Signale und Systeme I - Cheatsheet

Zeitkontinuierliche vs. zeitdiskrete Signale

Definition:

Zeitkontinuierliche Signale ändern sich kontinuierlich im Zeitverlauf, zeitdiskrete Signale ändern sich nur zu bestimmten Zeitpunkten.

Details:

• Mathematische Darstellung:

• Zeitkontinuierlich: \( x(t) \), \( t \in \mathbb{R} \)
• Zeitdiskret: \( x[n] \), \( n \in \mathbb{Z} \)

• Abtastung zeitkontinuierlicher Signale führt zu zeitdiskreten Signalen.
• Nyquist-Shannon-Abtasttheorem: Abtastfrequenz \( f_s \) muss mindestens doppelt so groß wie die höchste Frequenz des Signals sein.

Laplace-Transformation

Definition:

Transformation von Zeitbereich in Frequenzbereich; nützlich für die Analyse und Lösung von linearen zeitinvarianten Systemen.

Details:

• Definition: \( \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \)
• Umkehrtransformation: \( \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) \)
• Existenzbedingung: \( \int_{0}^{\infty} |f(t)| e^{-\sigma t} \, dt < \infty \)
• Lineare Eigenschaft: \( \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) \)
• Faltung: \( \mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) G(s) \)
• Ableitungen: \( \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0) \) und \( \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \)
• Verschiebung im Zeitbereich: \( \mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a) \)
• Initialwertsatz: \( \lim_{{t \to 0^+}} f(t) = \lim_{{s \to \infty}} s F(s) \)
• Endwertsatz: \( \lim_{{t \to \infty}} f(t) = \lim_{{s \to 0}} s F(s) \)

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Definition:

DFT wandelt eine endliche sequenz diskreter werte in eine sequenz komplexer zahlen um, die frequenzkomponenten der eingangssignale repräsentieren. FFT ist ein algorithmus zur schnellen Berechnung der DFT.

Details:

• DFT: \[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2\pi kn/N}\]
• Umkehrtransformation (IDFT): \[x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{j2\pi kn/N}\]
• FFT reduziert Berechnungsaufwand von O(N^2) auf O(N \log N)

Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrenfilter

Definition:

Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrenfilter sind fundamentale Frequenzfilter, die bestimmte Frequenzen durchlassen oder blockieren.

Details:

• Tiefpassfilter (Low-Pass Filter): Lässt Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz \(\f_c\) passieren.
• Hochpassfilter (High-Pass Filter): Lässt Frequenzen oberhalb einer Grenzfrequenz \(\f_c\) passieren.
• Bandpassfilter (Band-Pass Filter): Lässt einen Frequenzbereich zwischen einer unteren \(\f_{c1}\) und einer oberen Grenzfrequenz \(\f_{c2}\) passieren.
• Bandsperrenfilter (Band-Stop Filter): Sperrt einen Frequenzbereich zwischen einer unteren \(\f_{c1}\) und einer oberen Grenzfrequenz \(\f_{c2}\).
• Übertragungsfunktion für Tief- und Hochpass: \[ H(f) = \frac{1}{1 + j\frac{f}{f_c}} \]

Spektralanalyse und Spektraldichte

Definition:

Analyse eines Signals bezüglich seiner Frequenzkomponenten und deren Intensitäten.

Details:

• Spektrum: Darstellung der Amplituden und Phasen der Frequenzkomponenten eines Signals.
• Fourier-Transformation: Umwandlung eines Signals vom Zeit- ins Frequenzbereich.
• Spektraldichte: Verteilung der Signalenergie (oder Leistung) über die Frequenz.
• Leistungsspektraldichte (PSD): Definiert als \( S_{xx}(f) = \frac{1}{T} \times |X(f)|^2 \), wobei \(X(f)\) die Fourier-Transformierte des Signals ist.

Nyquist-Abtasttheorem

Definition:

Minimal mögliche Abtastfrequenz zur exakten Rekonstruktion eines Signals.

Details:

• Sampling-Theorem: Ein Signal kann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch ist wie die höchste Frequenz des Signals.
• Formel: \( f_{a} \geq 2 \cdot f_{max} \)
• Alias-Effekt: Tritt auf, wenn die Abtastfrequenz kleiner als die doppelte maximale Signal-Frequenz ist.

Aliasing und seine Vermeidung

Definition:

Wenn ein Signal mit einer Sampling-Rate unterhalb seiner Nyquist-Frequenz abgetastet wird, kommt es zu Überlagerungen (Aliasing), wodurch Frequenzkomponenten falsch dargestellt werden.

Details:

• Nyquist-Frequenz: \( f_N = \frac{f_s}{2} \)
• Aliasing tritt auf, wenn \( f_s < 2f_{\text{max}} \)
• Lösung: \( f_s \geq 2f_{\text{max}} \) wählen (Abtasttheorem)
• Tiefpassfilter vor dem Abtastung verwenden, um höhere Frequenzen zu entfernen.

Quantisierungsfehler und Rauschen

Definition:

Unterschied zwischen dem tatsächlichen analogen Wert und dem nächstgelegenen diskreten Wert.

Details:

• Quantisierungsfehler: \epsilon_q = x - \hat{x}
• Maximaler Fehler: \pm \frac{\Delta}{2}
• Quantisierungsrauschen: Gleichverteilung im Intervall \left[-\frac{\Delta}{2}, \frac{\Delta}{2}\right]
• Mittlere quadratische Abweichung: \sigma_q^2 = \frac{\Delta^2}{12}