Schaltungstechnik - Exam

Aufgabe 1)

In einem Gleichstromkreis aus einem Halbleitermaterial sind sowohl Elektronen als auch Löcher als Ladungsträger beteiligt. Die Bewegung der Ladungsträger wird durch äußere elektrische Felder beeinflusst und bestimmt die elektrische Leitfähigkeit des Materials.

• Elektronen: Negative Ladungsträger im Leitungsband
• Löcher: Positive Pseudopartikel im Valenzband
• Bewegung durch äußere elektrische Felder beeinflusst
• Elektrische Leitfähigkeit hängt von Trägerdichte und Beweglichkeit ab
• Bewegungsgleichung für Elektronen: \[ \vec{v}_n = \mu_n \vec{E} \ ]
• Bewegungsgleichung für Löcher: \[ \vec{v}_p = \mu_p \vec{E} \ ]
• \( \mu_n \) : Beweglichkeit der Elektronen, \( \mu_p \) : Beweglichkeit der Löcher
• \( \sigma = q (n \mu_n + p \mu_p) \)
• \( n \): Elektronendichte, \( p \): Löcherdichte, \( q \): Elementarladung

a)

Berechne die elektrische Leitfähigkeit \( \sigma \) eines Halbleitermaterials, wenn die Elektronendichte \( n = 5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \), die Löcherdichte \( p = 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \), die Beweglichkeit der Elektronen \( \mu_n = 1350 \frac{cm^{2}}{V \, s} \) und die Beweglichkeit der Löcher \( \mu_p = 450 \frac{cm^{2}}{V \, s} \) beträgt. Nutze dabei für die Elementarladung \( q = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} \).

Lösung:

Um die elektrische Leitfähigkeit \( \sigma \) eines Halbleitermaterials zu berechnen, verwenden wir die Formel:

• \( \sigma = q (n \mu_n + p \mu_p) \)

Gegeben sind:

• Die Elektronendichte: \(n = 5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}}\)
• Die Löcherdichte: \(p = 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}}\)
• Die Beweglichkeit der Elektronen: \(\mu_n = 1350 \ \frac{cm^{2}}{V \, s}\)
• Die Beweglichkeit der Löcher: \(\mu_p = 450 \ \frac{cm^{2}}{V \, s}\)
• Die Elementarladung: \(q = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}\)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\( \sigma = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} (5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \times 1350 \ \frac{cm^{2}}{V \, s} + 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \times 450 \ \frac{cm^{2}}{V \, s}) \)

Wir berechnen zuerst die beiden Terme innerhalb der Klammern:

\(5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \times 1350 \ \frac{cm^{2}}{V \, s} = 6.75 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s}\)

\(3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^{3}} \times 450 \ \frac{cm^{2}}{V \, s} = 1.35 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s}\)

Addieren wir die beiden Ergebnisse:

\(6.75 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} + 1.35 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} = 8.1 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s}\)

Nun multiplizieren wir dieses Ergebnis mit der Elementarladung:

\(\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} \times 8.1 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s}\)

\(\sigma = 1.296 \times 10^{3} \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm}\)

Somit beträgt die elektrische Leitfähigkeit \(\sigma\) des Halbleitermaterials: 1296 \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm}.

b)

Ein äußeres elektrisches Feld von \( \vec{E} = 1.2 \, \frac{V}{cm} \) wirkt auf das Halbleitermaterial. Berechne die Driftgeschwindigkeiten \( \vec{v}_n \) der Elektronen und \( \vec{v}_p \) der Löcher unter diesem elektrischen Feld.

Lösung:

Um die Driftgeschwindigkeiten der Elektronen \ ( \vec{v}_n \ ) und der Löcher \ ( \vec{v}_p \ ) unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes \ ( \vec{E} \ ) zu berechnen, verwenden wir die Bewegungsgleichungen:

• Für Elektronen: \ ( \vec{v}_n = \mu_n \vec{E} \ )
• Für Löcher: \ ( \vec{v}_p = \mu_p \vec{E} \ )

Gegeben ist ein äußeres elektrisches Feld:

• \ ( \vec{E} = 1.2 \ \frac{V}{cm} \ )

Und die Beweglichkeiten:

• Beweglichkeit der Elektronen: \ ( \mu_n = 1350 \ \frac{cm^2}{V \, s} \ )
• Beweglichkeit der Löcher: \ ( \mu_p = 450 \ \frac{cm^2}{V \, s} \ )

Setzen wir diese Werte in die jeweiligen Bewegungsgleichungen ein:

• Für die Driftgeschwindigkeit der Elektronen:
• \ ( \vec{v}_n = 1350 \ \frac{cm^2}{V \, s} \ \times 1.2 \ \frac{V}{cm} \ )
• \ ( \vec{v}_n = 1620 \ \frac{cm}{s} \ )
• Für die Driftgeschwindigkeit der Löcher:
• \ ( \vec{v}_p = 450 \ \frac{cm^2}{V \, s} \ \times 1.2 \ \frac{V}{cm} \ )
• \ ( \vec{v}_p = 540 \ \frac{cm}{s} \ )

Somit betragen die Driftgeschwindigkeiten:

• \ ( \vec{v}_n = 1620 \ \frac{cm}{s} \ ) für die Elektronen
• \ ( \vec{v}_p = 540 \ \frac{cm}{s} \ ) für die Löcher

c)

Bei einer Temperaturerhöhung ändern sich die Beweglichkeiten der Ladungsträger. Angenommen, die Beweglichkeit der Elektronen \( \mu_n \) sinkt um 20% und die Beweglichkeit der Löcher \( \mu_p \) sinkt um 30%. Wie ändert sich die elektrische Leitfähigkeit \( \sigma \) des Materials? Berechne die neue Leitfähigkeit und vergleiche sie mit der alten.

Lösung:

Um die Änderung der elektrischen Leitfähigkeit \( \sigma \) des Halbleitermaterials bei einer Temperaturerhöhung zu berechnen, müssen wir die neuen Werte für die Beweglichkeit der Ladungsträger berücksichtigen.

• Neue Beweglichkeit der Elektronen: \( \mu_n' = \mu_n \times 0.8 \)
• Neue Beweglichkeit der Löcher: \( \mu_p' = \mu_p \times 0.7 \)

Gegeben sind die ursprünglichen Beweglichkeiten:

• \( \mu_n = 1350 \ \frac{cm^2}{V \, s} \)
• \( \mu_p = 450 \ \frac{cm^2}{V \, s} \)

Berechnen wir die neuen Beweglichkeiten:

• \( \mu_n' = 1350 \ \frac{cm^2}{V \, s} \times 0.8 = 1080 \ \frac{cm^2}{V \, s} \)
• \( \mu_p' = 450 \ \frac{cm^2}{V \, s} \times 0.7 = 315 \ \frac{cm^2}{V \, s} \)

Die ursprüngliche elektrische Leitfähigkeit \( \sigma \) wurde mit der Formel:

• \( \sigma = q (n \mu_n + p \mu_p) \)

berechnet. Wir hatten:

• Elektronendichte: \( n = 5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \)
• Löcherdichte: \( p = 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \)
• Elementarladung: \( q = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} \)

Setzen wir nun die neuen Beweglichkeiten in die Leitfähigkeitsformel ein:

\( \sigma' = q (n \mu_n' + p \mu_p') \)

\( \sigma' = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} \times (5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \times 1080 \ \frac{cm^2}{V \, s} + 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \times 315 \ \frac{cm^2}{V \, s}) \)

Berechnen wir zunächst die beiden Terme innerhalb der Klammern:

• \( 5 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \times 1080 \ \frac{cm^2}{V \, s} = 5.4 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} \)
• \( 3 \times 10^{18} \ \frac{1}{cm^3} \times 315 \ \frac{cm^2}{V \, s} = 9.45 \times 10^{20} \ \frac{1}{V \, s} \)

Fügen wir die beiden Ergebnisse zusammen:

\( 5.4 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} + 9.45 \times 10^{20} \ \frac{1}{V \, s} = 6.345 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} \)

Nun multiplizieren wir dieses Ergebnis mit der Elementarladung:

\( \sigma' = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} \times 6.345 \times 10^{21} \ \frac{1}{V \, s} \)

\( \sigma' = 1.0152 \times 10^{3} \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm} \)

Die neue Leitfähigkeit \( \sigma' \) beträgt also \( 1015.2 \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm} \).

Vergleichen wir dies mit der ursprünglichen Leitfähigkeit:

Die ursprüngliche Leitfähigkeit \( \sigma \) betrug \( 1296 \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm} \).

Die Leitfähigkeit hat sich somit verringert:

\( 1296 - 1015.2 = 280.8 \ \frac{1}{\text{Ohm} \cdot cm} \)

Die prozentuale Änderung der Leitfähigkeit beträgt:

\( \frac{280.8}{1296} \times 100 \approx 21.67\% \)

Die elektrische Leitfähigkeit des Materials hat sich um etwa 21.67 % verringert.

Aufgabe 3)

Gleichspannungswandler in der Informatik: Beim Bau eines Gleichspannungswandlers (DC-DC Converter) ist es wichtig zu verstehen, wie man eine bestimmte Gleichspannung in eine andere umwandelt. Zu den gebräuchlichen Typen gehören Buck (Step-Down), Boost (Step-Up) und Buck-Boost (Step-Up/Down) Wandler. Der Wirkungsgrad dieser Wandler liegt typischerweise zwischen 70% und 95%. Ein grundlegendes Prinzip dieser Schaltungen ist, dass die Ausgangsspannung (V_{out}) proportional zur Eingangsspannung (V_{in}) ist, wobei der Proportionalitätsfaktor (k) je nach Schaltungstopologie variiert. Die Steuerung dieser Wandler erfolgt meist über Pulsweitenmodulation (PWM). Zu den wesentlichen Komponenten gehören Spulen, Kondensatoren und Schalter (Transistoren).

Aufgabe 4)

Ein elektronischer Schwingkreis besteht aus einem Induktor mit der Induktivität L und einem Kondensator mit der Kapazität C. Der Schwingkreis wird verwendet, um eine Trägerschwingung im Bereich von 2 MHz zu erzeugen. Ein wesentlicher Aspekt bei der Analyse eines solchen Schwingkreises ist das Phasenrauschen der erzeugten Schwingung. Das Phasenrauschen wird bei einem Frequenzabstand von 10 kHz von der Trägerfrequenz gemessen. Zusätzlich ist die Resonanzfrequenz dieses Schwingkreises zu analysieren, und der Gütefaktor (Q-Faktor) sowie die Bandbreite des Schwingkreises sind zu berechnen.

a)

1. Berechnung der Resonanzfrequenz

Gegeben ist eine Induktivität von L = 10 µH und eine Kapazität von C = 1 nF. Berechne die Resonanzfrequenz f_0 des Schwingkreises.

Lösung:

1. Berechnung der Resonanzfrequenz

Gegeben ist eine Induktivität von L = 10 µH und eine Kapazität von C = 1 nF. Berechne die Resonanzfrequenz f_0 des Schwingkreises.

Die Resonanzfrequenz f_0 eines LC-Schwingkreises kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

• \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

Nun setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

• \( L = 10 \text{ µH} = 10 \times 10^{-6} \text{ H} \)

• \( C = 1 \text{ nF} = 1 \times 10^{-9} \text{ F} \)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir:

• \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-6} \text{ H} \times 1 \times 10^{-9} \text{ F}}} \)

• \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-14}}} \)

Dieser Ausdruck vereinfacht sich zu:

• \( f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-7}} \)

• \( f_0 = \frac{10^7}{2\pi} \text{ Hz} \)

Rechnen wir dies weiter aus:

• \( f_0 \approx 1.59 \times 10^6 \text{ Hz} = 1.59 \text{ MHz} \)

Also beträgt die Resonanzfrequenz des Schwingkreises etwa 1.59 MHz.

b)

2. Bestimmung der Bandbreite

Angenommen, der gemessene Gütefaktor Q des Schwingkreises beträgt 100. Berechne die Bandbreite Δf des Schwingkreises.

Lösung:

2. Bestimmung der Bandbreite

Angenommen, der gemessene Gütefaktor Q des Schwingkreises beträgt 100. Berechne die Bandbreite Δf des Schwingkreises.

Die Bandbreite Δf eines Resonanzkreises kann mit Hilfe des Gütefaktors Q und der Resonanzfrequenz f_0 berechnet werden, indem man die folgende Formel verwendet:

• \( \Delta f = \frac{f_0}{Q} \)

Wir haben bereits die Resonanzfrequenz f_0 in der vorherigen Aufgabe als etwa 1.59 MHz berechnet. Setzen wir nun die gegebenen Werte in die Formel ein:

• \( f_0 = 1.59 \text{ MHz} = 1.59 \times 10^6 \text{ Hz} \)

• \( Q = 100 \)

Indem wir diese Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

• \( \Delta f = \frac{1.59 \times 10^6}{100} \text{ Hz} \)

• \( \Delta f = 1.59 \times 10^4 \text{ Hz} \)

• \( \Delta f = 15.9 \text{ kHz} \)

Also beträgt die Bandbreite des Schwingkreises 15.9 kHz.

c)

3. Phasenrauschenanalyse

Das Phasenrauschen bei einem Frequenzabstand von 10 kHz von der Trägerfrequenz beträgt -80 dBc/Hz. Berechne die Rauschspektraldichte S(Δf) bei einem Frequenzabstand von 10 kHz, wenn die Spektraldichte bei der Trägerfrequenz S(f_0) = 1 W/Hz beträgt.

Lösung:

3. Phasenrauschenanalyse

Das Phasenrauschen bei einem Frequenzabstand von 10 kHz von der Trägerfrequenz beträgt -80 dBc/Hz. Berechne die Rauschspektraldichte S(Δf) bei einem Frequenzabstand von 10 kHz, wenn die Spektraldichte bei der Trägerfrequenz S(f_0) = 1 W/Hz beträgt.

Das Phasenrauschen in dBc/Hz gibt an, wie stark das Rauschen im Verhältnis zur Trägerleistung pro Hertz entfernt von der Trägerfrequenz ist. Dies kann wie folgt umgerechnet werden:

Phasenrauschen von -80 dBc/Hz bedeutet, dass die Rauschspektraldichte S(10 kHz) um 80 dB kleiner ist als die Spektraldichte bei der Trägerfrequenz S(f_0).

Die Formel hierfür lautet:

• \( S(10 kHz) = S(f_0) \times 10^{\left(\frac{P_{\text{rausch}}}{10}\right)} \)

Wobei:

• \( P_{\text{rausch}} = -80 \text{ dB} \)

Setzen wir die Werte ein:

• \( S(10 kHz) = 1 \text{ W/Hz} \times 10^{\left(\frac{-80}{10}\right)} \)

• \( S(10 kHz) = 1 \text{ W/Hz} \times 10^{-8} \)

Dies ergibt:

• \( S(10 kHz) = 10^{-8} \text{ W/Hz} \)

Also beträgt die Rauschspektraldichte bei einem Frequenzabstand von 10 kHz 10^-8 W/Hz.

d)

4. Analyse der Dämpfung

Diskutiere den Zusammenhang zwischen dem Gütefaktor Q, der Dämpfungsrate und der Leistungsbandbreite eines Schwingkreises. Welche Rolle spielt der Q-Faktor in der Praxis?

Lösung:

4. Analyse der Dämpfung

Diskutiere den Zusammenhang zwischen dem Gütefaktor Q, der Dämpfungsrate und der Leistungsbandbreite eines Schwingkreises. Welche Rolle spielt der Q-Faktor in der Praxis?

Um den Zusammenhang zwischen dem Gütefaktor Q, der Dämpfungsrate und der Leistungsbandbreite zu verstehen, müssen wir die jeweiligen Begriffe definieren und deren Beziehungen darlegen.

• Gütefaktor (Q): Der Gütefaktor Q eines Schwingkreises ist ein Maß dafür, wie unterdrückt oder gering die Verluste in dem System sind. Ein hoher Gütefaktor bedeutet, dass der Schwingkreis wenig Energie verliert und daher gut schwingt. Mathematisch ist der Gütefaktor definiert als:
• \( Q = \frac{f_0}{\Delta f} \)

• Hierbei ist f_0 die Resonanzfrequenz und Δf die Bandbreite.

• Dämpfungsrate: Die Dämpfungsrate, oft mit dem Symbol α bezeichnet, ist ein Maß für die exponentielle Abnahme der Amplitude der Schwingung im Laufe der Zeit. Die Dämpfungsrate ist umgekehrt proportional zum Gütefaktor, und zwar wie folgt:

• \( α \propto \frac{1}{Q} \)

• Das bedeutet, je höher der Gütefaktor, desto geringer ist die Dämpfungsrate, und desto langsamer nimmt die Amplitude ab.

• Leistungsbandbreite: Die Leistungsbandbreite ist die Frequenzspanne, innerhalb derer die Leistung des Signals um weniger als die Hälfte (meist 3 dB Verlust) abnimmt. Es gibt eine direkte Beziehung zwischen dem Gütefaktor und der Bandbreite. Eine niedrigere Bandbreite bedeutet einen höheren Gütefaktor und umgekehrt:

• \( \Delta f = \frac{f_0}{Q} \)

Praktische Bedeutung des Q-Faktors:

• Der Q-Faktor spielt eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Leistungsfähigkeit eines Schwingkreises. In praktischen Anwendungen wird ein hoher Q-Faktor angestrebt, insbesondere in der Kommunikationstechnik und bei Filtern, wo ein schmalbandiger und verlustarmer Schwingkreis wünschenswert ist.
• Ein hoher Q-Faktor bedeutet, dass der Schwingkreis sehr selektiv ist und nur eine sehr schmale Bandbreite von Frequenzen zulässt, was zu einer besseren Signalqualität führt.
• Ein niedriger Q-Faktor hingegen, obwohl weniger effizient, kann in Anwendungen nützlich sein, bei denen eine breitere Frequenzbandbreite erforderlich ist.

Zusammengefasst erleichtert der Gütefaktor das Verständnis der Vor- und Nachteile eines Schwingkreises im Hinblick auf selektives Filtern, Dämpfung und Frequenzstabilität. Ein gut designter Schwingkreis sollte einen Balance zwischen einem hohen Q-Faktor und der erforderlichen Bandbreite der Anwendung halten.