Signale und Systeme II - Cheatsheet

Signaltransformationen: Arten und Anwendungen

Definition:

Veränderung von Signaldarstellungen zur Analyse oder Weiterverarbeitung; frequenz- und zeitraumabströmig.

Details:

• Fourier-Transformation: Umwandlung von Zeit- in Frequenzbereich. Anwendung: Signalverarbeitung, Bildverarbeitung
• Laplace-Transformation: Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. Anwendung: Regelungstechnik, Kontrolle von LTI-Systemen
• Z-Transformation: Diskrete Äquivalent der Laplace-Transformation. Anwendung: Digitale Signalverarbeitung

Mathematische Grundlagen der Fourier-Transformation

Definition:

Beschreibt, wie Signale in Frequenzkomponenten zerlegt werden können.

Details:

• Fourier-Transformierte: \( X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, e^{-j 2 \pi f t} \, dt \)
• Inverse Fourier-Transformierte: \( x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \, e^{j 2 \pi f t} \, df \)
• Diskrete Fourier-Transformierte (DFT): \( X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} \)
• Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeit- und Frequenzverschiebung, Faltung
• Satz von Parseval: \( \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df \)

Unterschiede zwischen kontinuierlicher und diskreter Fourier-Transformation

Definition:

Kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) analysiert kontinuierliche Signale im Frequenzbereich. Diskrete Fourier-Transformation (DFT) macht dasselbe für diskrete und periodische Signale.

Details:

• kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT): \[ F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \]
• diskrete Fourier-Transformation (DFT): \[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-j2\pi kn/N} \]
• CFT wird für kontinuierliche, nicht-periodische Signale verwendet
• DFT wird für diskrete, periodische Signale verwendet
• CFT ist integralförmig, DFT ist summenförmig
• DFT erfordert N-periode Abtastung, CFT nicht
• FFT ist eine effiziente Berechnungsmethode der DFT

Definition und Anwendung der Laplace-Transformation in zeitkontinuierlichen Systemen

Definition:

Laplace-Transformation: Methode zur Analyse und Lösung von zeitkontinuierlichen, linearen Systemen.

Details:

• Definition: Transformation einer zeitkontinuierlichen Funktion f(t) in eine komplexe Funktion F(s) durch \( \mathcal{L}\{ f( t ) \} = F( s ) = \int_0^\infty f( t ) e^{-st} dt \)
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebungseigenschaft, Faltungseigenschaft, Anfangs- und Endwertsätze
• Anwendung: Lösung von Differentialgleichungen, Stabilitätsanalyse, Systemtheorie, Filterdesign
• Inverse Laplace-Transformation: Rücktransformation von F(s) zu f(t) durch \( \mathcal{L}^{-1}\{ F( s ) \} = f( t ) \)

Grundlagen und Bedeutung der Z-Transformation

Definition:

Überführung von zeitdiskreten Signalen in den Frequenzbereich, insbesondere zur Analyse und Bearbeitung linearer, zeitinvarianter Systeme.

Details:

• Definition: \( X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} \)
• Region der Konvergenz (ROC) notwendig für eindeutige Darstellung
• Zusammenhang mit der Fourier-Transformation: bei \(|z| = 1\)
• Eigenschaften: Linearität, Zeitverschiebung, Faltungstheorem
• Anwendung zur Stabilitätsanalyse und Systembeschreibung
• Inversen Z-Transformation für Rücktransformation

Abtastungstheorie und das Nyquist-Theorem

Definition:

Abtastungstheorie beschreibt, wie man kontinuierliche Signale in diskrete Signale umwandelt. Das Nyquist-Theorem gibt die minimale Abtastfrequenz an, um Aliasing zu vermeiden.

Details:

• Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so hoch sein wie die höchste Frequenz des Signals: \(f_s \geq 2 f_{max}\)
• Aliasing tritt auf, wenn \(f_s < 2 f_{max}\)
• Nyquist-Frequenz: \(f_N = \frac{f_s}{2}\)
• Bandbegrenztes Signal benötigt zur Rekonstruktion keine höhere Abtastfrequenz.

Rekonstruktion diskreter Signale und Vermeidung von Aliasing-Effekten

Definition:

Rekonstruktion diskreter Signale und Vermeidung von Aliasing-Effekten

Details:

• Aliasing-Effekt: Überlappen der Frequenzspektren nach Abtastung
• Shannon-Abtasttheorem: Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch wie höchste Signalfrequenz (\f_s > 2f_{max})
• Rekonstruktion: Tiefpassfilter (Rekonstruktionsfilter) zur Bandbegrenzung
• Antialiasing-Filter: Vor Abtastung tiefpassfiltern

Filterentwurf und -analyse (digital und analog)

Definition:

Entwurf und Analyse von Filtern zur Signalverarbeitung in digitalen und analogen Systemen.

Details:

• Filtertypen: Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre
• Entwurfsverfahren: Butterworth, Chebyshev, Elliptisch
• Übertragungsfunktion: \[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \]
• Fouriertransformation: \[ H(j\omega) \]
• Digitale Filter: FIR (Finite Impulse Response), IIR (Infinite Impulse Response)
• Diskretisierung: Bilineare Transformation, Impulsinvarianz
• Stabilität: Pole innerhalb des Einheitskreises (digital) / linker Halbebene (analog)
• Frequenzgang: Amplituden- und Phasengang