Gegeben sei die Funktion:

\( f(x,u) = x^2 - xu \)

mit den möglichen Werten:

• x: {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• u: [1, 3]

Unser Ziel ist es, den Wert für x zu finden, der den maximalen minimalen (worst-case) Wert der Funktion \( f(x,u) \) ergibt.

Folgende Schritte sind notwendig:

1. Berechne den Wert der Funktion \( f(x,u) \) für jedes \(x\) im ungünstigsten Fall (worst-case) von \(u\).
2. Bestimme den \(x\)-Wert, der diesen Maximalwert der minimalen Funktion \( f(x,u) \) ergibt.

Wir starten mit dem Berechnen der Werte von \( f(x,u) \) für die Randwerte von \( u \) (d.h. \( u=1 \) und \( u=3 \)), da diese die Worst-Case-Szenarien repräsentieren.

Schritt 1: Berechnung von \( f(x,u) \) für \( u=1 \) und \( u=3 \):

• Für \( x=0 \):
• \( f(0,1) = 0^2 - 0 \times 1 = 0 \)
• \( f(0,3) = 0^2 - 0 \times 3 = 0 \)
• Für \( x=1 \):
• \( f(1,1) = 1^2 - 1 \times 1= 0 \)
• \( f(1,3) = 1^2 - 1 \times 3 = -2 \)
• Für \( x=2 \):
• \( f(2,1) = 2^2 - 2 \times 1 = 2 \)
• \( f(2,3) = 2^2 - 2 \times 3 = -2 \)
• Für \( x=3 \):
• \( f(3,1) = 3^2 - 3 \times 1 = 6 \)
• \( f(3,3) = 3^2 - 3 \times 3 = 0 \)
• Für \( x=4 \):
• \( f(4,1) = 4^2 - 4 \times 1 = 12 \)
• \( f(4,3) = 4^2 - 4 \times 3 = 4 \)
• Für \( x=5 \):
• \( f(5,1) = 5^2 - 5 \times 1 = 20 \)
• \( f(5,3) = 5^2 - 5 \times 3 = 10 \)

Schritt 2: Bestimmung des minimalen Wertes für jedes \(x\)

• Für \( x=0 \):
• min(\( f(0,1) \), \( f(0,3) \)) = min(0,0) = 0
• Für \( x=1 \):
• min(\( f(1,1) \), \( f(1,3) \)) = min(0, -2) = -2
• Für \( x=2 \):
• min(\( f(2,1) \), \( f(2,3) \)) = min(2, -2) = -2
• Für \( x=3 \):
• min(\( f(3,1) \), \( f(3,3) \)) = min(6, 0) = 0
• Für \( x=4 \):
• min(\( f(4,1) \), \( f(4,3) \)) = min(12, 4) = 4
• Für \( x=5 \):
• min(\( f(5,1) \), \( f(5,3) \)) = min(20, 10) = 10

Schritt 3: Bestimmung des \( x \)-Wertes, der das Maximum der minimalen Werte ergibt

Wir vergleichen die minimalen Werte:

• \( x=0 \): 0
• \( x=1 \): -2
• \( x=2 \): -2
• \( x=3 \): 0
• \( x=4 \): 4
• \( x=5 \): 10

Der maximale minimale Wert ist 10 und wird bei \( x=5 \) erreicht.

Damit ist der optimale Wert für \( x \) gleich 5.

Aufgabe 4)

Unterschiedliche Robustheitskriterien: Unterschiedliche Robustheitskriterien bewerten, wie gut eine Lösung gegenüber Unsicherheiten im Modell schützt.

• Statische Robustheit: Lösung muss für alle Unsicherheiten innerhalb eines festgelegten Sets gültig sein.
• Verstellbare Robustheit: Anpassbare Lösungen, die sich durch zusätzliche Informationszuflüsse verbessern lassen.
• Probabilistische Robustheit: Lösungsvalidität wird per Wahrscheinlichkeit bestimmt, akzeptabel nur unter vorgegebener Wahrscheinlichkeit.
• Totale Robustheit: Setzt extrem restriktive Kriterien voraus, um Lösung für jede mögliche Unsicherheit gültig zu machen.
• Kostenbasierte Robustheit: Lösung minimiert erwartete Kosten oder Verluste durch Unsicherheiten.
• Verifizierungsfähig durch Formulierungen wie: Max-min, Min-max, VaR (Value-at-Risk), CVaR (Conditional Value-at-Risk)

a)

Betrachte eine Optimierungsaufgabe im Kontext von Lieferkettenmanagement. Ein Unternehmen möchte die Produktionspläne so robust wie möglich gegenüber Nachfrageunsicherheiten gestalten.

• Statische Robustheit: Formuliere das Optimierungsmodell so, dass es die Nachfrageunsicherheiten innerhalb eines vordefinierten Sets abdeckt. Wie sieht die Zielfunktion und die Nebenbedingungen in diesem Fall aus?
• Verstellbare Robustheit: Erläutere, wie das Unternehmen seinen Produktionsplan anpassen könnte, wenn es schrittweise zusätzliche Information über die Nachfrage erhält. Welche adaptiven Verfahren könnten hier angewendet werden?
• Probabilistische Robustheit: Angenommen, das Unternehmen akzeptiert eine 95%-Garantie, dass der Produktionsplan die Nachfrage erfüllt. Wie würde das Optimierungsmodell aussehen? Berücksichtige dabei einen probabilistischen Ansatz und formuliere den entsprechenden mathematischen Ausdruck.

Lösung:

Im Kontext der Optimierungsaufgabe im Lieferkettenmanagement eines Unternehmens, das seine Produktionspläne möglichst robust gegenüber Nachfrageunsicherheiten gestalten möchte, lassen sich folgende Ansätze anwenden:

• Statische Robustheit: Das Modell muss alle Nachfrageunsicherheiten innerhalb eines vordefinierten Sets abdecken. Die Zielfunktion und Nebenbedingungen könnten wie folgt aussehen:

• Zielfunktion:

Minimiere: Z = \text{Produktionskosten} + \text{Lagerkosten}

• Nebenbedingungen: Für jede mögliche Nachfrage innerhalb des festgelegten Unsicherheitssets:

\text{Produktion} + \text{Lagerbestand am Anfang des Zeitraums} - \text{Lagerbestand am Ende des Zeitraums} \geq \text{Nachfrage},\forall \text{Nachfrage innerhalb des Unsicherheitssets}

• Verstellbare Robustheit: Hierbei kann das Unternehmen seinen Produktionsplan anpassen, wenn es schrittweise zusätzliche Informationen über die Nachfrage erhält. Adaptive Verfahren könnten die Anwendung eines mehrstufigen Entscheidungsprozesses beinhalten:

• Beispiel: Rolling-Horizon-Planung:

1. Initialer Produktionsplan basierend auf anfänglichen Informationen.2. Iterative Aktualisierung des Plans, wenn neue Nachfrageinformationen verfügbar werden.3. Anwendung von Vorhersagemodellen oder maschinellen Lernverfahren zur kontinuierlichen Verbesserung der Nachfrageprognosen.

• Probabilistische Robustheit: Wenn das Unternehmen eine 95%-Garantie akzeptiert, dass der Produktionsplan die Nachfrage erfüllt, wird ein probabilistischer Ansatz angewendet. Das Modell berücksichtigt eine Wahrscheinlichkeit von 95%, dass die Nachfrage gedeckt wird:

• Zielfunktion:

Minimiere: Z = \text{Produktionskosten} + \text{Lagerkosten}

• Nebenbedingungen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage erfüllt wird:

P(\text{Produktion} + \text{Lagerbestand am Anfang des Zeitraums} - \text{Lagerbestand am Ende des Zeitraums} \geq \text{Nachfrage}) \geq 0.95

• Zur Sicherstellung dieser Bedingung können Szenarioanalysen oder Simulationsverfahren angewendet werden.

Durch die Anwendung dieser robusten Optimierungsansätze kann das Unternehmen sicherstellen, dass es bestmöglich auf Nachfrageunsicherheiten vorbereitet ist und entsprechend reagieren kann.

b)

Analysiere und vergleiche die verschiedenen Robustheitskriterien in Bezug auf ihre Anwendung in Finanzportfolios.

• Kostenbasierte Robustheit: Erläutere, wie ein Portfolio manager seine Anlagestrategien anhand der kostenbasierten Robustheit optimieren kann. Welche Kennzahlen und Methoden könnten hier verwendet werden?
• Totale Robustheit: Welche Vor- und Nachteile hat die Anwendung einer total robusten Strategie in einem Portfolio? Diskutiere die praktischen Implikationen.
• Max-min und Min-max: Verdeutliche anhand eines Beispiels aus der Portfoliooptimierung, wie diese Ansätze helfen können, robuste Entscheidungen zu treffen. Formuliere dabei die mathematischen Modelle.

Lösung:

Die Anwendung unterschiedlicher Robustheitskriterien in Finanzportfolios kann bedeutende Implikationen für die Art und Weise haben, wie Anlagestrategien verwaltet und optimiert werden. Wir analysieren und vergleichen drei Robustheitskriterien im Detail:

• Kostenbasierte Robustheit

Ein Portfolio-Manager kann seine Anlagestrategien optimieren, indem er die erwarteten Kosten oder Verluste durch Unsicherheiten minimiert. Kostenbasierte Robustheit zielt darauf ab, die negativen Auswirkungen unvorhergesehener Marktbewegungen zu reduzieren. Hierbei können verschiedene Kennzahlen und Methoden verwendet werden:

• Value-at-Risk (VaR): Eine Kennzahl, die das potenzielle Verlustniveau eines Portfolios bei einem gegebenen Konfidenzniveau über einen bestimmten Zeitraum quantifiziert.
• Conditional Value-at-Risk (CVaR): Eine Erweiterung des VaR, die den durchschnittlichen Verlust im schlimmsten Fall (über den VaR hinaus) misst.
• Mean-Variance-Analyse: Ein Verfahren, bei dem das Portfolio diversifiziert wird, um die Volatilität zu minimieren und gleichzeitig den erwarteten Ertrag zu maximieren.
• Stresstests und Szenarioanalysen: Methoden, um die Reaktion des Portfolios auf extreme und unwahrscheinliche Ereignisse zu evaluieren.
• Totale Robustheit

Eine total robuste Strategie setzt extrem restriktive Kriterien voraus, um das Portfolio vor jeder möglichen Unsicherheit zu schützen. Dies hat sowohl Vor- als auch Nachteile:

• Vorteile:
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das Portfolio negative Auswirkungen von Unsicherheiten erfährt, wird minimiert.
• Sicherstellung eines extrem hohen Schutzniveaus gegenüber jeglichen Marktschwankungen.
• Nachteile:
• Die extrem konservative Natur kann zu verpassten Chancen und geringeren Renditen führen.
• Höhere Transaktionskosten und Managementaufwand, um die Anforderungen der totalen Robustheit zu erfüllen.
• Schwierig in der praktischen Umsetzung, da es nahezu unmöglich ist, alle potenziellen Unsicherheiten vorherzusagen.
• Max-min und Min-max

Diese Ansätze helfen dabei, robuste Entscheidungen zu treffen, indem sie sich auf die optimalen Lösungen unter den schlechtesten und besten möglichen Szenarien konzentrieren. Wir formulieren dies anhand eines Beispiels aus der Portfoliooptimierung:

• Max-min Ansatz:

Das Ziel ist es, das maximale Minimum zu optimieren, das bedeutet:

\max \limits_{x} \min \limits_{s \in \mathcal{S}} \{ \text{Ertrag}(x, s) \}

Hierbei ist \(x\) der Portfolioallokationsvektor, \(s\) ist das Szenario aus der Menge der möglichen Szenarien \(\mathcal{S}\) und \( \text{Ertrag}(x, s) \) ist der Ertrag des Portfolios unter Szenario \(s\).

• Min-max Ansatz:

Das Ziel ist es, das maximale Risiko zu minimieren, was bedeutet:

\min \limits_{x} \max \limits_{s \in \mathcal{S}} \{ \text{Kosten}(x, s) \}

Hierbei ist \(x\) der Portfolioallokationsvektor, \(s\) ist das Szenario aus der Menge der möglichen Szenarien \(\mathcal{S}\) und \( \text{Kosten}(x, s) \) sind die Kosten (bzw. Verluste) des Portfolios unter Szenario \(s\).

Durch die Anwendung dieser Methoden kann der Portfolio-Manager robuste Entscheidungen treffen, die den Einfluss extremer und unerwarteter Marktschwankungen abmildern.

c)

Betrachte die Anwendung der CVaR (Conditional Value-at-Risk) in robusten Optimierungsproblemen.

• Formuliere die Grundidee und den Zweck der CVaR im Kontext der robusten Optimierung.
• Leite den mathematischen Ausdruck für die CVaR unter der Annahme einer Normalverteilung des Risikos ab. Sei \(\textstyle \textbf{R}\) der Risikofaktor und \(\textstyle \textbf{L} = L(\textbf{R})\) die Verlustfunktion.
• Diskutiere die Vorteile der Verwendung von CVaR gegenüber VaR (Value-at-Risk) und wie diese Maßnahme zur Verbesserung der Robustheit beitragen kann.

Lösung:

Die Anwendung der CVaR (Conditional Value-at-Risk) in robusten Optimierungsproblemen liefert eine detailliertere Bewertung des Extremrisikos und hilft, fundiertere Entscheidungen zu treffen. Hier sind die erforderlichen Schritte, um das Problem zu lösen:

• Grundidee und Zweck der CVaR im Kontext der robusten Optimierung:

Die Grundidee der CVaR besteht darin, den erwarteten Verlust eines Portfolios im schlimmsten Fall (über den VaR hinaus) zu messen. Im Gegensatz zum VaR, der nur einen Schwellenwert für Verluste definiert, betrachtet die CVaR den Durchschnitt der extremen Verluste. Dies macht die CVaR besonders nützlich in robusten Optimierungsproblemen, da sie eine umfassendere und kohärentere Sicht auf die Risikobewertung bietet. Ihr Zweck ist es, sicherzustellen, dass das Portfolio nicht nur extremen Verlusten ausgesetzt ist, sondern diese auch effektiv bewältigen kann.

• Mathematischer Ausdruck der CVaR unter der Annahme einer Normalverteilung des Risikos:

Sei \( \mathbf{R} \) der Risikofaktor und \( \mathbf{L} = L( \mathbf{R} ) \) die Verlustfunktion.

Unter der Annahme, dass der Verlust \( \mathbf{L} \) einer Normalverteilung mit Mittelwert \( \mu \) und Standardabweichung \( \sigma \) folgt, ergibt sich der VaR bei einem Konfidenzniveau \( \alpha \) als:

\operatorname{VaR}_{\alpha}( \mathbf{L} ) = \mu + z_{\alpha} \sigma

Hierbei ist \( z_{\alpha} \) der \( \alpha \)-Quantilwert der Standardnormalverteilung.

Die CVaR berechnet den bedingten erwarteten Verlust über dem VaR-Schwellenwert hinaus:

\operatorname{CVaR}_{\alpha}( \mathbf{L} ) = \mathbb{E}[ \mathbf{L} | \mathbf{L} \geq \operatorname{VaR}_{\alpha}( \mathbf{L} ) ]

Für eine Normalverteilung kann die CVaR mithilfe der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung berechnet werden:

\operatorname{CVaR}_{\alpha}( \mathbf{L} ) = \mu + \frac{ \varphi( z_{\alpha} ) }{ 1 - \alpha } \sigma

Hierbei ist \( \varphi( z_{\alpha} ) \) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle \( z_{\alpha} \).

• Vorteile der Verwendung von CVaR gegenüber VaR und ihre Beitrag zur Verbesserung der Robustheit:

1. **Erfassung extremer Verluste:** Während VaR nur einen Schwellenwert angibt, betrachtet die CVaR den durchschnittlichen Verlust, der diesen Schwellenwert überschreitet. Dadurch wird ein umfassenderes Bild der potenziellen extremen Verluste geliefert.

2. **Stabilere Risikobewertung:** CVaR ist kohärent im Sinne der Risikomessung (subadditiv), was bedeutet, dass die Gesamt-CVaR eines diversifizierten Portfolios geringer sein kann als die Summe der einzelnen Positionen, wodurch eine stabilere Risikobewertung erreicht wird.

3. **Verbesserte Robustheit:** Durch die Minimierung des durchschnittlichen extremen Verlustes stellt die CVaR sicher, dass das Portfolio besser gegen unerwartete und extreme Ereignisse geschützt ist, was zur Verbesserung der Gesamtrobustheit beiträgt.

4. **Einfache Integration:** Die Berechnung der CVaR kann durch lineare Programmierung und andere konvexe Optimierungstechniken unterstützt werden, was ihre Integration in Optimierungsprobleme erleichtert und ihre praktische Anwendbarkeit erhöht.

Insgesamt bietet die CVaR eine umfassendere Risikobewertung als der VaR und trägt signifikant zur Erhöhung der Robustheit von Finanzportfolios bei.